算法與隨機事件的概率復(fù)習(xí)題

算法算法解題的一般思路，即算法分析（提煉問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)）——畫出程序框圖——按框圖編寫成程序語言——運行調(diào)試，改進程序。總的來說，就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律結(jié)合所掌握算法，通過模仿，操作，探索，尋找解決問題的通法。一、滿足方程的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù)或商高數(shù)，設(shè)計計算某一范圍內(nèi)的勾股數(shù)的算法．例1．設(shè)計一個程序，求出不等式的所有正整數(shù)解，并顯示出來。分析：因為相應(yīng)函數(shù)在上是增函數(shù)。所以若有正整數(shù)滿足不等式，則所有小于的正整數(shù)也都是該不等式的解。因此，我們可以設(shè)計一個算法，逐個檢驗1、2、3、……是否為該不等式的解，一直檢驗到第一個不滿足該不等式的正整數(shù)出現(xiàn)，則可以結(jié)束程序。因為根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，只要，則（），即大于或等于的正整數(shù)都不是的解。⑴具體算法步驟：第一步：初始化x=1第二步：判斷x是否為不等式的解。是則輸出，并執(zhí)行第三步；否則結(jié)束程序。第三步：x=x+1,返回第二步。⑵程序框圖：xx=1？輸出xx=x+1結(jié)束YN開始⑶程序：x=1x=1whileEXP(x)+x^4<800printxx=x+1wendend二、用算法求任意平面圖形的面積以前我們在平面幾何所遇到的面積、周長問題，都是在規(guī)則圖形中根據(jù)給定的面積、周長公式求解。實際上，當(dāng)我們初步學(xué)習(xí)算法之后，我們可以結(jié)合無限分割的思想，自己編寫程序來計算任意平面圖形（包括規(guī)則及不規(guī)則圖形）的面積、周長。例2．設(shè)計算法求圓的面積。⑴具體算法步驟如下：第一步：將半徑為的圓分成全等的扇形。第二步：當(dāng)正整數(shù)大到一定程度時，可以將扇形近似地看成一個等腰三角形。頂角可得該三角形底邊上的高所以扇形對應(yīng)弦長第三步：扇形的面積近似地看作三角形的面積第四步：圓的面積為⑵程序框圖：開始開始輸入圓的半徑及的值輸出結(jié)束⑶程序：IInput“請輸入圓的半徑長”;Input“請輸入分割份數(shù)n”;Print“該圓的面積為：”;n*r^2*cos(3.14/n)*sin(3.14/n)End例3．設(shè)計算法，求曲線，直線、和軸圍成的圖形面積。分析：計算不規(guī)則圖形的面積，也可以利用無限分割的思想來尋找算法。首先將軸上0.5～5這段線段n等分，然后過每個n等分點作垂直與軸的直線，則將所求圖形分為n個近似于梯形的圖形。那我們就可以把所求圖形面積看成是這n個梯形的面積之和。⑴具體算法步驟如下：第一步：輸入正整數(shù)n。s=0第二步：從左到右逐個計算這些小梯形的面積，并逐個加到s。第三步：輸出s。⑵程序框圖：開始開始輸入ns=0，i=1，h=(5-0.5)/n，p=0.5i<=n?b=log(p+h)+1/(p+h)^2a=log(p)+1/p^2s=s+(a+b)/2*ha=b，i=i+1，p=p+h輸出s結(jié)束YN⑶程序：IInput“請輸入一個正整數(shù)n”;ns=0i=1h=(5-0.5)/np=0.5a=log(p)+1/p^2whilei<=nb=log(p+h)+1/(p+h)^2s=s+(a+b)/2*ha=bi=i+1p=p+hwendprint“所求面積為”;sEND三、算法在實際生活中的應(yīng)用例4．一輛郵車依次前往城市Ａ１，Ａ２，Ａ３，…Am（），每到一個城市先卸下前面各城市發(fā)往該城市的郵袋1個，然后再裝上該城市發(fā)往后面各城市的郵袋各1個，設(shè)ｎ是郵車從第ｎ個（1≤n＜m，n∈N*）城市出發(fā)時郵車上郵袋的個數(shù)，設(shè)計一個算法，對任給兩個正數(shù)ｍ＞ｎ，求ｎ.分析:到達第n個城市時,郵袋個數(shù)為前一個城市的郵袋個數(shù)減去前面城市發(fā)往該市的n-1個郵袋，再加上發(fā)往后面各城市的（m-n）個郵袋，可用循環(huán)計算I從1至ｎ時，ｎ的變化。⑴程序框圖：開始開始輸入m，nm<n?顯示“輸入錯誤”！s=m，i=1i<=n？s=s-(i-1)+(m-i)i=i+1輸出s結(jié)束YYNN⑵程序：IInputm,nIfm<nthenPrint“錯誤！ｍ必須大于或等于ｎ”Elses=mi=1Whilei<=ns=s-(i-1)+(m-i)i=i+1wendEndIfPrintsEnd隨機事件的概率例1、下面請同學(xué)們兩人一組做一試驗：每組拋擲硬幣20次，并統(tǒng)計正、反面次數(shù).統(tǒng)計每組正面向上次數(shù)如下：12，9，11，13，8，10，11，12，9，13，7，12，10，13，11，11，8，10，14，9，7，12，6，8，7.那么，在拋擲硬幣試驗中，出現(xiàn)正面的次數(shù)占總次數(shù)的百分比為多少呢？或者說，出現(xiàn)正面的頻率為多少？總試驗次數(shù)為500次，出現(xiàn)正面的次數(shù)為253次，出現(xiàn)正面的頻率為0.506.請同學(xué)們來看這樣一組數(shù)據(jù)：歷史上曾有人作過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗，這便是試驗結(jié)果.大家從這組數(shù)據(jù)中，是否可獲得什么結(jié)論呢？