2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：特殊三角形（13類重點(diǎn)考向）（解析版）

專題15特殊三角形

目錄一覽

知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）

中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定

A考向二三角形的內(nèi)角和

A考向三全等三角形的判定與性質(zhì)

A考向四含30。角的直角三角形

A考向五直角三角形斜邊上的中線

A考向六勾股定理

A考向七勾股定理的證明

A考向八勾股數(shù)

A考向九勾股定理的應(yīng)用

A考向十勾股定理一最短路徑問題

A考向十一等腰直角三角形

A考向十二三角形中位線定理

A考向十三三角形的綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）

知識(shí)目標(biāo)

1.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、

中線及頂角平分線互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；

2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60。，及等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的

三角形（或有一個(gè)角是60。的等腰三角形）是等邊三角形.

3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形;

4.探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

3中考解密

該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)

2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質(zhì)、三

角形全等、三角形內(nèi)外角性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考察，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且

會(huì)靈活運(yùn)用.在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定,這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。

也重點(diǎn)考向

A考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸.

2.等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

b

4.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,則一＜a.

2

]80°—NA

5.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為NB、/C,則/A=18012/B,/B=/C=-------------.

2

6.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等

關(guān)系的重要依據(jù).

7.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形.

1.（2023?河北）四邊形ABC。的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)AABC

為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）

【思路點(diǎn)撥】分兩種情況，由三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊的和大于第三邊，即可解決問題.

【規(guī)范解答】解：:△ABC為等腰三角形，

：.AB=AC^,AC=BC,

當(dāng)AC=BC=4時(shí)，AD+C￡）=AC=4,此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系定理，

當(dāng)AC=4B=3時(shí).滿足三角形三邊關(guān)系定理，

：.AC=3.

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理.

2.（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分AABC是等腰三角形，AB=AC,AF：BF=3：4,點(diǎn)

G、H、尸分別是邊AB、AC、的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗戶

框的材料總長(zhǎng)為16米（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)米，8E=y米.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)尤為多少時(shí)，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)AF：BF=3：4即可

求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出A8的長(zhǎng)，AC的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半求出尸G、尸H的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出ED=8C=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米,最后根據(jù)制造

窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米列出方程即可得到y(tǒng)與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)窗戶的面積等于AABC的面積加上矩形BCDE的面積計(jì)算，再根據(jù)配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐

標(biāo)即可.

【規(guī)范解答】解：（1）??.△ABC是等腰三角形，尸是BC的中點(diǎn)，

：.BF=CF,AF±BC,AB=AC,

,:BF=x（米），

CF=x（米），BC=2BF=2x（米），

VAF：BF=3：4,

AF^yx（米），

4

在RtA4尸B中，由勾股定理得AB=VAF2+BF2=J（*X）2+X2=/X（米），

*'-AC=AB=7-X（米）,

4

:點(diǎn)G、H分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，ZAFB=ZAFC=9O°,

FG=4-AB=-|-X（米），F(xiàn)H=4-AC=f-x（米）,

ZoZo

?..四邊形8C0E是矩形，

：.ED=BC=2x（米），BE=CD=y（米），

"：BE//IJ//MN//CD,

：.BE=IJ=MN=CD=y（米），

???制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米，

：.AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16（米），

喘x爭(zhēng)得x得x++2x+2x+4y=l￡，

整理得y=-^x+4；

O

x>0

由題意得?-^■x+4〉0

O

解得0<x〈普

⑵；SaABC寺、州卷2亭玉2,S矩形BCDE=BC?BE=2X?17八172c

Tx+4）=^-^-x+8x，

設(shè)窗戶的面積為W平方米，

貝IW=S^ABC+S矩形8CQE

32172.

=-X+8x

7,8.232

有最大值,

當(dāng)萼米時(shí)，卬最大，最大值為絲平方米.

77

【真題點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)材料總長(zhǎng)用含X的式

子表示y,從而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求最大值是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?濰坊）如圖，在AABC中，C。平分NACB,AE±CD,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E/〃8C,交AC

于點(diǎn)RG為BC的中點(diǎn)，連接EG.求證：FG^^AB.

2

【思路點(diǎn)撥】由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得NACO=NbEC,即可證明EF=CF,再利用直角

三角形的性質(zhì)可證明即可得Gb是△ABC的中位線，進(jìn)而可證明結(jié)論.

