北師大版八年級數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項復(fù)習(xí)：直角三角形中的“銳角平分線”模型（解析版）

重難點(diǎn)01直角三角形中的“銳角平分線”

模型

O【知識梳理】

運(yùn)用句股定理計算是中考必考知識點(diǎn)，如何巧妙地構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.有些難題，同學(xué)

們找到了直角三角形，但是還是不會求解，關(guān)鍵一點(diǎn)就是忽略了設(shè)未知數(shù)列方程來求解.

勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么。2+廬=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+廬=,2的變形有：?=^c2_b2,6=幾項下及c=療彳.

(4)由于/+廿=02>/,所以c>°,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中

的每一條直角邊.

二.翻折變換(折疊問題)

1、翻折變換(折疊問題)實質(zhì)上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

3、在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設(shè)要求

的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含尤的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

【考點(diǎn)剖析】

勾股定理（共1小題）

1.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6,BC=8,將直角邊48折疊使它落

在斜邊AC上，折痕為A。，則BD=3.

【分析】設(shè)點(diǎn)8落在AC上的E點(diǎn)處，連接。E,如圖所示，由三角形ABC為直角三角

形，由與8c的長，利用勾股定理求出AC的長，設(shè)8O=x,由折疊的性質(zhì)得到即

=BD=x,AE=AB=6,進(jìn)而表示出CE與CO,在直角三角形DEC中，利用勾股定理列

出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到尤的值，即可確定出8。的長.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)2落在AC上的￡點(diǎn)處，連接。E,如圖所示，

;△ABC為直角三角形，AB=6,BC=8,

根據(jù)勾股定理得：

AC=A/AB2+BC2=IO,

設(shè)無，由折疊可知：DE=BD=x,AE=AB=6,

可得：CE=AC-AE=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,

在Rt/XCDE中，

根據(jù)勾股定理得：（8-x）2=42+/,

解得：x=3,

則BD=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握勾股定理的解本題的關(guān)鍵.

二.翻折變換（折疊問題）（共11小題）

2.如圖，直角三角形紙片ABC中，AC=3,BC=4,折疊紙片使邊AC落在斜邊A8上，折

痕為AD,則CD的長為（

23

【分析】首先根據(jù)勾股定理計算出AB的長，再根據(jù)折疊可得AC=AE=3,CD=DE,BE

=5-3=2,然后設(shè)CD=OE=x,則80=4-x,再在直角△BOE中利用勾股定理即可算

出x的值.

【解答】解：在直角△ABC中：AB=yjAC2+BC—V9+16—5,

根據(jù)折疊可得AC=AE=3,CD=DE,BE=5-3=2,

設(shè)CD=OE=x,則BD=4-x,

在直角△B￡)E中:(4-x)2=X2+22,

解得：x=—.

2

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的翻折變換，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為X,然后

根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危?/p>

運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知

數(shù).

3.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,AC^Scm,BC=6cm,將斜邊AB翻折，

使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為A。，則CE的長為()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AE=AB,已知AC的

長，可將CE的長求出.

【解答】解：在RtZ\ABC中，AB=JAC?+BC2=?82+62=

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE=AB=W

VAC=8

CE=AE-AC=2

即CE的長為2

故選:B.

【點(diǎn)評】此題考查翻折問題，將圖形進(jìn)行折疊后，兩個圖形全等，是解決折疊問題的突破

口.

4.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊長AB=6,8C=8,將直角邊48折疊，使它落

在斜邊AC上，折痕為AD,則C。長是（）

【分析】設(shè)點(diǎn)B落在AC上的E點(diǎn)處，連接。E,如圖所示，由三角形ABC為直角三角

形，已知A3與2C的長，利用勾股定理求出AC的長，設(shè)20=無，由折疊的性質(zhì)得到即

=BD=x,AE=AB=6,進(jìn)而表示出“與CD,在直角三角形。EC中，利用勾股定理列

出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到無的值，進(jìn)而得到。的長.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)8落在AC上的E點(diǎn)處，連接。E,如圖所示，

:△ABC為直角三角形，AB=6,8c=8,

根據(jù)勾股定理得：AC=AB2+BC=.

