中考數(shù)學總復習提升專項知識銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(練習)含答案及解析

第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01理解銳角三角函數(shù)的概念??題型02求角的三角函數(shù)值??題型03由三角函數(shù)求邊長??題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解??題型05由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀??題型06特殊角三角函數(shù)值的混合運算??題型07根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)??題型08已知角度比較三角函數(shù)值的大小??題型09利用同角的三角函數(shù)求解??題型10三角函數(shù)綜合??題型11在平面直角坐標系中求銳角三角函數(shù)值??題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用??題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值??題型14解直角三角形的相關(guān)計算??題型15構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積??題型16運用解直角三角形的知識解決視角相關(guān)問題??題型17運用解直角三角形的知識解決方向角相關(guān)問題??題型18運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關(guān)問題??題型19運用解直角三角形的知識解決實際問題??題型20運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）??題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，則下列選項錯誤的是（

）A．sinA=ac B．cosB=ac2．（2022·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，點A、B均在格點上，用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中作△ABC，使tan∠A=1(2)在圖②中作△ABD，使tan∠A=(3)在圖③中作△ABE，使tan∠A=2??題型02求角的三角函數(shù)值4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）直角三角形的斜邊與一直角邊的比是5:1，且較大的銳角為θ，則sinA．5 B．55 C．12 5．（2024·湖南·模擬預(yù)測）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形面積為25，小正方形面積為1，則cosα的值為（

A．34 B．43 C．356．（2025·上海奉賢·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，且BD⊥CE，那么tan∠ABC=7．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知【探究】你能否從這里得出sin2α??題型03由三角函數(shù)求邊長8．（2025·上海奉賢·一模）在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)有一點P,OP=10，射線OP與x軸正半軸的夾角為α，如果sinα=35，那么點P9．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D為直線BC邊上一動點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到AE，連接BE，若BC=2，則BE的最小值為．10．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B在x軸上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，將菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到菱形AB1A．2+3，?3 B．3，?311．（2024·安徽·三模）如圖，△ABC中，AB=30，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C，交△ABC的角平分線AD于點D，DE是⊙O的切線，交AC延長線于點E．(1)求證：BC∥DE；(2)延長AB交ED的延長線于點F，tan∠F=34??題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解12．（2024·貴州·模擬預(yù)測）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，則tan∠A的值（A．12 B．32 C．3313．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中兩邊長如下：AB=π?30+214．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）平面直角坐標系中，點A與點B(cos60°,?3)關(guān)于x軸對稱，如果函數(shù)y=kx15．（2023·山東青島·一模）計算：sin30°+3??題型05由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀16．（2024·江蘇淮安·一模）在△ABC中，若cosA?22+1?tanB2=0，17．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測）在△ABC中，若∠A，∠B都是銳角，且sinA=12，cosB=1A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形??題型06特殊角三角函數(shù)值的混合運算18．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）（1）計算：3?2（2）化簡求值：m2?2m?19．（2024·湖南·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：x2?2x?220．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）計算：6sin??題型07根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)21．（23-24九年級上·福建泉州·期中）某水庫大壩，其坡面AB的坡度i=1:3，則斜坡AB的坡角的度數(shù)為°22．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知∠A，∠B是銳角，若tanA?3+2sin23．（2023·遼寧·一模）如圖所示是潛望鏡工作原理的平面示意圖．一條平行光線l經(jīng)鏡面BC反射到EF后得到光線m，且l∥m．虛線所示為光線反射軌跡．若測得兩條平行光線間的距離為3，虛線長度為2，則虛線與m所夾鈍角的度數(shù)為（

）A．110° B．120° C．135° D．150°24．（2023·安徽六安·二模）如圖，⊙C過原點O，與x軸、y軸分別交于A?D兩點，已知C?1,n,OD=23

??題型08已知角度比較三角函數(shù)值的大小25．（2020·甘肅張掖·模擬預(yù)測）若0°<α<90°，則下列說法不正確的是（

）A．sinα隨α的增大而增大 B．cosα隨α的減小而減小C．tanα隨α的增大而增大 D．0<sinα<126．（2020·內(nèi)蒙古·二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系．27．（2023·上海靜安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定28．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin??題型09利用同角的三角函數(shù)求解29．（2024·江蘇泰州·二模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BD⊥AB，BD=AB，連接CD，若要計算△BCD的面積，只需知道（

）A．AB長 B．AC長 C．CD長 D．BC長30．（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，點D在圓O上，點E在AB的延長線上，且EF=ED．

(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)連接BC，若tan∠BCD=12，DE=631．（2023·江蘇淮安·二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，OE∥BC，AE的延長線交BC于點D，∠ABC=2∠CAD．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若CD=2，tan∠CAD=1332．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，A．3 B．4 C．5 D．6??題型10三角函數(shù)綜合33．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的切線，P為切點，連接OA，OB，分別與⊙O相交于點C，點D，若∠A=30°，AP=23，BP=2，則CDA．7π3 B．4π3 C．34．（2023·上海普陀·三模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則tanE=35．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CD∥OE，直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點F，G，連接DE．當CD=4時，求EG的長．??題型11在平面直角坐標系中求銳角三角函數(shù)值36．（2023·江蘇蘇州·二模）如圖，點O為坐標系原點，點A為y軸正半軸上一點，點B為第一象限內(nèi)一點，OA=AB，∠OAB=90°，將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角度數(shù)至△OA'B'，此時反比例函數(shù)y=kxk>0剛好經(jīng)過OA',OB'的中點，則tanA．12 B．5?12 C．337．（2022·河南商丘·三模）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為0,3，點B在x軸上．(1)在坐標系中求作一點M，使得點M到點A，點B和原點O這三點的距離相等，在圖中保留作圖痕跡，不寫作法；(2)若函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點M，且sin∠OAB=38．（2022·江蘇常州·一模）如圖，平面直坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=10，sin∠AOC=(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)求一次函數(shù)的表達式．39．（2023·河北張家口·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，已知點A1,1；B1,?1，直線l的解析式為y=kx+b，點A，點B關(guān)于直線l的對稱點分別為點A(1)當k=1時，①若點A'的坐標為2,0，則A'B'的長為______，b的值為______，此時②若AA'=(2)當b=0時，若點A'，B'都在直線a上，且直線a經(jīng)過點C0,2，直接寫出直線l??題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用40．（23-24九年級上·四川巴中·階段練習）進入高中后，我們還會學到下面的三角函數(shù)公式：sin(α+β)=sinαtan(α+β)=(1)sin(2)cos41．（23-24九年級上·山東菏澤·期中）下面是我們將在高中階段所要學習的一個內(nèi)容，請先閱讀這段內(nèi)容．再解答問題，三角函數(shù)中常用公式sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，求sin75°??題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值42．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）如圖，是由7×5的小正方形組成的網(wǎng)格，小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點都在格點上，則sin∠ABC的值是（

