2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題【十三大題型】含答案

2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)二次函數(shù)中的存在

性問(wèn)題【十三大題型】含答案

二次益熬中的布衣惚冏題【十三人題型】

------------------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

題型一二次函數(shù)中面積問(wèn)題的存在性問(wèn)題...............................................1

題型二二次函數(shù)中周長(zhǎng)最值的存在性問(wèn)題...............................................5

題型三二次函數(shù)中全等三角形的存在性問(wèn)題.............................................9

題型四二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題............................................13

題型五二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題............................................17

題型六二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題........................................21

題型七二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題............................................25

題型八二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題..................................................29

題型九二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題..................................................33

題型十二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題................................................37

題型十一二次函數(shù)中定值的存在性問(wèn)題................................................41

題型十二二次函數(shù)中角度問(wèn)題的存在性問(wèn)題............................................45

題型十三二次函數(shù)中線段問(wèn)題的存在性問(wèn)題............................................49

題型一二次函數(shù)中面積問(wèn)題的存在性問(wèn)題

1.（2024.山東濟(jì)寧?中考真題）已知二次函數(shù)y=aV+版+。的圖像經(jīng)過(guò)（0,一3）,（-fe,c）兩點(diǎn)，其中a,

b,c為常數(shù)，且ab>0.

⑴求a,c的值；

（2）若該二次函數(shù)的最小值是一4,且它的圖像與c軸交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與"軸交于點(diǎn)

C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

②如圖，在“軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作立軸的垂線，垂足為與直線AC交

于點(diǎn)、E,連接PC,CB,BE.是否存在點(diǎn)P,使?fàn)幙?稱？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，拋物線y=-x2+bx+c^x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于

點(diǎn)。，其中B(l,0),C(0,3).

⑴求拋物線的解析式.

(2)在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△力PC的面積最大.若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)

和△APC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

3.（23-24九年級(jí)?云南臨滄?期末）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)0=a"+普①+c的圖像

與4軸交于點(diǎn)B（O,4）,與比軸交于點(diǎn)4-1,0）和點(diǎn)D

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求拋物線的頂點(diǎn)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得△BOP的面積等于如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)？如果不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

X

4.（2024?山東煙臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—J靖+若1?C+等（g＞（））與

Z/乙

C軸交于4—1,0）,80,0）兩點(diǎn)，與u軸交于點(diǎn)C,并且00=204連接BC.

⑴求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸是直線8C上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得△尸OC的面積等于△B48面積的

工？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

15

⑶過(guò)點(diǎn)。作CD〃力軸交拋物線于點(diǎn)。，在4軸上是否存在點(diǎn)P,使得APAB=2NDAB?若存在，請(qǐng)

直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型二二次函數(shù)中周長(zhǎng)最值的存在性問(wèn)題

5.(23—24九年級(jí)?重慶?期末)如圖，拋物線y=〃—2①—3與多軸交于人、8兩點(diǎn)，與"軸交于點(diǎn)C,連

接入C,BC.

(1)求△ABC的面積；

⑵直線y=2刀—3與拋物線交于點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使△尸AD的周長(zhǎng)最??？

如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo);如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

?M

6.（23-24九年級(jí)?江蘇南通?假期作業(yè)）如圖拋物線y=-x2+bx+c^x軸交于4（1,0），8（—3,0）兩點(diǎn).

（2）設(shè)（1）中的拋物線交,軸于。點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)河，使得的周長(zhǎng)最??？

若存在，求出雙點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.（23-24九年級(jí)?四川德陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在7軸上，點(diǎn)。在夕軸

上，且OB=0（7=3,OA=OD=1,拋物線y=ax2+bx+c（a片0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋

物線交于另一點(diǎn)河.

（2）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N,使得△ANC的周長(zhǎng)最小,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線下方一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段PE的長(zhǎng)度最大時(shí),請(qǐng)求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)和AAMP面積的最大值.

8.(23-24九年級(jí)?廣西南寧?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)71(0,5)

和8(1,12).

(1)求拋物線的解析式

(2)①求出當(dāng)—64①W2時(shí)，9的最大值和最小值；

②如圖,拋物線夕=a*?+故+c與多軸的左側(cè)交點(diǎn)為。，作直線AC,D為直線AC下方拋物線上一動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E，OC于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)F,作。河，AC于點(diǎn)M.是否存在點(diǎn)D，使4DMF的

周長(zhǎng)最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型三二次函數(shù)中全等三角形的存在性問(wèn)題

9.（2024?陜西渭南二模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)0=—J/+2+4的圖象與①軸交于4、

口兩點(diǎn)（4在8的左側(cè)），其頂點(diǎn)為P,對(duì)稱軸與立軸交于點(diǎn)H.

