2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)與基本初等函數(shù)（測(cè)試）（學(xué)生版+解析）

第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)（測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.函數(shù)〃x）=3"2*的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（-8,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,^o）

2.二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21x21大小的特殊的幾何圖形，即441個(gè)點(diǎn).

根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉3x1015個(gè)二維碼，那么所有二

維碼大約可以用（）（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477）

A.10切萬(wàn)年B.10⑵萬(wàn)年C.10⑵萬(wàn)年D.萬(wàn)年

x2+l,x<l

3.已知函數(shù)/（尤）=,存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是)

2、一。，龍>1

A.(-℃,1]B.(-8,1)C.[1,+8)D.(l,+oo)

4.對(duì)函數(shù)=x+=?作％的代換，則不改變函數(shù)/（力值域的代換是（）

A./z")=sin/,tG0,3B./i(，)=sin，，G[0,TT]

71兀D./i?)=gsin1,

C.M，)=sin/，te[0,2TI]

252

5.已知函數(shù)“x)=(e"+er卜加-2在[-2,2]上的最大值和最小值分別為〃，N,則M+N=()

A.-4B.0C.2D.4

6.直線x=4與函數(shù)/(力=1嗚W。>1)送(*)=1%》分別交于48兩點(diǎn)，且|的=3,則函數(shù)

2

MX)=〃x)+g(x)的解析式為()

A.h(x)=-log2xB.h^x)=-log4x

C./z(x)=log2xD./z(x)=log4x

3

嗎e2犬-3+4x,%2],

3

7.已知函數(shù)〃x)=<的圖象關(guān)于直線x=,對(duì)稱(chēng)，則叫+%+啊=)

23

2e+m2x+砥,x<一

A.8B.10C.12D.14

8.已知函數(shù)g(x)=x-3,方程/(g(x))=-3-g(無(wú))有兩個(gè)不同的根，分別是占,馬,則

士+%=()

A.0B.3C.6D.9

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

10.已知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足/Q+x)+/(l-x)=0,且/⑺不是常函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有()

A.若2為"X)的周期，則Ax)為奇函數(shù)

B.若/(x)為奇函數(shù)，則2為/(尤)的周期

C.若4為Ax)的周期，則了(元)為偶函數(shù)

D.若Ax)為偶函數(shù)，則4為"X)的周期

11.已知函數(shù)〃x)=L工51’其中〃。1/伊卜/匕"彳，且a<6<c,則()

A./[/(-2)]=-32B.函數(shù)g(x)=〃x)-有2個(gè)零點(diǎn)

C.a+b+ce\^+log3,4jD.e(^log35,0)

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數(shù)〃x)=ln--a)-x(xeR)為偶函數(shù)，則”.

13.已知函數(shù)〃力=隨,，若=則當(dāng)2J3"取得最小值時(shí)，7=.

14.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(%+3)=-/(-%),且"2)=0,則“X)在［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最

小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.(13分)

已知函數(shù)〃力=12—x-2|+|x—2|.

⑴畫(huà)出函數(shù)的圖象；

⑵求關(guān)于x的不等式/(耳4卜+1的解集.

16.(15分)

已知二次函數(shù)/(X)的最小值為-4，且關(guān)于X的不等式f(x)<0的解集為{x|-3<x<l,xeR}

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)若函數(shù)g。)與Ax)的圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)尤>0時(shí)，g(x)的圖象恒在直線>=區(qū)-4的上方，求

實(shí)數(shù)上的取值范圍.

17.(15分)

正安縣是中國(guó)白茶之鄉(xiāng).在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，用100℃的水泡制，

待茶水溫度降至60℃時(shí)，飲用口感最佳.某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置

時(shí)間，每隔Imin測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間/min012345

水溫/℃1009182.978.3772.5367.27

設(shè)茶水溫度從100℃經(jīng)過(guò)由加后溫度變?yōu)閥℃,現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：

=cx+/?(c<0,x>0)；

@y-cax+(c>0,0<a<1,x>0)；

(3)^=loga(x+c)(a>l,c>0,x>0).