【規(guī)范解答】證明：???CO平分NAC3,

???NACD=NBCD,

■:EF//BC,

:?/FEC=NBCD,

：.ZACD=ZFEC,

：.EF=CF,

VAEXCD,

???NARM90。，

：.ZEAC^-ZACD=90°,ZAEF+ZFEC=90°,

：.ZEAC=ZAEF,

：.AF=EF,

:.AF=CF9

???G是8C的中點(diǎn)，

???G尸是△A5C的中位線，

：.FG^—AB.

2

【真題點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，

三角形的中位線等知識(shí)的綜合運(yùn)用，證明G尸是△A3C的中位線是解題的關(guān)鍵.

A考向二三角形的內(nèi)角和

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).

2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸.

3.等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60。，無論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形.

5.等腰（等邊）三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底

邊上的高重合.

4.（2023?綿陽）如圖，在等邊A48C中，8。是AC邊上的中線，延長(zhǎng)8C至點(diǎn)E,使CE=CD,若DE=4\/應(yīng)，

則AB=(

【思路點(diǎn)撥】先由等邊三角形的性質(zhì)，WBDLAC,AD=CD=^AC,ZABD=ZCBD=30°,再根據(jù)CE

2

=CD,得NE=NCDE,進(jìn)而得/CBO=/E=30。，則然后在RtAAB。中，由勾股定

理求出AB即可.

【規(guī)范解答】解：：△ABC為等邊三角形，

.*.AC=AC=BC,ZABC^ZACB=60°,

;瓦）是AC邊上的中線，

：.BD±AC,AD=CD=—AC,ZABD=ZCBD=30°,

2

：.AB=2AD,

,:CE=CD,

：.ZE=ZCDE,

ZACB=ZE+ZCDE=2ZE,

，60。=2NE,

：.ZE=30°,

NC2O=NE=30。，

：.BD=DE=4-J3>

在RtA48O中，由勾股定理得：AB2-AD^^BD1,

即（2A￡））2-4）2=（4我）2,

解得：A￡>=4,

：.AB=2AD=S.

故選：C.

【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握等

邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2023?涼山州）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動(dòng)，若

OM1ON,則OC的最大值是l+、n.

【思路點(diǎn)撥】取AB的中點(diǎn)。，連接。。及OC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到0C小于等于OD+DC,只

有當(dāng)。、。及C共線時(shí)，0C取得最大值，最大值為O0+CD由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,根據(jù)。為A3

中點(diǎn)，得到BD為1,根據(jù)三線合一得到C。垂直于A2,在直角三角形28中，根據(jù)勾股定理求出C。

的長(zhǎng)，在直角三角形A02中，?！辏緸樾边吷系闹芯€，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

可得。。等于的一半，由A2的長(zhǎng)求出。。的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC+O。，即為0C的最大值.

【規(guī)范解答】解：取中點(diǎn)。，連。。，DC,

當(dāng)。、D、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OO+C。，

;△ABC為等邊三角形，。為AB中點(diǎn)，

：.BD=1,BC=2,

22

，CD=VBC-BD=如'

???△AOB為直角三角形，￡＞為斜邊AB的中點(diǎn)，

：.OD=^AB=1,

2

：.OD+CD=1+43＞即OC的最大值為1+百.

故答案為：1+J^.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理,

其中找出OC最大時(shí)的長(zhǎng)為CD+。。是解本題的關(guān)鍵.

6.（2023?雅安）如圖，四邊形ABC。中，AB=AD,BC=DC,ZC=60°,AE〃C。交8C于點(diǎn)E,BC=8,

AE=6,則AB的長(zhǎng)為2\[7.

A

【思路點(diǎn)撥】連接AC、BD交于點(diǎn)、O,過點(diǎn)E作EFLAC,交AC于點(diǎn)凡先證明△BC。是等邊三角形，

AC垂直平分BD,求得NEAC=ZACD=ZACB=30°,AE=EC=6,再解三角形求出AO=AC-C0=2?,

最后運(yùn)用勾股定理求得AB即可.

【規(guī)范解答】解：如圖：連接AC、2。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)“作EPLAC,交AC于點(diǎn)R

又,：BC=DC,NC=60。，

是等邊三角形，

:.BD=BC=CD=8,

"：AB=AD,BC=DC,

：.AC±BD,BO=DO=1BD=4,

2

ZACD=ZACB=1-ZBCD^3O°,

2

又：AE〃C。，

：.ZEAC=ZACD=ZACB=3Q°.