A．53434 B．33434 C．43．（2024·廣東佛山·三模）如圖，網(wǎng)格中的點A、B、C、D都在小正方形頂點上，連接AB、CD交于點P，則∠BPC的正切值是（

）A．2 B．32 C．52 44．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，A、B、C、D四點均在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點上，則sinB+sinDA．3102+522 B．345．（2024·山東淄博·一模）如圖，在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E都在網(wǎng)格的格則∠ADC的正弦值為（

）A．102 B．13 C．23??題型14解直角三角形的相關(guān)計算46．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠A=30°,BD,CE分別是邊AC,AB上的高，則DEBC=（A．13 B．12 C．2247．（2024·河北石家莊·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為CD的中點，若點P繞AB上的點Q旋轉(zhuǎn)后可以與點B重合，則AQ的長為（

）A．6 B．116 C．3 48．（2024·四川綿陽·三模）如圖△ABC中，tan∠C=12，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面積是△ADE面積的10倍，則BEA．52 B．72 C．5 49．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，∠ACB=60°，AB=53，BC=8，則△BDE的面積是（

A．10 B．85 C．2534??題型15構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積50．（2020·浙江金華·一模）如圖，點E從點A出發(fā)沿AB方向運動，點G從點B出發(fā)沿BC方向運動，同時出發(fā)且速度相同，DE=GF<AB（DE長度不變，F(xiàn)在G上方，D在E左邊），當點D到達點B時，點E停止運動．在整個運動過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）