（1）求點(diǎn)A、P的坐標(biāo)；

（2）連接A尸，點(diǎn)。是該二次函數(shù)圖象第四象限上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作①軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是工軸上一

點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)。、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△?!?以全等？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐

標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

?M

10.(2024.陜西咸陽(yáng)?二模)已知拋物線L：u=/+3c—4與U軸交于點(diǎn)4拋物線□與L關(guān)于比軸對(duì)稱.

(1)求拋物線，的函數(shù)表達(dá)式；

(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B是n軸正半軸上一點(diǎn)，03=04點(diǎn)。是比軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是第二象

限拋物線。上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP,BP,是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)O,為頂點(diǎn)的三角形與△OP8全等？

若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.（2024?甘肅隴南?一模）如圖，拋物線y=ax11—2x+cx軸交于71（-1,0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C(0,-3).

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)—1＜小＜3時(shí),直接寫(xiě)出n的取值范圍；

（3）拋物線的對(duì)稱軸與rc軸交于點(diǎn)7，點(diǎn)D坐標(biāo)為（2,3）,試問(wèn)在該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使4ABP

與LABD全等？若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.（2024.陜西咸陽(yáng).三模）如圖,拋物線0=—2工+3與立軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C,對(duì)稱

軸為直線Z,Z交力軸于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)A、8、。的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM_Ly軸于點(diǎn)河，點(diǎn)N在y軸上，且點(diǎn)N在點(diǎn)河上方,是否存

在這樣的點(diǎn)P、N,使得以點(diǎn)尸、Af、N為頂點(diǎn)的三角形與△8CD全等,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、N的坐

標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

，朋■二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題

13.（2024.云南楚雄.模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線,=加2+般+。3片0）與2；軸交于點(diǎn)4一3,0）,B（l,0）,與沙

軸交于點(diǎn)。（0,3）,其對(duì)稱軸與t軸交于點(diǎn)H.

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使/XPHC是等腰三角形？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若河是線段04上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O,A重合）,連接AC,過(guò)點(diǎn)M作DM±x軸，交拋物線于點(diǎn)。，

交47于點(diǎn)E,在點(diǎn)v的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在線段。E=CE?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo);若不

存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線w:y=ax2+bx—3(Q、b為常數(shù)，且aW0)與力軸交于點(diǎn)A(—1,0),

8⑶0),與g軸交于點(diǎn)C,將拋物線w向右平移一個(gè)單位得到拋物線w，；

y

AOB%

c-

⑴求拋物線"的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接AC,探究拋物線心的對(duì)稱軸直線Z上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、。、P為頂點(diǎn)的三角形是等

腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(2024.云南.模擬預(yù)測(cè))已知拋物線y=-x2+bx+c(b,c是常數(shù))的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(l,4)，與9軸交于點(diǎn)

B.

⑴求b,c的值；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得4ABp是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不

存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.（2024?西藏日喀貝ij?一模）如圖，二次函數(shù),=d+就+。的圖象與x軸交于4（—1,0）、8（3,0）兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,D為拋物線的頂點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

（2）求的面積；

（3）在拋物線對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)P,使P,B,C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)

P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型五二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題

17.（2024.甘肅酒泉.二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)"=ax2+bx+c的圖象與立軸交于點(diǎn)

/（—1,0）和點(diǎn)8（3,0）兩點(diǎn),與夕軸交于點(diǎn)。（0,3）.點(diǎn)。為直線8。上的一動(dòng)點(diǎn).

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上時(shí)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)。作DP//AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P,連接PA,

PB,記/\PAD與4PBD的面積和為S,當(dāng)S取得最大值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2,是否存在點(diǎn)0,使得以A,為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

18.（2024.湖南邵陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）如果二次函數(shù)仍的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)為0的圖象上，同時(shí)二次函數(shù)

統(tǒng)的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)功的圖象上,那么我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”.

22

（1）若二次函數(shù)%=x-2x-3與二次函數(shù)y2=-x+bx-7互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)"，則b=.