：.AE=EC=6,

過點(diǎn)E作所L4C,交AC于點(diǎn)R

?,.CF-CE?cos300-6x近二3?,

2

AL?cos30。=6x近=3?,

2

CO=5C?cos300=8x近二4百，

2

CF+AF=673>

：.AO=AC-CO=6-J3-4愿=2?.

在RtABOA中，AB=7B02+A02=V（273）2+42=2V7?

故答案為：2市.

A

【真題點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分

線、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵.

A考向三全等三角形的判定與性質(zhì)

7.（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Co仍角/O的大小，需將NO轉(zhuǎn)化

為與它相等的角，則圖中與/O相等的角是（）

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD.ZADO

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：N。與互余，NDEB與互余，根據(jù)同角的余

角相等可得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：由示意圖可知：A。。！和△D2E都是直角三角形，

：.ZO+ZADO=90°,ZDEB+ZADO=90°,

：.ZDEB=ZO,

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?攀枝花）如圖，在AABC中，ZA=40°,ZC=90°,線段AB的垂直平分線交A8于點(diǎn)。，交AC

于點(diǎn)E,則/EBC=10°.

【思路點(diǎn)撥】由NC=90。，ZA=40°,求得NA2C=50。，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對(duì)等角和直角三

角形的兩銳角互余求得.

【規(guī)范解答】解：：NC=90。，ZA=40°,

ZABC=90°-ZA=50°,

???OE是線段AB的垂直平分線，

：.AE=BE,

：.ZEBA=ZA=40°,

：.ZEBC=ZABC-ZEBA=50°-40°=10°,

故答案為：10°.

【真題點(diǎn)撥】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直

平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向四含30。角的直角三角形

解題技巧/易錯(cuò)易混

在直角三角形中，30。的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)，也是證明

一邊（30。角所對(duì)的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù).當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該

性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.

9.（2023?貴州）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽開幕，在“自動(dòng)化立體庫”中有許多

幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長(zhǎng)為12m則底邊上

的高是（）

【思路點(diǎn)撥】作于點(diǎn)D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得（180。

2

-ZBAC）=30。，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：如圖，作ADL2C于點(diǎn)

.-.ZB=ZC=A(180°-ZBAC)=30°,

2

又

.'.AD——AB=—X12=6(m),

22

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題

關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.

10.（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形A8C。中，AB=AD,180。，點(diǎn)E,尸分別在BC,

C￡>±,若貝l|

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD已知CO=C8=100加,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路AD,42上分別有景點(diǎn)M,N,且。M=100〃z,BN=50

（V3-1）m,若在V,N之間修一條直路，則路線M—N的長(zhǎng)比路線MTA—N的長(zhǎng)少370m（結(jié)

果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：如xl.7）.

分別計(jì)算ADCG,AG,BG的長(zhǎng)，由線段的和與差可得AM和AN的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得的長(zhǎng),

計(jì)算AM+AN-MN可得答案.

解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得MN的長(zhǎng)，從而得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：解法一：如圖，延長(zhǎng)OC,交于點(diǎn)G,過點(diǎn)N作于H,

'：ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,

—360°-60°-120°-150°=30°,

：.ZG=90°,

：.AD^2.DG,

RtACGB中，ZBCG=180°-150°=30°,

.".BG=ABC=50,CG=50如,

：.DG=CD+CG=100+50V3，

Z.A￡>=2DG=200+10073-AG=V^OG=150+100?,

VDM=100,

：.AM^AD-DM=200+100V3-100=100+100?,

\'BG=50,BN=50-1),

：.AN=AG-BG-BN=150+100百-50-50(?-1)=150+50?,

RtAANH中，VZA=30°,

/.NH=-^AN=75+25V3-AH=MNH=156+75,

由勾股定理得：MN=7NH2+MH2=V(75+25V3)2+(25V3+25)2=50(百+1)

：.AM+AN-MN^100+100V3+150+50V3-50(?+l)=200+10073=370(m).

答：路線M—N的長(zhǎng)比路線M—A—N的長(zhǎng)少370m.

