北師大版高考數(shù)學(xué)一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)練習(xí)卷-向量法求空間角（含解析）

§7.7向量法求空間角

一、單項(xiàng)選擇題

1.如圖，在直三棱柱A8C—/iBCi中，4B=AC=AA尸也,2C=2,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，則

異面直線4D與/C的夾角為（）

2.在正三棱柱4BC—//iCi中，4B=/4,則NQ與平面321cle夾角的正弦值為（）

3.如圖，在正方體N3CD-4SGD1中，E,尸分別是和。A的中點(diǎn)，則平面ECF與平

面ABCD夾角的余弦值為（）

\-HD

r

c.-

3

4.（2023?滄州模擬）在正方體力BCD—415C1A中，。是GA的中點(diǎn)，則異面直線/尸與氏41

夾角的余弦值為（）

5.（2024?鄭州模擬）如圖，已知45是圓柱底面圓的一條直徑，。尸是圓柱的一條母線，。為

底面圓上一點(diǎn)，&AC//OB,OP=AB=^2OA,則直線尸。與平面F45夾角的正弦值為（）

A也B坐C.

10D-4

105

6.（2023?杭州模擬）若正方形48C￡＞的邊長為a,E,尸分別為CD,C2的中點(diǎn)（如圖1）,沿

AE,/尸將折起，使得點(diǎn)瓦。恰好重合于點(diǎn)P（如圖2）,則直線與平面

PCE夾角的正弦值為（

4B：4

二、多項(xiàng)選擇題

7.三棱錐/一BCD中，平面/AD與平面3co的法向量分別為“1,“2,若"1=（1,0,0）,“2

=（一3，0,1）,則二面角4—3D—C的大小可能為（）

A.-B.-C.-D.-

6336

8.（2023?深圳模擬）如圖，在矩形/EFC中，AE=20EF=4,B為EF中點(diǎn),現(xiàn)分別沿

3c將△BCF翻折，使點(diǎn)￡,尸重合，記為點(diǎn)P,翻折后得到三棱錐P一/8C,貝1（）

A.三棱錐P—N2C的體積為*

3

B.直線以與直線BC夾角的余弦值為百

6

C.直線與平面P3C夾角的正弦值為］

3

D.三棱錐P-/8C外接球的半徑為迤

三、填空題

9.（2023?天津統(tǒng)考）在長方體48co—48C1A中，4B=2,4D=1,44尸3,則異面直線/Ci

與AD\夾角的余弦值為.

10.在三棱柱NBC—481cl中，側(cè)棱底面/8C,AC=1,/4=2,NBAC=90。,若直

線AB,與直線ArC夾角的余弦值是：，則棱AB的長度是.

11.(2023?洛陽模擬)二面角a—/一￡的棱上有兩個(gè)點(diǎn)/,B,線段AD與/C分別在這個(gè)二面角

的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且垂直于棱/,若48=4,NC=6,BD=8,CD=2后,則平面a與平面

/的夾角為.

12.在正方體中，E,F,G,H,K,L分別是棱BBi，B\Cx，CiDi，

DiD,的中點(diǎn)，則直線4c與平面MGHKL夾角的大小為；若尸，。是六邊形

所GHKL邊上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與直線P。最小的夾角為。，則sin。的值為

四、解答題

13.如圖，AEL^^ABCD,CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2CF=2.

(1)求證：B尸〃平面4D￡；

(2)求直線CE與平面BDE夾角的正弦值.

14.(2024?南昌模擬)如圖，在梯形48c。中，AB//DC,4D=DC=/B,現(xiàn)將△/DC沿/C

翻至△APC,使二面角P—AC—B為直二面角.

⑴證明：C2LF4；

(2)若/8=4,二面角8一刃一C的平面角的余弦值為T，求異面直線PC與N8夾角的余弦

值.

§7.7向量法求空間角

1.B2.C3.B4.A

5.A「?,45是圓柱底面圓的一條直徑,

AZAOB=90°,ZACB=90°,

?：OP=AB=

啦OA,

：.NB/O=45。，

：.OA=OB,

9：AC//OB,：.ZOAC=90°,

工四邊形。4c5為正方形，

設(shè)AB=2,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則/(也，0,0),5(0,^2,0),尸(0,0,2),C(啦，啦,0),AB

（一3,也,0）,泰=（一也,0,2）,

設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,

irAB=0,一也%+也》=0,

則._即

.一也x+2z=0,

nAP=0,

取、=也，貝!J〃=（啦,也，1）,

又訖=（也，/，-2）,

設(shè)直線尸。與平面E4B的夾角為仇

一尸C|2

sin6>=|cos(n,PC)|==~F--------=-----,

\n\\PC\卡X2g10

直線PC與平面PAB夾角的正弦值為遮.]

10

6.A[由E,下分別是為CD,C5的中點(diǎn)，可得加=C￡2+c戶2=。￡2+2產(chǎn)=尸四+尸產(chǎn),

貝I]PELPF.