（2）如圖，已知二次函數(shù)的=13+1＞一2的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)P是力軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

二次函數(shù)功的圖象繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)新的二次函數(shù)他的圖象,旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)函數(shù)互為''頂

點(diǎn)相容函數(shù)”，且紡的圖象的頂點(diǎn)為N.

①求二次函數(shù)為的解析式；

②點(diǎn)Q為y軸上一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)Q,使得4MNQ為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不

存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(2024?四川巴中?一模)已知，點(diǎn)4(—2,0),點(diǎn)8(8,0),點(diǎn)。(0⑷，拋物線夕=萩+辰+。過(guò)人，8,C三

點(diǎn).點(diǎn)P在該拋物線上.

⑴求拋物線的解析式；

(2)若ACAP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)/CAP=45°時(shí)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)“，使△P8M為直角三角形.若存在請(qǐng)求

出點(diǎn)河的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（2024.山東淄博.模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)夕="+辰+。經(jīng)過(guò)人，口兩點(diǎn)，3。_12：軸于點(diǎn)。,且

點(diǎn)A(—1,0),C(4,0),AC=BC.

⑴求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與/,B重合）,過(guò)點(diǎn)E作t軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F,當(dāng)線段EF的

長(zhǎng)度最大時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo)及SMBF；

（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使成為直角三角形？若存在，

求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

題型六二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題

21.（2024.遼寧阜新.一模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線夕=必+4與rr軸，“軸分別交于點(diǎn)A,拋物

線y=-x2+bx+c過(guò)點(diǎn)71和點(diǎn)。，與比軸交于點(diǎn)B.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）拋物線對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)。，若P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C

重合），求△B4O面積的最大值；

（3）點(diǎn)河是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，c軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得△4W是以AN為直

角邊的等腰直角三角形;若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（2024春.山西陽(yáng)泉.九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究:在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=。d+阮—2與力

軸交于點(diǎn)4—1,0）和點(diǎn)8（4,0）,與沙軸交于點(diǎn)。，過(guò)動(dòng)點(diǎn)。（0,?。┳髌叫杏谔镙S的直線Z,直線Z與拋

物線y=a/+ba；—2相交于點(diǎn)E,F.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）求m的取值范圍；

（3）直線，上是否存在一點(diǎn)P,使得△BCP是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求山的值;

若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.(2024.新疆昌吉.模擬預(yù)測(cè))［建立模型］(1)如圖1,在等腰直角三角形ABC中，=90°,AC=

BC,直線小經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，分別過(guò)點(diǎn)A,B作直線小的垂線，垂足分別為點(diǎn)。，E.求證：△ACDn

△CBE；

【類(lèi)比遷移］(2)如圖2,在△ABC中，乙4cB=90°,AC=BC,4B與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)、C的坐標(biāo)為

(0,-4),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,0),求8,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

【拓展延伸］(3)如圖延拋物線y=^-x2-2x-6^x軸交于點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(6,0),與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)使是以尸河為斜邊的等腰直角三

角形？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)河的坐標(biāo)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.（2024春?福建漳州?九年級(jí)校考期中）如圖①，已知拋物線y=ax'2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)3（1,0）,與y

軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸為直線Z：①=2,過(guò)點(diǎn)A作AC//x軸交拋物線于點(diǎn)C,AAOB的角平分線交線

段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)其橫坐標(biāo)為m.

/I

、B?

圖①圖②備用圖

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連接PE、PO,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并

求出其最大值；

（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸，上的一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)尸使竹。尸成為以點(diǎn)P為直角

頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型七二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題

25.（2024.山東.模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線夕=a/+W+c交工軸于點(diǎn)A、交"

軸于點(diǎn)C.連接BC、4C.已知4—l,0）,B（5,0）,tan/BCO=2.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)。為線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接B。、CD.連接分別交"軸與于點(diǎn)

E、F.當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí),求直線AD的表達(dá)式及此時(shí)ABEF的面積；

（3）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸x=m上是否存在

點(diǎn)Q,使得四邊形CDPQ為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出平行四邊形CDPQ的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)

明理由.

???

26.（23-24九年級(jí)?四川瀘州?期中）如圖,拋物線夕=a/+般+。與t軸分別交于點(diǎn)4（—1,0）、8（3,0）,

與沙軸交于點(diǎn)。（0,3）.

（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；

（2）若其頂點(diǎn)為。，設(shè)點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸,上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且與直線

CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F,使得以B,C,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形？若存在，求出E點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（0,—5）,0（—4,0）,以O(shè)C,OA為邊作矩形

點(diǎn)。（―等,—5）為邊上一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD折疊，點(diǎn)B恰好落在。4邊上的點(diǎn)E

處.