解法二：如圖，延長(zhǎng)。C,AB交于點(diǎn)G,連接CN,CM,則/G=90。，

'：CD=DM,ZD=60°,

...△ACM是等邊三角形，

ZDCM=60°,

由解法一可知：CG=50M，GN=2G+BN=50+50(-1)=50百，

△CGN是等腰直角三角形，

；./GCN=45。，

AZBCN=45°-30°=15°,

ZMCN=150°-60°-15°=15°=—ZBCD,

2

由【閱讀材料】的結(jié)論得：MN=DM+BN=100+50=50?+50,

\'AM+AN-M?/=100+100V3+150+50V3-50(?+1)=200+100我=370(m).

答：路線M—N的長(zhǎng)比路線M—A—N的長(zhǎng)少370%

故答案為：370.

【真題點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查了含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)與方

法，解題的關(guān)鍵是作出所需要的輔助線，構(gòu)造含30。的直角三角形，再利用線段的和與差進(jìn)行計(jì)算即可.

A考向五直角三角形斜邊上的中線

11.(2023?株洲)一技術(shù)人員用刻度尺(單位：cm)測(cè)量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知NAC2=

90。，點(diǎn)。為邊A5的中點(diǎn)，點(diǎn)A、5對(duì)應(yīng)的刻度為1、7,則CD=(

D/\B

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出co的長(zhǎng).

【規(guī)范解答】解：由圖可得，

ZACB=90°,48=7-1=6(cm),點(diǎn)。為線段AB的中點(diǎn)，

CD=—AB=3cm,

2

故選：B.

【真題點(diǎn)撥】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

12.(2022?杭州)如圖，在R3ACB中，/AC2=90。，點(diǎn)M為邊A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF1

AC于點(diǎn)凡連接CM,CE.己知/A=50。，/ACE=30。.

(1)求證：CE=CM.

(2)若A8=4,求線段FC的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC=MA=MB,根據(jù)外角的性質(zhì)可得ZMEC=ZA+ZACE,

ZEMC=ZB+ZMCB,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；

(2)根據(jù)CE=CM先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出PC的長(zhǎng).

【規(guī)范解答】(1)證明：：/ACB=90。，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，

：.MC=MA=MB,

：.ZMCA=ZA,ZMCB=ZB,

"：/A=50°,

AZMCA=50°,ZMCB=ZB=40°,

ZEMC^ZMCB+ZB^SQ0,

'：NACE=30°,

ZMEC=ZA+ZACE=80°,

NMEC=ZEMC,

；.CE=CM；

(2)解：VAB=4,

：.CE=CM=^-AB=2,

2

'：EF±AC,NACE=30。，

.,.FC=CE*cos30°=V3.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈

活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向六勾股定理

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是C.若b為斜邊，則關(guān)系

式是a2+c2=b2；若a為斜邊,則關(guān)系式是b2+c2=a2.

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解.

13.(2023?寧夏)將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60。和45。角的頂點(diǎn)及

它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜

邊分別交直尺上沿于A,8兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是()

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：在R3ACD中，ZACD^45°,

：.ZCAD=45°=ZACD,

.\AD=CD=2cm,

在R33CD中，ZBCD=60°,

：.ZCBD=30°,

?**BC=2CD=4cm,

BD=VBC2-CD2=Vl2-22=2?(cm),

；.AB=BD-AO=(2V3-2)(cm).

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?淮安）在四邊形ABC。中，4B=BC=2,ZABC=120°,3"為NABC內(nèi)部的任一條射線（N

C①/不等于60。），點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線AC與由/交于點(diǎn)凡連接CC、CF,KUCCF

面積的最大值是4\,用.

【思路點(diǎn)撥】連接8C,根據(jù)圓的定義可知A、C、C在以8點(diǎn)為圓心，AB為半徑的圓上，再判斷ACCF

是等邊三角形，則當(dāng)CC是圓的直徑時(shí)，ACCF面積的最大，此時(shí)CC=4,由此可求解.

【規(guī)范解答】解：連接BC,

由軸對(duì)稱性可知，BC=BC,

'：AB=BC=BC,

；.A、C、。在以8點(diǎn)為圓心，AB為半徑的圓上，

ZABC=120°,

ZACC=120°,

AZFCC=180°-120°=60°,

'：CF=CF,

...△CCT是等邊三角形，

要使△"下面積的最大，只需CC最大即可，

.?.當(dāng)CC是圓的直徑時(shí)，△COF面積的最大，

CC=4,

ACCF面積的最大值為qx4x4xsin60o=4?,

故答案為：4我.