A．一直減小 B．一直不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小51．（2023·北京東城·模擬預(yù)測）已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，圓O過D、B、C三點，∠DOC=2(1)求證：直線AC是圓O的切線；(2)若OD⊥OC，∠ACB=75°，圓O的半徑為4，求BC52．（2023·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為弧BC的中點，過點D作DE⊥AC，垂足為AC的延長線上的點E，連接DA．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)延長ED交AB的延長線于F，若AE=8，tan∠ADE=2，求BF53．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥DC，連接AC，BC，BC=2．(1)求證：AC(2)若ADAB=354．（2023·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，BC是⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，E是OB的中點，過點E作EF⊥AB，連接FC并延長交BA的延長線于點D，已知∠F=2∠B．(1)判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并給予證明；(2)若∠B=30°，EF=53??題型16運用解直角三角形的知識解決視角相關(guān)問題55．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）某公園里有一座涼亭，亭蓋呈圓錐狀，如圖所示，涼亭的頂點為O，點O在圓錐底面、地面上的正投影分別為點O1，O2，點P為圓錐底面的圓上一點，數(shù)據(jù)顯示，該圓錐的底面半徑為2米（即O1(1)若OO(2)現(xiàn)計劃對亭蓋的外部進行噴漆作業(yè)，需測算亭蓋的外部面積（即圓錐的側(cè)面積）．因涼亭內(nèi)堆積建筑材料，導致無法直接測量OO2的高度，工人先在水平地面上選取觀測點A，B（A，B，O2在同一直線上），利用測角儀分別測得點O的仰角為α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再測得A，B56．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，某無人機興趣小組在操場上開展活動，此時無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者A的俯角為30°，測得點C處的俯角為45°．又經(jīng)過人工測量操控者A和教學樓BC距離為57米，則教學樓BC的高度為多少米？（3≈1.7357．（2024·貴州·模擬預(yù)測）甲秀樓位于貴陽市南明河上，一座三層三檐四角攢尖頂?shù)哪窘Y(jié)構(gòu)建筑，始建于明代，后經(jīng)多次修繕，至今仍保持著古樸典雅的風貌，樓內(nèi)雕梁畫棟，美輪美奐．在綜合與實踐活動中，某學習小組要利用測角儀測量甲秀樓的高度，如圖，AB前有一座高為DE的觀景臺，已知CD=12m，∠DCE=30°，點E，C，A在同一條水平直線上．在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為45°，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為27°(1)求DE的長；(2)求塔AB的高度．（tan27°≈0.5，??題型17運用解直角三角形的知識解決方向角相關(guān)問題58．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）如圖，一艘輪船在海面上航行，準備要?？康酱a頭C，當輪船航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上，此時收到北偏東30°方向B處的一發(fā)生故障漁船的求助信號，這艘輪船調(diào)整航向，沿著AB方向繼續(xù)航行30海里到達B處對漁船進行了救助，又沿著南偏東70°方向航行到達碼頭C．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求輪船從A處到碼頭C距離．（結(jié)果精確到1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.259．（2024·湖北恩施·一模）釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持40海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C．(1)求cos∠ACB的值．（保留2個有效數(shù)字，2≈1.414，(2)求此時船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號）60．（2024·上海浦東新·一模）如圖1是古代數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關(guān)研究．數(shù)學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為22km，南門O設(shè)立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，??題型18運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關(guān)問題61．（2024·湖北宜昌·三模）如圖是某地下停車庫入口的設(shè)計示意圖，延長CD與AB交于E點，已知坡道AB的坡比i=1:2.4是指坡面的鉛直高度CE與水平寬度AC的比，AC的長為7.2米，CD的長為0.4米．(1)請求出DE的長？(2)按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標志，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，確定該車庫入口的限高數(shù)值（即點D到AB的距離）．62．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）某商場從安全和便利的角度出發(fā)，為提升顧客的購物體驗，準備將自動扶梯由原來的階梯式改造成斜坡式，如圖，已知商場的層高AD為6m，坡角∠ABD為30°，改造后的斜坡式自動扶梯的坡角∠ACB=16°，請你計算改造后的自動扶梯增加的占地長度BC=（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos63．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD=3m，壩高AE=DF=6m，斜坡CD的坡度為1:3，斜坡AB的坡角∠B=45°??題型19運用解直角三角形的知識解決實際問題64．（2025·上海奉賢·一模）桔槔gao是古代漢族的一種農(nóng)用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作原理基于杠桿原理，通過一根豎立的支架加上一根杠桿，當中是支點，末端懸掛一個重物，前段懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處．這種工具可以省力地進行汲水，減輕勞動者的勞動強度．如圖所示，線段OM代表固定支架，點D、點C分別代表重物和水桶，線段BD、AC是無彈力、固定長度的麻繩，繩長AC=3米，木質(zhì)杠桿AB=6米．(1)當水桶C的位置低于地面0.5米（如圖1所示），支架OM與繩子BD之間的距離OH是1.6米，且cotB=0.75，求這個桔槔支架OM(2)向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如圖2所示），求此時重物D相對于（1）中的位置下降的高度．65．（2025·甘肅·模擬預(yù)測）某校三個數(shù)學研究小組測量某古城墻的高度．測量方案與測量數(shù)據(jù)如下表：項目測量古城墻的高度測量工具測角儀，皮尺等測量小組第一小組第二小組第三小組測量方案說明點A，B在古城墻的地面邊緣線EF上，點C，D在古城墻的上部邊緣線GH上，且EF∥GH測量數(shù)據(jù)∠CAB=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=22∠DAB=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=15∠CAF=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=10問題解決：(1)直接指出所有可行方案的小組；(2)在可行方案的小組里，任選一種方案，按照所測數(shù)據(jù)，計算古城墻的高度；(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin65.6°≈0.9，cos65.6°≈0.4，tan65.6°≈2.2，sin39.4°≈0.6(3)計算的古城墻的高度和實際結(jié)果有一定的誤差，請?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理建議．66．（2025·安徽·模擬預(yù)測）生活中，我們經(jīng)常用平均速度的大小來描述物體的運動快慢．如圖為某校物理興趣小組利用小球在斜面上運動模擬汽車區(qū)間測速的裝置．先將木板CE墊成傾斜角為12°的斜面，讓小球從E點（此時小球的速度為0）沿斜面下滑到C點，測出這一過程中小球運動的時間為2s，再將同樣長度的木板放置在AB處，使點A在CE上，且B，C，D在同一水平線上，測得BC=50cm，此時傾斜角為8°，按照同樣的條件測得小球從A點沿斜面運動到B點所用的時間為4s．求木板端點A到BD的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，67．（2025·山東臨沂·一模）某中學為新操場采購了一批可調(diào)節(jié)高度的籃球架，右圖是其側(cè)面示意圖，底座高度忽略不計．已知其支架AD=221cm，DE=140cm，安裝完畢后小明測得∠CAB=72°，∠ADE=138°，國家規(guī)定中學生所用籃球架中籃筐距地面標準高度約為280cm??題型20運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）68．（2024·黑龍江綏化·一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．素材1圖①是寧寧家安裝的戶外遮陽篷．圖②是其側(cè)面示意圖，已知該遮陽篷安裝在垂直于地面BC的墻面上，篷面安裝點A離地面4米，篷面與墻面的夾角∠DAB=60°，篷面寬AD=3米．除此之外，為了保障遮陽篷的穩(wěn)定性，還加裝了支架MN穩(wěn)定篷面．支架MN的安裝方式如下：點M固定在墻面上，位于點A的正下方，即點A，M，B共線；點N固定在篷面上離A點1米處（點A，N，D共線），即AN=1米，支架MN與墻面的夾角∠AMN=45°．素材2寧寧所在地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角α（太陽光線與地面的夾角）的正切值參照表：時刻12點13點14點15點角α的正切值432.52素材3寧寧養(yǎng)了一株龍舌蘭（圖③），該植物喜陽，所以寧寧經(jīng)常把龍舌蘭搬到能被太陽光照射到的地方，以保證龍舌蘭有充足的光照，如圖②，這株龍舌蘭擺放的位置記為點E．任務(wù)1確定安裝點請求出支架MN的固定點M與A點的距離AM的長．任務(wù)2確定影子長請求出這天13點時遮陽篷落在地面上影子的長度．任務(wù)3判斷能否照射到這天14點，寧寧將龍舌蘭擺放到點E處，為了保證龍舌蘭能被太陽光照射到，請求出此時擺放點離墻角距離的取值范圍．69．（2023·江西吉安·三模）學科綜合：我們在物理學科中學過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n=sinαsinβ稱為折射率（其中α觀察實驗：為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖2所示的實驗，即通過細管MN可以看見水底的物塊C，但不在細管MN所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點A，C，B在同一直線上，測得BF=12cm，DF=16(1)求入射角α的度數(shù)．(2)若BC=7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，70．（2023·四川達州·模擬預(yù)測）閱讀理解：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c（注：sin90°=1∵sinA=ac，sinB=bc∵sin90°=1，拓展探究：如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．思考特例中的結(jié)論asin解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側(cè)的點C，測得AC=40m，∠A=75°，∠C=60°．請用前面的結(jié)論，求點A到點B71．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）圖1是某折疊資料架，圖2為其側(cè)面示意圖，已知AB∥CD∥EF∥GH，MC∥BE∥DG∥FO，M，N，P，Q四點分別是AB，CD，EF，GH的中點（N，P兩點也分別在BE和DG上），F(xiàn)O⊥底座HI，垂足為O，經(jīng)測量，(1)求證：四邊形MBNC為菱形．(2)求折疊資料架的高（點A到底座HI的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.7472．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=10cm，如圖1和圖2所示，CD為水面截線，MN為臺面截線，MN∥CD，半圓O與MN相切于水槽最低點P．如圖1，初始情況下A，C重合，∠AOP=60°(1)求圓心O到水面CD的距離；(2)探究圖1中的水槽沿MN向右無滑動的滾動，使水流出一部分，當CD=8cm時停止?jié)L動，此時B，D①求水位下降的高度；②求圓心移動的距離，并比較圓心移動的距離與半徑的大?。▍⒖紨?shù)據(jù)：sin53°=4573．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）【項目式學習】探究古代建筑，屋檐之上的數(shù)學密碼——探究屋面結(jié)構(gòu)與建筑高度的關(guān)系背景介紹在世界的歷史長河中，中國的古建筑最具有視覺美感，歷史源遠流長、綿延不絕．大詩人李白的詩句：“危樓高百尺，手可摘星辰”，表述了他對建筑、數(shù)學以及宇宙星辰的認知．而中國古建筑屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型藝術(shù)中非常重要的構(gòu)成因素，不僅樣式多，而且組成部分也很繁雜．中國屋頂多為坡屋面，從頂上屋脊或?qū)氻數(shù)较逻叺奈蓍苁且粋€向下彎曲的凹弧面，表達出順應(yīng)自然的謙卑，似與天空恰當而友善的對話．而彎曲屋面的出現(xiàn)，經(jīng)歷了漫長的過程．其中最具代表的就是兩宋的建筑成就．建筑高度是建筑設(shè)計中的一個重要參數(shù)．學習小組的同學想要更全面具體地了解宋代建筑與數(shù)學的關(guān)系，來到了宋代建筑代表作——山西太原的晉祠圣母殿．想通過建模的方式探究屋面結(jié)構(gòu)與建筑高度的關(guān)系．實踐任務(wù)以晉祠圣母殿為例，通過建模的方式，探究屋面結(jié)構(gòu)與建筑高度的關(guān)系．資料查閱1、晉祠圣母殿是常見的坡屋面式結(jié)構(gòu)之一，在《建筑設(shè)計防火規(guī)范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1條中，建筑高度應(yīng)為建筑室外設(shè)計地面至其檐口與屋脊的平均高度，即：建筑高度(?)=室外設(shè)計地面至檐口的高度（?1）+(如圖1，建筑高度?=?12、如圖2，根據(jù)晉祠圣母殿和《營造法式》中的幾個典型的屋面剖面圖的資料總結(jié)得出，從檐口到屋脊，坡屋面豎直高度?2/半坡寬度W≈0.5模型初建將晉祠圣母殿的屋面近似成平面結(jié)構(gòu)，其剖面圖可以簡化成數(shù)學幾何圖形（簡化為一層房檐)．如圖3，△ABC為等腰三角形，AB=AC，假定BC=8米，DF=10米．

