第十八章+平行四邊形數(shù)學(xué)活動(dòng)+折紙作60°、30°、15°角+教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)+

數(shù)學(xué)活動(dòng)《折紙作60°、30°、15°角》教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析（一）單元內(nèi)容與解析本章屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容，聚焦于軸對(duì)稱的研究。主要涵蓋特殊四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)及應(yīng)用。知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下軸對(duì)稱是中學(xué)階段重點(diǎn)研究的平面圖形的幾何變換之一。本單元以圖形的對(duì)稱性為主線，串聯(lián)特殊四邊形大單元復(fù)習(xí)，從“中心對(duì)稱與平行四邊形”—“軸對(duì)稱與矩形、菱形”—“對(duì)稱與正方形”，在整個(gè)大單元復(fù)習(xí)中，既保持通過圖形要素之間的關(guān)系，研究圖形性質(zhì)的幾何研究基本方法的一貫性，又以新的視角幫助學(xué)生對(duì)特殊四邊形進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)圖形，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。本單元的基本設(shè)計(jì)思想是：重視幾何圖形研究的一般活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和應(yīng)用，通過復(fù)習(xí)三角形，總結(jié)出三角形的研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法，把這種經(jīng)驗(yàn)一般化后，應(yīng)用到平行四邊形的系統(tǒng)研究中，探索平行四邊形及其特例——矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定，把具體知識(shí)的探索發(fā)現(xiàn)過程（圖形觀察、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)與想像、歸納與猜想）與證實(shí)過程（演繹推理）融入幾何圖形研究活動(dòng)中，讓學(xué)生明確圖形的研究?jī)?nèi)容（圖形的構(gòu)成要素與相關(guān)要素的位置和數(shù)量關(guān)系），學(xué)會(huì)幾何研究的思路、方法，積累幾何圖形研究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展“四能”以及幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（二）課時(shí)內(nèi)容與解析本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形—數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)。平行四邊形及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）都是常見的四邊形，在學(xué)習(xí)了平行線、全等三角形、軸對(duì)稱圖形等知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的學(xué)習(xí)，是上述內(nèi)容的后續(xù)和深化。本節(jié)課是一節(jié)關(guān)于折紙的活動(dòng)課，具有一定的趣味性和知識(shí)性，主要讓學(xué)生通過折紙得到特殊角。本節(jié)課的活動(dòng)2讓學(xué)生從正方形紙片中折出等腰三角形有一定的難度，從圖像折疊中體驗(yàn)軸對(duì)稱，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何變換、強(qiáng)化動(dòng)手操作能力奠定基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生從折疊的角度對(duì)軸對(duì)稱圖形進(jìn)行再認(rèn)知?；顒?dòng)3讓學(xué)生從長(zhǎng)方形紙片中折出等邊三角形并證明折紙得到的60°角，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，既是對(duì)學(xué)生之前所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)能力的鞏固和提升，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何論證奠定基礎(chǔ)。課程標(biāo)準(zhǔn)中，“綜合與實(shí)踐”部分具有加深了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步理解相關(guān)知識(shí)，形成應(yīng)用意識(shí)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）單元目標(biāo)及解析 1.單元目標(biāo)（1）通過生活情景抽象出平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的定義，以及它們之間的關(guān)系，培養(yǎng)抽象能力.（2）探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理，類比探索并證明矩形、菱形和正方形的性質(zhì)定理，歸納研究幾何圖形性質(zhì)的方法。（3）探索并證明平行四邊形的判定定理，類比探索并證明矩形、荾形和正方形的判定定理，歸納研究幾何圖形判定的思路,（4）類比三角形的研究過程，總結(jié)平行四邊形的研究?jī)?nèi)容和方法，通過三角形中位線定理的探究體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，探究平行四邊形之間的關(guān)系。