中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)二次函數(shù)的最值問題(2種命題預(yù)測(cè)+19種題型專題訓(xùn)練+10種解題方法)含答案及解析

第三章函數(shù)重難點(diǎn)03二次函數(shù)的最值問題（2種命題預(yù)測(cè)+19種題型匯總+專題訓(xùn)練+10種解題方法）【題型匯總】類型一代數(shù)最值題型01定軸定區(qū)間最值問題解題方法：對(duì)于二次函數(shù)在m≤x≤n上的最值問題(其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值.1）若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在x=?b2）若m≤?b2a≤n，n+b2a＞3)若m≤?b2a≤n，n+b2a＜4)若m≤x≤n＜?b2a時(shí)，如圖④，當(dāng)，當(dāng)5)若?b2a＜m≤x≤n時(shí)，如圖⑤，當(dāng)，當(dāng)1．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線y=x2?2x?1，則當(dāng)0≤x≤3A．?2 B．?1 C．0 D．22．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知二次函數(shù)y=ax2?6ax+6a，若當(dāng)2≤x≤5時(shí)，y的最大值是3，則a3．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax?22+aa<0，當(dāng)?4≤x≤1時(shí)，y的最小值為?74，則4．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)?2<x<2時(shí)，求函數(shù)值y的范圍；題型02利用對(duì)稱軸與圖像解決圖系關(guān)系問題解題方法：開口方向不確定時(shí)，先討論開口方向;1）開口向上時(shí)，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大;2）開口向下時(shí)，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小。5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函數(shù)y=a（1）若a=?1,則函數(shù)y的最大值為．（2）若當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，y的最大值為5，則a的值為．6．（2024·浙江溫州·三模）已知二次函數(shù)y=a(x?2)2?a(a≠0)，當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，y的最小值為?4，則aA．12或4 B．4或?12 C．?43或47．（2022·廣西賀州·中考真題）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型03定軸動(dòng)區(qū)間最值問題（區(qū)間有一端不確定）解題方法：對(duì)于二次函數(shù)中含有參數(shù)，對(duì)稱軸不確定，要求在定區(qū)間m≤x≤n條件下函數(shù)的最值，那么就需要分別討論對(duì)稱軸x=?b2a1）軸在區(qū)間左側(cè)：如圖①，當(dāng)?b2）軸在區(qū)間中間：如圖②③，當(dāng)m≤?b2a≤n，對(duì)稱軸在區(qū)間中間，那么在區(qū)間內(nèi)，y值先隨著x的增大而減小，又隨著x的增大而增大，所以，當(dāng)x=3）軸在區(qū)間右側(cè)：如圖④，當(dāng)?b8．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對(duì)稱軸為直線x=?1，且過點(diǎn)(0,1)．有以下四個(gè)結(jié)論：①abc>0，②a?b+c>1，③3a+c<0，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,2)，當(dāng)m≤x≤1時(shí)，y有最大值為2、最小值為?2，此時(shí)m的取值范圍是?3≤m≤?1A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)9．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2+4ax?4(a>0)，當(dāng)m<x≤0時(shí)，函數(shù)y值的最大值為?4，則m10．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x2?2x+3，當(dāng)a?x?12時(shí)，函數(shù)值y11．（2022·浙江紹興·中考真題）已知函數(shù)y=?x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)，求y的最大值．(3)當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．題型04定軸動(dòng)區(qū)間最值問題（區(qū)間有兩端不確定）12．（2024·浙江溫州·三模）已知二次函數(shù)y=?x2?2x+2，當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值是3，則mA．m≥?1 B．m≤2 C．?3≤m≤?1 D．0≤m≤213．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，m-n=3求t的值．14．（2024·貴州六盤水·二模）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,?4，且圖象經(jīng)過點(diǎn)3,0，0,?3．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式(2)將二次函數(shù)的圖象向右平移mm>0個(gè)單位，圖象經(jīng)過點(diǎn)1,?154(3)在由（2）平移后的圖象上，當(dāng)n?2≤x≤n+1時(shí)，函數(shù)的最小值為?3，求n的值．15．（2024·云南昆明·一模）已知拋物線y=2a?3x2+4a+2(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)記x在某個(gè)范圍時(shí)，函數(shù)y的最大值為m，最小值為n，當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，則m?n=3t，求t的值．題型05動(dòng)軸定區(qū)間16．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的函數(shù)y=?x（1）當(dāng)m=3時(shí)，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，函數(shù)有最小值m2，則m的值為17．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=?x2+2ax?a2+2（a為常數(shù)，且a≠0），當(dāng)A．－6 B．4 C．?6或0 D．0或?218．（2024·浙江嘉興·一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)且b>0，c<0），當(dāng)?5≤x≤0時(shí)，?11≤y≤5，則c題型06動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的最值問題19．（2024·云南昭通·二模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x2+2mx+n（m(1)若m+n=1，試說明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)若m?1≤x≤m+k(k>0)時(shí)，函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p?q=3k，求k的值．20．（21-22九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=x2+mx+2m（m為常數(shù)，m<0），若對(duì)于任意的x滿足m≤x≤m+2，且此時(shí)x題型07動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間參數(shù)取值范圍問題21．（24-25九年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Px1,(1)當(dāng)?=1時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸；(2)若對(duì)于0≤x1≤2，?+4≤x222．（22-23九年級(jí)上·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=?(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；(2)點(diǎn)Px1,y1，Q①若y1的最大值是2，求y②若對(duì)于x1，x2，都有y1類型二幾何最值問題題型01二次函數(shù)中的線段最值問題平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常用線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，然后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.解決這類問題的關(guān)鍵如下：①確定線段長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)線段平行于y軸時(shí)，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行于x軸時(shí)，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②確定函數(shù)的最值，注意函數(shù)自變量的取值范圍.注意：?jiǎn)尉€段最值求解時(shí)一定要保證線段是非負(fù)的.1）鉛垂線段的求法-橫坐標(biāo)相同23．（2024·內(nèi)蒙古烏?！ひ荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?3x?3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，求△BCH的面積；(3)若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線ED平行y軸交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求ME長(zhǎng)的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下：當(dāng)ME取得最大值時(shí)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．24．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=?13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N求線段PN長(zhǎng)的最大值．25．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0．經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，與直線AB交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2）水平相等的求法-縱坐標(biāo)相同26．（2024·江西九江·二模）已知一次函數(shù)y=?12x+m2(1)當(dāng)m=0時(shí)，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如果兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)如圖，當(dāng)m=?1時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是兩個(gè)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)．①當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，求②當(dāng)PQ∥x軸時(shí)，求PQ的最小值．27．（23-24九年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx?3（a≠0）過點(diǎn)A?1,0、B3,0

