2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1.已知全集U=R，集合A=x∣x2?1>0，則A.?1,1 B.?1,1 C.?∞,?1 D.1,+∞2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1和z2對應(yīng)的點分別為A,B，則z1?zA.?1?3i B.?3?i C.1?3i D.3+i3.若雙曲線x2a2?yA.y=±2x B.y=±2x C.y=±4.已知(1?3x)5=a0A.?32 B.32 C.495 D.5855.下列函數(shù)中，在區(qū)間0,2上為減函數(shù)的是(

)A.y=2x B.y=sinx

C.6.設(shè)函數(shù)fx的定義域為R，則“?x∈R,fx+1<fx”是“fA.充分必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知點P在圓(x?1)2+y2=1上，點A的坐標(biāo)為?1,A.?3,3 B.3,5 C.1,9 D.3,78.“三斜求積術(shù)”是我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實例的形式提出的，其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長a,b,c求三角形面積S，即S=14c2a2?c2+A.9 B.12 C.18 D.369.已知函數(shù)fx=2x，gx=logax.若對于fx圖象上的任意一點P，在gxA.14 B.12 C.2 10.在正方體ABCD?A′B′C′D′中，E為棱DC上的動點，F(xiàn)為線段B′E的中點.①B′E⊥AD′；②直線D′F與平面③點F到直線AB的距離不變；④點F到A,D,D′,A′四點的距離相等．其中，所有正確結(jié)論的序號為(

)A.②③ B.③④ C.①③④ D.①②④二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.已知sinx=?35,x∈π,3212.拋物線x2=4y上一點P到焦點的距離為8，則點P到x軸的距離為

．13.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=2an?a1，且a1,14.若實數(shù)?α，β滿足方程組1+2cosα=2cosβ3+215.在現(xiàn)實世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實數(shù)數(shù)列an，bn分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個節(jié)點處的信息強度，數(shù)列模型：an+1=2an①?n∈N②?n∈N③?k∈N?，使得當(dāng)n>k④?k∈N?，使得當(dāng)n>k時，總有其中，所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知函數(shù)f(x)=2cos(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)函數(shù)gx=fx?17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，Q為棱PD的中點．(1)求證：PB//平面ACQ；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：直線PC與平面ACQ所成角的正弦值．條件①：AQ⊥PC；

條件②：AQ⊥平面PCD．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.某汽車生產(chǎn)企業(yè)對一款新上市的新能源汽車進行了市場調(diào)研，統(tǒng)計該款車車主對所購汽車性能的評分，將數(shù)據(jù)分成5組：90,100,100,110(1)求m的值；(2)該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務(wù)項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務(wù)項目．若為這3人提供的售后服務(wù)項目總價值為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX(3)用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評分不低于110分的人數(shù)為Y，問kk=0,1,2,…,10為何值時，PY=k的值最大？(19.已知橢圓E:x2a2+y(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)過點Tt,0的直線l與橢圓E有兩個不同的交點A,B(均不與點M重合)，若以線段AB為直徑的圓恒過點M，求t的值．20.已知函數(shù)fx=(1)求曲線y=fx在2,f(2)設(shè)函數(shù)gx=f′x(3)判斷fx極值點的個數(shù)，并說明理由．21.已知Q:a1,a2,?,ak為有窮正整數(shù)數(shù)列，且a1≤a2≤?≤ak，集合(1)若k=10,ai=2i?1,i=1,2,?,k，判定(2)若1,2,?,n?T，證明：n≤(3)設(shè)ai=3i?1,i=1,2,?,k，若1,2,?,2024參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.D

8.C

9.B

10.C

11.3412.7

13.2

；214.β=0(滿足β=2kπ,k∈Z或β=2π3+2kπ,k∈Z的β15.①②③

16.解：(Ⅰ)因為f(x)=2cos(x?π4)cos(x+π4)

=2cos[(x+π4)?π2]cos(x+π4)

=2sin(x+π4)cos(x+π4)

=sin17.(1)

連接BD與AC相交點E，連接EQ，因為底面ABCD為正方形，所以E為BD的中點，又Q為棱PD的中點，所以EQ為?PBD的中位線，所以EQ//PB，又EQ?平面ACQ，PB?平面ACQ，所以PB//平面ACQ．(2)

選條件①：易知CD⊥平面PAD，AQ?面PAD，所以CD⊥AQ，又CD∩PC=C,CD,PC?平面PCD，AQ⊥PC，所以AQ⊥平面PCD，又PD?平面PCD，所以AQ⊥PD，由于Q為棱PD的中點，所以?PAD為等腰直角三角形，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則A0,0,0所以AC=設(shè)平面ACQ的法向量為n=則AC?n=0設(shè)直線PC與平面ACQ所成角為θ，則sinθ=選條件②：因為AQ⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AQ⊥PD，由于Q為棱PD的中點，所以?PAD為等腰直角三角形，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則A0,0,0所以AC=設(shè)平面ACQ的法向量為n=則AC?n=0設(shè)直線PC與平面ACQ所成角為θ，則sinθ=

18.解：(1)由頻率分布直方圖可知

0.005+0.025+0.035+m+0.007×10=1?m=0.028(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知評分低于110分的占比0.3，

評分不低于110分的占比0.7，任選3人中其評分情況有四種：

3人均低于110分；

2人低于110分，1人不低于110分；

1人低于110分，2人不低于110分；

3人均不低于110分，所以X可取9000,8000,7000,6000四種情況，PX=9000=0.3PX=7000=3×0.3故X的分布列為：X9000800070006000P0.0270.1890.4410.343則EX(3)由題意可知PY=k可知當(dāng)k=7時PY=k證明如下：設(shè)PY=k最大，即所以C化簡得0.310?k≥0.7k+10.7

19.解：(1)由題意可知4a又離心率為e=即橢圓方程為：x2(2)設(shè)直線l:x=ky+t，Ax則MA=因為以線段AB為直徑的圓恒過點M，所以MA?聯(lián)立直線與橢圓x=ky+t所以Δ=4k2t由MA?整理得3t2?8t+4=0?t=2易知t=2時不符題意，所以t=2

20.解：(1)由題意知fx=x2e2?x?x+1所以直線的斜率k=f′2=?1，所以切線方程為y=?x+5，即x+y?5=0．(2)由(1)知gx=f′x=?令g′x=0，即x2?4x+2=0，解得當(dāng)x∈?∞,2?2當(dāng)x∈2?2當(dāng)x∈2+2所以gx在?∞,2?2，2+(3)2個極值點，理由如下：由(2)知當(dāng)x<2?2時，gxg(2?2)=(2所以存在唯一x1∈0,2?當(dāng)2?2<x<2+2g2?2所以存在唯一x2∈2?當(dāng)x>2+2時，?x2所以gx在區(qū)間2+綜上，當(dāng)x∈?∞,x1當(dāng)x∈x1,當(dāng)x∈x2,+∞所以當(dāng)x=x1時，fx取到極小值；當(dāng)x=故fx有2

21.解：(1)31是，1024不是，理由如下：由題意可知x1當(dāng)ai=2顯然若x1=?1,x而t≤2故31是k?可表數(shù)，1024不是k?可表數(shù)；(2)由題意可知若xi=0?t=0，即設(shè)s∈T，即?xi∈所以?x1a1+所以若1,2,?,n?T，則±1,±2,?,±n,0即±1,±2,?±n,0中的元素個數(shù)不能超過T中的元素，對于確定的Q，T中最多有3k所以2n+1≤3(3)由題意可設(shè)?n∈N?,?m∈又x1所以k>m?1，即