中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)幾何圖形的初步(練習(xí))含答案及解析

第四章三角形第15講幾何圖形的初步TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01從不同方向看幾何體??題型02由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積??題型03正方體的展開圖??題型04平面圖形旋轉(zhuǎn)所得的立體圖形??題型05指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)??題型06與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算??題型07方向角??題型08鐘面角??題型09與角平分線有關(guān)的計(jì)算??題型10與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算??題型11三線八角的識(shí)別??題型12利用平行線的判定進(jìn)行證明??題型13根據(jù)平行線的性質(zhì)求解??題型14平行線的形狀在生活中的應(yīng)用??題型15根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度??題型16根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明??題型01從不同方向看幾何體1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）小明自己動(dòng)手做了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從正面、左面、上面觀察它，得到的三視圖如圖所示，則該模型的形狀是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，下列四個(gè)幾何體，從上面、正面、左側(cè)三個(gè)不同方向看到的形狀中只有兩個(gè)相同的是（）A．

B．

C．

D．

3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）小明同學(xué)從正面觀察如圖所示的幾何體，得到的平面圖形是（

）A．B．C．D．??題型02由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積4．（2024·云南昭通·二模）如圖，這是一個(gè)圓柱形筆筒，量的筆筒的高是11cm，底面圓的直徑是8cm，則這個(gè)筆筒的側(cè)面積為cm2（結(jié)果保留5．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）用相同尺寸的長(zhǎng)方形紙板制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒．先在紙板上畫出其表面展開圖（需剪掉陰影部分），兩種裁剪方案如圖1和圖2所示，圖中A，B，C均為正方形：下列說法正確的是（）A．方案1中的a=4 B．方案2中的b=6C．方案1所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積小于方案2所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積 D．方案1所得的長(zhǎng)方體紙盒的底面積與方案2所得的長(zhǎng)方體紙盒的底面積相同6．（2020·黑龍江大慶·中考真題）底面半徑相等的圓錐與圓柱的高的比為1：3，則圓錐與圓柱的體積的比為（

）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：97．（2024·河南駐馬店·二模）延時(shí)課上，同學(xué)們利用面積為100dm2的正方形紙板，制作一個(gè)正方體禮品盒(如圖所示裁剪)．則這個(gè)禮品盒的體積是??題型03正方體的展開圖8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形盒子的外表面畫有3條粗黑線，將這個(gè)正方形盒子表面展開（外表面朝上），其展開圖可能是（

）A．B． C． D．9．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“我”字所在的面相對(duì)的面上的漢字是(

)A．美 B．麗 C．中 D．國(guó)10．（2024·河北唐山·二模）如圖，是一個(gè)正方體粉筆盒的表面展開圖，將其折疊成正方體后，與頂點(diǎn)E重合的頂點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D11．（2024·河北張家口·三模）用硬卡紙做一個(gè)骰子，使骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，折疊前后如圖所示，下列判斷正確的是（

）A．點(diǎn)數(shù)1的對(duì)面是B面 B．點(diǎn)數(shù)2的對(duì)面是A面C．A，C兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)和為9 D．B，C兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)和為6??題型04平面圖形旋轉(zhuǎn)所得的立體圖形12．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，將Rt△PQR繞直線PQ旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積等于．（結(jié)果保留13．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為a、3b的直角三角形，圖形乙是長(zhǎng)、寬分別為a、b的矩形，已知a>b，試猜想這兩個(gè)立體圖形哪個(gè)體積更大，并通過計(jì)算證明自己的猜想（V圓錐=114．（2024·陜西西安·二模）如圖，某酒店大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由三塊寬為1.8m、高為3m的玻璃隔板組成．(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是________，這能說明的事實(shí)是________（填字母）；A．點(diǎn)動(dòng)成線

B．線動(dòng)成面

C．面動(dòng)成體(2)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計(jì)，結(jié)果保留π）??題型05指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)15．（2022·河北·二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A． B．C．D．16．（2023·吉林白山·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長(zhǎng)比原銀杏葉的周長(zhǎng)要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊17．（2023·河南洛陽(yáng)·二模）請(qǐng)舉生活中的實(shí)例說明“兩點(diǎn)確定一條直線”這個(gè)基本事實(shí)．18．（20-21七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）下列三個(gè)日?，F(xiàn)象：其中，可以用“垂線段最短”來解釋的是（填序號(hào)）．??題型06與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算19．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，C地在A，B兩地的中點(diǎn)處，若A，C兩地之間的距離為6×106m，則A，BA．3×106m B．12×106m20．（2023·廣西桂林·三模）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，若線段AC=10cm，且OC=2cm，O是AB的中點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為21．（2023平樂縣三模）如圖，在一條筆直的大道上有A，B，C三個(gè)小區(qū)，O為A、C區(qū)的中點(diǎn)．已知某校學(xué)生住在A區(qū)有3人，B區(qū)有2人，C區(qū)有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若學(xué)校在O處做為校車的停靠點(diǎn)，則這些學(xué)生從住處到該?？奎c(diǎn)的路程之和是（）．A．4400m B．5400m C．5800m D．7600m22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四個(gè)車站的位置如圖所示．（1）C、D兩站的距離為；（2）若a＝3，C為AD的中點(diǎn)，b=．??題型07方向角1．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖是石家莊市地圖的一部分，省二院在市二中北偏東30°方向上，則市二中在省二院的（

）A．南偏東30°方向 B．南偏西30°方向C．北偏東45°方向 D．北偏西60°方向2．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖，一艘船由A島沿北偏東30°方向航行20km至B島，然后再沿北偏西60°方向航行20km至C(1)求A，C兩島之間的距離；(2)確定C島在A島的什么方向？3．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某海域中有A，B，C三個(gè)小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島A相對(duì)于小島C的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°4．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測(cè)）木欄頭燈塔是矗立在海南島文昌市的一座航標(biāo)燈塔（如圖①），被稱為“亞洲第一燈塔”，如圖②，虎威島A位于木欄頭燈塔O的南偏西50°方向上，一艘輪船在B處測(cè)得燈塔O位于它的北偏西45°方向上，輪船沿著正北方向航行3km后，到達(dá)位于燈塔O正東方向上的C處，該船繼續(xù)向北航行至直線AO上的點(diǎn)D(1)填空：∠BOC=______度，∠D=______度；(2)求點(diǎn)D到燈塔O的距離（參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19??題型08鐘面角1．（2024·河北·一模）如圖1，小萍從地圖上測(cè)得學(xué)校在她家的北偏東60°方向，她看到家里的鐘表如圖2，想到如果把家的位置看成鐘表表盤的中心，則她可以說學(xué)校在家的（