設(shè)2￡）=無，由折疊可知：DE=BD=x,AE=AB=6,

可得：CE=AC-AE=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,

在RtZ\CDE中，根據(jù)勾股定理得：（8-x）2=42+?,

解得：x=3,

；.CD=8-3=5.

故選：C.

A

B

D

【點(diǎn)評】本題主要考查了翻折變換、勾股定理等知識點(diǎn)，熟知折疊是一種對稱變換，它屬

于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解答此

題的關(guān)鍵.

5.如圖，有一塊直角三角形紙片ABC,NC=90°.兩直角邊AC=6on,BC=8cm,現(xiàn)將

該紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊A8上的點(diǎn)E處，則折痕人。=二遙

C力6

【分析】先根據(jù)勾股定理求得A3的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE,3E的長，從而利用

勾股定理可求得的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得AD

【解答】解：-：AC=6cm,BC=8cm,ZC=90°

.\AB=10cm,

\'AE=6cm(折疊的性質(zhì))，

BE=4cm,

設(shè)CD=x,

則在中，

42+X2=(8-x)2,

/.x=3cm.

CD=3cm,

在RtAACZ)中，AD=7AC2-K：D2=3V5.

故答案為3遙.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出Rt△。國的

三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

6.有一塊直角三角形紙片，兩直角邊A8=6,BC=8,將該紙片折疊，使直角邊48落在斜

邊AC上，折痕為AD,則BD=3.

【分析】作出圖形，利用勾股定理列式求出AC,再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AE=A8,

DE=BD,然后求出CE,設(shè)尤，表示出C。，再利用勾股定理列出方程求解即可.

【解答】解：如圖，：兩直角邊A8=6,8C=8,

斜邊AC=VAB2+BC2=762+82=1°，

由翻折的性質(zhì)得，AE=AB,DE=BD,

：.CE=AC-AE=lO-6=4,

設(shè)3O=x,則CD=8-x,

在RtZ\CDE中，D￡2+C￡2=C￡)2,

BP?+42=(8-x)2

解得尤=3,

即BD=3.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是

解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

7.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，NC=90°,AC^Scm,BC=6cm,將斜邊AB翻折，

使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD則2。的長為衛(wèi).

—3—

【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊的長求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AE=A8,已知AC的

長，可將CE的長求出，再根據(jù)勾股定理可求8。的長.

【解答】解：在中，

Rt^ABCAB=^AC2+BC2=IO,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE=AB=10,DE=BD

：AC=8

：.CE=AE-AC=2

在RtZXCDE中，DEL=CD1+CE1.

C.BD1^(BC-BD)2+32.

:4日=(6-BD)2+4

：.BD=—

3

故答案為此

3

【點(diǎn)評】本題考查翻折問題，將圖形進(jìn)行折疊后，兩個圖形全等，是解決折疊問題的突破

口.

8.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6,BC=8,將三角形ABC折疊，使

AB落在斜邊AC上得到線段折痕為AD,則BD的長為3.

【分析】設(shè)點(diǎn)B落在AC上的E點(diǎn)處，連接。E,如圖所示，由三角形ABC為直角三角

形，由AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長，設(shè)B￡)=x,由折疊的性質(zhì)得到即

=BD=x,AE=AB=6,進(jìn)而表示出CE與CD,在直角三角形DEC中，利用勾股定理列

出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到尤的值，即可確定出8。的長.

【解答】解：:△ABC為直角三角形，48=6,BC=8,

根據(jù)勾股定理得：

AC=^AB2+BC2=IO,

設(shè)2￡)=無，由折疊可知：DB'=BD=x,AB'=AB=6,

可得：C2'=AC-A2'=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,

在中，

根據(jù)勾股定理得：(8-尤)2=42+.r2,

解得：x=3,

則BD=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握勾股定理的解本題的關(guān)鍵.

9.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=3,BC=4,將直角三角形紙片ABC折疊，

使直角邊AC落在斜邊48上，折痕為AD,則立.

一2一

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再設(shè)BD=x,則CD=4-x,由圖形翻折變換的

性質(zhì)可得出AC=AC',C￡>=C'。，再在RtZXBC'。中利用勾股定理即可求出x的值，

進(jìn)而可得出BD的長.