（1）求經(jīng)過(guò)O,。,。三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）求四邊形CDEO的面積；

（3）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿C8以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿

EC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為力

秒，當(dāng)力為何值時(shí)，DP=DQ；

（4）若點(diǎn)N在（2）中的拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)河在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)“與點(diǎn)N,使得以河,

N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

28.（23-24九年級(jí)?吉林?階段練習(xí)）如圖,拋物線y=ax2+bx+c（a#O）與土軸交于4B兩點(diǎn)，與夕軸交

于點(diǎn)C,且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為/（—2,0）、3（4,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,6）.點(diǎn)D是拋物線第一象限上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（0Vm<4）,連接8。、DC、DB.

⑴求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)四邊形8OCD的面積最大時(shí)，求皿的值；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)河是宓軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)河,

使得以點(diǎn)8、。、“、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出占河的坐標(biāo);若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型八二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題

29.（23-24九年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)入⑶0）,口

（0,-3）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作2軸的垂線交拋物線于點(diǎn)河、交力軸于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)為i；

（1）分別求直線48和這條拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在第四象限，若RW=ON,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)。是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)/在第四象限時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)使得以4、。、3、

M為頂點(diǎn)組成的以48為邊的矩形？若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.（2024春?廣東江門(mén)?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-2（a#0）

交比軸于4—1,0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸為2=1.5,

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接P8,過(guò)點(diǎn)。作CQ〃交c軸于點(diǎn)Q,連接PQ,求APBQ面

積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下,將拋物線沙=a"+牧—2（a￥0）向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,得到新拋物線,點(diǎn)E在新拋

物線的對(duì)稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點(diǎn)尸，使得以A、P、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直

接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

31.（2024.山東東營(yíng).東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€沙=?！?辰—4（a￥0）交工軸于點(diǎn)

/(4,0)和點(diǎn)8(—2,0),交y軸于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作立軸、9軸的平行線,交直線AC于

點(diǎn)。，交力軸于點(diǎn)E,當(dāng)+PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD+PE最大值.

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)河，對(duì)于平面內(nèi)任意點(diǎn)N,使得以A、C、河、N為頂點(diǎn)且47為一條邊的四

邊形為矩形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出M、N的坐標(biāo)，不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

32.（2024春.內(nèi)蒙古通遼.九年級(jí)?？计谥校┤鐖D,拋物線y=a爐+辰+3交力軸于人⑶。）,例—1,0）兩點(diǎn),

交4軸于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸.

（2）若R為第一象限內(nèi)拋物線上點(diǎn),滿足SQRAC=y皿,求R的坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P使得4、C、P、

Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

題型九二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題

33.（2024.廣東珠海.三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在"軸負(fù)半軸上.

(1)如圖1,已知點(diǎn)0(0,0),B(—1,—1),C(l,m)在拋物線上y=a62(a￥0)，則a=；m=

（2）在⑴的條件下，若點(diǎn)D在拋物線上，且AD〃力軸,是否存在四邊形ABCD為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2,已知正方形4BCD的頂點(diǎn)8,。在二次函數(shù)4=a/（a為常數(shù)，且a<0）的圖象上，點(diǎn)。在

點(diǎn)口的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)8,。的橫坐標(biāo)分別為小，71,請(qǐng)求出小，"滿足的數(shù)量關(guān)系.

???

34.（2024-山東東營(yíng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線"=^￡2+22；—6與工軸交于人，口兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)口的左

側(cè)）,與9軸交于點(diǎn)C,連接

（1）求出直線AC,的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)P是直線4。下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線Z,交線段AC于點(diǎn)D.在直線I

上是否存在點(diǎn)及使得以點(diǎn)。，C,B,E為頂前的四邊形為菱形,若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

35.（2024.吉林長(zhǎng)春.二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A,B在宓軸上，拋物

^y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)0（-4,5）兩點(diǎn)，且與直線。。交于另一點(diǎn)E.

⑴求拋物線的解析式；

（2）斤為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q,斤，E,8為頂點(diǎn)的四

邊形是以BE、BF或EB、EF邊的菱形.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶P為y軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為河，連接ME,BP,探究EM+MP+PB

是否存在最小值.若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

36.（2024?海南?？?二模）如圖，拋物線與x軸交于4—2,0）、3（4,0）兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)0（0,4），點(diǎn)P是

拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線8C的上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AP,交直線于點(diǎn)。，交,軸于點(diǎn)及

①若4ABD的面積是△P8D面積的3倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)CD=CE時(shí)，求CE的長(zhǎng).