）A．1點(diǎn)鐘方向 B．2點(diǎn)鐘方向 C．7點(diǎn)鐘方向 D．8點(diǎn)鐘方向2．（2024·山西朔州·一模）如圖是一面鐘表，以指針的旋轉(zhuǎn)中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以整9點(diǎn)時(shí)針和分針?biāo)诘闹本€分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)間為10點(diǎn)10分時(shí)，分針的外端點(diǎn)落在點(diǎn)A處．若OA=10，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A．53,5 B．5,53 C．53．（2024·遼寧撫順·一模）如圖，正常運(yùn)行的鐘表，分針從“9”第一次走到“12”，分針就（

）A．沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了45° B．沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了45°C．沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90° D．沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°4．（2023·河北保定·二模）某款鐘表的分針長(zhǎng)度為5cm，則經(jīng)過30分鐘分針針尖走過的路線長(zhǎng)為（

）A．5πcm B．5π4cm C．5π??題型09與角平分線有關(guān)的計(jì)算31．（2023鄭州市模擬）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時(shí)，由于(1)【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是________．（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒）使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．②當(dāng)t的值為多少時(shí)，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？32．（2024·山西大同·二模）閱讀與思考下面是小王同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．x年x月x日

星期二數(shù)學(xué)推理真有趣今天數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了如果交換某命題的條件和結(jié)論，可以得到一個(gè)新命題，這個(gè)命題是原命題的逆命題．例如：原命題是兩直線平行，同位角相等，交換該命題的條件和結(jié)論，就可以得到該命題的逆命題是同位角相等，兩直線平行……在數(shù)學(xué)中有很多類似的情況，例如：如圖，E是AB上一點(diǎn)，①AB∥CD，②CE是∠ACD的平分線，③AC=AE，如果這三個(gè)條件中已知其中的任意兩個(gè)，那么就能推導(dǎo)出第三個(gè)．第一種情況：已知，如圖，E是AB上一點(diǎn)；AB∥CD，CE是∠ACD的平分線．求證：AC=AE．證明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵CE是∠ACD的平分線，∴∠ACE=∠ECD．∴∠ACE=∠AEC．∴AC=AE（依據(jù)）第二種情況：已知，如圖，E是AB上一點(diǎn)，AB∥CD，AC=AE．求證：______證明：……第三種情況……任務(wù)：(1)以上證明過程中，依據(jù)是指______．(2)請(qǐng)你將日記中第二種情況的求證和第三種情況的已知和求證補(bǔ)充完整，并選擇其中一種情況進(jìn)行證明．33．（2024·江蘇泰州·二模）圖算法是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量，這樣的圖形叫諾模圖．設(shè)有兩只電阻，R1=6千歐，R2我們可以利用公式求得R的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法（如圖1）直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個(gè)120°的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長(zhǎng)度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著6和4的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的總電阻值R．

(1)①R1=6千歐，R2=4②如圖1，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分線，OA=R1，OB=R2，(2)如圖2，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分線，OA=R1，OB=R2，OC=R．此時(shí)關(guān)系式可以寫成m?1(3)如圖3，若∠AOB=α，（2）中其余條件不變，請(qǐng)?zhí)剿鱎1，R2，R之間的關(guān)系．（用含34．（2024北京二中模擬）如圖1，直線AB與直線l1，l2分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線k上，射線DE平分∠ADM交直線l1于點(diǎn)Q

(1)證明：l1(2)如圖2，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，射線QP交直線l2于點(diǎn)F，∠ACQ=70°①若∠QFD=15°，求出∠FQD的度數(shù)．②點(diǎn)N在射線DE上，滿足∠QCN=∠QFD，連接CN，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究∠CND與∠PQD的等量關(guān)系，并寫出證明過程．??題型10與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算35．（2024·廣西柳州·三模）若一個(gè)角為55°，則它的補(bǔ)角的度數(shù)為（

）A．25° B．35° C．115° D．125°36．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A=50°，則∠DCB的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°37．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，a∥b，把Rt△ABC如圖所示放置，直角頂點(diǎn)A在直線b上，∠B=30°，若∠1=18°，則∠238．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，直線a∥b將一個(gè)含有30°角的直角三角板（∠A=90°）按如圖所示的位置擺放，若∠1=33°，則∠2的度數(shù)是??題型11三線八角的識(shí)別39．（2024·福建寧德·一模）如圖，直線a，b被直線c所截，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．∠1+∠2=180°° B．∠4=∠5C．∠3與∠4是內(nèi)錯(cuò)角 D．∠1=∠440．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，∠1與∠2的位置關(guān)系是（）A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補(bǔ)角41．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角??題型12利用平行線的判定進(jìn)行證明42．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，AB=DC，EC=FB，______．

求證：AE∥DF．在①AE=DF；②EC∥FB這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在上面的橫線上，并加以解答．43．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）下面是小華同學(xué)設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P.求作：直線PM，使直線PM∥直線l作法：如圖2，①在直線l上任取一點(diǎn)A，作射線AP；②以P為圓心，PA為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)B，連接PB；③以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AP于點(diǎn)C；分別以B，C為圓心，大于12BC長(zhǎng)為半徑作弧，在AC的右側(cè)兩弧交于點(diǎn)④作直線PM；所以直線PM就是所求作的直線．根據(jù)上述作圖過程，回答問題：(1)根據(jù)上述作圖過程可知：射線PM平分∠CPB，這種作角的角平分線的方法的依據(jù)是___________（填序號(hào)）．①SSS

②SAS

③ASA

④AAS(2)完成下面的證明：證明：由作圖可知PM平分∠CPB，∴∠CPM=∠__________=1又∵PA=PB，∴∠PAB=∠___________.∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，∴∠PAB=∠PBA=1∴∠CPM=∠PAB，∴直線PM∥直線l44．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC．以AB為直徑的圓O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．過點(diǎn)B作圓O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：OE∥AC；(2)如果AB=10，AD=6，求EF的長(zhǎng)．45．（2024·江蘇蘇州·二模）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)使DF=DE．(1)證明：AC∥(2)若BC=8，AB=5，DB平分∠ABF，求AD的長(zhǎng)．??題型13根據(jù)平行線的性質(zhì)求解46．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分線，若∠2=64°，則∠3的度數(shù)是（A．64° B．58° C．32° D．116°47．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）光線照射到平面鏡鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，物理學(xué)中，我們知道反射光線與法線（垂直于平面鏡的直線叫法線）的夾角等于入射光線與法線的夾角．如圖一個(gè)平面鏡斜著放在水平面上，形成∠AOB形狀，∠AOB=36°，在OB上有一點(diǎn)E，從點(diǎn)E射出一束光線（入射光線），經(jīng)平面鏡點(diǎn)D處反射光線DC剛好與OB平行，則∠DEB的度數(shù)為（）A．71° B．72° C．54° D．53°48．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)，若∠2=40°，∠3=70°，則∠1的度數(shù)為（