【解答】解：：RtZ\ABC中，兩直角邊AC=3,8C=4,

?'-AB=VAC2+BC2=V32+42=5)

設(shè)BD=x,則CD=4-x,

\9ACr=AC=3,CD=CD=CB-DB=4-x,BC'=AB-AC=5-3=2,

???在RSU。中，BC2+CfD1=BD2,

即22+(4-x)2=x2,

解得尤=9,

2

：.BD=^-.

2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)評】本題考查的是圖形的翻折變換及勾股定理，解答此類題時常常設(shè)要求的線段長

為無，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含尤的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹?/p>

角三角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

10.如圖，有一塊直角三角形紙片，NC=90°,AC^4cm,BC=3cm,將斜邊AB翻折，使

點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD則C。的長為.

A

【分析】易求A8=5cm,則CE=lon.設(shè)CZ)=x,則a>=D8=3-%.根據(jù)勾股定理求

解.

【解答】解：VZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,

??AB=5CJTL.

根據(jù)題意，AE=AB=5,ED=BD.

；?CE=lcm.

設(shè)CD=x,貝UED=3-x.

根據(jù)勾股定理得

f+]2=(3,x)2,

解得x=—cm.即CD長為里cm.

33

故答案為4?！?

3

【點(diǎn)評】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊前后的對應(yīng)相等關(guān)系.

11.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊AC=6c〃z,BC=8cm.現(xiàn)將直角邊AC沿A。折疊,

使它落在斜邊上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合.求CD的長.

【分析】由折疊的性質(zhì)知CD=DE,AC=AE.根據(jù)題意在中運(yùn)用勾股定理求

DE.

【解答】解：：△ABC是直角三角形，AC=6cm,BC=8cm,

?*-AB=VAC2+BC2=VS2+82=10（CM）,

AA￡D是△AC。翻折而成，

.\AE=AC=6cmf

設(shè)DE=CD=xcm,ZAED=90°,

BE=AB-AE=10-6=4cm,

在中，BD1=DE1+BE1,

即（8-x）2=42+?,

解得x=3.

故CD的長為3cm.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換及勾股定理，解答此類題目時常常設(shè)要求的線段長為x,然

后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其它線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨?/p>

形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

12.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6on,BC=8cm,現(xiàn)將直角三角形紙片沿

直線AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上點(diǎn)E處.

（1）求A8的長；

（2）直接寫出AE、BE的長及皮）的度數(shù)；

（3）求C。的長.

【分析】（1）由有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,利用勾股定理

即可求得AB的長；

(2)由折疊的性質(zhì)即可求得AE的長與/A即的度數(shù)，繼而求得8E的長與NBEZ)的度

數(shù)；

(3)設(shè)CO=xc%,由勾股定理即可求得方程：X2+42=(8-x)2,解此方程即可求得答

案.

【解答】解：(1):在RtZvlBC中，兩直角邊AC=6an,BC=8cm,

,'MS=VAC^+BC^=10(cm)；

(2):由折疊的性質(zhì)可得：AE=AC=6cm,NAED=/C=90；

：.BE^AB-AE^IO-6=4(cm),/BED=9U°；

(3)設(shè)CD=xcm,

則DE=CD=xcm,BD=BC-CD=8-x(cm),

在片中，￡>E2+BE2=BZ)2,

則/+42=(8-x)2,

解得：x=3.

故CD=3cm.

【點(diǎn)評】此題考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形

的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

廿【過關(guān)檢測】

一.選擇題(共7小題)

1.(2021秋?定州市期末)如圖，在△ABC中，ZC=90°,A。是△ABC的角平分線，若

CD=3,則點(diǎn)。到AB邊的距離為()

【分析】作。于E,根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可.

【解答】解：作OELA3于E,

是△ABC的角平分線，NC=90°,DELAB,

：.DE=DC=3,

故選：D.

c

D

AEB

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為。，AF

平分NCAB,交CD于點(diǎn)E,交C3于點(diǎn)?若AC=9,AB=15,則CE的長為（）

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出NCAF+NCE1=9O°,ZFAD+ZAED^9Q°,根

據(jù)角平分線和對頂角相等得出/CEF=NC/芯，即可得出EC=BC,再證明RtA4C/絲Rt

△AGF得AG,最后利用勾股定理列出方程進(jìn)行解答.