圖3模型優(yōu)化屋面除了審美需求，也要便于房屋采光和排水．晉祠圣母殿的屋面正是中國古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物產(chǎn)生獨特而強烈的視覺效果和藝術(shù)感染力．學習小組通過查閱資料可知，屋面可以近似看作圓心角為30o的圓?。鐖D所示，弧AB和弧AC是半徑為17m、圓心角為30o的圓弧，檐口B到地面的距離為15補充模型從對屋頂曲線進行數(shù)學模擬時，卻發(fā)現(xiàn)圓弧的擬合度并非最佳．學習小組的同學經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)運用到了最速降線的理論．最速降線可以使得物體下滑所需時間最短，達到排水的目的．古人如何造出“最速降線”的呢？查閱資料得知，宋朝古人利用“舉折法”測定屋頂坡度及屋蓋曲面線．如圖5所示，折線C?M1?M2?M3?A為宋代常見的一種屋頂建筑．N1、N2、N3是△ABC中AB邊上的四等分點，過N1作N1P1⊥AB交AC于P1，將P1降低110BC米得到M1，連接AM1；重復上述步驟，過N2作N“舉之峻慢，折之圓和”，求此曲面線，謂之定側(cè)樣．這就是古代的“舉折法”．

圖5問題解決任務(wù)1模型初建（1）根據(jù)“資料查閱”第一條，求出簡易圖中的建筑高度；任務(wù)2模型優(yōu)化（2）根據(jù)“資料查閱”兩條內(nèi)容，直接寫出屋脊A與檐口B的豎直高度h2和建筑高度h（結(jié)果保留整數(shù)部分，3≈1.7任務(wù)3補充模型（3）若M3N31．（2024·山西·中考真題）如圖，在?ABCD中，AC為對角線，AE⊥BC于點E，點F是AE延長線上一點，且∠ACF=∠CAF，線段的延長線交于點G．若AB=5，AD=4，tan∠ABC＝2，則2．（2024·寧夏·中考真題）如圖1是三星堆遺址出土的陶盉（hè），圖2是其示意圖．已知管狀短流AB=2cm，四邊形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度為21.5cm，則該陶盉管狀短流口A距地面的高度約為cm（結(jié)果精確到3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實驗是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實驗裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管AB=24cm,BE=13AB(1)求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實驗時，導氣管緊靠水槽壁MN，延長BM交CN的延長線于點F，且MN⊥CF于點N（點C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：DE=28cm，MN=8cm，4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點D在⊙O上．連接CD，交AB于點E，延長BD，CA，兩線相交于點P，過點A作⊙O的切線交BP于點G．(1)求證：AG∥CD；(2)求證：PA(3)若sin∠APD=13，PG=65．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形OABC是平行四邊形，點C在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，點C的橫坐標為2，點提示：在平面直角坐標系中，若兩點分別為P1x1,y1，(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)如圖2，點D是AB邊的中點，且在反比例函數(shù)y=kx圖象上，求平行四邊形(3)如圖3，將直線l1:y=?34x向上平移6個單位得到直線l2，直線l2與函數(shù)y=kxx>0圖象交于M1，M2兩點，點P為6．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點D在邊AC上，BD=BC=AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，過點E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析1BM1．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，點O是對角線AC的中點，以點O為圓心，OA長為半徑作圓心角為60°的扇形OEF，點D在扇形OEF內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（