(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；

(2)根據(jù)(1)中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間(精確到0.01)；

(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少.(參考數(shù)據(jù)：

lg3=0.477,lg5=0.699)

18.(17分)

已知函數(shù)y=9(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。,b)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是y=9(a+x)-6是奇函數(shù)，給定函

數(shù)/(x)=x__.

x+1

⑴求函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心；

(2)判斷“尤)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性(只寫(xiě)出結(jié)論即可)；

(3)已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，g(x)=f一加+憶若對(duì)任意看且0,2],總

存在X2e[l,5],使得g(再)=/(%),求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

19.（17分）

a

設(shè)n次多項(xiàng)式Pn(0—nt"---F生產(chǎn)+4/+。0尸0),若其滿足P?(cosx)=cosnx,則稱(chēng)這些多

項(xiàng)式月⑺為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由cosd=cos(9可得切比雪夫多項(xiàng)式片(無(wú))=%,由cos26=2cos可

2

得切比雪夫多項(xiàng)式P2(x)=2x-l.

⑴若切比雪夫多項(xiàng)式鳥(niǎo)(彳)=渥+/+5+〃，求實(shí)數(shù)a,b,c,d的值；

(2)對(duì)于正整數(shù)九.3時(shí)，是否有P?(x)=2x-P?_l(x)-隼2(x)成立？

(3)已知函數(shù)/(尤)=8/-6%-1在區(qū)間(-1,1)上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為占,超,無(wú)3,證明：

玉+々+/=°?

第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)（測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.函數(shù)〃尤）=3入洞的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（fO）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,+oo）

【答案】A

【解析】令?=/一2N，則y=3'，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)/=丁一2兇的單調(diào)遞減區(qū)間，

又函數(shù)，（一X）=（-X）2-2|-x|=t（x）,

即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

結(jié)合圖象，如圖所示，

可知函數(shù)”/-2國(guó)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0,1）,

即的單調(diào)遞減區(qū)間為（-雙-1）和（0』）.

故選：C.

2.二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21x21大小的特殊的幾何圖形，即441個(gè)點(diǎn).

根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉3x1015個(gè)二維碼，那么所有二

維碼大約可以用（）（參考數(shù)據(jù)：lg2土0.301,lg320.477）

A.109萬(wàn)年B.IO1?。萬(wàn)年C.10.萬(wàn)年D.10⑵萬(wàn)年

【答案】B

【解析】萬(wàn)年用掉3xl()i5個(gè)二維碼,

二大約能用品7萬(wàn)年，

?4410441

設(shè)x=-----,則1口=1g------=坨2匈-(lg3+IglO15)=4411g2-lg3-15a441X0.301-0.477-15?117,

3x103x10

艮［1%乏10"7萬(wàn)年.

故選：A.

Ijr^-J-1X<］

3.已知函數(shù)〃x)=2工_。］；］，存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—』［B.C.［1,+<?)D.

【答案】B

【解析】當(dāng)時(shí)，/(%)=%2+1,

所以“X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0』上單調(diào)遞增，則〃尤)碗=/'⑼=1,

當(dāng)x>l時(shí),f(x)=2x-a,所以“尤)在(1,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，

根據(jù)題意，存在最小值，

所以2-a^l,即々<1.

故選：A.

4.對(duì)函數(shù)=x+"二巨作x=的代換，則不改變函數(shù)值域的代換是()

A.力⑺=sin/,tG0,^B.%?)=sin/,rG[0,7I]

7171

C.M，)=sin/,te---D./z(z)=—sin^,te[0,2TI]

22

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=x+F^的定義域?yàn)閧x|-14尤41},且不是周期函數(shù),

當(dāng)x=/z⑺時(shí)，其：-LW/z(r)Vl,

對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，0<sinr<l,即0</1('卜1，這與TV/?(/)〈1不符合，故A項(xiàng)不成立;

對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)/?［(),無(wú)］時(shí)，0<sin?<1,BP0<7z(f)<l,這與-1W/?(/')41不符合，故B項(xiàng)不成立；

對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)爪-今；時(shí)，—lWsinfVl,BP-l</z(r)<l,故C成立；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)fe［0,2兀］時(shí)，-iWsinYl,即這與-14人⑴41不符合，故D項(xiàng)不成立;

故選：C.