【解答】解：過點(diǎn)/作FGLAB于點(diǎn)G,

VZACB=90°,CDLAB,

AZCDA=90°,

：.ZCAF+ZCFA^9Q°,ZFAD+ZAED^9Q0,

平分NCAB,

：.ZCAF^ZFAD,

：.ZCFA=/AED=ZCEF,

：.CE=CF,

尸平分NCAB,ZACF=ZAGF=9Q°,

：.FC=FG,

VZACB=90°,AC=9,AB=15,

.-.BC=^AB2_AC2=12,

在RtAACF和RtAAGF中,

[AF=AF,

(AC=AG，

.'.RtAACF^RtAAGF(HL〕,

：.AC=AG=9,

設(shè)CE=無，則PC=FG=x,BF=U-x,BG=15-9=6,

VFG2+BG2=BF2,即/+62=(12-x)2,

解得x=空，

2

即CE=生,

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理

以及勾股定理的應(yīng)用等知識，關(guān)鍵是推出和由勾股定理列出方程，體現(xiàn)

了方程思想.

3.(2022?雁塔區(qū)模擬)如圖，RtAABC中，NC=90°,平分NBAC交BC于點(diǎn)Z),DE

〃AB交AC于點(diǎn)E,己知CE=3,CD=4,則長為()

【分析】根據(jù)勾股定理求出DE,根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到NCAZ)=/

ADE,得出AE=DE=5,進(jìn)而求出AC,根據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,CE=3,CO=4,

由勾股定理得：DE={cM火42+32=5,

'：DE//AB,

：.ZBAD=ZADE,

:A￡)平分4BAC,

；./BAD=/CAD,

：.ZCAD^ZADE,

：.AE=DE=5,

：.AC=AE+EC=8,

；?A。=VAC2<D2=V82+42=4爬,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，如果直角三角形的兩

條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么/+62=02.

4.（2021秋?西湖區(qū)校級期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則（）°

（點(diǎn)A,B,尸是網(wǎng)格交點(diǎn)）.

A.30B.45C.60D.75

【分析】延長AP交格點(diǎn)于。，連接根據(jù)勾股定理得到92=8。2=1+22=5,PB2

=12+32=10,求得PD，DB2=PB2,于是得到NPZM=90°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【解答】解：延長AP交格點(diǎn)于連接2D

貝ljPD2=BD2=l+22=5,PB2=l2+32=10,

:.PD2+DB2^PB2,

：.ZPDB=90°,

：.ZDPB=ZPAB+ZPBA=45°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角

形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）已知△ABC中，a、b、c分別為/A、NB、NC的對邊，

則下列條件中：

①“2-廬=°2；②層:b2：c2=l：3：2；③NA：ZB：NC=3：4：5；④/A=2/B=2

ZC.

能判斷△ABC是直角三角形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可.

【解答】解：①次-62=02,是直角三角形；

②/：必：＜?2=1：3：2,△ABC是直角二角形；

③/A：ZB：/C=3：4：5,△ABC不是直角三角形;

④NA=2NB=2NC,△ABC是等腰直角三角形.

故選：c.

【點(diǎn)評】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答.

6.（2022秋?江陰市期中）以下四組代數(shù)式作為△ABC的三邊，能使△ABC為直角三角形的

有（）

①3小4〃，5n（〃為正整數(shù)）；

②小n+\,n+2（w為正整數(shù)）；

③層-1,2n,/+1（力22,“為正整數(shù)）；

④京-￡2mn,m^+n2（m>〃,m,”為正整數(shù)）.

A.1組B.2組C.3組D.4組

【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可.

【解答】解：①3%4m5n（〃為正整數(shù)），（3?）2+（4〃）2=（5"）2,能構(gòu)成直角三角

形；

②"，n+l,71+2（〃為正整數(shù)），后+（〃+1）V（/2）2,不能構(gòu)成直角三角形；

③〃2-1,2n,按+i（G2,〃為正整數(shù)）,（n2-1）2+（層+1）2=⑵）2,能構(gòu)成直角三

角形；

④加2_〃2,2mn,nP'+r^Gn>n,“z,a為正整數(shù)），（MI2-n2）2+（2nm）（m2+n2）2,

能構(gòu)成直角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)

鍵，注意：如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形

是直角三角形.

7.（2022?東莞市校級一模）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6c?i,BC=8cm,

現(xiàn)將△AC。沿直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則CD的長為（）

cm.