）A．130° B．140° C．150° D．160°49．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）一副三角尺按如圖擺放，若EF∥AC，DF交AB于點(diǎn)M，則∠DMB的度數(shù)為（

）A．45° B．60° C．75° D．90°??題型14平行線的形狀在生活中的應(yīng)用50．（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，是我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡“中國(guó)天眼”．如圖2，是“中國(guó)天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反射面），入射波AO經(jīng)過三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波A．70° B．60° C．45° D．35°51．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從空氣射向水時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在空氣中平行的光線，在水中也是平行的．如圖，∠1=50°，∠AOB=153°，則∠2等于（A．93° B．103° C．130° D．153°52．（2023·浙江嘉興·一模）地球有多大？2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼（Eratost?enes）利用太陽(yáng)光線測(cè)量出了地球子午線的周長(zhǎng)．下面讓我們一起開啟“探求地球周長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)之旅．項(xiàng)目任務(wù)（一）如圖1，某日正午，小紅在B地（與太陽(yáng)直射點(diǎn)A在同一子午線上）測(cè)得太陽(yáng)光與木棍的夾角為α，則∠AOB=______，若測(cè)得AB之間弧長(zhǎng)為l，則地球子午線周長(zhǎng)為______．（用含α，l的代數(shù)式表示）項(xiàng)目任務(wù)（二）如圖2，某日正午，小紅和小明在同一子午線的B地、C地測(cè)得太陽(yáng)光與木棍的夾角分別為α，β，則∠BOC=______，若測(cè)得BC之間弧長(zhǎng)為l，則地球子午線周長(zhǎng)為______．（用含α，β，l的代數(shù)式表示）項(xiàng)目任務(wù)（三）如圖3，日落時(shí)，身高為h的小亮趴在地上平視遠(yuǎn)方，在太陽(yáng)完全從地平線上消失的一瞬間，按下秒表開始計(jì)時(shí)．同時(shí)馬上站起來，當(dāng)太陽(yáng)再次完全消失在地平線的瞬間，停止計(jì)時(shí)，小亮利用這個(gè)時(shí)間差和地球自轉(zhuǎn)的速度計(jì)算出了∠PQH=θ，請(qǐng)據(jù)此計(jì)算出地球的半徑與周長(zhǎng)．（用含h，θ的代數(shù)式表示）

??題型15根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度53．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，DE∥BC，∠ADC=∠B=96°，求∠A的度數(shù)．54．（2024·山東青島·一模）【探究1】如圖1，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，AB∥CD，∠ABC=30°，∠ADC=36°，則∠AEC=【探究2】如圖2，∠BAD的三等分線AE與∠BCD的三等分線CE交于點(diǎn)E，∠EAD=13∠BAD,∠BCE=13∠BCD，AB∥CD【探究3】如圖3，∠BAD的n等分線AE與∠BCD的n等分線CE交于點(diǎn)E，∠EAD=1n∠BAD，∠BCE=1n∠BCD，AB∥CD，∠ABC=x°,∠ADC=y°，則∠AEC=

55．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）圖1是某種手機(jī)支架在水平桌面上放置的實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面的示意圖，其中支桿AB=BC=22cm，可繞支點(diǎn)C,B調(diào)節(jié)角度，DE為手機(jī)的支撐面，DE=20cm，支點(diǎn)A為DE的中點(diǎn)，且(1)若支桿BC與桌面的夾角∠BCM=72°，求支點(diǎn)B到桌面的距離．(2)在（1）的條件下，若支桿BC與AB的夾角∠ABC=112°，求支撐面下端E到桌面的距離．56．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，若入射光線與水平鏡面夾角為∠1，反射光線與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2．(1)【初步應(yīng)用】如圖2，有兩塊平面鏡AB，BC1，入射光線DO1經(jīng)過兩次反射，得到反射光線O2(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡AB，BC，CD，入射光線EO1經(jīng)過三次反射，得到反射光線O3F，已知∠1=36°，∠B=120°，若要使??題型16根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明57．（2024武漢市二模）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，EF交CD于點(diǎn)F，∠2+∠3=180°，(1)求證：DE∥(2)若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求58．（2024·浙江麗水·二模）課課堂上同學(xué)們獨(dú)立完成了這樣一道問題：“如圖，已知AB∥CD，AD∥CB小蓮?fù)瑢W(xué)解答如下：∵AB∥CD，∴∠1+∠BCD=180°，∵AD∥BC，∴∠2+∠BCD=180°，∴∠1=∠2小蓮的證法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出你的證明過程．59．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D，E為BC上一點(diǎn)，AE，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，(1)求證：∠BAF=∠F；(2)若CFAB=13，直接寫出60．（2024·黑龍江·二模）已知直線AM∥BN，∠BAM的平分線與∠ABN的平分線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作DE交AM于點(diǎn)D，交直線

(1)當(dāng)直線DE⊥AM時(shí)，如圖①，求證：AB=BE+AD；(2)當(dāng)直線DE與AM不垂直時(shí)，如圖②、圖③，猜想線段AD，BE，AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并利用圖1．（2024·山東青島·中考真題）如圖①，將邊長(zhǎng)為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長(zhǎng)為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，2的長(zhǎng)方體磚塊，切割掉長(zhǎng)、寬、高分別為4，2．（2024·河北·中考真題）如圖，△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點(diǎn)，點(diǎn)A，D1，D2（1）△AC1D（2）△B1C3．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）走馬燈，又稱仙音燭，據(jù)史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時(shí)期，盛行于宋代，是中國(guó)特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，一同學(xué)用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個(gè)棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側(cè)面有一個(gè)三角形面上寫了“祥”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（

）A．吉

如

意 B．意

吉

如 C．吉

意

如 D．意

如

吉4．（2024·山東濰坊·中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架AB與吊線FG平行，燈桿CD與底部支架AB所成銳角α=15°．頂部支架EF與燈桿CD所成銳角β=45°，則EF與FG所成銳角的度數(shù)為（

）A．60° B．55° C．50° D．45°5．（2024·福建·中考真題）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個(gè)禮品盒，如圖3所示．

圖1

圖2

圖3(1)直接寫出ADAB(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（

）圖4A．

B．C．

D．(3)卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價(jià)（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長(zhǎng)為10cm的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計(jì)方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）全國(guó)兩會(huì)，習(xí)近平總書記在參加江蘇代表團(tuán)審議時(shí)指出，我們能不能如期全面建成社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)，關(guān)鍵看科技自立自強(qiáng)．將“科技、自立、自強(qiáng)”六個(gè)字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與“強(qiáng)”字所在面相對(duì)面上的漢字是（