（3）過(guò)點(diǎn)P作PFV/4軸交直線于點(diǎn)斤，在9軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以P、F、C、Q為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形，若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型十二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題

37.（23-24九年級(jí)?江蘇鹽城?期末）如圖，已知拋物線y=x2+2x-3的圖像與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C

三點(diǎn)，連接AC,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交力軸于點(diǎn)尸，作直線尸

⑴直接寫(xiě)出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：F,M；

（2）若點(diǎn)P為直線下方拋物線上動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ〃夕軸，交直線于點(diǎn)Q,當(dāng)△尸QAf為直角

三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)N是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)F、M、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是正

方形？若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo):若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

38.（2024?陜西?一模）如圖,拋物線"二十〃—］；］；—3的對(duì)稱軸，與多軸交于點(diǎn)4與夕軸交于點(diǎn)8.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）。為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為點(diǎn)。關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)。的左側(cè)），點(diǎn)“在坐標(biāo)

平面內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)。，使得四邊形ACMD是正方形？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不

存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

39,（23-24九年級(jí)?陜西西安?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（4,2）,連接OA,將線段

OA繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B.

（1）求經(jīng)過(guò)B,QA三點(diǎn)的拋物線力的表達(dá)式；

（2）將拋物線L沿著x軸平移到拋物線L',在拋物線，上是否存在點(diǎn)。，使得以B,O,A,D為頂點(diǎn)的四

邊形為正方形，若存在，求平移的方式.若不存在，說(shuō)明理由.

???

40.(23-24九年級(jí).北京.期末)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線4=姐2+辰+。交步軸于A(-3,0),

8(4,0),交y軸于點(diǎn)C(O,4).

備用圖

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)直線0=為+告與拋物線交于4。兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)E.若點(diǎn)M(m,0)是線段45上的

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)F，交直線AD于點(diǎn)G,交直線8C于點(diǎn)H.

①當(dāng)S八，S'AAOB時(shí)，求小的值；

②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使四邊形EFHP為正方形？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明

理由.

題型十一二次函數(shù)中定值的存在性問(wèn)題

41.(2024.山東淄博?一模)已知拋物線y=a/+be—3(a￥0)與2軸交于點(diǎn)A(-l,0)，點(diǎn)5(3,0)，與y軸交

于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，若直線8C下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)河，過(guò)點(diǎn)河作“軸平行線交8C于N,過(guò)點(diǎn)河作8。的

垂線,垂足為H,求△/WN周長(zhǎng)的最大值；

(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)Q在①軸上，是否存在以C,尸，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形，若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位,得到一個(gè)新的拋物線，問(wèn)在y軸正半軸上是否

存在一點(diǎn)F,使得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的任意一條直線與新拋物線交于S,T兩點(diǎn)時(shí)，總有工+。為定

FS2FT2

值？若存在，求出點(diǎn)F坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

42.（23—24九年級(jí).湖北武漢.期末）拋物線"ngd+E+c與2軸交于A,口兩點(diǎn)（人點(diǎn)在8點(diǎn)的左

邊），點(diǎn)4—2,0）,M（6,8）在拋物線上.

（1）填空：b=，c=,點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）如圖1,在拋物線上存在一點(diǎn)N,使S43N=SgMN，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2,點(diǎn)。是c軸下方的拋物線上任意一點(diǎn)，。是線段AB上的一個(gè)定點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)重

合），過(guò)點(diǎn)。作“軸的平行線與射線BC,AC分別交于E，尸兩點(diǎn)，若OE+5DF為定值，求票的值.

43.（2024.福建龍巖.二模）已知拋物線y=x,2+（a—l）a?+a—2.

（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,該拋物線都會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）當(dāng)a=—1時(shí),該拋物線與①軸交于點(diǎn)A,3（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

①如圖（1），若點(diǎn)P是①軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|P。一取最大值時(shí),求4PBD的面積；

②小聰研究發(fā)現(xiàn):如圖（2）,E,9是拋物線上異于8,。的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線CE與直線6斤的交點(diǎn)始

終在直線y=2x-9上，那么在直線EF存在點(diǎn)Q,使得△QCE,/\QAC,尸中必存在定值的三角

形，請(qǐng)直接寫(xiě)出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由.