C.3D.3

2

【分析】先根據(jù)勾股定理求得A2的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE,BE的長，從而利用

勾股定理可求得的長.

【解答］解：\'AC^6cm,BC=8cm,NC=90°,

AAB=VAC2+BC2=762+82=10(CM),

由折疊的性質(zhì)得：AE=AC=6cmfZAED=ZC=90°,

BE=l0cm-6cm=4cm,NBED=9U°,

設(shè)CD=x,則CO=8-x,

在RtZ\O硬中，BE2+DE2=B￡>2,

即42+/=(8-x)2,

解得：％=3(cm),

CD=3cm,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識；熟記折疊性質(zhì)并表示出的

三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共7小題)

8.(2022秋??？谄谀?如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,N8AC的平分線交于點(diǎn)O,

DE//AB,交AC于點(diǎn)E,。b_LA8于點(diǎn)/，若DE=5,DF=3,則AC的長為9.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NC4O=NA4O,CD=DF=3,由平行線的性質(zhì)得N

EDA=NBAD,則NEDA=CA。，△AOE為等腰三角形，因此。E=AE=5,再根據(jù)勾股

定理得CE={DE2-CD2Ws2-B2=4,最后由AC—AE+CE即可求解.

【解答】解：?.9。平分/24。，ZC=90°,DFLAB,

：.ZCAD=ZBAD,CD=DF=3,

9：DE//AB,

：.ZEDA=ZBAD,

：.ZEDA=ZCAD,

???△AOE為等腰三角形，

：.DE=AE=5,

在Z\CED中，由勾股定理得2_g2=4，

：.AC=AE+CE=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理，解題關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練運(yùn)用所學(xué)知識答題.

9.（2021秋?陵城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，/C=90°,于。，交AC于點(diǎn)E,

若BC=BD,AC^6cm,BC=8an,AB^lOcm,則△ADE的周長是8cm

【分析】連接BE,利用HL證明RtABCE與Rt/\BDE全等，利用全等三角形的性質(zhì)解

答即可.

【解答】解：連接8E,

VZC=90°,DELABD,

；.NC=/BDE=90°,

在RtABCE與RtABDE中，

[BE=BE,

lBC=BD，

.*.RtABC￡^RtAB￡)E(HL),

:.DE=CE,

AB=10cm,BC—Scm,AC—6cm,

AADE的周長=DE+4E+4￡)=CE+AE+AB-BD=AC+AB-3c=6+10-8=8(cm),

故答案為：8cm.

【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL得出RtABCE與RtABDE

全等解答.

10.(2021秋?鹿城區(qū)校級期中)△ABC中，AB=AC=5,BC=8,3。為AC邊的高線，則

BD的長為建.

—5―

D

A

BC

【分析】過A作于點(diǎn)區(qū)利用勾股定理得出AE,進(jìn)而利用三角形的面積公式解

答即可.

【解答】解：過A作AELBC于點(diǎn)E,

：.BE=EC=4,

?■?A￡=VAB2-BE2=V52-42=3;

7

SAABC-|BC-AE=JAC-BD-

?'?yX8X3=yX5XBD-

5

故答案為：24.

5

【點(diǎn)評】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理得出AE.

11.（2021秋?金牛區(qū)校級期中）如圖，在4X4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)

A,B,C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論：①48=2丁5；②△ABC的面積為10；③/BAC=

90°；④點(diǎn)A到直線BC的距離是2.其中正確的結(jié)論是①③④.（填序號）

【分析】根據(jù)三角形的面積公式、勾股定理、勾股定理的逆定理計算，判斷即可.

【解答】解：?VAB2=22+42=20,

:.AB=2事，,故正確；

@VAC2=l2+22=5,AB2=22+42=20,BC2=32+42=25,

:.AC2+AB2=BC2,

：.ZBAC^9Q°,故正確；

②SAABC=4X4-2X3X4-LxiX2-2X2X4=5,故錯誤；

222

④設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為h,

VBC2=32+42=25,

：.BC^5,

則」iX5></z=5,

2

解得，h=2,即點(diǎn)A到直線BC的距離是2,故正確；

故答案為①③④.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、三角形的面積計算，如果直角三角形的兩條直角邊長

分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+d=02.