5.已知函數(shù)〃x)=(e'+eT卜inx-2在［-2,2］上的最大值和最小值分別為N,則M+N=()

A.-4B.0C.2D.

【答案】B

【解析】令g(x)=〃x)+2=(e，+efsinx,定義域?yàn)镽,

因?yàn)椤▁)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為以，N,

所以g(x)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M+2,N+2,

因?yàn)間(-*)=(尸+ex)sin(-x)=-(e-Y+exjsinx=-g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以g(x)的最大值和最小值互為相反數(shù)，即M+2+N+2=0,

所以M+N=-4,

故選：A.

6.直線x=4與函數(shù)/(力=>1)，g(%)=1華產(chǎn)分別交于AB兩點(diǎn),且|AB|=3,則函數(shù)

2

/z(x)=/(_r)+g(x)的解析式為()

A./J(X)=-log2xB./z(x)=-log4x

C./z(x)=log2xD./z(x)=log4x

【答案】B

【解析】由題意可知，定義域?yàn)?。,內(nèi))，

函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

則|人用=log“4一log,4=log04+2,

所以log.4+2=3,

解得a=4,

所以M%)=log4x+logy=log4r-log2x=log4r-210g/=-log4x

2

故選：B.

3

m2k③+4x,x>—,

2

7.已知函數(shù)〃x)h3的圖象關(guān)于直線尤對(duì)稱(chēng)'貝(J叫+叫+/=()

32x

2e~+m2x+m3,x<—"

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

z、m)e2x+4x+6,x＞0,

【解析】依題意，g”小+/2………〈。為偶函數(shù)'

2x2x

當(dāng)工＜0時(shí),g(一%)=m^—4x+6,g(x)=2e~+m2x+—m2+叫

3

由g(—x)=g(x)可知叫=2,m2=-^-m2+mi=6,

解得叫=2,外=-4,？=12,所以叫+%+?=10.

故選：B

8.已知函數(shù)〃x)=：；：：：g(x)=x-3,方程f(g(x))=-3-g(x)有兩個(gè)不同的根，分別是%馬,則

x,+x2=()

A.0B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】由題意得：g(x)=x-3為R上的增函數(shù)，且g⑶=0,

當(dāng)尤W3時(shí)，g(x)M0,/(g(x))=ex-\

當(dāng)x>3時(shí)，g(x)>0,/(g(x))=ln(x-3),

方程/(g(x))=-3-g(x)=-x有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)＞=/(8(")與，=-邛勺圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

作出函數(shù)/(8。))與丁=-％的圖象如下圖所示：

由圖可知＞=?"3與y=ln(x-3)圖象關(guān)于y=x-3對(duì)稱(chēng)，

則兩點(diǎn)關(guān)于y=x-3對(duì)稱(chēng)，中點(diǎn)C在y=x-3圖象上，

fy=—x

由。，解得：'

[＞=尤-3

3

所以占+無(wú)2=2X]=3.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

【解析】由題意知1-|尤快。，則XW±1,當(dāng)xe(O,l)時(shí)，l-]x|>0,1>0,f(x)>0,

a

當(dāng)xe(l,4<o)時(shí)，1-|龍|<0,x>0,f(x)<0,

所以/(丈)的大致圖象不可能為C,

而當(dāng)。為其他值時(shí)，A,B,D均有可能出現(xiàn)，

不妨設(shè)&=；,定義域?yàn)閇0」)U(l,y)，此時(shí)A選項(xiàng)符合要求；

當(dāng)戊=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x片±1},且八一幻=匚三1=匚匕=-/(%)，

1一|一X|L—|X|

Y

故函數(shù)為奇函數(shù)，所以B選項(xiàng)符合要求，

一I%1

當(dāng)0=2時(shí)，定義域?yàn)閧x|xw±l},且/(T)=_tD_=-L=〃x),

1—|—X|1—|X|

Y2

故函數(shù)"X)=7^為偶函數(shù)，所以D選項(xiàng)符合要求.