D

A

B

【真題點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能確定CC是圓

的直徑時(shí)，△口?尸面積的最大是解題的關(guān)鍵.

A考向七勾股定理的證明

15.（2023?湖北）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是

由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形.設(shè)圖中DF=b,連接AE,BE,

.22

若AAOE與"即的面積相等，則2_，_=3

2,2

ab

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出gpbi_k_1=0,解方程得到且=逅±1（負(fù)值舍去）代入進(jìn)

21ua2

aa

行計(jì)算即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：方法一：..?圖中A尸=a,DF=b,

'.ED—AF—a,EH—EF—DF-DE—b-a,

,/AADE與4BEH的面積相等，

'.—a1——（b-a）b,

22

...i=（A）2-電，

aa

,2,

.bbt八

,---1=0，

a2a

解得上=退包（負(fù)值舍去），

a2

方法二：,:足=吩-ab,

??加-a?=ab9

（/-層）2=〃2戶,

4422

?\b+a=3abf

,22

?.?-b--+a1-—Do，

2,2

ab

故答案為：3.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明，一元二次方程的解法，根據(jù)題意得出關(guān)于工的方程是解題的

a

關(guān)鍵.

16.(2022?內(nèi)江)勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股

定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全

等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為Si、S、

S3.若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為4,則Si+S,+S3=48.

【思路點(diǎn)撥】由勾股定理和乘法公式完成計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為。，短直角邊是6,則:

Si=Ca+b)2,$2=42=16,Si=(a-b)

且：a?+爐=￡產(chǎn)=16,

2222

：.Si+S2+S3=(a+6)+16+(a-b)=2(a+b)+16

=2x16+16

=48.

故答案為：48.

【真題點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理和乘法公式表示三個(gè)正方形的面積是求解本題的

關(guān)鍵.

A考向八勾股數(shù)

17.（2023?南通）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的

是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)6,c,其中a,b均小于c,。='館

2

m是大于1的奇數(shù)，則b—m（用含m的式子表示）.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可.

2

【規(guī)范解答】解：b,c是勾股數(shù)，其中m6均小于c,a=lm-1,C=A

222

/.b2=c2-a2

—m4+—+—

442

—m4+—+—m2-—m4--+—

442442

=m9

Vm是大于1的奇數(shù),

??Z?in.

故答案為：丸

【真題點(diǎn)撥】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足。2+/=02的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”.觀察下列勾股

數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；....這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖

研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；....若此類勾股數(shù)的勾為

2m。稔3,機(jī)為正整數(shù)）,則其弦是加+1（結(jié)果用含根的式子表示）.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得2初為偶數(shù)，設(shè)其股是°,則弦為。+2,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：為正整數(shù)，

：.2m為偶數(shù),設(shè)其股是。，則弦為a+2,

根據(jù)勾股定理得，（2m）?+層=（a+2）2,

解得a=mz-1,

弦是。+2=，層-1+2=m2+1,

故答案為：川+1.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

A考向九勾股定理的應(yīng)用

19.（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”.書中記載：“今有戶不知高、

廣，竿不知長(zhǎng)短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門,

不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門

對(duì)角線恰好相等.問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8,

6,10尺.

DC

段歲

A廣B

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門的寬和高構(gòu)成直角三

角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高、寬、對(duì)角線長(zhǎng).

【規(guī)范解答】解：設(shè)門對(duì)角線的長(zhǎng)為x尺，則門高為（x-2）尺，門寬為（x-4）尺，

根據(jù)勾股定理可得：

（x-4）2+（x-2）2,gpx2=x2-8%+16+x2-4x+4,

解得：為=2（不合題意舍去），x2=10,

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）.

答：門高8尺，門寬6尺，對(duì)角線長(zhǎng)10尺.

故答案為：8,6,10.

【真題點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問題中是解答本題

的關(guān)鍵，難度一般.