（5）理解線段垂直平分線的概念，靈活應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理解決實(shí)際問題。（6）理解等腰三角形的概念，靈活應(yīng)用等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決問題。2.單元目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志是:能用文字語言、圖形語言、符號(hào)語言來描述平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的定義，知道平行四邊形的研究是以定義為出發(fā)點(diǎn)的。達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志是:能通過觀察、操作發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)進(jìn)行證明，能用文字語言和符號(hào)語言準(zhǔn)確表述性質(zhì)的含義。達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志是:能通過觀察、操作發(fā)現(xiàn)其判定定理，并對(duì)判定定理進(jìn)行證明，能用文字語言和符號(hào)語言準(zhǔn)確表述判定定理的含義。達(dá)成目標(biāo)(4)的標(biāo)志是:學(xué)生能在教師的引導(dǎo)下，通過觀察，測(cè)量，推理等方法，發(fā)現(xiàn)三角形中位線定理。培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷基本事實(shí)的形成過程及其正確性。達(dá)成目標(biāo)（5）的標(biāo)志是：學(xué)生會(huì)證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理，并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.達(dá)成目標(biāo)（6）的標(biāo)志是：學(xué)生能探索總結(jié)出等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理，并能解決一些簡(jiǎn)單問題。感知空間觀念，落實(shí)核心素養(yǎng)。（二）課時(shí)目標(biāo)及解析 1.課時(shí)目標(biāo)（1）能利用長(zhǎng)方形紙片折出60°，30°，15°的角。（2）通過折疊活動(dòng)，加深對(duì)軸對(duì)稱、全等三角形、特殊三角形、四邊形等知識(shí)的認(rèn)識(shí)。（3）經(jīng)歷折疊、觀察、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。2.課時(shí)目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：經(jīng)歷折疊60°、30°、15°角的過程，能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證并解決相關(guān)問題。達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：在折疊過程中，熟練使用軸對(duì)稱、全等形等性質(zhì)。達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：通過折紙觀察，加深“數(shù)與形”的緊密結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合應(yīng)用”的過程，發(fā)展學(xué)生幾何直觀與推理能力，學(xué)生從不同的角度分析問題和解決問題，滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。三、教學(xué)問題診斷分析八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具有一定的折紙經(jīng)驗(yàn)，教材選取學(xué)生熟知的、生活化的折紙游戲作為研究和學(xué)習(xí)的內(nèi)容，讓學(xué)生倍感親切，能激發(fā)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的興趣,在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱變換，而且利用軸對(duì)稱變換進(jìn)行過折紙活動(dòng)，還學(xué)習(xí)過角平分線、平行與垂直、三角形的全等、直角三角形的性質(zhì)、矩形等知識(shí)，學(xué)生的抽象思維能力、識(shí)圖能力等己基本形成,但由于學(xué)生空問觀念發(fā)展不均衡，對(duì)所學(xué)知識(shí)不能靈活運(yùn)用,所以，本節(jié)課設(shè)計(jì)遵循從易到難，從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，層層深入，抓住學(xué)生的興趣點(diǎn)，將重難點(diǎn)在學(xué)生的快樂學(xué)習(xí)中解決突破。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）注重情境創(chuàng)設(shè)，感知問題價(jià)值播放“小折紙改變大世界”視頻。學(xué)生活動(dòng)：觀看視頻。導(dǎo)語：指尖作品、皆數(shù)學(xué)之妙用。折紙之理，我們從折角開始研究。設(shè)計(jì)意圖：通過觀看視頻，點(diǎn)出課題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思考和表達(dá)能力。（二）積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)學(xué)模型ABCABC學(xué)生活動(dòng)：通過將∠B翻折到∠C處，重合兩個(gè)角進(jìn)行比較。還可以通過折疊∠A的角平分線，利用三角形的一個(gè)外角一定大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角的定理也可以對(duì)兩個(gè)角的大小進(jìn)行判斷。