(1)求拋物線的表達(dá)式：(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥x軸交直線BC于E，F(xiàn)為直線BC上一點(diǎn)，且∠FPE=∠CAB，求EF的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)在（2）問的前提下，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使∠BMP的度數(shù)最大，若存在，請(qǐng)寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)，并做詳細(xì)解答．28．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A和B1,0（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C0,3(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)P作x軸平行線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作y軸平行線交x軸于點(diǎn)D，求PE+PD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．3）斜線段的求法-化斜為直

29．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，C(1)求a，(2)若點(diǎn)D在線段AB上，過點(diǎn)D作DE∥AC，交拋物線y=ax2+bx+3于點(diǎn)E(3)若點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在拋物線上，當(dāng)A，D，30．（2024·山東日照·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx?4a≠0與x軸交于點(diǎn)A，B?1,0，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，點(diǎn)Dm,0是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP⊥x軸交直線AC于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式：(2)過點(diǎn)P作PQ⊥AC，垂足為Q，求出PQ的最大值；(3)試探究在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使得△CPE為直角三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．31．（2024·甘肅臨夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)P是線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，請(qǐng)問線段PQ是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作線段MN∥OC（點(diǎn)N在直線BC下方），已知MN=2，若線段MN與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM4）距離最值問題32．（2024·湖南婁底·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過A?2,0，B0,4兩點(diǎn)，直線x=3與x(1)求拋物線的解析式；(2)在線段OC上是否存在點(diǎn)F，使得∠BFG是直角？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)Pm,n為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，0<m<3，過P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D，求當(dāng)P點(diǎn)到直線BC的距離最大時(shí)m33．（2024·山西晉中·二模）綜合與探究如圖，直線y=?12x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=?12x2+bx+c經(jīng)過(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線BC的距離最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及點(diǎn)P到直線BC的距離最大值；(3)在（2）的結(jié)論下，此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PBC面積相等？若存在，請(qǐng)直接寫出符合的點(diǎn)Q5）線段比最值問題34．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于A?2,0、B6,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,4，頂點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AC、BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)當(dāng)PMAM的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PM(3)如圖2，在（2）的條件下，EF是此拋物線對(duì)稱軸上長(zhǎng)為2的一條動(dòng)線段（點(diǎn)E在點(diǎn)F上方），連接CE、AF，當(dāng)四邊形ACEF周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；在此條件下，以點(diǎn)G、E、H、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．35．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A?2,0，B(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD是以BC直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點(diǎn)M，當(dāng)PMAM最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P題型02二次函數(shù)線段和、差最值1）線段和最小問題圖形條件如圖，A，B兩定點(diǎn)分布在直線m兩側(cè)，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求AD+BD的最小值.如圖，A，B兩定點(diǎn)分布在直線m同側(cè)，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求AD+BD的最小值.結(jié)論當(dāng)A，D，B三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BD取得最小值，最小值為AB的長(zhǎng).當(dāng)A，D，B'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BD取得最小值，最小值為AB'的長(zhǎng).36．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A?1,0，C0,3兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接AH、DH，求AH+DH的最小值．37．（2024·寧夏銀川·一模）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于B，C?2，(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，當(dāng)AQ+CQ的值最小時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及AQ+CQ的最小值；(3)如圖2，若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求12PK+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)38．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A(?1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2）線段差最大問題圖形條件如圖，A，B兩點(diǎn)分布在直線m同側(cè)，點(diǎn)D為直線m上一動(dòng)點(diǎn),求|AD-BD|的最大值.如圖，A，B兩點(diǎn)分布在直線m兩側(cè)，點(diǎn)D為直線m上一動(dòng)點(diǎn),求|AD-BD|的最大值.結(jié)論當(dāng)A，B，D三點(diǎn)共線時(shí)，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB的長(zhǎng)當(dāng)A、B'、D三點(diǎn)共線時(shí)，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB'的長(zhǎng)39．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=ax2+2x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且A(?1，(1)求拋物線與直線AC的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且使得PA?PC的值最大，過對(duì)稱軸上的另一點(diǎn)Q任作與x軸不平行的直線l，交拋物線于點(diǎn)M，N，若△PMN的內(nèi)心始終在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，已知點(diǎn)D是線段AC上(不含端點(diǎn)A，C)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線DEAB，交直線l于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，求線段DF的最小值．40．（2023·內(nèi)蒙古興安盟·一模）如圖，已知直線y=12x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=12x2+bx+1與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、(1)求該拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使AM?CM的值最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．41．（2023·湖北恩施·二模）如圖，已知直線y=?2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)B．拋物線過A，B兩點(diǎn)．P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．