）A．自 B．立 C．科 D．技2．（2024·江蘇常州·中考真題）下列圖形中，為四棱錐的側(cè)面展開圖的是（

）A．B．C． D．3．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（

）A．三棱錐 B．圓錐 C．三棱柱 D．長(zhǎng)方體4．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)是（A．55° B．45° C．35° D．30°5．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿AB折疊，量得∠1=∠2=59°；小鐵把紙帶②沿GH折疊，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合．且點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上．則下列判斷正確的是（

）A．紙帶①、②的邊線都平行B．紙帶①、②的邊線都不平行C．紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行D．紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小明在地圖上量得∠1=∠2，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（

）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．對(duì)頂角相等7．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點(diǎn)．按下列要求作圖：①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BO于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)O為圓心、BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段OA于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G，點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點(diǎn)M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=8．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角∠1=50°，則反射光線與平面鏡夾角∠4的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．60° D．70°9．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個(gè)可調(diào)節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面AB與底座CD平行，等長(zhǎng)的支架AD,BC交于它們的中點(diǎn)E，液壓桿FG∥BC．若∠BAE=53°，則∠GFD的度數(shù)為（

）A．127° B．106° C．76° D．74°10．（2023·吉林·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)D，作直線AD交BC于點(diǎn)E．若∠BAC=110°，則∠BAE的大小為

11．（2023·湖南·中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），問題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若∠A=1矩，∠B=1

13．（2024·江蘇宿遷·中考真題）請(qǐng)寫出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理．14．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，若S△ABDS△BCD=15．（2024·山東·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，則∠CAB=16．（2023·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，AB∥CD，直線MN與AB,CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，CD上有一點(diǎn)G且GE=GF，∠1=122°．求

17．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，連接CE．

(1)求證：∠E=∠ECD；(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接寫出△BCE的形狀．18．（2024·江蘇無錫·中考真題）【操作觀察】如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．折疊四邊形紙片ABCD，使得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'始終落在AD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，折痕與AB，【解決問題】(1)當(dāng)點(diǎn)C'與點(diǎn)A重合時(shí)，求B(2)設(shè)直線B'C'與直線AB相交于點(diǎn)F，當(dāng)∠AF19．（2022·北京·中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，ΔABC,求證：∠A+∠B+∠C=方法一證明：如圖，過點(diǎn)A作DE//BC.

方法二證明：如圖，過點(diǎn)C作CD//AB.

20．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，連接AD并延長(zhǎng)交l2于點(diǎn)M證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥．∴△AEM∽．∴AE由【探究】（1）可知S△ABCS△DBC=(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在l2下方時(shí)，連接AD交l2于點(diǎn)E．若點(diǎn)A，E，D所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC

第四章三角形第15講幾何圖形的初步TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01從不同方向看幾何體??題型02由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積??題型03正方體的展開圖??題型04平面圖形旋轉(zhuǎn)所得的立體圖形??題型05指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)??題型06與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算??題型07方向角??題型08鐘面角??題型09與角平分線有關(guān)的計(jì)算??題型10與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算??題型11三線八角的識(shí)別??題型12利用平行線的判定進(jìn)行證明??題型13根據(jù)平行線的性質(zhì)求解??題型14平行線的形狀在生活中的應(yīng)用??題型15根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度??題型16根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明??題型01從不同方向看幾何體1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）小明自己動(dòng)手做了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從正面、左面、上面觀察它，得到的三視圖如圖所示，則該模型的形狀是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐【答案】A【分析】本題考查從不同方向看．由從正面、左面看可得此幾何體為錐體，根據(jù)從上面看是圓及圓心可判斷出此幾何體為圓錐．【詳解】解：∵從正面、左面看都是三角形，∴此幾何體為錐體，∵從上面看是一個(gè)圓及圓心，∴此幾何體為圓錐，故選A．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，下列四個(gè)幾何體，從上面、正面、左側(cè)三個(gè)不同方向看到的形狀中只有兩個(gè)相同的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別找出每個(gè)幾何體從三個(gè)方向看到的圖形即可得到答案．【詳解】解：A.正方體從上面、正面、左側(cè)三個(gè)不同方向看到的形狀都是正方形，故A選項(xiàng)不符合題意；B.球從從上面、正面、左側(cè)三個(gè)不同方向看到的形狀都是圓，故B選項(xiàng)不符合題意；C.直三棱柱從上面看是中間有一條橫杠的矩形，從正面看是矩形，從左側(cè)看是三角形，故C選項(xiàng)不符合題意；D.圓柱從上面和正面看都是矩形，從左側(cè)看是圓，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三種視圖，培養(yǎng)空間想象能力，熟練掌握從不同方向看幾何體是解決本題的關(guān)鍵．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）小明同學(xué)從正面觀察如圖所示的幾何體，得到的平面圖形是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查的是幾何體的三視圖，根據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的視圖解答即可．【詳解】解：從正面看到的平面圖形為等腰梯形.故選：A．??題型02由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積4．（2024·云南昭通·二模）如圖，這是一個(gè)圓柱形筆筒，量的筆筒的高是11cm，底面圓的直徑是8cm，則這個(gè)筆筒的側(cè)面積為cm2（結(jié)果保留【答案】88π【分析】本題考查了圓柱的側(cè)面積，熟練掌握?qǐng)A柱的側(cè)面積為πd?，其中d為底面圓直徑，?為圓柱的高是解題的關(guān)鍵．根據(jù)筆筒的側(cè)面積為π?8?11，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，筆筒的側(cè)面積為π?8?11=88πcm2故答案為：88π．5．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）用相同尺寸的長(zhǎng)方形紙板制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒．先在紙板上畫出其表面展開圖（需剪掉陰影部分），兩種裁剪方案如圖1和圖2所示，圖中A，B，C均為正方形：下列說法正確的是（）A．方案1中的a=4 B．方案2中的b=6C．方案1所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積小于方案2所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積 D．方案1所得的長(zhǎng)方體紙盒的底面積與方案2所得的長(zhǎng)方體紙盒的底面積相同【答案】C【分析】本題考查圖形的展開與折疊，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念．分別求出a和b的值，方案1和方案2的容積即可得到答案．【詳解】解：方案1：a=12÷4＝所折成的無蓋長(zhǎng)方體的底面積為3×3=9．容積為5×9=45．方案2：b=12?2×2所折成的無蓋長(zhǎng)方體的底面積為4×2=8．容積為6×8=48．∴方案1所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積小于方案2所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積，故選：C．6．（2020·黑龍江大慶·中考真題）底面半徑相等的圓錐與圓柱的高的比為1：3，則圓錐與圓柱的體積的比為（