44.（2024?廣東?一模）綜合應(yīng)用.

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)U=一1■靖+9+2的圖象與①軸交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)A

OO

在點(diǎn)B的左側(cè)），與0軸交于點(diǎn)。，連接BC.

（1）求A,。三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使ZFCB=NABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P

的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2,作出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸直線/,交2軸于點(diǎn)O.若點(diǎn)雙是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且

點(diǎn)M始終位于x軸上方，作直線4W,,分別交，于點(diǎn)E,尸，在點(diǎn)7W的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，。E+DF1的值

是否為定值？若是,請(qǐng)直接寫(xiě)出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型十二二次函數(shù)中角度問(wèn)題的存在性問(wèn)題

45.（2024?云南紅河?一模）已知拋物線夕=—近+c,經(jīng)過(guò)點(diǎn)（—2,2）和點(diǎn)（0,2）,拋物線上有一個(gè)點(diǎn)

4它的橫坐標(biāo)為一4.

⑴求此拋物線的解析式；

⑵求。4的長(zhǎng)；

（3）若點(diǎn)P是多軸上方、"軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使NPOA=45°?如果

存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

46.（2024.山東濟(jì)南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線g=一_|_力+c與力軸交于4（—3,0）,B兩點(diǎn)，與g軸交于

O

點(diǎn)。（0,4）,點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）連接AC,當(dāng)ACEA=90°時(shí),求所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo).

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得NACE=45°?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)

說(shuō)明理由.

47.(2024春.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，直線y=—尤+3與/軸、"軸分別交于R、C兩點(diǎn)，拋

物線9n—d+bc+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)_B、。，與t軸另一交點(diǎn)為頂點(diǎn)為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)使ZWBC的面積為27?若存在，求出“點(diǎn)坐標(biāo);若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得NAPB=ZOCB?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

48.(2024.重慶開(kāi)州.模擬預(yù)測(cè))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=ax-+ba;+2與尤軸交于

/(—2,0),8(4,0)兩點(diǎn),與4軸交于點(diǎn)C,連接8C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1：P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接求四邊形PBOC面積的最大值以及此

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將拋物線沿射線AC的方向平移2V2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線yi,Q為新拋物線以上一

動(dòng)點(diǎn),作直線8Q交/。所在的直線于點(diǎn)是否存在點(diǎn)Q滿足條件乙4OB+AABC=/CAB,若存

在,請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái).

題型十三二次函數(shù)中線段問(wèn)題的存在性問(wèn)題

49.(2024春?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?九年級(jí)?？计谥?如圖1,拋物線"=a/+版+c(a￥0)與c軸交于

4(—8,0),。(2,0)兩點(diǎn)，與4軸交于點(diǎn)0(0,4).點(diǎn)E是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的橫

坐標(biāo)為n,過(guò)點(diǎn)E作直線EB^x軸于點(diǎn)8,作直線AD交EB于點(diǎn)F.

⑴求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)/\EFD是以FD為底邊的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶如圖2,連接CD,過(guò)點(diǎn)E作直線2〃CD,交沙軸于點(diǎn)H,連接8區(qū)試探究:在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,

是否存在點(diǎn)E,使得FD=,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

?M

50.（23-24九年級(jí)?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）如圖1,拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A（—1,0）,8（2,0），

C(0,2)三點(diǎn).

⑴求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線8c上方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PB、PC,求/XPBC面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

（3）如圖2,在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)河，使的值最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo),

若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

51.(2024?安徽合肥?二模)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a￥0)的圖象過(guò)4(—1,0),5(3,0),(7(0,-3)三

點(diǎn)，點(diǎn)。是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是直線X=gm與X軸交于點(diǎn)E,且0cm<3.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵過(guò)點(diǎn)。，作直線力=得小于點(diǎn)G,作。F4軸于點(diǎn)尸，并交于點(diǎn)

①當(dāng)館時(shí)，求。H的長(zhǎng)；

②是否存在點(diǎn)使。G+OH最大？若存在，求出。點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

52.(2024.寧夏銀川.模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線0+比+c與直線AR交于點(diǎn)

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖①，若點(diǎn)H是拋物線的頂點(diǎn),在7軸上存在一點(diǎn)G,使4AHG的周長(zhǎng)最小，求此時(shí)點(diǎn)G的坐

標(biāo).