12.（2022秋?城陽區(qū)校級期末）如圖，在RtaABC中，/B=90；AB=3,BC=4,將4

ABC折疊，使點(diǎn)8恰好落在邊AC上，與點(diǎn)8'重合，AE為折痕，貝|EB'=1.5.

【分析】首先根據(jù)折疊可得8￡=硬,，AB'=AB=3,然后設(shè)=尤，則EC=

4-x,在RtZXABC中，由勾股定理求得AC的值，再在RtZXB'EC中，由勾股定理可得

方程/+2?=（4-尤）2,再解方程即可算出答案.

【解答】解：根據(jù)折疊可得,AB'=A3=3,

設(shè)BE=EB'=x,則EC=4-尤，

VZB=90°,AB=3,BC=4,

...在RtAABC中，由勾股定理得，AC=VAB）+BC23+42=5，

：.B'C=5-3=2,

在RtZXB'EC中，由勾股定理得，/+22=（4-x）2,

解得x=1.5,

故答案為：1.5.

【點(diǎn)評】此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是分析清楚折疊以后哪些線段是相等的.

13.（2022秋?苗澤月考）如圖，在RtZiABC中，/B=90°,AB=30,BC=40,將△ABC

折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)8重合，AE為折痕，則￡8=15.

B'

BEC

【分析】由翻折不變性可知：A8=A8'=33EB=EB'^EB=EB'=無，在RtZ\CEB'

中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：在RtZXABC中，：A8=30,BC^40,

22=

.'.AC=^3Q+405O,

由翻折不變性可知：AB^AB'=30,EB=EB',設(shè)EB=EB'=尤，

在中，則有：（40-無）2=/+2（）2,

.*.x=15,

故答案為15.

【點(diǎn)評】本題考查翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問題，屬于中考?？碱}型.

14.（2021秋?連云港期中）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=9,8C=12,點(diǎn)D在

邊AB上，AD=AC,AE1CD,垂足為凡與BC交于點(diǎn),E,則8E的長是生.

—2―

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可知AE是C。的垂直平分線，利用勾股定理求出AB的

長，再利用等積法求出。E的長，再利用勾股定理求8E即可.

【解答】解：VAD=AC,AE±CD,

是CD的垂直平分線.

:.CE=DE.

：.ZADE=ZACB=9Q°,

在Rt^ABC中，由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=792+122=15-

：.BD=AB-AD=6.

SMBC=SAACE+SAABE,

；?ACXBC=ACXCE+ABXDE,

：.9X12=9CE+15DE,

:.DE=￡,

2

在RtZ^BDE1中，由勾股定理得:

B￡=7DE2+BD2=^(-1)2+62=y

故答案為：生

2

cE

【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，運(yùn)用等積

法求出DE的長是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共7小題)

15.(2021秋?盤山縣期末)如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AD是/A4C的平分線，DEL

AB,垂足為點(diǎn)E.若AB=15C7W,AC=9cm,求8E的長度.

BDC

【分析】先利用角平分線的定義得到DE=DC,再結(jié)合題中條件得出RtAADE^RtAADC,

從而可知AE—AC—9cm,所以求得BE—AB-AE—15-9—6cm.

【解答】解：：AD平分/3AC,ZC=90°,DELAB,

:.DE=DC.

5L'：AD=AD,

：.RtAADE^RtAADC(HL),

.\AE=AC=9cmf

：.BE=AB-AE=15-9=6(cm).

【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，判定

兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,SSA.HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三

角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須

是兩邊的夾角.證出。E=OC是證明三角形全等的前提.

16.(2023春?大石橋市月考)如圖，在Rt^ABC中，NB=90°,AB=1cm,AC^25cm.點(diǎn)

產(chǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以lcm/s的速度向終點(diǎn)2運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿BC方向以

6cro/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，P,。兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為f秒.

(1)求BC的長；

(2)當(dāng)f=2時，求P,。兩點(diǎn)之間的距離；

(3)當(dāng)AP=CQ時，求，的值？

A

【分析】(1)在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理來求BC的長度;

(2)在直角△BPQ中，根據(jù)勾股定理來求尸。的長度；

(3)由路程=時間X速度求出AP,BQ,再根據(jù)等量關(guān)系：AP=CQ列出方程求解即可.