通過學(xué)生的操作和對(duì)于操作的描述，教師引導(dǎo)折痕分別是垂直平分線和角平分線，為后續(xù)證明做鋪墊。設(shè)計(jì)意圖：通過熱身活動(dòng)，引出學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱的思考，利用問題引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，為后續(xù)探究折特殊角做鋪墊，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考和表達(dá)能力?；顒?dòng)1：折45°的角,可以先折等腰直角三角形。任務(wù)：嘗試從正方形紙片中折出等腰直角三角形，并說明操作的正確性。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在小組內(nèi)動(dòng)手折等腰直角三角形，并展示說明為等腰直角三角形的理由。追問：你能折出22.5°的角嗎？還能折出哪些角？播放折紙視頻。學(xué)生匯報(bào)交流：利用對(duì)折可以平分一個(gè)角及余角補(bǔ)角的性質(zhì)，可以得到22.5°、22.5°、67.5°、112.5°、135°等.設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)從學(xué)生最熟悉的正方形為知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，通過折等腰直角三角形，得到本節(jié)課第一個(gè)特殊角45°角，符合認(rèn)知規(guī)律遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、特殊到一般的原則，順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展學(xué)生?；顒?dòng)2：折60°的角,可以先折等邊三角形，而等邊三角形是特殊的等腰三角形。任務(wù)1：嘗試從正方形紙片中折出一般的等腰三角形，并說明操作的正確性。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生分享做法并說明理由。（1）以正方形的一邊作為等腰三角形的底邊，做BC邊的垂直平分線（對(duì)折），以B點(diǎn)和EF上任意一點(diǎn)進(jìn)行折疊，都可以得到一個(gè)等腰三角形。