(1)若拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為12,92，其對(duì)稱軸交①求拋物線的解析式．②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使AQ?BQ的值最大，試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．③是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為平行四邊形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，直接寫出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型03二次函數(shù)周長(zhǎng)最值問題無(wú)論是線段和的最小值或是周長(zhǎng)的最小值，還是兩條線段差的最大值等，解決該類問題的最基本依據(jù)就是“兩點(diǎn)之間，線段最短”,基本模型就是最短路徑問題，即“將軍飲馬問題”.解題方法就是通過軸對(duì)稱作出對(duì)稱點(diǎn)加以解決，若需要三邊和最小，則需過兩定點(diǎn)(即已知定長(zhǎng)線段的兩頂點(diǎn))分別作出關(guān)于x軸與y的對(duì)稱點(diǎn)，從而將三邊轉(zhuǎn)化到同一條直線上.42．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A?1，0，(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小，求△PAC的周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若M為拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，求出四邊形OCMB的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).43．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx與拋物線y=ax2+c交于A8,6，B兩點(diǎn)，點(diǎn)(1)求直線AB和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的平行線，與直線AB交于點(diǎn)C，連接PO，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；①若點(diǎn)P在x軸上方，當(dāng)m為何值時(shí)，△POC是等腰三角形；②若點(diǎn)P在x軸下方，設(shè)△POC的周長(zhǎng)為p，求p關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)m為何值時(shí)，△POC的周長(zhǎng)最大，最大值是多少？44．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AB(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)H是拋物線的頂點(diǎn)，在x軸上存在一點(diǎn)G，使△AHG的周長(zhǎng)最小，求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．(3)如圖②，點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)N，求2PM+PN的最大值及此時(shí)點(diǎn)P45．（2024·甘肅天水·二模）如圖，已知拋物線y=?x2+px+q的對(duì)稱軸為直線x=?3，與y軸交于點(diǎn)Q，過其頂點(diǎn)M的一條直線y=ax+t(1)求拋物線的解析式．(2)求△QMN的面積．(3)在x軸上確定一點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)△PMN的面積．題型04二次函數(shù)面積最值問題解題思路：1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P做輔助線；2.利用水平寬鉛錘高、割補(bǔ)法等，寫出面積表達(dá)式(一般為二次函數(shù)的形式)；3.寫出表示面積的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,求出最值,即可得到三角形面積的最大值.46．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數(shù)y=?x+5的圖像與二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為0、4．P為二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線(1)求b、c的值；(2)求△PAB的面積的最大值．47．（2024·海南·中考真題）如圖1，拋物線y=?x2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A?4,0、B1,0，交y(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?2,6時(shí)，求四邊形AOCP的面積；(3)當(dāng)∠PBA=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)過點(diǎn)A、O、C的圓交拋物線于點(diǎn)E、F，如圖2．連接AE、AF、EF，判斷△AEF的形狀，并說明理由．48．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，BC邊上的高PN的值為______．49．（2022·天津?yàn)I海新·二模）已知：拋物線y=?13x2+bx+c（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），C(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周長(zhǎng)的最小值．題型05將軍飲馬最值問題圖示如圖，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求AD+BD的最小值.如圖，點(diǎn)M，N分別為m1，m2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為定點(diǎn)，求PM+PN+MN的最小值.如圖，點(diǎn)C，D分別為OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B為∠MON內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，求AC+CD+BD+AB的最小值.解題策略做B點(diǎn)關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接DB',根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，當(dāng)且僅當(dāng)A、D、B'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BD取得最小值，最小值為AB'的距離.做點(diǎn)P關(guān)于m1，m2的對(duì)稱點(diǎn)P',P''，那么當(dāng)P'，M，N，P''四點(diǎn)共線時(shí)，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.做A點(diǎn)關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'，做B點(diǎn)關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B'，當(dāng)A'，C，D，B'四點(diǎn)共線時(shí)，AC+CD+BD取得最小值，最小值為A'B'的長(zhǎng).所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.1）單對(duì)稱50．（22-23九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?12x2+2x+2的圖象與x軸、y軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)D是其頂點(diǎn)，若點(diǎn)P是x

51．（2023·四川瀘州·二模）如圖，拋物線y=?x2?3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為?3，點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，則DE+EF2）多對(duì)稱52．（2023·陜西西安·三模）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為．53．（2021·黑龍江大慶·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于除原點(diǎn)O和點(diǎn)A，且其頂點(diǎn)B關(guān)于x（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在定點(diǎn)F，使得拋物線y=ax2+bx+c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②過點(diǎn)F的直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于M,N兩點(diǎn)．證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)F（3）點(diǎn)C3,m是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P,Q，使四邊形PQBC周長(zhǎng)最小，直接寫出P,Q3）將軍遛馬54．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2?4x+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)B在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，線段CD在對(duì)稱軸上，CD=2，則四邊形ABCD55．（24-25九年級(jí)上·山東泰安·期中）如圖所示，拋物線y=?x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，點(diǎn)M、N是直線x=?1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2（點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方），則四邊形BM+CN