20.（2023?東營(yíng)）一艘船由A港沿北偏東60。方向航行30km至8港，然后再沿北偏西30。方向航行40km

至C港，則A,C兩港之間的距離為港km.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：ZDAB=60°,/FBC=30。,AD//EF,從而可得/A8E=60。，然

后利用平角定義可得NABC=90。，從而在RtAABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【規(guī)范解答】解：如圖：

C\

—I—>"東

由題意得：ZDAB=60°,ZFBC=30°,AD//EF,

：.ZDAB=ZABE=60°,

：.ZABC=180°-/ABE-ZFBC=90°,

在RtZiABC中，AB=30km,BC=40km,

AC=22

VAB+BC=VS02+402=5°（卜曲，

.'.A,C兩港之間的距離為50km,

故答案為：50.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

21.（2022?常州）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為20cm的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形ABCD

對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到36c機(jī)時(shí)才會(huì)斷裂.若/54。=60。，則橡皮筋A(yù)C不會(huì)斷裂

（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：V3-1.732）.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)AC與相交于點(diǎn)。，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC,2DAC=2A。，OD=^BD,AO=

2

AB=20cm,從而可得是等邊三角形，進(jìn)而可得8￡>=20a”，然后再在RtAA。。中，利用勾股定理

求出A。，從而求出AC的長(zhǎng)，即可解答.

【規(guī)范解答】解：設(shè)AC與8。相交于點(diǎn)。，

:四邊形4BCD是菱形,

J.ACLBD,AC=2A0,OD=—BD,AD^AB=2Qcm,

2

'：ZBAD=6Q°,

...△ABO是等邊三角形，

/.BD—AB=20cm,

：.DO=—BD=10(cm),

2

在。中，22=10

RtAADAO=^AD2_DQ2=^20-10^3(an),

.*.AC=2AO=20V3~34,64(cm),

34.64cm<36cm,

橡皮筋A(yù)C不會(huì)斷裂，

故答案為：不會(huì).

【真題點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向十勾股定理一最短路徑問題

22.（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為高為AC,一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到8處，現(xiàn)

【思路點(diǎn)撥】利用圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，而點(diǎn)B是展開圖的一邊的中點(diǎn)，再利用螞蟻爬行的最近路

線為線段可以得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：將圓柱側(cè)面沿AC，剪開”，側(cè)面展開圖為矩形，

:圓柱的底面直徑為

...點(diǎn)3是展開圖的一邊的中點(diǎn)，

,/螞蟻爬行的最近路線為線段，

選項(xiàng)符合題意，

故選：C.

【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了圓柱的側(cè)面展開圖，最短路徑問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

23.（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9c7九，底面周長(zhǎng)為16c在杯內(nèi)壁離杯底4c機(jī)的點(diǎn)A處

有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)8處，則螞蟻從

外壁2處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為10cm.（杯壁厚度不計(jì)）

【思路點(diǎn)撥】將杯子側(cè)面展開，建立B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)夕，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知ZTA的長(zhǎng)度即

為所求.

【規(guī)范解答】解：如圖：

將杯子側(cè)面展開，作8關(guān)于E尸的對(duì)稱點(diǎn)

連接84,則8A即為最短距離，

B，A=VB7D2+AD2=VS2+62=10（cm）.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)

行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

A考向十一等腰直角三角形

24.（2023?麗水）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,/C=45。，以AB為腰作等腰直角三角形BAE,

頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD=I,則CE的長(zhǎng)是（）

【思路點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作A/J_5C于尸，過點(diǎn)石作于H,交AO的延長(zhǎng)線于G,貝1」乙4尸5

=NCHE=9。。,證明四邊形A"G是正方形，則AG=GH,再證明和zkOGE是等腰直角三角形,

則0G=EG,CH=EH,最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)A作A/LBC于尸，過點(diǎn)E作GHL8C于H,交AO的延長(zhǎng)線于G,則N

：.AF//GHf

\'AD//BC,ZAFH=90°,

???四邊形AH/G是矩形，

JNG=ZAFH=ZFHG=NE4G=90。,

AABE是等腰直角三角形，

：.AB=AE,NA4E=90。，

?；NFAG=NBAE,

：.ZBAF=ZEAGf

NA尸3=NG=90°,

AAAFB^AAGE(AAS),

：.AF=AG,

???矩形AbHG是正方形，

：.AG=GHf

*：AG//BC,

???NC=NEOG=45。，

JACHE和△DGE是等腰直角三角形，

:,DG=EG,CH=EH,

：.AD=EH=1.