）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【答案】D【分析】根據(jù)V圓錐【詳解】解：設(shè)圓錐與圓柱的底面半徑為r,圓錐的高為?，則圓柱的高為3?，∴V∴V故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的體積與圓柱的體積的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2024·河南駐馬店·二模）延時(shí)課上，同學(xué)們利用面積為100dm2的正方形紙板，制作一個(gè)正方體禮品盒(如圖所示裁剪)．則這個(gè)禮品盒的體積是【答案】16【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂裁剪的方法，找到相似三角形．設(shè)EF=x，判斷出△AEF和△DEG為等腰直角三角形，證明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EF【詳解】解：如圖，在正方形ABCD中，AD=10，設(shè)EF=x，由此裁剪可得：△AEF和△DEG為等腰直角三角形，∴△AEF∽△DEG，∴AEDE=EF解得：AE=2(分米)，∴EF=2∴正方體禮品盒的棱長(zhǎng)為22∴體積為22故答案為：162??題型03正方體的展開圖8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形盒子的外表面畫有3條粗黑線，將這個(gè)正方形盒子表面展開（外表面朝上），其展開圖可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方體表面展開圖，觀察原正方體的3條粗黑線的特征，有兩條交于一個(gè)頂角，第三條與前面兩條粗黑線沒相交，據(jù)此逐個(gè)選項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：觀察，∴其展開圖可能是，故選：D．9．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“我”字所在的面相對(duì)的面上的漢字是(

)A．美 B．麗 C．中 D．國(guó)【答案】B【分析】本題考查了正方體展開圖的相對(duì)面，根據(jù)正方體展開圖的特點(diǎn)即可得出答案，解題的關(guān)鍵是掌握正方體展開圖相對(duì)面的特征“隔一個(gè)或成Z字端”．【詳解】解：由圖可知，與“我”字所在的面相對(duì)的面上的漢字是“麗”，故選：B．10．（2024·河北唐山·二模）如圖，是一個(gè)正方體粉筆盒的表面展開圖，將其折疊成正方體后，與頂點(diǎn)E重合的頂點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】D【分析】本題考查了立體圖形的展開圖，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)，折疊成正方體后，與頂點(diǎn)E重合的頂點(diǎn)是點(diǎn)D．故選：D．11．（2024·河北張家口·三模）用硬卡紙做一個(gè)骰子，使骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，折疊前后如圖所示，下列判斷正確的是（

）A．點(diǎn)數(shù)1的對(duì)面是B面 B．點(diǎn)數(shù)2的對(duì)面是A面C．A，C兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)和為9 D．B，C兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)和為6【答案】C【分析】本題考查正方體展開圖的相對(duì)面，根據(jù)同行隔一個(gè)，確定出相對(duì)面，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：點(diǎn)數(shù)1的對(duì)面是A面，故A的點(diǎn)數(shù)為7?1=6；點(diǎn)數(shù)4的對(duì)面是C面，故C的點(diǎn)數(shù)為7?4=3；點(diǎn)數(shù)2的對(duì)面是B面，故B的點(diǎn)數(shù)為7?2=5，∴A，C兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)和為9，B，C兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)和為8；故選C．??題型04平面圖形旋轉(zhuǎn)所得的立體圖形12．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，將Rt△PQR繞直線PQ旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積等于【答案】15π【分析】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，勾股定理，面動(dòng)成體，先利用勾股定理得到PR=RQ2+PQ【詳解】解：∵在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4∴PR=R∵將Rt△PQR繞直線PQ∴這個(gè)幾何體的側(cè)面積等于π×3×5=15π，故答案為：15π．13．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為a、3b的直角三角形，圖形乙是長(zhǎng)、寬分別為a、b的矩形，已知a>b，試猜想這兩個(gè)立體圖形哪個(gè)體積更大，并通過計(jì)算證明自己的猜想（V圓錐=1【答案】圖形①的體積更大，見解析【分析】本題考查了面動(dòng)成體，圓錐的體積、圓柱的體積等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．設(shè)圖形①、②的體積分別為V?、V2，然后分別求得圖形①、【詳解】解：圖形①的體積更大．設(shè)圖形①、②的體積分別為V1、V則V1=1∴V∵a>b，∴故圖形①的體積更大．14．（2024·陜西西安·二模）如圖，某酒店大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由三塊寬為1.8m、高為3m的玻璃隔板組成．(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是________，這能說明的事實(shí)是________（填字母）；A．點(diǎn)動(dòng)成線