）A．π2?34 B．π?2．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學興趣小組用無人機測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面119m的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機沿水平方向飛行74m到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點M,N,A,B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sinA．41m B．42m C．48m3．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點C，D分別落在點A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．54．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．21145．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若OA=1，則OG=（

）A．125564 B．12564 C．646．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．253米 B．25米 C．252米7．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．8．（2024·四川資陽·中考真題）第14屆國際數(shù)學教育大會（JCME?14）會標如圖1所示，會標中心的圖案來源于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，則A．55 B．35 C．459．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，點A4,2在函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點B，與函數(shù)y=kxk>0,x>0A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．10．（2024·吉林長春·中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米，仰角為θ，則此時火箭距海平面的高度AL為（）

A．a(chǎn)sinθ千米 B．a(chǎn)sinθ千米 C．a(chǎn)cos11．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長為43，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點P，若OP=5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內(nèi) C．點P在⊙O外 D．無法確定12．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E,F是邊BC上兩點，且BE=EF=FC，連接DE,AF,DE與AF相交于點G，連接BG．若AB=4，BC=6，則sin∠GBF的值為（

A．1010 B．31010 C．113．（2024·山東青島·中考真題）計算：18+114．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E，過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON=10，cos∠ABC=3515．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線y=34x上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點A，另一條直角邊與直線OA交于點B，當點C在x軸上移動時，線段AB16．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點A的坐標為0,4，點B,C均在x軸上．將△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB'C'，則點17．（2024·江蘇南京·中考真題）小強在物理課上學過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗證實驗．如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行．小強在點M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠處D到他的距離CD是多少？（結(jié)果精確到0.1?m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan18．（2024·西藏·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，連接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延長線于點E．(1)求證：CE是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，sinD=3519．（2024·山東德州·中考真題）如圖，?ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

(1)求證：?ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的邊長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，20．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西60°方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西45°方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內(nèi)，會出現(xiàn)異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東15°方向．請你根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB=________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^(qū)，請計算說明．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4121．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個折疊梯的實物圖．圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主視圖．圖4是折疊梯充分展開后的主視圖，此時點E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，點D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均與BC所在直線平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．點N在AC上，AN、MN的長度固定不變．圖5是折疊梯完全折疊時的主視圖，此時AB、AC重合，點E、M、H、N、K【分析問題】（1）如圖5，用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD?_________；（2）如圖4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的長度不變，可得MN與EN【解決問題】（3）求MN的長．22．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E，連接BD，(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CE=1，sin∠BAD=13

第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01理解銳角三角函數(shù)的概念??題型02求角的三角函數(shù)值??題型03由三角函數(shù)求邊長??題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解??題型05由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀??題型06特殊角三角函數(shù)值的混合運算??題型07根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)??題型08已知角度比較三角函數(shù)值的大小??題型09利用同角的三角函數(shù)求解??題型10三角函數(shù)綜合??題型11在平面直角坐標系中求銳角三角函數(shù)值??題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用??題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值??題型14解直角三角形的相關(guān)計算??題型15構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積??題型16運用解直角三角形的知識解決視角相關(guān)問題??題型17運用解直角三角形的知識解決方向角相關(guān)問題??題型18運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關(guān)問題??題型19運用解直角三角形的知識解決實際問題??題型20運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）??題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，則下列選項錯誤的是（

）A．sinA=ac B．cosB=ac【答案】D【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的相關(guān)定義，根據(jù)正弦，余弦，正切的定義一一判斷即可．【詳解】解：A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=故選：D．2．（2022·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故選：D．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關(guān)鍵．3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，點A、B均在格點上，用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中作△ABC，使tan∠A=1(2)在圖②中作△ABD，使tan∠A=(3)在圖③中作△ABE，使tan∠A=2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由于tan∠A=1，因此作一個以B為直角頂點或以C（2）由于tan∠A=12，因此作一個以D為直角頂點的直角三角形，其中BD=（3）由于tan∠A=2，因此作一個以E為直角頂點的直角三角形，其中BE=22，【詳解】（1）解：如圖，△ABC為所求作的三角形．或（2）解：如圖，△ABD為所求作的三角形．（3）解：如圖，△ABE為所求作的三角形．【點睛】本題主要考查了正切函數(shù)的定義，在網(wǎng)格中作直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正切函數(shù)的定義，網(wǎng)格中作垂線的方法．??題型02求角的三角函數(shù)值4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）直角三角形的斜邊與一直角邊的比是5:1，且較大的銳角為θ，則sinA．5 B．55 C．12 【答案】D【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．設(shè)斜邊與一直角邊分別為5k、k【詳解】解：設(shè)斜邊與一直角邊分別為5k、k由勾股定理得，另一直角邊5k∵較大的銳角為θ，∴sinθ=故選：D．5．（2024·湖南·模擬預(yù)測）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形面積為25，小正方形面積為1，則cosα的值為（