；?CH=\,

由勾股定理得：CE=qF+F=如.

解法二：如圖2,過點(diǎn)E作跖，CD交3c于R

圖2

VZC=45°,

???AEFC是等腰直角三角形,

:.EF=CE,ZCFE=45°,

???ZBFE=180°-45°=135°,

NCFE=NFBE+/BEF=45。,ZAED+ZBEF=90°-45°=45°,

J/AED=NFBE,

???AABE是等腰直角三角形，

.AE_1

??麗―TF

U：AD//BC,

AZC+Z￡>=180°,

???/￡）=180。-45。=135。，

???/D=NBFE,

：.AADEsAEFB,

?AD—AE=1

**EFBE折

VAZ）=1,

:?EF=a，

:.CE=EF=42-

故選：A.

【真題點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形和正方形的性質(zhì)和判

定等知識(shí)，正確作輔助線構(gòu)建AAFg和AAGE全等是解本題的關(guān)鍵.

25.（2023?蘇州）如圖，ZBAC=90°,AB=AC=3加，過點(diǎn)C作CD_L8C,延長(zhǎng)到￡,使BE=LcD,

3

連接AE,ED.若ED=2AE,則BE=1+J7.（結(jié)果保留根號(hào)）

【思路點(diǎn)撥】如圖，過E作EQLC4于點(diǎn)。，設(shè)BE=x,AE=y,可得CO=3無，DE=2y,證明BC=加

AB=6,CE=6+x,ACQE為等

腰直角三角形，。5=。。=亞CE=Y1（6+x）=3&+返■》,&。=返尤，由勾股定理可得:

2222

222

\2y）=（6+X）+（3x）

,°9Lg球再解方程組可得答案?

y2=（等x）2+（3近娶x）2

?:BE=LCD,ED=2AE,

3

CZ）=3x,DE=2y,

?：ZBAC=90°,A2=AC=3五,

:.BC=y[^AB=6,CE=6+x,ACQE為等腰直角三角形,

:.QE-CQ-MCE-近（6+x）=3近+工

222

：.AQ=J^-x,

r222

（2y）=（6+x）+（3x）

由勾股定理可得：。后「汨

y2=（苧乂戶9+⑷近修x）2

整理得：x2-2x-6—0,

解得：x=l±J7，

經(jīng)檢驗(yàn)x=i-不符合題意；

.'.BE—x—l+y/7；

故答案為：1+A/V.

【真題點(diǎn)撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適

的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

A考向十二三角形中位線定理

26.（2023?陜西）如圖，OE是AABC的中位線，點(diǎn)尸在。8上，DF=2BF.連接EF并延長(zhǎng)，與C8的延

長(zhǎng)線相交于點(diǎn)若BC=6,則線段CM的長(zhǎng)為（）

A.—B.7C.—D.8

22

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形中中位線定理證得DE〃BC,求出。E,進(jìn)而證得△。吩根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)求出即可求出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：是AABC的中位線，

：.DE//BC,OE=LC=2X6=3,

22

MDEFsABMF,

.DE_DF_2BF_2

"BM而審"

2

CM^BC+BM^—.

2

故選：C.

【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定

理和相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

27.（2023?湖州）如圖，在AABC中，AB=AC,AO_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)。E.已知3c

=10,AD=12,求BO,OE的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD蔣BC，根據(jù)勾股定理求出48=13，

【規(guī)范解答】解AOL2C于點(diǎn)。，

'：BC=10,

：.BD=5,

「AD_L8c于點(diǎn)D,

：.ZADB=90°,

在RtAAB。中，AB2=AD2+BD2,

VAD=12,

AB=7AD2+BD2=V122+52=13）

為AB的中點(diǎn)，。點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，

DE蔣AB=^.

【真題點(diǎn)撥】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定與

性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向十三三角形的綜合題

28.（2023?大慶）如圖，在AA3C中，將AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a至4夕，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)P至

AC（0°<a<180°,0°<p<180°）,得到AABC,使N3AC+N2NC』180。，我們稱AABC是AABC的“旋

補(bǔ)三角形"，”夕。的中線AD叫做AABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做嗾補(bǔ)中心”.下列結(jié)論正確的有?

②③.

①AABC與AAQC面積相同；

@BC=2AD；

③若48=AC,連接88'和CC',則/B'8C+/CC'B