拋擲硬幣試驗結(jié)果表 拋擲次數(shù)(n)正面向上次數(shù)(頻數(shù)m)頻率()20484040120002400030000720881061204860191201214984361240.51810.50690.50160.50050.49960.5011出現(xiàn)正面的頻率值都接近于0.5.再請同學(xué)們看這樣兩組數(shù)據(jù)，某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢驗表抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率0.90.920.970.940.9540.951某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗結(jié)果表每批粒數(shù)n251070130310700150020003000發(fā)芽粒數(shù)m24960116282639133918062715發(fā)芽頻率10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905從表2可看到,當(dāng)抽查的球數(shù)很多時，抽到優(yōu)等品的頻率接近于0.95.從表3可看到,當(dāng)試驗的油菜籽的粒數(shù)很多時，油菜籽發(fā)芽的頻率接近于0.9.隨機事件在一試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但隨著試驗次數(shù)的不斷增加，它的發(fā)生會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，正如我們剛才看到的：某事件發(fā)生的頻率在大量重復(fù)的試驗中總是接近于某個常數(shù).一般地，在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).如上：記事件A為拋擲硬幣時“正面向上”.則P(A)=0.5，即：拋擲一枚硬幣出現(xiàn)“正面向上”的概率是0.5.例2、若記事件A為抽取乒乓球試驗中出現(xiàn)優(yōu)等品，則P(A)=0.95，即：任取一乒乓球得到優(yōu)等品的概率是0.95.若記事件A：油菜籽發(fā)芽，則P(A)=0.9,即任取一油菜籽，發(fā)芽的概率為0.9.概率這一常數(shù)從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小.如上：拋擲一枚硬幣出現(xiàn)“正面向上”的可能性是50%；任取一乒乓球得到優(yōu)等品的可能性是95%；任取一油菜籽，發(fā)芽的可能性是90%.上述有關(guān)概率的定義，也就是求一個事件的概率的基本方法：進行大量的重復(fù)試驗，用這個事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率.即：若記隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，則有0≤m≤n,0≤≤1.于是可得：0≤P(A)≤1.顯然：（1）必然事件的概率是1，（2）不可能事件的概率是0.例3、拋擲一個骰子，它落地時向上的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是多少？［分析］由于骰子落地時向上數(shù)可能有1，2，3，4，5，6六種情形，其中向上的數(shù)為3，6，這2種情形之一出現(xiàn)時，“向上的數(shù)是3的倍數(shù)”，這一事件（記作事件A）發(fā)生，因此事件A的發(fā)生包含的結(jié)果有2個.解：記事件A為“向上的數(shù)是3的倍數(shù)”.則事件A包含兩個基本事件，即“向上的數(shù)是3”和“向上的數(shù)為6”.且由題意得每一基本事件的概率均為.因此，事件A的概率為：P(A)=.評述：如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)=.也可理解為：在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果組成一個集合I，這n個結(jié)果就是集合I的n個元素，各基本事件均對應(yīng)于集合I的含有1個元素的子集，包含m個結(jié)果的事件A對應(yīng)于I的含有m個元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個數(shù)（記作card(A)）與集合I的元素個數(shù)（記作card（I））的比值，即：P(A)=如，上述骰子落地時向上的數(shù)是3的倍數(shù)，這一事件A的概率P(A)=例4、.先后拋擲2枚均勻的硬幣.（1）一共可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果？（2）出現(xiàn)“1枚正面，1枚反面”的結(jié)果有多少種？（3）出現(xiàn)“1枚正面，1枚反面”的概率是多少？（4）有人說，“一共可能出現(xiàn)‘2枚正面’‘2枚反面’‘一枚正面，1枚反面’這3種結(jié)果，因此出現(xiàn)‘1枚正面，1枚反面’的概率是.”這種說法對不對？[分析]由于是先后拋擲2枚均勻的硬幣，所以在考查試驗結(jié)果時，要分第一枚與第二枚不同的結(jié)果，然后再加以組合.解：（1）由題意可知，可能出現(xiàn)的結(jié)果有：“第1枚正面，第2枚正面”；“第1枚正面，第2枚反面”；“第1枚反面，第2枚正面”；“第1枚反面，第2枚正面”.即：一共可能出現(xiàn)“2枚正面”“2枚反面”“第1枚正面，第2枚反面”“第1枚反面，第2枚正面”四種不同的結(jié)果.