1-|x|

故選：ABD

10.己知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(1+刈+/(1-彳)=0,且Ax)不是常函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有(

A.若2為/*)的周期，則Ax)為奇函數(shù)

B.若Ax)為奇函數(shù)，則2為/(x)的周期

C.若4為了⑺的周期，則/⑺為偶函數(shù)

D.若/(x)為偶函數(shù)，則4為/(x)的周期

【答案】BBD

【解析】對(duì)于A：若2是AM的周期，則/(尤+2)=/(x),

由/(l+x)+/(l-尤)=0,可得/(2+尤)=f(l+x+==_/(_*),

所以/(-%)=-/(尤)，所以為奇函數(shù)；故A正確；

對(duì)于B：若/a)為奇函數(shù)，貝U/(-》)=一/。)，

由/(l+x)+/(l-無(wú))=0,可得/(2+x)=/(l+x+l)=-/(l-x-l)=-/(-x)=/(x),所以2是的周期,故

B正確；

若4是/(x)的周期，設(shè)/(x)=sin%x,則/(1一x)+/(l+x)=sin(7t+7ix)+sin(7i_7tx)=O,

該函數(shù)的最小周期為2兀，故4兀為該函數(shù)的周期，當(dāng)該函數(shù)為奇函數(shù)，故C不正確；

對(duì)于D：若Ax)為偶函數(shù)，貝IJ/(-無(wú))=/(x),

由=可得/(x-1)=-/(x+1),所以/(x)=-/(x+2),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(尤)，所以4是/⑺的周期，故D正確.

故選：ABD.

4無(wú)一無(wú)2X>0

11.已知函數(shù)〃元)=L工'二’其中/(a)="6)=〃<?)=4,且a<6<c,則()

A./[/(-2)]=-32B.函數(shù)g(x)=〃x)T⑷有2個(gè)零點(diǎn)

C.a+b+cE4+log3-,4D.e(^Hog35,0)

【答案】BCD

【解析】/[/(-2)]=/(8)=-32,故A正確;

作出函數(shù)〃尤)的圖象如圖所示,

觀察可知，0<%<4,而〃/)e(O,4),

故y=〃x),y=/(2)有3個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

由對(duì)稱(chēng)性，b+c=4,而ajlogj。,。)，

ita+^+ce^4+log31,4^,故C正確；

b,c是方程彳2-4*+/1=0的根，故》c=4,

令3-"-1=2,則a=-log3(l+2),

故仍c=Tlog3(l+4),而y=4,y=log3(l+%)均為正數(shù)且在(0,4)上單調(diào)遞增，

^6zZ?ce(-41og35,0),故D正確，

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數(shù)〃尤)=ln(e2*-a)-x(xeR)為偶函數(shù)，貝1］"=.

【答案】-1

【解析】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(r)=f(x),即ln(e?—勾+彳=如伊_勾_尤,

即ln(l—ae~")—x=ln(e~*-a)-x,即1—ae?*=e2*—a,所以a=—1,

故答案為：-1

13.已知函數(shù)〃x)=|lg,,若〃a)=〃b)(a"),則當(dāng)20-3〃取得最小值時(shí)，y=_____.

b

【答案】log23

【解析】由得一lgQ=lg/=lgZ?,即勿?=1,令z=2"?3J

貝ljInz=a.In2+6.In322yJa-ln2-b-ln3=2Jin2.In3

當(dāng)且僅當(dāng)ali2=〃.ln3,即f=2|"=log23時(shí)，Inz取得最小值，此時(shí)z也取得最小值.

bm2

故答案為：log?3.