【解答】解：(1)在RtZXABC中，ZB=90°,AB=lcm,AC=25cm,

BC=VAC2-AB2=24CW-

(2)如圖，連接尸。

8P=7-2=5,

80=6X2=12,

在直角△BP。中，由勾股定理得到：^G=VBP2+BQ2=13(cm)；

(3)設(shè)r秒后，AP=CQ.則

t~—24-6/,

解得r=24.

7

答：P、。兩點(diǎn)運(yùn)動建秒，AP^CQ.

7

A

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和一元一次方程的定義.解題時，需要熟悉路程=時間X

速度，以及變形后的公式.

17.(2021秋?東?？h期中)如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AB=10cm,AC^6cm,

動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以Xcm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(5).

(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時，求f的值.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理得出2尸即可；

(2)根據(jù)勾股定理先求出BC=8cm,再由△A2P為等腰三角形，只要求出BP的長即可,

分三類，當(dāng)AB=A尸時，則BP=22C=16c〃z；當(dāng)BA=BP=lQcm；當(dāng)陰時，如圖:

設(shè)2P=%=x,貝l|PC=8-尤，在RtZ\ACP中，由勾股定理列出方程可求出8尸的長.

【解答】解：(1)當(dāng)△ABC為直角三角時，BC=7AB2-AC2=7102-62=8(cm),

①當(dāng)/AP8=90°時，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，

BP=BC=8,

?**t=8f

②當(dāng)N3AP=90°,BP=t,CP=t-S,AC=6,

在RtZ^AC尸中，AP2=62+(f-8)2,

在RtZXBAP中，AB2+AP2=BP2,

：.102+[62+(r-8)2]=產(chǎn)，

解得：/=空，

2

綜上所述，r=8或空；

2

(2)在△ABC中，ZACB=90°,

由勾股定理得：BC—-V10-62~(cm),

???△ABP為等腰三角形，

當(dāng)A8=A尸時，則8P=2BC=16aw,即f=16；

當(dāng)A4=8尸=IOCMI時，貝i]f=10；

當(dāng)用=尸8時，如圖：設(shè)BP=B4=x,則PC=8-x,

在RtaACP中，由勾股定理得：

PC2+AC2=AP2,

(8-尤)2+62=X2,

解得尤=空，

4

"V

綜上所述：f的值為16或10或雪.

4

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理、以及等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類思想是正確解題

的關(guān)鍵.

18.(2021秋?二道區(qū)期末)如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=12,BC=5,平分/

ABC.動點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線A4-AC以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)

點(diǎn)尸不與點(diǎn)D重合時，連結(jié)P、B、D三點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為f秒.

(1)線段的長為13；

(2)當(dāng)。尸_LAB時，t=5；

(3)求線段8。的長；

(4)當(dāng)NDBP與/。PB相等時，直接寫出r的值.

【分析】(1)利用勾股定理計算即可；

(2)利用三角形的全等求得BP的長，用時間等于路程除以速度關(guān)系式即可求得結(jié)論；

(3)利用角平分線的性質(zhì)定理求出8,再利用勾股定理即可得出結(jié)論；

(4)利用分類討論的思想分兩種情況討論解答：①點(diǎn)P在AB上，②點(diǎn)尸在AC上，分

別利用等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)尸的運(yùn)動距離即可求得結(jié)論.

【解答】解：(1)VZC=90°,AC=12,BC=5,

；?AB=VAC2+BC2=V122+52=13?

故答案為：13.

(2)平分NABC,DPLAB,DC±CB,

J.DC^DP.

在RtADCB和RtAOPB中，

[BD=BD,

IDC=DP'

.,.RtADCB^RtAOPB(HL).

:.BC=BP=5.

尸+1=5.

故答案為：5.

(3)：8。平分/ABC,

?.?-A-D=-A-B-.

CDBC

?.?-1-2---C-D----13-?

CD5

解得：改.

3

在RtACDB中，

BD=VCD2+BC2=-^Y^-

（4）①當(dāng)點(diǎn)尸在A5上時，

?：NDBP=NDPB,

：.DB=DP.

過點(diǎn)。作DELA8于點(diǎn)E,如圖,

：.BE=BC=5.

■:DB=DP,DELAB,

；?PE=BE=5.

：.PB=2BE=10.

：.t=BP^l=10；

②當(dāng)點(diǎn)P