（2）由（1）得出現(xiàn)“1枚正面，1枚反面”的結(jié)果有“第1枚正面，第2枚反面”與“第1枚反面，第2枚反面”2種.（3）由于此試驗一共可能出現(xiàn)4種結(jié)果.而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，而出現(xiàn)“1枚正面，1枚反面”包含兩種結(jié)果，所以其發(fā)生的概率為，即.（4）這種說法不對，這是因為“1枚正面，1枚反面”這一事件由2個試驗結(jié)果組成，這一事件發(fā)生的概率是而不是.評述：要仔細分析試驗的條件以及結(jié)果的出現(xiàn)類型.例5、一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球.（1）共有多少種不同的結(jié)果？（2）摸出2個黑球有多少種不同的結(jié)果？（3）摸出2個黑球的概率是多少？[分析]由題意可知袋中裝有4個不同的球，從中任取2球的結(jié)果數(shù)即為從4個不同的元素中任取2元素的組合數(shù)；摸出2個黑球的結(jié)果數(shù)即為從3個不同的元素中任取2元素的組合數(shù)，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，即為等可能性事件.解：（1）從裝有4個球的口袋內(nèi)摸出2個球，共有：C=6種不同的結(jié)果，即由所有結(jié)果組成的集合I含有6個元素.∴共有6種不同的結(jié)果.（2）從3個黑球中摸出2個球，共有C=3種不同的結(jié)果，這些結(jié)果組成I的一個含有3個元素的子集A，如圖：∴從口袋內(nèi)摸出2個黑球有3種不同的結(jié)果.（3）由于口袋內(nèi)4個球的大小相等，從中摸出2個球的6種結(jié)果是等可能的，又在這6種結(jié)果中，摸出2個黑球的結(jié)果有3種，因此從中摸出2個黑球的概率P(A)=.∴從口袋內(nèi)摸出2個黑球的概率是.評述：仔細分析事件，靈活應(yīng)用排列和組合知識解決問題.例6、將骰子先后拋擲2次，計算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的數(shù)之和是5的概率是多少？（學(xué)生討論）討論1：將骰子拋擲1次，它落地時向上的數(shù)有1，2，3，4，5，6這6種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的.討論2：每次試驗需分兩步完成，且每步均會出現(xiàn)以上6種結(jié)果，每一次試驗的結(jié)果為以上6種結(jié)果的任意組合，且每一組結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的.討論3：向上的數(shù)和為5的結(jié)果，即出現(xiàn)1和4，2和3的組合的結(jié)果.解：（1）將骰子拋擲1次，它落地時向上數(shù)有1，2，3，4，5，6這6種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理，先后將這種玩具拋擲2次，一共有6×6=36種不同的結(jié)果.（2）在上面所有結(jié)果中，向上的數(shù)之和為5的結(jié)果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）4種，其中括弧內(nèi)的前、后2個數(shù)分別為第1、2次拋擲后向上的數(shù).∴在2次拋擲中，向上的數(shù)之和為5的結(jié)果有4種.以上結(jié)果可表示為：（其中不在線段上的各數(shù)為相應(yīng)的2次拋擲后向上的數(shù)之和.）（3）由于骰子是均勻的，將它拋擲2次的所有36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的.其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果（記為事件A）有4種，因此，P(A)=.∴拋擲骰子2次，向上的數(shù)之和為5的概率是.評述：注意分析事件的結(jié)果是否為有限的，且出現(xiàn)的可能性是否相等，即判斷事件是否為等可能性事件，還要注意靈活應(yīng)用排列和組合以及兩原理的應(yīng)用.思考：在這個問題中，出現(xiàn)向上的數(shù)之和為5的倍數(shù)的概率是多少？[分析]出現(xiàn)向上的數(shù)之和為5的倍數(shù)，即和為5或10.其中和為5的結(jié)果有4種.和為10的結(jié)果有（4，6），（6，4），（5，5）3種.總之，出現(xiàn)向上的數(shù)之和為5的倍數(shù)的結(jié)果有7種.因此，在這個問題中，出現(xiàn)向上的數(shù)之和為5的倍數(shù)的概率是.例7、.隨意安排甲、乙、丙3人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天.（1）這3人的值班順序共有多少種不同的排列方法？（2）其中甲在乙之前的排法有多少種？（3）甲排在乙之前的概率是多少？[分析]據(jù)題意可知，3人在3天節(jié)日中值班順序數(shù)即為3個不同元素在3個不同位置上的排列數(shù)；其中甲在乙之前意味著甲、乙相鄰且甲在乙之前，或甲、乙不相鄰而甲在乙之前的排法.解：（1）隨意安排甲、乙、丙3人在3天節(jié)日中值班，每人值1天，則這3人的值班順序共有6種不同的排列方法，即組成的集合I有6個元素.∴這3人的值班順序共有6種不同的排列方法.（2）甲在乙之前的排法有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙3中不同的結(jié)果，這些結(jié)果組成I的一個含有3個元素的子集A.如圖所示：（3）由于是隨意安排，即每人在每天值班的可能性是