56．（2021·新疆烏魯木齊·三模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)，與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)D、E在直線x=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=1，點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖2，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第三章函數(shù)重難點(diǎn)03二次函數(shù)的最值問題（2種命題預(yù)測(cè)+19種題型匯總+專題訓(xùn)練+10種解題方法）【題型匯總】類型一代數(shù)最值題型01定軸定區(qū)間最值問題解題方法：對(duì)于二次函數(shù)在m≤x≤n上的最值問題(其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值.1）若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在x=?b2）若m≤?b2a≤n，n+b2a＞3)若m≤?b2a≤n，n+b2a＜4)若m≤x≤n＜?b2a時(shí)，如圖④，當(dāng)，當(dāng)5)若?b2a＜m≤x≤n時(shí)，如圖⑤，當(dāng)，當(dāng)1．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線y=x2?2x?1，則當(dāng)0≤x≤3A．?2 B．?1 C．0 D．2【答案】D【分析】把拋物線y=x2?2x?1化為頂點(diǎn)式，得到對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為?2，再分別求出x=0【詳解】解：∵y=x∴對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為?2，當(dāng)x=0時(shí)，y=x2?2x?1=?1，當(dāng)x=3∴當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最大值為2，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知二次函數(shù)y=ax2?6ax+6a，若當(dāng)2≤x≤5時(shí)，y的最大值是3，則a【答案】3或?1/?1或3【分析】本題考查二次函數(shù)的最值問題，分a>0,a<0，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵y=ax∴對(duì)稱軸為直線x=??6a當(dāng)a>0時(shí)，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵2≤x≤5，∴當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)值最大為：25a?30a+6a=3，∴a=3，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵2≤x≤5，∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最大值為：9a?18a+6a=3，∴a=?1；故答案為：3或?1．3．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax?22+aa<0，當(dāng)?4≤x≤1時(shí)，y的最小值為?74，則【答案】?2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)函數(shù)解析式得到二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線x=2，則離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，即可得到當(dāng)x=?4時(shí)，y=?74，據(jù)此代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為y=ax?2∴二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線x=2，∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，∵當(dāng)?4≤x≤1時(shí)，y的最小值為?74，∴當(dāng)x=?4時(shí)，y=?74，∴a?4?2解得a=?2，故答案為：?2．4．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)?2<x<2時(shí)，求函數(shù)值y的范圍；【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5【分析】（1）把三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；（2）先得出拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，再結(jié)合x的范圍得到y(tǒng)的最值．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三點(diǎn)，∴0=a?b+c0=9a+3b+c5=16a+4b+c，解得：∴二次函數(shù)的解析式是y=x2-2x-3；（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??21＞0，則開口向上，又∵?2<x<2，∴當(dāng)x=1時(shí)，y取最小值，即ymin=-4；當(dāng)x=-2時(shí)，y取最大值，即ymax=5，∴y的范圍是-4≤y＜5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)和用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．題型02利用對(duì)稱軸與圖像解決圖系關(guān)系問題解題方法：開口方向不確定時(shí)，先討論開口方向;1）開口向上時(shí)，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大;2）開口向下時(shí)，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小。5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函數(shù)y=a（1）若a=?1,則函數(shù)y的最大值為．（2）若當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，y的最大值為5，則a的值為．【答案】41或?【分析】本題考查二次函數(shù)的最值問題．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）由題意可知此時(shí)二次函數(shù)為y=?x（2）將該拋物線一般式改為頂點(diǎn)式，即得出該拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，再分類討論當(dāng)a>0時(shí)和當(dāng)a<0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)a=?1時(shí)，該二次函數(shù)為y=?x∵a=?1<0，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，最大值為4．故答案為：4；（2）∵y=ax∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1．當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，∴當(dāng)?1≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)1<x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大．∵x軸上x=4到x=1的距離比x=?1到x=1的距離大，∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，∴5=a4?1解得：a=1；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，最大值為?4a，∴5=?4a，解得：a=?5綜上可知a的值為1或?5故答案為：1或?56．（2024·浙江溫州·三模）已知二次函數(shù)y=a(x?2)2?a(a≠0)，當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，y的最小值為?4，則aA．12或4 B．4或?12 C．?43或4【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在指定的范圍內(nèi)準(zhǔn)確求出函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當(dāng)a>0時(shí)，?a=?4，解得a=4；當(dāng)a<0時(shí)，在?1≤x≤4，9a?a=?4，解得a=?1【詳解】解：y=a(x?2)2?a頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?a)，當(dāng)a>0時(shí)，在?1≤x≤4，函數(shù)有最小值?a，∵y的最小值為?4，∴?a=?4，∴a=4；當(dāng)a<0時(shí)，在?1≤x≤4，當(dāng)x=?1時(shí)，函數(shù)有最小值，∴9a?a=?4，解得a=?1綜上所述：a的值為4或?1故選：B．7．（2022·廣西賀州·中考真題）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出y=15時(shí)，x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)（1，-3），∵1>0，開口向上，∴在對(duì)稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，即在對(duì)稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當(dāng)x=a時(shí)，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是二次函數(shù)的增減性，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．題型03定軸動(dòng)區(qū)間最值問題（區(qū)間有一端不確定）解題方法：對(duì)于二次函數(shù)中含有參數(shù)，對(duì)稱軸不確定，要求在定區(qū)間m≤x≤n條件下函數(shù)的最值，那么就需要分別討論對(duì)稱軸x=?b2a1）軸在區(qū)間左側(cè)：如圖①，當(dāng)?b2）軸在區(qū)間中間：如圖②③，當(dāng)m≤?b2a≤n，對(duì)稱軸在區(qū)間中間，那么在區(qū)間內(nèi)，y值先隨著x的增大而減小，又隨著x的增大而增大，所以，當(dāng)x=3）軸在區(qū)間右側(cè)：如圖④，當(dāng)?b8．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對(duì)稱軸為直線x=?1，且過點(diǎn)(0,1)．有以下四個(gè)結(jié)論：①abc>0，②a?b+c>1，③3a+c<0，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,2)，當(dāng)m≤x≤1時(shí)，y有最大值為2、最小值為?2，此時(shí)m的取值范圍是?3≤m≤?1A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】①：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸?b2a=?1，c=1②：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=?1時(shí)，函數(shù)值大于1，代入即可判斷；③：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值小于0，代入即可判斷；④：運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對(duì)稱軸為直線x=?1∴?b2a=?1∴ab＞0，∴從圖中可以看出，當(dāng)x=?1時(shí)，函數(shù)值大于1，因此將x=?1代入得，?12?a+?1∵?b2a=?1，∴b=2a∴a+b+c＜0，∴∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax+12+2，將(0,1)解得a=?1，∴二次函數(shù)的解析式為y=?x+1∴當(dāng)x=1時(shí)，y=?2；∴根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，得到?3≤m≤?1，故④正確；綜上所述，①②③④均正確，故有4個(gè)正確結(jié)論，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2+4ax?4(a>0)，當(dāng)m<x≤0時(shí)，函數(shù)y值的最大值為?4，則m【答案】?4≤m<0【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，先求出對(duì)稱軸，再求出0,?4對(duì)稱點(diǎn)?4,?4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍．【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=?4a令y=0，y=?4，∴點(diǎn)0,?4關(guān)于直線x=?2的對(duì)稱點(diǎn)為?4,?4，如圖：∵a>0，∴開口向上，∵當(dāng)m<x≤0時(shí)，函數(shù)y值的最大值為?4，∴?4≤m<0，故答案為：?4≤m<0．10．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x2?2x+3，當(dāng)a?x?12時(shí)，函數(shù)值y【答案】?1?3/【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)x<?1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而減小，然后分兩種情況討論：若a≥?1；若a<?1，即可求解．【詳解】解：y=?x∴當(dāng)x<?1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而減小，若a≥?1，當(dāng)a?x?12時(shí)，y隨此時(shí)當(dāng)x=12時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為若a<?1，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為1，∴?a解得：a=?1?3或?1+綜上所述，a的值為?1?3故答案為：?1?【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江紹興·中考真題）已知函數(shù)y=?x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)，求y的最大值．(3)當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3時(shí)，y有最大值為6(3)m＝－2或?3?【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝?x（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），再由-4≤x≤0，可得當(dāng)x＝-3時(shí)，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x≤-3時(shí)，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況：當(dāng)-3＜m≤0時(shí)，當(dāng)m≤-3時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝?xc=?3?36?6b+c=?3，解得：b=?6（2）解：由（1）得：該函數(shù)解析式為y＝?x2?6x?3∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），∵-1＜0∴拋物線開口向下，

又∵-4≤x≤0，∴當(dāng)x＝-3時(shí)，y有最大值為6．（3）解：由（2）得：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3，∴當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≤-3時(shí)，y隨x的增大而增大，①當(dāng)-3＜m≤0時(shí)，當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值為-3，當(dāng)x＝m時(shí)，y有最大值為?m∴?m∴m＝-2或m＝-4（舍去）．②當(dāng)m≤-3時(shí)，當(dāng)x＝-3時(shí)，y有最大值為6，∵y的最大值與最小值之和為2，∴y最小值為-4，∴?(m+3)∴m＝?3?10或m＝?3+綜上所述，m＝-2或?3?10【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．題型04定軸動(dòng)區(qū)間最值問題（區(qū)間有兩端不確定）12．（2024·浙江溫州·三模）已知二次函數(shù)y=?x2?2x+2，當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值是3，則mA．m≥?1 B．m≤2 C．?3≤m≤?1 D．0≤m≤2【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意，由y=?x2?2x+2=?x+12+3，可得當(dāng)x=?1時(shí)，y取最大值是3，又當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)【詳解】解：由題意，∵y=?x∴當(dāng)x=?1時(shí)，y取最大值是3．又當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值是3，∴m≤?1≤m+2．∴?3≤m≤?1．故選：C．13．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知二次函數(shù)y=?x（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，m-n=3求t的值．【答案】（1）3,4；（2）函數(shù)的最大值為4，最小值為0；（3）t=3?3或3【分析】（1）把二次函數(shù)y=?x（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的最大值和最小值．（3）分t＜0；0≤t<3；t≥3三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和m-n=3列出關(guān)于t的方程，解之即可．【詳解】（1）∵y=?x2+6x?5=?（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，∴當(dāng)x=3時(shí)，y最大值∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=1時(shí)，y最小值∵當(dāng)3<x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x=4時(shí)，y最小值∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為4，最小值為0．（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，對(duì)t進(jìn)行分類討論．①當(dāng)t+3<3時(shí)，即，t<0，y隨著x的增大而增大．當(dāng)x=t時(shí)，n=?t∴m?n=?t∴?6t+9=3，解得t=1（不合題意，舍去）．②當(dāng)0≤t<3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，∴m=4．i）當(dāng)0≤t≤32時(shí)，在x=t時(shí)，∴m?n=4??∴t2?6t+9=3，解得t1ii）當(dāng)32<t<3時(shí)在x=t+3時(shí)，∴m?n=4??∴t2=3，解得，t1③當(dāng)t≥3時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x=t時(shí)，m=?t當(dāng)x=t+3時(shí)，n=?t+3∴m?n=?∴6t?9=3，解得t=2（不合題意，舍去）．綜上所述，t=3?3或3【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的性質(zhì)以及最值問題，有難度，并學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．14．（2024·貴州六盤水·二模）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,?4，且圖象經(jīng)過點(diǎn)3,0，0,?3．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式(2)將二次函數(shù)的圖象向右平移mm>0個(gè)單位，圖象經(jīng)過點(diǎn)1,?154(3)在由（2）平移后的圖象上，當(dāng)n?2≤x≤n+1時(shí)，函數(shù)的最小值為?3，求n的值．【答案】(1)y=(2)m=(3)?12【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像平移性質(zhì)，二次函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax?12?4（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像平移性質(zhì)“左加右減，上加下減”，可得平移后二次函數(shù)解析式，再將其圖象經(jīng)過的點(diǎn)代入即可求得m的值；（3）由（2）可得平移后二次函數(shù)解析式，先求出函數(shù)取值為?3時(shí)，x的值，根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)，可知x的取值在x2=12左側(cè)或在【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,?4，設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax?1∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)3,0，0,?3，∴?3=a0?1解得：a=1，∴二次函數(shù)解析式為y=x?1（2）解：將二次函數(shù)的圖象向右平移mm>0二次函數(shù)解析式為y=x?1?m∵平移后二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)1,?15∴?15解得：m1=1∴m的值為12（3）解：由（2）可知：平移后二次函數(shù)解析式為y=x?32當(dāng)函數(shù)取值為?3時(shí)，則有?3=x?解得：x1=5∵當(dāng)n?2≤x≤n+1時(shí)，函數(shù)的最小值為?3，∴x的取值為x2=1①當(dāng)x的取值為x2則有n+1=1解得：n=?1②當(dāng)x的取值為x1則有n?2=5解得：n=9∴n的值為?12或15．（2024·云南昆明·一模）已知拋物線y=2a?3x2+4a+2(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)記x在某個(gè)范圍時(shí)，函數(shù)y的最大值為m，最小值為n，當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，則m?n=3t，求t的值．【答案】(1)y=?(2)t的值為9?35【分析】本題考查了求二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的增減性和最值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，具有分類討論的思想．（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，得出?4a+222a?3（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而減小，再進(jìn)行分類討論：①當(dāng)t+3<3即t<0時(shí)，y隨x的增大而增大，x=t時(shí)，y有最小值n，x=t+3時(shí)，y有最大值m，即可解答；②當(dāng)t>3時(shí)，x=t時(shí)，y有最大值m，x=t+3時(shí)，y有最小值n，即可解答；③當(dāng)0≤t≤3時(shí)，t≤3≤t+3≤6，x=3時(shí)，y有最大值為5，則n=5?3t，當(dāng)0≤t≤32時(shí)：?t2+6t?4=5?3t【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，∴?4a+2解得：a=1，經(jīng)檢驗(yàn)，a=1是分式方程的解，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=?x（2）解：y=?x∴對(duì)稱軸為x=3，∴當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而減小，①當(dāng)t+3<3即t<0時(shí)，y隨x的增大而增大，x=t時(shí)，y有最小值n，x=t+3時(shí)，y有最大值m，∴?t又m?n=3t，整理得?t+3解得t=1，又t<0，∴不符合題意，舍去；②當(dāng)t>3時(shí)，x=t時(shí)，y有最大值m，x=t+3時(shí)，y有最小值n，∴?t又m?n=3t，整理得?t+3解得t=3，又t>3，∴不符合題意，舍去；③當(dāng)0≤t≤3時(shí)，t≤3≤t+3≤6，∴x=3時(shí)，y有最大值為5，∴m=5，又m?n=3t，∴n=5?3t，當(dāng)0≤t≤32時(shí)：解得t1=9+3當(dāng)32<t≤3解得：t3=0（舍去），∴t的值為9?35綜上，t的值為9?35題型05動(dòng)軸定區(qū)間16．