14.已知奇函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,/(x+3)=-/(-%),且〃2)=0,則“X)在［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最

小值為.

【答案】9

【解析】由〃X+3)=-〃T),可得〃尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)||,o］對(duì)稱(chēng)，

又了⑴是奇函數(shù)，所以〃x+3)=-〃-x)=〃x),

則〃x)的周期為3,所以〃0)=〃3)=〃6)=0,

〃5)="2)=0,〃4)=〃1)=〃—2)=—〃2)=0,

而/(1.5)=/(-1.5)=-/(1.5),則“1.5)="4.5)=0.

故/⑴在［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為9.

故答案為：9.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.(13分)

已知函數(shù)，(力=——x-2|+|x-2|.

⑴畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖象；

⑵求關(guān)于x的不等式的解集.

【解析】(1)由％2_%一2=0,角窣得尤=2或x=—1,

當(dāng)了22時(shí)，f(x)=x2-x-2+x-2=x2-4,

當(dāng)—1<%<2時(shí)，f(x)=-X2+x+2-x+2=4-x2,

22

當(dāng)xK-1時(shí)，/(x)=x-x-2-x+2=x-2xf

x2-4,x>2

所以/(x)=,4-X2,-1<X<2,(5分)

『-2x,%W-1

畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖所示.

(7分)

(2)法一：當(dāng)x22時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為X2-4WX+1,得2WxV小包；

2

當(dāng)—l<x<2時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為4-V4尤+1,得士巫V尤<2；(9分)

2

當(dāng)工?-1時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為％之一2%?一工一1,無(wú)解.

綜上，原不等式的解集為(13分)

法二：當(dāng)—+M解得-告名,

當(dāng)，4…M解得戶誓,

-1+V131+V21

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)〃力4卜+1|時(shí),-----------<x<----------(12分)

22

即原不等式的解集為(13分)

16.(15分)

已知二次函數(shù)/*)的最小值為T(mén),且關(guān)于X的不等式/(%)<0的解集為{x|-3<x<l,xeR}

(1)求函數(shù)Ax)的解析式；

(2)若函數(shù)g(無(wú))與Ax)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x>0時(shí)，g(x)的圖象恒在直線丫=履-4的上方，求

實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)锳x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式7(x)4。的解集為{x|-3VxVl,xeR},

所以/(%)=+3)(%—1),a>0,

所以當(dāng)九二—1時(shí)，/(%)1nhi=/(-1)=—4。=一4,所以，=1,

故函數(shù)f(x)的解析式為/(x)=(x+3)(x-1)=Y+2x-3.(6分)

(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)與/*)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)，

所以g(x)=/(-X)=X2-2X-3,

當(dāng)尤>0時(shí)，g(x)的圖象恒在直線丫=履-4的上方，

所以g(X>>辰-4,在(0,+8)上恒成立，

即尤2-2x-3>Ax-4,所以左<x+'-2,(9分)

X

令"(%)=%+工一2(%>0),貝|J%<領(lǐng)入焉，

X

因?yàn)榱Γㄡ埽?彳+,-2224%,-2=0（當(dāng)且僅當(dāng)x=L即x=l時(shí)，等號(hào)成立），

xVxx

所以實(shí)數(shù)左的取值范圍是（-8,0）.（15分）

17.（15分）

正安縣是中國(guó)白茶之鄉(xiāng).在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，用100℃的水泡制，

待茶水溫度降至60℃時(shí)，飲用口感最佳.某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置

時(shí)間，每隔Imin測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間/min012345

水溫/℃1009182.978.3772.5367.27

設(shè)茶水溫度從100℃經(jīng)過(guò)/n后溫度變?yōu)閥℃,現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：

=cx+/?（c<0,x>0）；

@y-cax+&（c>0,0<a<l,x>0）；

③y=log”（x+c）（a>l,c>0,x20）.