B．線動(dòng)成面

C．面動(dòng)成體(2)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計(jì)，結(jié)果保留π）【答案】(1)圓柱；C(2)9.72【分析】本題考查了圓柱的體積，平面圖形旋轉(zhuǎn)后形成的立方體，（1）旋轉(zhuǎn)門的形狀是長(zhǎng)方形；長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱；（2）根據(jù)圓柱體的體積=底面積×高計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)門的形狀是長(zhǎng)方形，∴旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱，這能說明的事實(shí)是面動(dòng)成體．故答案為：圓柱；C；（2）解：該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱，體積為：π×故形成的幾何體的體積是9.72πm??題型05指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)15．（2022·河北·二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A． B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線，垂線段最短，兩點(diǎn)之間，線段最短等知識(shí)．熟練掌握兩點(diǎn)確定一條直線，垂線段最短，兩點(diǎn)之間，線段最短是解題．【詳解】解：由題意知，A中能用兩點(diǎn)確定一條直線進(jìn)行解釋，不符合題意；B中能用兩點(diǎn)確定一條直線進(jìn)行解釋，不符合題意；C中能用垂線段最短進(jìn)行解釋，符合題意；D中能用兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)行解釋，不符合題意；故選：C．16．（2023·吉林白山·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長(zhǎng)比原銀杏葉的周長(zhǎng)要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊【答案】A【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間所有的連線中，線段最短．【詳解】解：用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分，則原來所減掉的線段的兩個(gè)端點(diǎn)之間由曲線變?yōu)榱司€段，周長(zhǎng)縮小了，則應(yīng)用的原理是兩點(diǎn)之間線段最短，故選：A．17．（2023·河南洛陽(yáng)·二模）請(qǐng)舉生活中的實(shí)例說明“兩點(diǎn)確定一條直線”這個(gè)基本事實(shí)．【答案】把一個(gè)木條固定在墻上需要兩個(gè)釘子（答案不唯一）【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線的原理尋找實(shí)例解答即可．【詳解】舉生活中的實(shí)例說明“兩點(diǎn)確定一條直線”這個(gè)基本事實(shí)為：把一個(gè)木條固定在墻上需要兩個(gè)釘子（答案不唯一）．故答案為：把一個(gè)木條固定在墻上需要兩個(gè)釘子（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解兩點(diǎn)確定一條直線．18．（20-21七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）下列三個(gè)日?，F(xiàn)象：其中，可以用“垂線段最短”來解釋的是（填序號(hào)）．【答案】①【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：垂線段最短即可得到結(jié)論．【詳解】解：可以用“垂線段最短”來解釋①，可以“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋②，可以用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋③，故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短以及直線、線段的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．??題型06與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算19．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，C地在A，B兩地的中點(diǎn)處，若A，C兩地之間的距離為6×106m，則A，BA．3×106m B．12×106m【答案】D【分析】首先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求得AB=2AC，然后利用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)即可；本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法形式a×10n，其中1≤a<10，【詳解】根據(jù)題意知：AB=2AC=2×6×故選：D．20．（2023·廣西桂林·三模）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，若線段AC=10cm，且OC=2cm，O是AB的中點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為【答案】16【分析】此題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段間的和差，理清題意是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵AC=10cm，OC=2∴AO=AC?OC=10?2=8cm∵O是AB的中點(diǎn)，∴AB=2AO=16cm故答案為：16．21．（2023平樂縣三模）如圖，在一條筆直的大道上有A，B，C三個(gè)小區(qū)，O為A、C區(qū)的中點(diǎn)．已知某校學(xué)生住在A區(qū)有3人，B區(qū)有2人，C區(qū)有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若學(xué)校在O處做為校車的停靠點(diǎn)，則這些學(xué)生從住處到該停靠點(diǎn)的路程之和是（）．A．4400m B．5400m C．5800m D．7600m【答案】B【分析】根據(jù)題目所給條件，可以計(jì)算出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)，可以得到AO的長(zhǎng)，從而得到BO的長(zhǎng)，最后根據(jù)不同小區(qū)學(xué)生數(shù)，根據(jù)線段長(zhǎng)度即可得到最后答案．【詳解】解：∵AC=1000m，BC=700∴AB=AC?BC=1000?700=300m又∵點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，∴AO=CO=1∴BO=AO?AB=500?300=200m∴這些學(xué)生從住處到該?？奎c(diǎn)的路程之和為：3AO+2BO+7CO=3×500+2×200+7×500=5400m故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和與差以及線段中點(diǎn)的問題，解決本題的關(guān)鍵是找出每個(gè)線段具體的長(zhǎng)度．22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四個(gè)車站的位置如圖所示．（1）C、D兩站的距離為；（2）若a＝3，C為AD的中點(diǎn)，b=．【答案】a+3b/3b+a2【分析】(1)利用CD=BD?BC即可求解；（2）先利用AC=AB+BC求得AC，再利用C為AD的中點(diǎn)，代入a=3即可．【詳解】解：（1）∵BD=3a+2b，BC=2a?b，∴CD=BD?BC=3a+2b（2）∵AB=a+b，BC=2a?b，∴AC=AB+BC=a+b∵C為AD的中點(diǎn)，∴AC=CD，即3a=a+3b，當(dāng)a=3時(shí)，則3×3=3+3b，解得b=2，故答案為：（1）a+3b（2）2【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，根據(jù)圖形列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．??題型07方向角1．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖是石家莊市地圖的一部分，省二院在市二中北偏東30°方向上，則市二中在省二院的（

）A．南偏東30°方向 B．南偏西30°方向C．北偏東45°方向 D．北偏西60°方向【答案】B【分析】本題考查了方位角的應(yīng)用，因?yàn)槭《涸谑卸斜逼珫|30°方向上，所以市二中在省二院的南偏西30°方向，即可作答．【詳解】解：如圖:∵省二院在市二中北偏東30°方向上∴市二中在省二院的南偏西30°方向故選：B2．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖，一艘船由A島沿北偏東30°方向航行20km至B島，然后再沿北偏西60°方向航行20km至(1)求A，C兩島之間的距離；(2)確定C島在A島的什么方向？【答案】(1)20(2)北偏西15°【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)方向角的熟練掌握．（1）根據(jù)AN∥BH，∠ABH=∠NAB，推出∠CBA=180°?30°?60°=90°，在Rt△ABC（2）證明∠CAB=∠ACB=45°，根據(jù)∠NAC=∠CAB?∠BAN即可求解．【詳解】（1）如圖，由題意可知：∠NAB=30°,∠CBM=60°，∵AN∥BH，∴∠ABH=∠NAB=30°，∴∠CBA=180°?30°?60°=90°，在Rt△ABC中，AC=答：A，C兩島之間的距離是202（2）又∵AB=20km,BC=20km∴∠CAB=∠ACB=45°，∵∠BAN=30°，∴∠NAC=∠CAB?∠BAN=45°?30°=15°，∴C島在A島北偏西15°的方向上．3．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某海域中有A，B，C三個(gè)小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島A相對(duì)于小島C的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°【答案】C【分析】根據(jù)題意可得∠ABC=75°，AD∥BE，AB=AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠C=75°，從而求出∠BAC的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB=∠ABE=40°，從而求出【詳解】解：如圖：由題意得：∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+35°=75°，AD∥BE，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C=30°，∵AD∥∴∠DAB=∠ABE=40°，∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=40°+30°=70°，∴小島C相對(duì)于小島A的方向是北偏東70°，小島A相對(duì)于小島C的方向是南偏西70°．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測(cè)）木欄頭燈塔是矗立在海南島文昌市的一座航標(biāo)燈塔（如圖①），被稱為“亞洲第一燈塔”，如圖②，虎威島A位于木欄頭燈塔O的南偏西50°方向上，一艘輪船在B處測(cè)得燈塔O位于它的北偏西45°方向上，輪船沿著正北方向航行3km后，到達(dá)位于燈塔O正東方向上的C處，該船繼續(xù)向北航行至直線AO上的點(diǎn)D(1)填空：∠BOC=______度，∠D=______度；(2)求點(diǎn)D到燈塔O的距離（參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19【答案】(1)45，50(2)點(diǎn)D到燈塔O的距離約為3.9【分析】本題考查了方位角的定義，銳角三角函數(shù)的定義，路程、速度、時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方位角的定義及平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先在Rt△BOC中求出OC，在Rt△DOC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知【詳解】（1）解：由題意可知，OC⊥BD，∵∠CBO＝∴∠BOC=90°?∠CBO=45°，∴∠COD=180°?50°?90°=40°，∴∠D=90°?∠COD=50°，故答案為：45，50；（2）解：由題意可知：BC=3km在Rt△BOC∠CBO=45°，∴OC=BC=3km在Rt△DOC中，∠D=50°∴OD=OC答：點(diǎn)D到燈塔O的距離約為3.9km??題型08鐘面角1．（2024·河北·一模）如圖1，小萍從地圖上測(cè)得學(xué)校在她家的北偏東60°方向，她看到家里的鐘表如圖2，想到如果把家的位置看成鐘表表盤的中心，則她可以說學(xué)校在家的（