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的函數(shù)y=?x（1）當(dāng)m=3時(shí)，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，函數(shù)有最小值m2，則m的值為【答案】3,180或2【分析】（1）運(yùn)用配方法得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由于開口向下，根據(jù)對(duì)稱軸位置分三種情況確定最小值的情況，分別代入計(jì)算即可解題．本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=?x2+6x+9=?（2）拋物線對(duì)稱軸為直線x=??2m①當(dāng)m=1時(shí)，且在?1≤x≤3時(shí)有最小值，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性，當(dāng)x=?1或x=3時(shí)，函數(shù)有最小值，不妨當(dāng)x=?1時(shí)，最小值為m2，即可得到：?1?2m+9=m2，解得：m=2②當(dāng)m>1時(shí)，且在?1≤x≤3時(shí)有最小值，則x=?1時(shí)，最小值為m2即可得到：?1?2m+9=m2，解得：m=2或–4，所以③當(dāng)m<1時(shí)，且在?1≤x≤3時(shí)有最小值，則x=3時(shí)，最小值為m2即可得到：?9+6m+9=m2，解得：m=0或6，所以綜上所述：m的值為0或2．17．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=?x2+2ax?a2+2（a為常數(shù)，且a≠0），當(dāng)A．－6 B．4 C．?6或0 D．0或?2【答案】D【分析】根據(jù)題意可知二次函數(shù)y=?x2+2ax?a2本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確了解當(dāng)?3≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最值會(huì)發(fā)生變化，從而結(jié)合方程解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)y=?∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a，函數(shù)的最大值為2，當(dāng)a>1時(shí)，x=1時(shí)，函數(shù)有最大值y=?1?ax=?3時(shí)，函數(shù)有最小值y=??3?a∵當(dāng)?3≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，∴?1?a解得：a=1當(dāng)a<?3時(shí)，x=?3時(shí)，函數(shù)有最大值y=??3?ax=1時(shí)，函數(shù)有最小值y=?1?a∵當(dāng)?3≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，∴??3?a解得：a=?17當(dāng)?3≤a≤1時(shí)，x=?3時(shí)，函數(shù)有最小值y=??3?a2+2∴2??解得：a=0或?6(舍去)，當(dāng)?3≤a≤1時(shí)，x=1時(shí)，函數(shù)有最小值y=?1?a2+2∴2??解得a=?2或4(舍去)，∴a=0或?2，故選：D．18．（2024·浙江嘉興·一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)且b>0，c<0），當(dāng)?5≤x≤0時(shí)，?11≤y≤5，則c【答案】?10【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．由題意可知，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=?b2<0，求出x=?5，x=0，x=?b2時(shí)函數(shù)值，分兩種情況：當(dāng)?b2≤?5<0時(shí)，此時(shí)，當(dāng)?5≤x≤0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)?5<?b2<0時(shí)，即b<10，此時(shí)，當(dāng)?5≤x≤?b2【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)且b>0∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為：x=?b當(dāng)x=?5時(shí)，y=25?5b+c，當(dāng)x=0時(shí)，y=c，當(dāng)x=?b2時(shí)，①當(dāng)?b2≤?5<0時(shí)，此時(shí)，當(dāng)?5≤x≤0時(shí)，y∴25?5b+c=?11c=5，與c<0②當(dāng)?5<?b2<0此時(shí)，當(dāng)?5≤x≤?b2時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)?b2<x≤0∴c?b24或c?b24=?1125?5b+c=5，則c=5b?20解得：b=18或2，當(dāng)b=18時(shí)，c=5b?20=70>0，不符合題意；當(dāng)b=2時(shí)，c=5b?20=?10，符合題意；綜上，c的值為?10，故答案為：?10．題型06動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的最值問題19．（2024·云南昭通·二模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x2+2mx+n（m(1)若m+n=1，試說明該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)若m?1≤x≤m+k(k>0)時(shí)，函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p?q=3k，求k的值．【答案】(1)證明見解析(2)k=13【分析】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的最值問題，正確掌握二次函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由m+n=1得n=1?m，代入得函數(shù)解析式為y=?x（2）確定拋物線的對(duì)稱軸為直線x=m，開口向下，最大值為m2+n，再分兩種情況當(dāng)0<k<1時(shí)，當(dāng)k≥1時(shí)，求出【詳解】（1）證明：∵m+n=1，∴n=1?m，∴y=?∵Δ∴該函數(shù)圖像與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）∵二次函數(shù)y=?x2+2mx+n（m∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=?把x=m代入y=?x2+2mx+n∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m,m∴當(dāng)m?1≤x≤m+k(k>0)時(shí)，函數(shù)的最大值為p=若0<k<1，則x=m?1時(shí)函數(shù)有最小值，且函數(shù)最小值，q=?(m?1)∴p?q=m2若k≥1，則x=m+k時(shí)函數(shù)有最小值，且函數(shù)最小值q=?∴p?q=m2+n?m2綜上所述，k=13或20．（21-22九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=x2+mx+2m（m為常數(shù)，m<0），若對(duì)于任意的x滿足m≤x≤m+2，且此時(shí)x【答案】?2?22/【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，由拋物線對(duì)稱軸與開口方向分類討論頂點(diǎn)為圖象最低點(diǎn)或直線x=m+2與拋物線交點(diǎn)為最低點(diǎn)，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵y=x∴拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?m當(dāng)m<?m2<m+2?m當(dāng)m+2≤?m2，即將x=m+2代入y=x2+mx+2m令2m解得m=?2+22（舍去）或m=?2?2故答案為：?2?22【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，能利用分類討論思想解答．題型07動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間參數(shù)取值范圍問題21．（24-25九年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Px1,(1)當(dāng)?=1時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸；(2)若對(duì)于0≤x1≤2，?+4≤x2【答案】(1)直線x=1(2)當(dāng)a>0時(shí)，?的取值范圍為?≤?5或?≥7；當(dāng)a<0時(shí)，?的取值范圍為?2≤?≤4【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和拋物線的對(duì)稱軸，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）將?=1代入解析式，然后將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式求解即可得；（2）根據(jù)題意分兩種情況討論：a>0和a<0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別列出不等式（組）求解即可得．【詳解】（1）解：當(dāng)?=1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y=ax∴y=ax?1∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．（2）解：∵拋物線y=ax2?2a?x+a?2+1=ax??∴點(diǎn)Qx2,y2一定在對(duì)稱軸的右側(cè)，x=??4時(shí)的函數(shù)值與x=?+4由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)a>0時(shí)，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)，要使對(duì)于0≤x1≤2，?+4≤則?+5≤0，解得?≤?5；若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，要使對(duì)于0≤x1≤2，?+4≤則??5≥2，解得?≥7；②當(dāng)a<0時(shí)，要使對(duì)于0≤x1≤2，?+4≤則?+4≥2??4≤0解得?2≤?≤4，綜上，當(dāng)a>0時(shí)，?的取值范圍為?≤?5或?≥7；當(dāng)a<0時(shí)，?的取值范圍為?2≤?≤4．22．（22-23九年級(jí)上·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=?(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；(2)點(diǎn)Px1,y1，Q①若y1的最大值是2，求y②若對(duì)于x1，x2，都有y1【答案】(1)(n,?n)(2)①y1的最小值是?2，②n≤1或者【分析】（1）y=?x2+2nx?（2）①y=?x2+2nx?n2?n=?(x?n)2?n，根據(jù)a=?1<0得拋物線開口向上，當(dāng)n?2<n<n+1，當(dāng)x1=2時(shí)，y1有最大值2，即可得n=?2，所以?4≤x1≤?1，此時(shí)，y=?(x+2)2