(3)如圖②，點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸M交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作歹

軸的平行線交x軸于點(diǎn)N,求V2PM+尸N的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

2次看微中始感芥哪冏4a十具人題型】

LZEJ

題型一二次函數(shù)中面積問(wèn)題的存在性問(wèn)題...........................................1

題型二二次函敷中周長(zhǎng)最值的存底性問(wèn)題...........................................7

題型三二次函教中金等三角形的存在性問(wèn)題........................................12

題型四二次函數(shù)中等腰三雋形的存在性問(wèn)題........................................17

題型五二次函數(shù)中直角三角好的存在性問(wèn)題........................................21

題型六二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題....................................28

題型七二次函數(shù)中平行四邊好的存在性問(wèn)題........................................36

題型八二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題..............................................44

題型九二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題..............................................51

題型十二次函敷中正方形的唐■在性問(wèn)題............................................59

題型十一二次函數(shù)中定值的唐■在性問(wèn)題............................................67

題型十二二次由數(shù)中角度問(wèn)題的存在性問(wèn)題........................................75

題型十三二次函數(shù)中線段問(wèn)題的存在性問(wèn)題........................................82

題型一二次函數(shù)中面積問(wèn)題的存在性問(wèn)題

1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）已知二次函數(shù)gnaV+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)（0,—3）,（―b,c）兩點(diǎn)，其中a,

b,c為常數(shù)，且ab>0.

⑴求a,c的值；

（2）若該二次函數(shù)的最小值是一4,且它的圖像與立軸交于點(diǎn)A,8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與夕軸交于點(diǎn)

C.

①求該二次函數(shù)的解析式,并直接寫(xiě)出點(diǎn)4,8的坐標(biāo)；

②如圖，在0軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作①軸的垂線，垂足為與直線AC交

于氤E,連接PC,CB,BE.是否存在點(diǎn)P,使愛(ài)喀=~!?若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴a=1,c=—3

（2）①該二次函數(shù)的解析式為："=,2+2,-3;4（-3,0）,5（1,0）

②存在，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：-3丁或-3-^3或-3-^

【詳解】(1)解：:g=版+c的圖像經(jīng)過(guò)(0,—3),

:.c=-3,

/.(0,—3)和(―b,c)關(guān)于對(duì)稱軸x——，-對(duì)稱，

.0—6___b

-2一百

TbW0,

：.a=l,

a=1,c=-3.

(2)解:①Ta=1,c=—3,

：.y=x2-\-bx—3,

.._—12—b2_/

?g最小值—4—.4,

???解得b=±2,

Tab>0,且a>0,

：.b>Qf

.*.6=2,

該二次函數(shù)的解析式為：g="+2力—3,

當(dāng)g=0時(shí)，/+2i—3=0,

解得Xi=-3，12=1,

AA(-3,0),B(l,0).

②設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y—kxx+瓦,

則仇=。,解得上u,

〔仇=一31句=一3

直線AC的表達(dá)式為：y——x—3,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)4右側(cè)時(shí)，作CF_LFO于尸，如圖所示：

設(shè)_P(7n,?n2+2m,-3)(—3V?nV0),則E(rrt,—m—3),Z)(m,0),

則PE=(—m—3)—(m2+2m-3)=—m2—3m,

CF=0—m=-m,

22

S^pCE=-PE?CF=(—m—3m)?(—m)=^-m(m+3m),

,/AB=1—(—3)=4,OC—3,DE=—(—m—3)4-3,

SMBE=^^ABC-S.BE

=yABxOC-yxABxDE

=XX4x3-yX4X(m+3)

——2m,

,,S"CE_3

S^CBE8'

ym(m2+3m)3

■■-2m—~89

臺(tái)刀/日—3+V3-3—V3

用半付:mi=-----------,m=-------------

222

.??點(diǎn)P橫坐標(biāo)為-3丁或-3丁.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作CF_LPO于F,如圖所示：

設(shè)P(m,m2+2m—3)(m<—3),則E(m,—m—3),D(m,O),

則PE—(m2+2m—3)—(—m—3)=m2+3m,

CF=0—m=-E)

:.S"CE=1tPE-CF=^(m2-\-3m)?(—m)=--^-m(m2+3m),

???AB=1—(—3)=4,OC=3,DE=-m—3,

S^CBE-SMBC+S^ABE

=yABxOC+xABxDE

=yX4x3+yx4x(-m-3)

=—2m,

..S.CE_3