A．34 B．43 C．35【答案】D【分析】本題主要考查了求角的余弦值，勾股定理，設(shè)大正方形的邊長為c，直角三角形的短直角邊為a，長直角邊為b，根據(jù)正方形面積計算公式可得c2=25，b?a2=1，則b?a=1，【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為c，直角三角形的短直角邊為a，長直角邊為b，∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，∴c2∴b?a=1，∴b=a+1，由勾股定理得a2∴a2∴a=3或a=?4（舍去），∴b=4，∴cosα=故選：D．6．（2025·上海奉賢·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，且BD⊥CE，那么tan∠ABC=【答案】3【分析】設(shè)BD與CE交于Q，連接AQ并延長交BC于點H，由題意得，點Q為△ABC的重心，則H為BC中點，AQ=2QH，則△QBH為等腰直角三角形，設(shè)QH=m，則BH=m,AQ=2m，即可求解．【詳解】解：設(shè)BD與CE交于Q，連接AQ并延長交BC于點H，由題意得，點Q為△ABC的重心，∴H為BC中點，AQ=2QH∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵BD⊥CE，H為BC中點∴QH=HB=HC=1∵AH⊥BC，∴△QBH為等腰直角三角形，∴設(shè)QH=m，則BH=m,AQ=2m，∴tan∠ABC=故答案為：3．【點睛】本題考查了求一個角的正切值，等腰三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．7．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知【探究】你能否從這里得出sin2α【答案】題空：S△ABC=探究：sin【分析】此題主要考查了銳角三角形函數(shù)恒等式．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積證法，正弦和余弦定義，是解題的關(guān)鍵．填空：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC，其面積的兩種表示法為探究：得到BH=AD?BC，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到BH=2AD?BD，根據(jù)∠BAD=α，∠BAC=2α，sin2α=BH，sinα=BD，cosα=AD【詳解】題空：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，∴S△ABC=1故答案為：S△ABC=1探究：∴BH=AD?BC，∵BC=2BD，∴BH=2AD?BD，∵∠BAD=α，∴∠BAC=2α，∴sin2α=BHAB=BH，∴sin2α=2??題型03由三角函數(shù)求邊長8．（2025·上海奉賢·一模）在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)有一點P,OP=10，射線OP與x軸正半軸的夾角為α，如果sinα=35，那么點P【答案】8,6【分析】過點P作PM⊥x軸于點M，利用三角函數(shù)的定義，勾股定理，點的坐標的意義解答．本題考查了正弦函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，坐標的確定，熟練掌握正弦函數(shù)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點P作PM⊥x軸于點M，∵sinα=PMOP∴PM=10×3∴OM=O∴點P8,6故答案為：8,6．9．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D為直線BC邊上一動點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到AE，連接BE，若BC=2，則BE的最小值為．【答案】2【分析】連接CE，先證明△ACE≌△ABDSAS，得到點E在直線CE上運動，過點B作BG⊥CE于點G【詳解】解：連接CE，∵AB=AC，∠BAC=45°，AD=AE，∠DAE=45°，∴∠ABC=∠ACB=180°?45°2=67.5°∴∠BAD=∠CAD+45°=∠CAE，∵AB=∴△ACE≌△ABDSAS∴CE=BD，∠ABD=∠ACE=67.5°．故點E在直線CE上運動，∠BCG=45°，過點B作BG⊥CE于點G，根據(jù)垂線段最短，得當點E與點G重合時，BE取得最小值，∵BC=2，∴BG=BE=BCsin故答案為：2．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短，三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握全等的性質(zhì)，垂線段最短，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B在x軸上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，將菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到菱形AB1A．2+3，?3 B．3，?3【答案】C【分析】如圖，連接AC，AC'，作CM⊥x軸于M，作C'N⊥x軸于N，由菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，可得BC=2，∠BAC=30°，∠ABC=120°，則∠CBM=60°，BM=BC?cos60°=1，CM=BC?sin60°=3，AC=2CM=23，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC【詳解】解：如圖，連接AC，AC'，作CM⊥x軸于M，作C'∵菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，∴BC=2，∠BAC=30°，∠ABC=120°，∴∠CBM=60°，∴BM=BC?cos60°=1，∴AC=2CM=23由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC'=AC=2∴∠C∴AN=AC'?∴點C1的坐標是1+故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正弦，余弦，點坐標等知識．熟練掌握菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正弦，余弦，點坐標是解題的關(guān)鍵．11．（2024·安徽·三模）如圖，△ABC中，AB=30，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C，交△ABC的角平分線AD于點D，DE是⊙O的切線，交AC延長線于點E．(1)求證：BC∥DE；(2)延長AB交ED的延長線于點F，tan∠F=34【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）連接OD，交BC于點M．由角平分線的定義可得出∠BAD=∠DAC，進而可得出BD=CD，進而可得出∠OMC=90°，由圓的切線性質(zhì)可得出∠ODE=90°，進而可判定（2）先得出OM為△ABC的中位線，由三角形中位線的性質(zhì)可得出OM=12AC，由直徑所對的圓周角等于90°可得出∠ACB=90°，由（1）得結(jié)論可得出∠E=∠ACB=90°，∠F=∠ABC，進而證明四邊形CEDM是矩形，由矩形的性質(zhì)可得出CE=MD，由正切的定義得出tan∠F=tan∠ABC=ACBC=34，設(shè)AC=3x【詳解】（1）證明：連接OD，交BC于點M．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴BD=∴OD⊥BC，∴∠OMC=90°，∵DE是⊙O切線，∴∠ODE=90°，∴∠OMC=∠ODE=90°，∴BC∥DE．（2）由（1）可知，點M為BC中點，∴OM為△ABC的中位線，∴OM=∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵BC∥DE，∴∠E=∠ACB=90°，∠F=∠ABC，又∵∠OMC=∠ODE=90°，∴四邊形CEDM是矩形，∴CE=MD，在Rt△ABC中，設(shè)AC=3x，則BC=4x，由勾股定理得3x2解得x=6，∴AC=18，∴OM=9，∴CE=MD=OD?OM=15?9=6．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，圓切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角等于90°，正切的定義，矩形的判定以及性質(zhì)，三角形中位線的判定以及性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．??題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解12．（2024·貴州·模擬預(yù)測）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，則tan∠A的值（A．12 B．32 C．33【答案】C【分析】本題主要考查了求特殊角的三角函數(shù)值，以及直角三角形兩銳角互余，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠A，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：如下圖：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A=90°×1∴tan∠A=故選：C．