（2）以任意長(zhǎng)MN為等腰三角形的底邊，做MN邊的垂直平分線（沿MN對(duì)折），以M點(diǎn)和EF上任意一點(diǎn)進(jìn)行折疊，都可以得到一個(gè)等腰三角形.

教師對(duì)其總結(jié)并升華，得到更一般的等腰三角形，復(fù)習(xí)垂直平分線的性質(zhì)，為折等邊三角形做鋪墊。設(shè)計(jì)意圖:設(shè)置鋪墊環(huán)節(jié)，通過讓學(xué)生從正方形的紙片中折一般的等腰三角形，為折等邊三角形做一個(gè)鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決問題能力。任務(wù)2：嘗試從正方形紙片中折出等邊三角形。要求：1.以小組為單位，每一小組成員都可發(fā)表自己的想法；

2.小組交流，說說操作的正確性；

3.全班展示。學(xué)生活動(dòng)：小組活動(dòng)與交流，讓思維碰撞，經(jīng)歷克服困難和取得成功的過程。學(xué)生上臺(tái)展示他們小組的做法并說明道理，給予簡(jiǎn)單的證明。

追問：你還有其他方法從正方形紙片中折出等邊三角形嗎？學(xué)生活動(dòng)：展臺(tái)上講解展示，敘述證明過程，并指出60°角和30°角。設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點(diǎn)，學(xué)生需要將垂直平分線的性質(zhì)與正方形的四邊相等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，從而折疊和證明，知識(shí)點(diǎn)較為綜合。培養(yǎng)學(xué)生探究能力，通過小組合作設(shè)計(jì)方案、直觀感覺與驗(yàn)證等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生合作精神、自主探究能力、觀察能力、批判性思維和邏輯推理能力?；顒?dòng)3：嘗試從長(zhǎng)方形紙片中折出等邊三角形，完成后以小組為單位進(jìn)行分享交流，試著說說你的操作正確的理由。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生小組內(nèi)交流討論，折出等邊三角形，分享做法并說出理由。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固知識(shí)、培養(yǎng)實(shí)踐能力，促進(jìn)合作交流與創(chuàng)新，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)。建立幾何思維，規(guī)范證明過程，幫助學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)幾何思維和規(guī)范數(shù)學(xué)表達(dá)能力。方法總結(jié)：折疊的本質(zhì)——軸對(duì)稱。將折紙問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，探究圖形的性質(zhì)，再利用圖形的性質(zhì)解釋折紙問題?；顒?dòng)4：怎樣折15°的角呢？你還能得到哪些度數(shù)的角？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立操作，盡可能多的折出不同角度的角。設(shè)計(jì)意圖：鞏固折30°角的方法，學(xué)生再次感受到折紙可以得到不同度數(shù)的角。培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力、觀察總結(jié)能力。（三）整合應(yīng)用創(chuàng)新，合作問題解決1.數(shù)學(xué)思考：在矩形紙片中剪出等邊三角形，怎樣剪出的等邊三角形才是最大的？學(xué)生活動(dòng)：小組內(nèi)交流討論，運(yùn)用各種方法折疊，折出最大的等邊三角形，學(xué)生代表展示折疊過程，并證明△MBN是矩形中最大的等邊三角形，設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用多種方法，由多個(gè)維度考慮折疊問題，鞏固折紙，發(fā)散思維。2.學(xué)以致用：1.將正方形對(duì)折后展開（圖④是連續(xù)兩次對(duì)折后展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)直角三角形，且其中一個(gè)銳角為30°，這樣的圖形有（）(A)4個(gè)(B)3個(gè)(C)2個(gè)(D)1個(gè)學(xué)生活動(dòng)：由今天的折紙做鋪墊，學(xué)生快速解決問題。設(shè)計(jì)意圖：鞏固知識(shí)、培養(yǎng)實(shí)踐能力，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)。（四）暢談感悟收獲，提高思想方法在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中,你用到了哪些學(xué)過的知識(shí)？體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)言總結(jié)，教師關(guān)注不同層次的學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解和掌握程度。設(shè)計(jì)意圖：梳理知識(shí)與過程，培養(yǎng)反思總結(jié)能力，樹立問題意識(shí)與探究精神。從思想方法上進(jìn)行歸納，讓學(xué)生對(duì)折疊的數(shù)學(xué)本質(zhì)有一個(gè)深刻的認(rèn)知。（五）設(shè)計(jì)分層作業(yè)，拓展實(shí)踐能力1.必做題：通過折疊，自己制作一副三角尺.2.選做題：上網(wǎng)查閱折30°角的更多方法，并思考其中的數(shù)學(xué)道理。3.拓展題：在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把?ABE沿著BE折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N落在矩形ABCD的對(duì)稱軸上時(shí)，求折痕BE的長(zhǎng)。設(shè)計(jì)意圖：必做題鞏固課堂知識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用和創(chuàng)新能力；選做題和拓展題滿足分層需求，拓展學(xué)生思維，鼓勵(lì)自主探究。五、教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，在教學(xué)設(shè)計(jì)中我注重了以下幾個(gè)方面:1、注重教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣在活動(dòng)時(shí)以學(xué)生感興趣的視頻引人，創(chuàng)設(shè)出情景。從折等腰直角三角形出發(fā)，既熟悉又有挑戰(zhàn)性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入角色，提高學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2、注重體現(xiàn)學(xué)生的主體性，發(fā)揮主動(dòng)性和創(chuàng)造性在活動(dòng)中，給了學(xué)生比較開放的環(huán)境，直接由正方形紙片折出等邊三角形，對(duì)于學(xué)生來說，梯度一下子提升過大。所以先讓學(xué)生從正方形紙片中折出等腰直角三角形，繼而折出一般的等腰三角形，讓學(xué)生能夠動(dòng)起來，并且在有所收獲的基礎(chǔ)上思考一般性的問題，從而為等邊三角形的操作做好了鋪墊。在活動(dòng)的設(shè)計(jì)中，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，設(shè)計(jì)方案解決問題，再小組合作進(jìn)行探討，并試著說明原因。鼓勵(lì)學(xué)生勇于提出自己的新觀點(diǎn)、新思路、新方法,提高自主學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷“思考、操作、觀察、猜想、驗(yàn)證”的活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過不同的折法，每種折法不同的證明方法，以及每種折法之間的關(guān)聯(lián)性等來培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和創(chuàng)造性。3、注重教師在活動(dòng)過程中的引導(dǎo)數(shù)學(xué)活動(dòng)要具有開放性，以學(xué)生為主體，注重學(xué)生的動(dòng)手操作和實(shí)踐探究能力，同時(shí)對(duì)于教師在活動(dòng)過程中的引導(dǎo)作用也有更高的要求。為此，我設(shè)計(jì)的教師活動(dòng)是在活動(dòng)中通過提出問題，并在探究問題的過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，并對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)和總結(jié)。如在熱身活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生感受折紙中蘊(yùn)含的軸對(duì)稱思想，并進(jìn)行了相關(guān)結(jié)論的總結(jié)，為接下來的活動(dòng)做好鋪墊。教師還要點(diǎn)撥方法之間的聯(lián)系，如通過將折法一轉(zhuǎn)變方向再進(jìn)行分析，為活動(dòng)三提供思路。活動(dòng)三是在活動(dòng)二的基礎(chǔ)上再進(jìn)行對(duì)折。在活動(dòng)過程中，教師還要根據(jù)課堂生成的問題和學(xué)生思維出現(xiàn)障礙的地方進(jìn)行點(diǎn)撥和指導(dǎo)。4、注重培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)