（1）從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；

（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到0.01）；

（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少.（參考數(shù)據(jù)：

lg3=0.477,lg5=0.699）

【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，

ca+i>=100c+b=100a=0.9

選模型②，則ca'+b=9l,即，ca+b=91,可得，b=10,

ca2+b=82.9ca2+b=82.9c=90

所以y=90x0.9*+10且xNO.（5分）

(2)令>=90*0.于+10=60,

所以泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為5.54min.（12分）

（3）由09e（0,l],即ye（10,100],所以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為10℃.（15分）

18.（17分）

已知函數(shù)y=o（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)尸m,6）成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是y=°（a+尤）-匕是奇函數(shù)，給定函

數(shù)/（了）=尤—.

X+1

⑴求函數(shù)“X）圖象的對(duì)稱(chēng)中心；

（2）判斷“尤）在區(qū)間（0,+8）上的單調(diào)性（只寫(xiě)出結(jié)論即可）；

（3）已知函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)于1）對(duì)稱(chēng),且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，8（X）=/一四+區(qū)若對(duì)任意而田0,2],總

存在X2e[l,5],使得g（xj=/（%）,求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【解析】（1）設(shè)函數(shù)“尤）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（“/），則/（a+x）+“a-x）-2匕=0,

艮[J（尤+°）---------F（一尤+a）-----------2Z?=0,

x+a+1—x+Q+1

整理得（Q-b）x2=（a-b）（a+1）2-6（a+1）,

（a-b=0,

可得+l）2-6（a+l）=0'解得一

所以〃元）的對(duì)稱(chēng)中心為（--I）.（4分）

（2）函數(shù)/（無(wú)）=x-一、在（。,內(nèi)）上單調(diào)遞增；

元+1

證明如下：

任取石，尤2e（0,+co）且占,

貝IJ/（再）一/（百）=占一一-9+—^7=（王一尤2）[1+----------,

xl+Jx2+1（芭+l）（x2+1）

1Ic

因?yàn)?￡（°，+8）且玉＜W，可得玉一%＜°且1+；----------＞0,

所以/（%）-/（々）＜。，即/（占）＜/（々），

所以函數(shù)〃彳）=尤-一與在（0,+8）上單調(diào)遞增.（8分）

X+1

（3）由對(duì)任意占€[0,2],總存在％e[1,5],使得g（尤1）=/（々），

可得函數(shù)g（x）的值域?yàn)椤癤）值域的子集，

由（2）知〃尤）在口,5]上單調(diào)遞增，故“尤）的值域?yàn)閇-2,4],

所以原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）在。2]上的值域Au[-2,4],（9分）

rrj

當(dāng)一W0時(shí)，即機(jī)＜。時(shí)，或光）在[0,1]單調(diào)遞增，

2

又由g⑴=1,即函數(shù)冢%）=f一如+根的圖象恒過(guò)對(duì)稱(chēng)中心（11）,

可知g（%）在（1,2]上亦單調(diào)遞增，故g（%）在[0,2]上單調(diào)遞增，

又因?yàn)間（0）=根，g（2）=2-g（0）=2-m,故4=即,2-汨，

因?yàn)閇私2-汨7[一2,4],所以機(jī)＞一2,2-m＜4,解得一24根40,

當(dāng)0＜晟＜1時(shí)，即0＜2時(shí)，g（x）在（0,§單調(diào)遞減，在（?1]單調(diào)遞增，（11分）

因?yàn)間(x)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心(1,1)，故g(x)在(L2-9遞增，在(2一5,2]單調(diào)遞減，

故此時(shí)A=[minjg(2),g1羨，,max|g(0),g12-1)},

欲使Au[-2,4],

^(2)=2—^(0)=2-m>-2g(0)=m<4

只需<mm2且,用mm2>(13分)

g(5)=--—+m>-2^(2--