13．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中兩邊長如下：AB=π?30+2【答案】2【分析】先計算AB=π?30本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握公式和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵AB=π?30+2sin∴BC=A設(shè)BC邊上的高線長為h，根據(jù)題意，得12∴?=214．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）平面直角坐標系中，點A與點B(cos60°,?3)關(guān)于x軸對稱，如果函數(shù)y=kx【答案】32/【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”可知A點坐標；代入函數(shù)關(guān)系式求解．主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和特殊角的三角函數(shù)值及坐標系中的對稱點的坐標特點．【詳解】解：∵cos∴點B1∵點A與點B(cos60°,?3)∴點A為12∵函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點∴k=3故答案為：3215．（2023·山東青島·一模）計算：sin30°+3【答案】1【分析】本題實數(shù)的混合運算，先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和二次根式化簡，再計算即可．【詳解】sin30°+故答案為：12??題型05由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀16．（2024·江蘇淮安·一模）在△ABC中，若cosA?22+1?tanB2=0，【答案】等腰直角【分析】此題考查了已知三角函數(shù)值求角，涉及了絕對值和平方的非負性，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)絕對值和平方的非負性可得，cosA?22【詳解】解：由cosA?cosA?即cosA=解得：∠A=45°，∠B=45°，則∴△ABC為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角．17．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測）在△ABC中，若∠A，∠B都是銳角，且sinA=12，cosB=1A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可判斷∠A=30°，∠B=60°，從而可求出∠C=90°，即證明△ABC的形狀是直角三角形．【詳解】∵∠A，∠B都是銳角，且sinA=12∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?30°?60°=90°，∴△ABC的形狀是直角三角形．故選D．【點睛】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀，三角形內(nèi)角和定理．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．??題型06特殊角三角函數(shù)值的混合運算18．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）（1）計算：3?2（2）化簡求值：m2?2m?【答案】（1）0；（2）m+1m【分析】（1）先化簡零指數(shù)冪，二次根式，代入三角函數(shù)值，在進行加減運算即可求解．（2）先將括號里面的通分，進行因式分解，再將除法轉(zhuǎn)成乘法運算，約分化簡，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系和代入m值后，得到m2?3m+1=0，【詳解】（1）解：原式=2?=2?=0．（2）解：原式=====m+∵m、n為方程x2∴m2?3m+1=0，∴m+1∴原式=3【點睛】本題考查分式化簡求值，零指數(shù)冪，二次根式化簡求值和特殊角三角函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．（2024·湖南·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：x2?2x?2【答案】2x?4；?5【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，求特殊角三角函數(shù)值，先把小括號內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡，再根據(jù)30度角的正弦值為12求出x=?【詳解】解：x====2=2x?4當x=?sin30°=?120．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）計算：6sin【答案】5【分析】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡，零次冪，負指數(shù)冪的計算，掌握實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．先算特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的化簡，零次冪的值，負指數(shù)冪的值，最后再根據(jù)實數(shù)的混合運算法則計算即可．【詳解】解：6=6×=3=5．??題型07根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)21．（23-24九年級上·福建泉州·期中）某水庫大壩，其坡面AB的坡度i=1:3，則斜坡AB的坡角的度數(shù)為°【答案】30【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用﹣坡度坡角問題，利用坡度的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可求出斜坡AB的坡角的度數(shù)，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵tanA=i=∴∠A=30°，故答案為：30．22．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知∠A，∠B是銳角，若tanA?3+2sin【答案】75°/75度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)絕對值和偶次方的非負性可得：tanA?3=0，2sinB?2=0，從而可得tan【詳解】解：∵tanA?∴tanA?3∴tanA=3∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°?∠A?∠B=75°，故答案為：75°．23．（2023·遼寧·一模）如圖所示是潛望鏡工作原理的平面示意圖．一條平行光線l經(jīng)鏡面BC反射到EF后得到光線m，且l∥m．虛線所示為光線反射軌跡．若測得兩條平行光線間的距離為3，虛線長度為2，則虛線與m所夾鈍角的度數(shù)為（

）A．110° B．120° C．135° D．150°【答案】B【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用，求出虛線與m所夾銳角的正弦值即可．【詳解】如圖，設(shè)虛線與l、m的交點分別為M、N，過M作直線m的垂線交于點Q，由題意可得MQ=3，MN=2設(shè)虛線與直線m所夾銳角為θ，則sinθ=∴θ=60°，即虛線與直線m所夾鈍角為120°．故選：B．24．（2023·安徽六安·二模）如圖，⊙C過原點O，與x軸、y軸分別交于A?D兩點，已知C?1,n,OD=23

【答案】4π【分析】如圖，連接OC，OD，過C作CH⊥OD于H，由C?1,n,OD=23，可得CH=1，OH=DH=3，∠OCH=∠DCH，可得OC=3+1【詳解】解：如圖，連接OC，OD，過C作CH⊥OD于H，

∵C?1,n∴CH=1，OH=DH=3，∠OCH=∠DCH∴tan∠OCH=OHCH∴∠OCH=60°，∠OCD=2∠OCH=120°，∴OD的長為120π×2180故答案為：4【點睛】本題考查的是坐標與圖形，勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的求解∠OCD=120°是解本題的關(guān)鍵．??題型08已知角度比較三角函數(shù)值的大小25．（2020·甘肅張掖·模擬預(yù)測）若0°<α<90°，則下列說法不正確的是（