）A．1點(diǎn)鐘方向 B．2點(diǎn)鐘方向 C．7點(diǎn)鐘方向 D．8點(diǎn)鐘方向【答案】B【分析】此題考查了方位角，鐘面角，首先求出相鄰兩個(gè)數(shù)之間的夾角為360°÷12=60°，進(jìn)而根據(jù)方位角求解即可．【詳解】∵鐘表一圈360°，共有12個(gè)數(shù)字，∴平均分成12份∴相鄰兩個(gè)數(shù)之間的夾角為360°÷12=60°∵小萍從地圖上測(cè)得學(xué)校在她家的北偏東60°方向，∴她可以說學(xué)校在家的2點(diǎn)鐘方向．故選：B．2．（2024·山西朔州·一模）如圖是一面鐘表，以指針的旋轉(zhuǎn)中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以整9點(diǎn)時(shí)針和分針?biāo)诘闹本€分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)間為10點(diǎn)10分時(shí)，分針的外端點(diǎn)落在點(diǎn)A處．若OA=10，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A．53,5 B．5,53 C．5【答案】A【分析】本題考查了解含有30°的直角三角形，正確使用三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作AB⊥x軸，于點(diǎn)B，構(gòu)造出含有30°直角三角形，由OA=10，解直角三角形即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作AB⊥x軸，于點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)間為10點(diǎn)10分時(shí)，分針的外端點(diǎn)落在點(diǎn)A處，此時(shí)分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)了360°12∴∠AOB=90°?60°=30°，在Rt△AOB中，OA=10∴AB=OA×sin30°=5，又∵點(diǎn)A在第一象限，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為53故選：A．3．（2024·遼寧撫順·一模）如圖，正常運(yùn)行的鐘表，分針從“9”第一次走到“12”，分針就（

）A．沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了45° B．沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了45°C．沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90° D．沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°【答案】D【分析】本題考查了鐘表中的角度問題，在鐘表中，分針每分鐘走6°，據(jù)此即可求解．【詳解】解：在鐘表中，分針每分鐘走360°60∴正常運(yùn)行的鐘表，分針從“9”第一次走到“12”，分針就沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了6°×15=90°．故選：D4．（2023·河北保定·二模）某款鐘表的分針長(zhǎng)度為5cm，則經(jīng)過30分鐘分針針尖走過的路線長(zhǎng)為（

）A．5πcm B．5π4cm C．5π【答案】A【分析】經(jīng)過30分鐘，分針要走過6個(gè)大格，即旋轉(zhuǎn)了180°，分針走過的路程也是一個(gè)半圓，求分針針尖走過的路程也就是求半徑是20厘米的圓的周長(zhǎng)的一半，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；【詳解】分針走了30分，即旋轉(zhuǎn)了180°，故分針針尖走過的路線長(zhǎng)為180π×5180故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長(zhǎng)計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.??題型09與角平分線有關(guān)的計(jì)算31．（2023鄭州市模擬）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時(shí)，由于(1)【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是________．（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒）使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．②當(dāng)t的值為多少時(shí)，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？【答案】(1)40°,(2)①當(dāng)t=20秒或25秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是20°．②當(dāng)t=907,【分析】本題主要考查了角平分線的頂用、角的計(jì)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)伴隨線定義求解即可；（2）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后兩種情況分別列式計(jì)算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后，分別畫出四個(gè)圖形進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，∵射線是射線的伴隨線，∴∠AOC=1∴∠AOC=1∴同理，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，∴∠BON=1∵射線OC是∠AOB的平分線，∴∠BOC=1∴∠NOC=∠BOC?∠BON=1故答案為：40°,π（2）解：射線OD與OA重合時(shí)，t=180①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時(shí)，有兩種可能：若在相遇之前，則180?5t?3t=20，解得：t=20；若在相遇之后，則5t+3t?180=20，解得：t=25．綜上所述，當(dāng)t=20秒或25秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是20°．②相遇之前：a．如圖1，當(dāng)OC是OA的伴隨線時(shí)，則∠AOC=12∠COD，即3t=b．如圖2，當(dāng)OC是OD的伴隨線時(shí)，則∠COD=12∠AOC，即180?5t?3t=相遇之后：c．如圖3，當(dāng)OD是OC的伴隨線時(shí)，則∠COD=12∠AOD，即5t+3t?180=d．如圖4，當(dāng)OD是OA的伴隨線時(shí)，則∠AOD=12∠COD，即180?5t=綜上所述，當(dāng)t=907,32．（2024·山西大同·二模）閱讀與思考下面是小王同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．x年x月x日

星期二數(shù)學(xué)推理真有趣今天數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了如果交換某命題的條件和結(jié)論，可以得到一個(gè)新命題，這個(gè)命題是原命題的逆命題．例如：原命題是兩直線平行，同位角相等，交換該命題的條件和結(jié)論，就可以得到該命題的逆命題是同位角相等，兩直線平行……在數(shù)學(xué)中有很多類似的情況，例如：如圖，E是AB上一點(diǎn)，①AB∥CD，②CE是∠ACD的平分線，③AC=AE，如果這三個(gè)條件中已知其中的任意兩個(gè)，那么就能推導(dǎo)出第三個(gè)．第一種情況：已知，如圖，E是AB上一點(diǎn)；AB∥CD，CE是∠ACD的平分線．求證：AC=AE．證明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵CE是∠ACD的平分線，∴∠ACE=∠ECD．∴∠ACE=∠AEC．∴AC=AE（依據(jù)）第二種情況：已知，如圖，E是AB上一點(diǎn)，AB∥CD，AC=AE．求證：______證明：……第三種情況……任務(wù)：(1)以上證明過程中，依據(jù)是指______．(2)請(qǐng)你將日記中第二種情況的求證和第三種情況的已知和求證補(bǔ)充完整，并選擇其中一種情況進(jìn)行證明．【答案】(1)等角對(duì)等邊(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等角對(duì)等邊解答即可．（2）根據(jù)題意，寫出已知，求證，給出證明即可．本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：依據(jù)是等角對(duì)等邊，故答案為：等角對(duì)等邊．（2）解：第二種情況：求證：CE是∠ACD的平分線．故答案為：CE是∠ACD的平分線．第三種情況：已知，如圖，E是AB上一點(diǎn)，CE是∠ACD的平分線，AC=AE．求證：AB∥CD．選擇第二種情況，證明如下證明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵AC=AE．∴∠ACE=∠AEC．∴∠ACE=∠ECD．∴CE是∠ACD的平分線，選擇第三種情況，證明如下：證明：∵CE是∠ACD的平分線，∴∠ACE=∠ECD．∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC．∴∠AEC=∠ECD．∴AB∥CD．33．（2024·江蘇泰州·二模）圖算法是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量，這樣的圖形叫諾模圖．設(shè)有兩只電阻，R1=6千歐，R2我們可以利用公式求得R的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法（如圖1）直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個(gè)120°的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長(zhǎng)度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著6和4的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的總電阻值R．