②y=?x2+2nx?n2?n=?(x?n)2?n的對(duì)稱軸為x=n，即可得當(dāng)x>n時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)n+1≤3?n時(shí)，y1≥y2，當(dāng)x<n時(shí)，y隨x【詳解】（1）解：y=?x則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n,?n)；（2）解：①y=?x∵a=?1<0，∴拋物線開口向上，∵n?2<n<n+1，∴當(dāng)x1=2時(shí)，2=?n，n=?2，∴?4≤x此時(shí)，y=?(x+2)2+2對(duì)稱軸為x=?2，在x<?2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x1=?4時(shí)，y1有最小值：②∵y=?x2+2nx?∴當(dāng)x>n時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)n+1≤3?n時(shí)，y1當(dāng)x<n時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)n?2≥3?n時(shí)，y1即n+1≤3?n，解得，n≤1，n?2≥3?n，解得，n≥5綜上，n的取值范圍：n≤1或n≥5【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．類型二幾何最值問題題型01二次函數(shù)中的線段最值問題平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常用線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，然后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.解決這類問題的關(guān)鍵如下：①確定線段長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)線段平行于y軸時(shí)，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行于x軸時(shí)，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②確定函數(shù)的最值，注意函數(shù)自變量的取值范圍.注意：?jiǎn)尉€段最值求解時(shí)一定要保證線段是非負(fù)的.1）鉛垂線段的求法-橫坐標(biāo)相同23．（2024·內(nèi)蒙古烏?！ひ荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?3x?3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，求△BCH的面積；(3)若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線ED平行y軸交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求ME長(zhǎng)的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下：當(dāng)ME取得最大值時(shí)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=(2)3(3)94，(4)存在，P10,0，P26?3【分析】（1）由直線y=?3x?3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，得A(?1,0)、C(0,?3)，將A(?1,0)、C(0,?3)代入y=x2+bx+c，列方程組求b、c（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)F，求直線BC的解析式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，推導(dǎo)出S△BCH=1（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示點(diǎn)E、點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段ME的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出線段ME的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）在x軸上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)M、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．由（3）得D32,0，M32,?32，由勾股定理求出OM=BM=322【詳解】（1）解：∵直線y=?3x?3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，∴A(?1,0)，C(0,?3)，∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(?1,0)∴1?b+c=0c=?3解得b=?2c=?3∴拋物線的解析式為y=x（2）解：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G．設(shè)直線BC的解析式為y=kx?3，則3k?3=0，解得k=1，∴y=x?3；∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)H(1,?4)，當(dāng)x=1時(shí)，y=1?3=?2，∴F(1,?2)，∴FH=?2?(?4)=2，∴S（3）解：設(shè)Ex,x2∴ME=x?3?(x∴當(dāng)x=32時(shí)，ME（4）解：存在．如圖3，由（2）得，當(dāng)ME最大時(shí)，則D32,0∴DO=DB=DM=3∵∠BDM=90°，∴OM=BM=(點(diǎn)P1、P2、P3、P當(dāng)點(diǎn)P1與原點(diǎn)O重合時(shí)，則P1M=BM=當(dāng)BP2=BM=∴P當(dāng)點(diǎn)P3與點(diǎn)D重合時(shí)，則P3M=當(dāng)BP4=BM=∴P綜上所述，P10,0，P26?3【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰三角形的判定、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及勾股定理、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)和方法，解最后一題時(shí)要注意分類討論，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=?13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N求線段PN長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)A?2,0,B6,0,C(2)3【分析】（1）分別令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,?13m2+43【詳解】（1）解：在y=?1令x=0，則y=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4，令y=0，則?1即x2解得：x=?2或x=6，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為6,0，設(shè)線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)B6,0,C0,4代入y=kx+b解得：k=?2∴線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=?2（2）解：∵點(diǎn)P在拋物線y=?1∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,?1∵PM⊥x軸交BC于點(diǎn)N，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為m,?2∵點(diǎn)P在線段BC上方的拋物線上，∴0<m<6且PN=PM?NM=?1∵?13<0∴當(dāng)m=3時(shí)，PN有最大值，線段PN長(zhǎng)的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．25．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0．經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，與直線AB交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=?x2(2)①當(dāng)m=52時(shí)，PD有最大值為94；②當(dāng)P的坐標(biāo)為2,4或3,3時(shí)，△BPD【分析】（1）把0,0，A4,0，B1,3代入y=ax2+bx+ca≠0求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，然后令（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出PD，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對(duì)等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出∠PDB=∠ACO=45°，然后分△PBD∽△OAC，△PBD∽△AOC兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把0,0，A4,0，B1,3代入得c=016a+4b+c=0解得a=?1b=4∴二次函數(shù)的解析式為y=?x設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，則4m+n=0m+n=3解得m=?1n=4∴直線AB解析式為y=?x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴C0,4（2）解：①設(shè)Pm,?m2∴PD=?=?=?m?∴當(dāng)m=52時(shí)，PD有最大值為②∵A4,0，C∴AO=CO=4，又∠AOC=90°，∴∠ACO=∠AOC=45°，又PD⊥x軸，∴PD∥∴∠PDB=∠ACO=45°，當(dāng)△PBD∽△OAC時(shí)，如圖，∴∠BPD=∠AOC=90°，∴BP∥∴P的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入y=?x2+4x解得x1=1，∴m=3，∴?m∴P的坐標(biāo)為3,3；當(dāng)△PBD∽△AOC時(shí)，如圖，過B作BF⊥PD于F，則BF=m?1，∠PBD=∠AOC=90°，又∠BDP=45°，∴∠BPD=45°=∠BDP，∴BP=BD，∴PF=DF，∴BF=1∴m?1=1解得m1=2，∴?m∴P的坐標(biāo)為2,4綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為2,4或3,3時(shí)，△BPD與△AOC相似．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．2）水平相等的求法-縱坐標(biāo)相同26．