由AD_LDE,ABLBF,

E

X

產(chǎn)>C

J

可得

PA工PF,

所以E4,PF,依兩兩互相垂直，以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，PE,PF,K4分別為坐標(biāo)軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系,

Ca,0,Q

可得尸(0,0,0),￡12

2°],，(0,0,a),

設(shè)C(x9y9z),

Caaa\

即得d3,313J,

所以可得PE&a。1

Caaa\

無=13'3,3」,

設(shè)平面尸CE的法向量為/t=(x',/,z'),

則ax八

nPE=------=0

2

令。=1,則x'=0,z'=1,

所以平面PCE的一個(gè)法向量為

”=(0,1,1)，

又7^4=(0,0,a),

設(shè)以與平面PCE的夾角為仇

一阿川a

所以sin6=|cos<PA,加尸=看=*.]

\PA\\n\N2a2

7.AD

8.BD[由題意可得APL4P,BP±CP,

又4PCCP=P,AP,CPU平面E4C,所以BP_L平面B4C,

在AE4c中，己4=尸。=23，/C邊上的高為寸(23)2—22=2@,

所以廠三(oP—Bcu/artB-以也*2=?，故A錯(cuò)誤；

在△B4C中，cos/”C=12+j_16_=1,

2X2^3X2-733

3c="12+4=4,

-.\PA-BC\

|cos(,PA,BO|=

西伊C

_\PA-(PC-PB)\

2^3X4

\PA-PC-PA-PB\

8A/3

_J兩的cos//PC-0|

83

2^3X2j3x13

83*6

所以直線E4與直線3c夾角的余弦值為貴，故B正確;

6

SAPBC=《PBPC

2

」X2X23=2總

2

設(shè)點(diǎn)/到平面PBC的距離為d,

由y三棱錐8—_B4C=V三棱錐4—尸5。，

得1x243"=速，解得"=生而，

333

所以直線以與平面總C夾角的正弦值為且=上—=",故C錯(cuò)誤;

PA2yli3

由B知，cosZAPC=~,

3

則sin/APC=迤,

3

所以△E4C的外接圓的半徑

.=1AC=3也

1—2sin//尸。一2'

設(shè)三棱錐尸一48C外接球的半徑為凡又因?yàn)槠矫鍱4C,

則相=戶+[回2=9+1=11,

22

所以尺=32,

2

即三棱錐P—4SC外接球的半徑為?，故D正確.]

/

9.—10.111.60°

10

12.90°-

3

解析如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以扇，比，萬萬的方向分別為x,丹z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2,

貝U/Q0,2),

￡(2,1,0),C(0,2,0),網(wǎng)2,2』),

G(l,2,2),

/.Zc=(-2,2,-2),￡>=(0,1,1),病=(—1,1,2),

.,.水?礪=0+2—2=0,

汞病=2+2—4=0,

：.AtC±EF,AiCLEG,；EGCEF=E,EG,EFU平面EFGHKL,

.,.小。_1_平面EFGHKL,

，直線4c與平面EFGT/XZ夾角的大小為90°.

又。1(0,0,2),3(2,2,0),

加=(2,2,-2),

由題意知水=(一2,2,—2)為平面EFG用2的一個(gè)法向量，

----?----?\D\BA\C\4

設(shè)直線與平面EFGHKL的夾的角為a,則sina=|cos〈￡>海，/〈〉尸——=―一產(chǎn)

|Di5yiC|正義正

=1

—3，

:直線P。u平面EFGHKL,

直線。山與直線PQ的夾角最小時(shí)即為直線。18與平面EFGHKL的夾角，；.sin

13.(1)證明由CF//AE,

W平面ADE,/EU平面

得CF〃平面ADE,

由AD〃3C,BC<Z平面ADE,ADU平面ADE,

得3C〃平面/DE,

又CFCBC=C,CF,8CU平面3CF,

所以平面8CF〃平面ADE,

又Bpu平面BCF,

所以B尸〃平面幺DE.

(2)解因?yàn)?￡J_平面Z8C￡>,AB,ABCD,所以NE_L/8,AELAD,又ZD_L/8,

以/為原點(diǎn)，分別以48,AD,/￡所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

因?yàn)?3=AD=1,AE=BC=2CF=2,

所以2(1,0,0),C(l,2,0),D(0,l,0),￡(0,0,2),

則無=(—1,-2,2),前=(—1,0,2),DE=(0,-1,2),

設(shè)平面BDE的法向量為/?=(x,y,z),

mBE=—x+2z=0,

則._

ntDE——y+2z=0,

令z=l,則x=2,y=1,

即加=(2,2,1),

一|?rCE|44

所以|cos(m,CE)|==------=-,

\m\\CE\3X39

4

即直線CE與平面3DE夾角的正弦值為上

9

14.⑴證明取48的中點(diǎn)￡,連接CE(圖略)，

:在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC^-AB,AE//DC,AE=DC,

2

四邊形4DCE1是平行四邊形,

CE=AD,CE=AE=EB,

：.ZACB=90°,gpCBLCA,

I?二面角尸一NC—3為直二面角，

平面E4C_L平面