(1)①R1=6千歐，R2=4②如圖1，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分線，OA=R1，OB=R2，(2)如圖2，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分線，OA=R1，OB=R2，OC=R．此時(shí)關(guān)系式可以寫成m?1(3)如圖3，若∠AOB=α，（2）中其余條件不變，請(qǐng)?zhí)剿鱎1，R2，R之間的關(guān)系．（用含【答案】(1)①125；②(2)2(3)2【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)并聯(lián)電路電阻公式，即可解答；②過點(diǎn)C作OB的平行線，交OA于點(diǎn)D，證明△CDO為等邊三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答；（2）過點(diǎn)C作OB的平行線，交OA于點(diǎn)E，得到CE與CO的關(guān)系，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答；（3）過點(diǎn)C作OB的平行線，交OA于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥OC，交OC于點(diǎn)G，得到求得CF的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：①根據(jù)并聯(lián)電路電阻公式可得1R=1故答案為：12證明：②如圖1，過點(diǎn)C作OB的平行線，交OA于點(diǎn)D，∵∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分線，∴∠DOC=∠BOC=60°，∵DC∥∴∠DOC=∠BOC=∠DCO=60°，∴△DOC為等邊三角形，∴DC=OC=DO=R，∵DC∥∴∠ADC=∠AOB,∠ACD=∠ABO，∴△ADC∽△AOB，∴AD即R1可得R2R=R故1R

（2）解：如圖2，過點(diǎn)C作OB的平行線，交OA于點(diǎn)E，

同上述原理可得△AEC∽△AOB，∠ECO=∠EOC=1∴CE=OE=sin可得AEAO即R1整理后可得22即21∴m=2（3）解：過點(diǎn)C作OB的平行線，交OA于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥OC，交OC于點(diǎn)G，

同上述原理可得△AFC∽△AOB，∠FCO=∠FOC=1∴CG=OG=R∴CF=OF=CG可得AFAO即R1整理后可得12即2cos34．（2024北京二中模擬）如圖1，直線AB與直線l1，l2分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線k上，射線DE平分∠ADM交直線l1于點(diǎn)Q

(1)證明：l1(2)如圖2，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，射線QP交直線l2于點(diǎn)F，∠ACQ=70°①若∠QFD=15°，求出∠FQD的度數(shù)．②點(diǎn)N在射線DE上，滿足∠QCN=∠QFD，連接CN，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究∠CND與∠PQD的等量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)見詳解(2)①20°；②∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°，證明見解答．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的判定進(jìn)行解答即可；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；②分兩種情況畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形中角的大小關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE=∠EDM=1∵∠ACQ=2∠CDQ，∴∠ACQ=∠ADM，∴l(xiāng)（2）解：①∵l∴∠ADM=∠ACQ=70°，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE=∠EDM=1∵∠EDM=∠QFD+∠FQD，∴∠FQD=35°?15°=20°；②證明：∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°，理由如下：如圖3，

∵l∴∠NCQ=∠CTD，∵∠QCN=∠QFD，∴∠CTD=∠QFD，∴NT∥FQ，∴∠CND=∠PQD；如圖4，

由①可得∠CDQ=∠CQD=1∵∠CND=∠CQN+∠QCN，∠QCN=∠QFD，∴∠CND=∠CQN+∠QFD，∴∠CND=35°+∠QFD，即：∠CND?∠QFD=35°，∵∠QFD=∠FQC=∠CQD?∠PQD=∠QDM?∠FQD=35°?∠PQD，∴∠CND?∠QFD=∠CND?(35°?∠PQD)=35°，∴∠CND+∠PQD=70°，綜上所述，∠CND與∠FQD滿足的等量關(guān)系為∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判斷，掌握平行線的性質(zhì)和判斷方法是解決問題的關(guān)鍵．??題型10與余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算35．（2024·廣西柳州·三模）若一個(gè)角為55°，則它的補(bǔ)角的度數(shù)為（

）A．25° B．35° C．115° D．125°【答案】D【分析】此題考查補(bǔ)角，主要記住互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和為180度．根據(jù)補(bǔ)角的定義：和為180度的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，求解即可．【詳解】解：它的補(bǔ)角的度數(shù)為180°?55°=125°，故選：D．36．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A=50°，則∠DCB的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】此題考查了垂直的定義，余角的性質(zhì)，根據(jù)垂直的定義得到∠ACB=∠ADC=90°，從而推出∠DCB=∠A=50°【詳解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A=50°故選：C37．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，a∥b，把Rt△ABC如圖所示放置，直角頂點(diǎn)A在直線b上，∠B=30°，若∠1=18°，則∠2【答案】48°/48度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)“對(duì)頂角相等”可得∠3=∠1=18°，再根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”可得∠4=∠3+∠B=48°，然后根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，∵∠1=18°，∴∠3=∠1=18°，∵∠B=30°，∴∠4=∠3+∠B=18°+30°=48°，∵a∥∴∠2=∠4=48°．故答案為：48°．38．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，直線a∥b將一個(gè)含有30°角的直角三角板（∠A=90°）按如圖所示的位置擺放，若∠1=33°，則∠2的度數(shù)是【答案】117°/117度【分析】本題考查了平行線性質(zhì)求角度，三角形外角性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的計(jì)算，對(duì)頂角相等等知識(shí)，根據(jù)對(duì)頂角相等可求出∠3的度數(shù)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠4的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角求出∠5的度數(shù)，最后利用兩直線平行同位角相等求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，∵∠1=33°，∴∠3=∠1=33°，∵∠C=30°，∴∠4=∠3+∠C=33°+30°=63°，∴∠5=180°?∠4=180°?63°=117°，∵a∥∴∠2=∠5=117°，故答案為：117°．??題型11三線八角的識(shí)別39．（2024·福建寧德·一模）如圖，直線a，b被直線c所截，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．∠1+∠2=180°° B．∠4=∠5C．∠3與∠4是內(nèi)錯(cuò)角 D．∠1=∠4【答案】D【分析】此題主要考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、內(nèi)錯(cuò)角，解題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形．根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、內(nèi)錯(cuò)角的概念對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，∴∠1+∠2=180°，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.∠4與∠5是對(duì)頂角，∴∠4=∠5，故此選項(xiàng)不符合題意；C.∠3與∠4是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.∠1和∠4是同位角，只有當(dāng)a∥b時(shí)，∠1=∠4，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．40．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，∠1與∠2的位置關(guān)系是（）A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補(bǔ)角【答案】A【分析】根據(jù)∠1,∠2的位置，結(jié)合同位角的定義可得答案．【詳解】如圖所示，∠1和∠2兩個(gè)角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）