（2024·江西九江·二模）已知一次函數(shù)y=?12x+m2(1)當(dāng)m=0時(shí)，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如果兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)如圖，當(dāng)m=?1時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是兩個(gè)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)．①當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，求②當(dāng)PQ∥x軸時(shí)，求PQ的最小值．【答案】(1)(0,1)或1(2)m<?(3)①716；②【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問題；（1）當(dāng)m=0時(shí)，一次函數(shù)為y=?12x+1，（2）聯(lián)立解析式，根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，即可求解；（3）當(dāng)m=?1時(shí)，一次函數(shù)為y=?12①設(shè)Pa,?12②設(shè)Pa?1【詳解】（1）解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，一次函數(shù)為y=?12聯(lián)立方程組y=?解得x1=0，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為0,1或12（2）由y=?得x∵兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，∴Δ得m<?（3）當(dāng)m=?1時(shí)，一次函數(shù)為y=?12x+2，①∵PQ∥y軸設(shè)Pa,∴PQ=∴當(dāng)a=?34②設(shè)P∵PQ∥∴?∴a=2b2+4b+2．∴PQ=a?b=∴當(dāng)b=?3427．（23-24九年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx?3（a≠0）過點(diǎn)A?1,0、B3,0

(1)求拋物線的表達(dá)式：(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥x軸交直線BC于E，F(xiàn)為直線BC上一點(diǎn)，且∠FPE=∠CAB，求EF的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)在（2）問的前提下，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使∠BMP的度數(shù)最大，若存在，請(qǐng)寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)，并做詳細(xì)解答．【答案】(1)y=(2)EF的最大值為27216(3)M【分析】（1）用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=ax（2）先證明△FHP≌△AOC，得出FHPH=COAO=3，設(shè)Pm,m2?2m?3，求出Em2（3）利用圓周角定理判斷出當(dāng)△BPM的外接圓與對(duì)稱軸相切時(shí)，∠BMP的度數(shù)最大，然后設(shè)M1,n，O'x,y【詳解】（1）解：將點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)B3,0代入0=a??12+b?故拋物線的解析式為：y=x（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=?3，∴C0,?3∴CO=3，∵A?1,0，∴AO=1，BO=3，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b則3k+b'=0∴直線BC解析式為y=x?3，過點(diǎn)F作FH⊥EF于H，

∴∠FHP=∠AOC=90°，又∠FPE=∠CAB，∴△FHP≌△AOC，∴FHPH設(shè)Pm,∵PE∥∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m2代入y=x?3，得m2?2m?3=x?3，解得∴Em∴PE=m?m∵BO=CO=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵PE∥∴∠BEP=∠OBC=45°，∴△EFH是等腰直角三角形，∴FH=EH，EF=2∴EHPH∴PH=1∵PE=PH+EH=1∴EH=3∴EF=2∴當(dāng)m=32時(shí)，EF取最大值為此時(shí)m2∴EF的最大值為27216，（3）解：∵y=x∴對(duì)稱軸為x=1，作△BPM的外接圓，記為⊙O

∵點(diǎn)M在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，∴對(duì)稱軸與⊙O設(shè)⊙O'與對(duì)稱軸相切于M，在對(duì)稱軸上另取一點(diǎn)M'，連接BM'，PM'，BN，O則∠BMP=∠BNP，由∠BNP>∠BM∴∠BMP>∠BM∴當(dāng)⊙O'與對(duì)稱軸相切時(shí)，此時(shí)O'設(shè)M1,n，O'∵M(jìn)O∴x?12整理得n2解得n1=?10?∴M【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，（2）用含字母的式子表示點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度，熟練掌握求二次函數(shù)最值，（3）利用圓周角定理找到符合已知條件的點(diǎn)M的位置．28．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A和B1,0（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C0,3(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)P作x軸平行線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作y軸平行線交x軸于點(diǎn)D，求PE+PD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?(2)PD+PE的最大值為498，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為：N0,4或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線AC的解析式，設(shè)Pm,?m2?2m+3，則PE=?m（3）先求得拋物線的頂點(diǎn)P?1，4，對(duì)稱軸為x=?1，分當(dāng)點(diǎn)N在y軸上和點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，證明△CMG∽△NCO，求得CG=?13t，再證明△CMG≌△PNH，求得點(diǎn)【詳解】（1）解：∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)B(1,0)，與?1+b+c=0解得b=?2拋物線的解析式為：y=?x（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，0=?x解得x1=?3，∴A(?3,0)，設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+nk≠0把A?3,0，C0,3代入得：解得k=1∴直線AC的解析式為y=x+3，設(shè)Pm,?∵PE∥∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為?m又∵點(diǎn)E在直線AC上，∴?m2?2m+3=x+3∴E?∴PE=?m∵PD∥y軸，∴PD=?m∴PD+PE=?m∵?2<0，?3<m<0，∴當(dāng)m=?54時(shí)，PD+PE有最大值，最大值為當(dāng)m=?54時(shí)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?5答：PD+PE的最大值為498，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?（3）解：y=?x則拋物線的頂點(diǎn)P?1，4情況一：當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，P為拋物線的頂點(diǎn)，∵四邊形PMCN為矩形，∴N與P縱坐標(biāo)相同，∴N0,4情況二：當(dāng)點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形PMCN為矩形，過M作y軸的垂線，垂足為G，過P作x軸的垂線，垂足為H，設(shè)Nt,0，則ON=?t∴∠MCN=∠CNP=90°，CM=NP，∴∠MCG+∠OCN=90°，∵∠ONC+∠OCN=90°，∴∠MCG=∠ONC，又∵∠CGM=∠CON=90°，∴△CMG∽△NCO，∴CGON∵拋物線對(duì)稱軸為x=?1，點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，C0,3∴MG=1，OC=3，∴CG?t=1∵∠MCG+∠CMG=90°，∠ONC+∠PNH=90°，∴∠CMG=∠PNH，∴△CMG≌△PNH，∴NH=MG=1，HP=CG=?1∴OH=ON+NH=?t+1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為t?1,?1∵點(diǎn)P在拋物線上，∴?1解得t1=1?∴N1?綜上所述：符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為：N0,4或N【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．3）斜線段的求法-化斜為直

29．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，C(1)求a，(2)若點(diǎn)D在線段AB上，過點(diǎn)D作DE∥AC，交拋物線y=ax2+bx+3于點(diǎn)E(3)若點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在拋物線上，當(dāng)A，D，【答案】(1)a=?(2)DE的最大值為25(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為?32【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸，將EF的長(zhǎng)度用二次函數(shù)表示，即可求出EF最大值，從而求得線段DE的最大值；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由題意可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,0，∴?b解得a=?2（2）解：過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，OC=3，當(dāng)y=0時(shí)，x1=?3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為92∴OA=OC，∠CAO=45°，∵DE∥AC，∴∠EDB=45°，∴△DEF為等腰直角三角形，DE=2∵點(diǎn)E在拋物線y=?2∴設(shè)Em,?∴EF=?2∵?2∴當(dāng)m=34時(shí)，EF的最大值為∴DE的最大值為258（3）解：設(shè)Em,?情況一：當(dāng)CE∥AD時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，AC=DE=32∵DE=2EF，∴2×解得m1=0（舍去），∴OF=32，∴DO=32，情況二：當(dāng)CD∥AE時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，AC=DE=32∵DE=2EF=2∴2×解得m1=?9∴F6,0，D綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為?32,【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)最值問題，二次函數(shù)