2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)3第九章解三角形9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用含解析新人教B版必修第四冊

PAGEPAGE1課時作業(yè)3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用時間：45分鐘eq\a\vs4\al(一、選擇題每小題5分，共40分)1．海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是(D)A．10eq\r(3)海里B．10eq\r(6)海里C．5eq\r(2)海里D．5eq\r(6)海里解析：如題圖，∠A＝60°，∠B＝75°，則∠C＝45°，由正弦定理得：BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6).2．如圖所示，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為(A)A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m解析：因為∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，依據(jù)正弦定理可知，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m，選A.3．如圖，測量河對岸的塔的高度AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C測得塔頂A的仰角為60°，則塔AB的高度為(D)A．15eq\r(2)m B．15eq\r(3)mC．15(eq\r(3)＋1)m D．15eq\r(6)m解析：在△BCD中，由正弦定理得BC＝eq\f(sin30°,sin135°)×CD＝15eq\r(2)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝15eq\r(6).故選D.4．在一幢20m高的樓頂測得對面一塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°(如圖所示)，那么這座塔的高是(B)A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))mB．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))mD．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析：由題意知四邊形ABDE為矩形，∴∠BAD＝90°－∠DAE＝45°，∴AB＝BD＝20m，∴AE＝BD＝20m．故在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60°＝20eq\r(3)m.∴CD＝DE＋CE＝20＋20eq\r(3)＝20(1＋eq\r(3))(m)．5．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm，燈塔A在視察站C的北偏東20°，燈塔B在視察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(B)A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析：易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×(－eq\f(1,2))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)akm.6．如圖所示，為測一建筑物的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點測得建筑物頂端的仰角分別為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60m，則該建筑物的高度為(A)A．(30＋30eq\r(3))mB．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))mD．(15＋15eq\r(3))m解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理，得PB＝eq\f(ABsin30°,sin15°)＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))m，所以建筑物的高度為PBsin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))(m)，故選A.7．線段AB外有一點C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運動起先多少小時后，兩車的距離最小(C)A.eq\f(69,43) B．1C.eq\f(70,43) D．2解析：如圖所示，設(shè)th后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因為AB＝200，所以BD＝200－80t，問題就是求DE最小時t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.當(dāng)t＝eq\f(70,43)時，DE最?。蔬xC.8．某炮兵陣地位于A點，兩個視察所分別位于C，D兩點．已知△ACD為等邊三角形，且DC＝eq\r(3)km，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(A，B兩點位于CD兩側(cè))時，測得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，則炮兵陣地與目標(biāo)的距離約為(C)A．1.1kmB．2.2kmC．2.9kmD．3.5km解析：如圖，∠CBD＝180°－∠CDB－∠BCD＝180°－45°－75°＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(BD,sin75°)，故BD＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°，∴AB＝eq\r(5＋2\r(3))≈2.9(km)．故炮兵陣地與目標(biāo)的距離約為2.9km，故選C.eq\a\vs4\al(二、填空題每小題6分，共18分)9．如圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B和對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120米，則河的寬度為(60eq\r(3)－60)米．解析：由題意可得∠ACB＝105°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，BC＝60eq\r(6)－60eq\r(2)，如圖，過C點作CD⊥AB于D，設(shè)CD＝x，則x＝BCsin45°＝60(eq\r(3)－1)＝60eq\r(3)－60.10．一只螞蟻沿東北方向爬行xcm后，再向右轉(zhuǎn)105°爬行20cm，又向右轉(zhuǎn)135°，這樣接著爬行可回到動身點處，那么x＝eq\f(20,3)eq\r(6).解析：假設(shè)螞蟻的爬行路途為A→B→C→A.依據(jù)題意，作出圖形，如圖，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，則∠BAC＝60°，由正弦定理知eq\f(x,sin∠ACB)＝eq\f(20,sin∠BAC)，∴x＝eq\f(20,3)eq\r(6).11．如圖，嵩山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)覺張角∠ABC＝120°；從B處攀登400m到達D處，回頭看索道AC，發(fā)覺張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800m到達C處，則索道AC的長為400eq\r(13)m.解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°.∵∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°，∴AB＝BD＝400，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB×BDcos120°)＝400eq\r(3).在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(400eq\r(3))2＋8002－2×400eq\r(3)×800×cos150°＝4002×13，∴AC＝400eq\r(13).三、解答題寫出必要的計算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，12、13、15題各12分，14題6分，共42分12．如圖所示，海中小島A四周38海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測得小島在船的南偏東45°，假如此船不變更航向，接著向南航行，有無觸礁的危急？解：在△ABC中，BC＝30海里，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°.由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即：eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))(海里)，∴A到BC的距離d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈40.98(海里)>38海里，所以接著向南航行，沒有觸礁危急．13．現(xiàn)有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船位于點A北偏東45°且與點A相距40eq\r(2)海里的B處，經(jīng)過40分鐘，又測得該船已行駛到點A北偏東(45°＋θ)(其中sinθ＝eq\f(\r(26),26)，0°<θ<90°)且與點A相距10eq\r(13)海里的C處．求該船的行駛速度(單位：海里/時)．解：如圖所示，AB＝40eq\r(2)海里，AC＝10eq\r(13)海里，∠BAC＝θ，sinθ＝eq\f(\r(26),26).由于0°<θ<90°，所以cosθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)))2)＝eq\f(5\r(26),26).由余弦定理得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ)＝10eq\r(5)海里，所以船的行駛速度為eq\f(10\r(5),\f(2,3))＝15eq\r(5)(海里/時)．——素養(yǎng)提升——14．在一條東西走向的水平馬路的北側(cè)遠(yuǎn)處有一座高塔，塔底與這條馬路在同一水平平面上．為測量該塔的高度，測量人員在馬路上選擇了A，B兩個觀測點，在A處測得該塔底部C在西偏北α的方向上，在B處測得該塔底部C在西偏北β的方向上，并測得塔頂D的仰角為γ.已知AB＝a,0<γ<β<α<eq\f(π,2)，則此塔的高CD為(B)A.eq\f(asinα－β,sinα)tanγB.eq\f(asinα,sinα－β)tanγC.eq\f(asinα－βsinβ,sinα)tanγD.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)tanγ解析：依題意，得在△ABC中，AB＝a，∠CAB＝π－α，∠ACB＝α－β，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα－β)＝eq\f(BC,sinπ－α)，所以BC＝eq\f(asinα,sinα－β).在△BCD中，∠CBD＝γ，CD＝BCtanγ＝eq\f(asinα,sinα－β)tanγ，故選B.15．某市電力部門在一次救災(zāi)過程中，須要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理條件限制，不能干脆測量A，B兩地距離．現(xiàn)測量人員在相距eq\r(3)km的C，D兩地(假設(shè)A，B，C，D在同一平面上)，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等緣由，實際所需電線長度大約是A，B距離的eq\f(4,3)倍，問施工單位至少應(yīng)打算多長的電線？解：在△ACD中，由已知可得，∠CAD＝30°，所以AC＝eq\r(3)km，在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°，sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6