）A．sinα隨α的增大而增大 B．cosα隨α的減小而減小C．tanα隨α的增大而增大 D．0<sinα<1【答案】B【分析】如圖，作半徑為1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均為直徑，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，利用銳角三角函數(shù)的定義分析可得答案．【詳解】解：如圖，作半徑為1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均為直徑，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，∴OA=OB=1,由sin∠BOH=顯然，∠BOH＜∠AOG，而BH＜AG，所以當0°<α<90°時，sinα隨α同理可得：當0°<α<90°時，cosα隨α的減小而增大，故B錯誤；當0°<α<90°時，tanα隨α的增大而增大，故C正確；當α=∠AOG，當點A逐漸向F移動，邊AG逐漸接近OA，∴sinα=sin當0°<α<90°時，0<sinα<1，故D正確；故選B．【點睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．26．（2020·內(nèi)蒙古·二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系．【答案】cosA=AC【分析】根據(jù)余弦的定義即可確定答案；根據(jù)sin70°=cos20°且正弦隨角度的增大而增大，余弦隨角度的增大而減小即可確定大小關(guān)系．【詳解】解：∵直角三角形ABC中，角C為直角∴BC為斜邊，AC為直角邊且為∠A的一邊∴余弦的定義為cosA=AC∵sin70°=cos20°且正弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而增大，余弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而減小∴sin70o==cos20o＞cos40o，cos40o＞cos50o∴sin70o＞cos40o＞cos50o．故答案為cosA=AC【點睛】本題考查了余弦函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的增減性，掌握正弦在銳角范圍內(nèi)為增函數(shù)、余弦在銳角范圍內(nèi)為減函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023·上海靜安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)的增減性分類討論，即可得到答案．【詳解】解：當0°<∠A<45°時，∴sin∴sin?A<∴sin?A?當∠A=45°時，90°?∠A=45°，∴sinsinA=∴sin?A?當45°<∠A<60°，∴sin∴sin?A>∴sin?A?綜上所述，sinA與cos故選：D．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是掌握在0°～90°之間（不包括0°和90°），角度變大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變?。⒁夥诸愑懻摚?8．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出sin28°?【詳解】解：sin28°?cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故選：C．【點睛】本題考查了三角函數(shù)關(guān)系，掌握三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．??題型09利用同角的三角函數(shù)求解29．（2024·江蘇泰州·二模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BD⊥AB，BD=AB，連接CD，若要計算△BCD的面積，只需知道（

）A．AB長 B．AC長 C．CD長 D．BC長【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，余角的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，過輔助線如圖，證明∠CBF=∠CAB，得出sin∠CBF=sin∠CAB，即CF【詳解】解∶過C作CF⊥BD交DB延長線于F，∵∠ACB=90°，BD⊥AB，∴∠CBF=∠CAB=90°?∠ABC，∴sin∠CBF=∴CFBC∴CF=B∵BD=AB，∴△BCD的面積為12故選∶D．30．（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，點D在圓O上，點E在AB的延長線上，且EF=ED．

(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)連接BC，若tan∠BCD=12，DE=6【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）連接OD，OC，利用等弧所對圓心角相等以及平角定義求出∠AOC=∠BOC=90°，進而求出∠OCF+∠OFC=90°，利用等邊對等角可得出∠OCD=∠ODC，∠EDF=∠DFE，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求出∠CDO=90°，利用切線的判定即可得證；（2）過D作DH⊥AB于H，利用同角的三角函數(shù)性質(zhì)求出DHAH=12，設(shè)DH=x，AH=2x，半徑為r，在Rt△ODH中，利用勾股定理求出r=54x，進而求出OH=3【詳解】（1）解：連接OD，OC，

∵點C是弧AB的中點，∴AC=∴∠AOB=∠BOC，又∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OCF+∠OFC=90°，∵OC=OD，DE=FE，∴∠OCD=∠ODC，∠EDF=∠DFE，又∠OFC=∠DFE，∴∠ODC+∠CDF=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥DE，又OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：過D作DH⊥AB于H，

∵∠A=∠BCD，∴tanA=∴DHAH設(shè)DH=x，AH=2x，半徑為r，則OH=2x?r，在Rt△ODH中，O∴r2解得r=5∴OH=3∴tan∠DOH=∴DEOD=tan∴OD=9∴AB=9．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．31．（2023·江蘇淮安·二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，OE∥BC，AE的延長線交BC于點D，∠ABC=2∠CAD．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若CD=2，tan∠CAD=13【答案】(1)證明見解析；(2)⊙O直徑為8．【分析】（1）連接BE，由平行線得到∠ABE=∠CBE=12∠ABC，根據(jù)∠ABC=2∠CAD可得∠ABE=∠CAD，利用∠BAE+∠CAD=90°可證明AC（2）作DF⊥AC，由tan∠CAD=13設(shè)DF=x，AF=3x，由勾股定理得AD=10x，利用等角的正切值相等得到AB=5x，應(yīng)用sin【詳解】（1）解：連接BE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∵OB=OE，∴∠ABE=∠BEO，∵OE∥EC，∴∠ABE=∠CBE=1又∵∠ABC=2∠CAD，∴∠ABE=∠CAD，∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE+∠CAD=90°，∴AB⊥AC，∵AB是直徑，∴AC是⊙O的切線．（2）解：作DF⊥AC交AC于點F，∵tan∴DF設(shè)DF=x，AF=3x，由勾股定理得AD=A由1得，∠ABE=∠CBE，∠AEB=90°，在△ABE和△DBE中，∠ABE=∠DBEBE=BE∴△ABE≌△DBE，∴AE=DE，∴AE=1∵∠ABE=∠CAD，∴tan∴BE=3AE=3在Rt△ABE中，AB=∵sin即5x5x+2解得x=85或∴直徑AB=5x=5×8【點睛】本題考查的知識點是切線的判定、圓周角定理、三角函數(shù)的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用三角函數(shù)定義．32．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】過點A作AF⊥l3于點F，交l2熟練掌握性質(zhì)和三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點A作AF⊥l3于點F，交l2∵l1∴AF⊥l∵相鄰兩條平行直線間的距離都是2，∴AG=GF=2,AF=4，∵正方形ABCD，∴AB=AD,∠BAD=90°，∴∠BAF=90°?∠GAD=∠ADG，∴cos∠BAF=∴AFAB∴DG=AF=4，∴tan∠BAF=∴EGAG∴EG2解得EG=1，∴DE=DG+EG=5，故選C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，正切函數(shù)，余弦函數(shù)，平行線間的距離．熟練掌握性質(zhì)和三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．??題型10三角函數(shù)綜合33．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的切線，P為切點，連接OA，OB，分別與⊙O相交于點C，點D，若∠A=30°，AP=23，BP=2，則CDA．7π3 B．4π3 C．【答案】C【分析】連接OP，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OP⊥AB，從而可得∠APO=90°，再在Rt△AOP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OP的長，從而可得OP=BP=2，進而可得∠B=∠BOP=45°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠AOB=105°本題考查了切線的性質(zhì)，弧長的計算，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接OP，∵AB是⊙O的切線，P為切點，∴OP⊥AB，即