第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)（10類(lèi)題型清單）-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)歸納與題型突破

（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)oi：集合的含義

一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素,通常用小寫(xiě)拉丁字母J…表示.

把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集)，通常用大寫(xiě)拉丁字母A,B,C,…表示集合.

1元素與集合的關(guān)系

(1)屬于(belongto)：如果。是集合A的元素，就說(shuō)。屬于A,記作aeA.

(2)不屬于(notbelongto)：如果〃不是集合A的元素，就說(shuō)6不屬于A,記作Z;史A.

2集合元素的三大特性

(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在

這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為集合元素的確定性.

(2)互異性(考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性)：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說(shuō)，

集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為集合元素的互異性.

(3)無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有固定順序的，也就是說(shuō)，集合中的元素沒(méi)有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)

稱(chēng)為集合元素的無(wú)序性.

知識(shí)點(diǎn)02：集合的表示方法與分類(lèi)

1常用數(shù)集及其符號(hào)

常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

數(shù)學(xué)符合NN*或N.ZQR

2集合的表示方法

(1)自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z(yǔ)言法

(2)列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)”{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

注用列舉法表示集合時(shí)注意：

（3）描述法定義：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征「（乃的元素工所組成的集

合表示為｛xeA|P（x）｝,這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線(xiàn).

具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線(xiàn)，在

豎線(xiàn)后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

（4）venn（韋恩圖法）：

在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱(chēng)為Vam圖。

知識(shí)點(diǎn)03：圖（韋恩圖）

在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱(chēng)為圖。

匕用圖和數(shù)軸一樣，都是用來(lái)解決集合問(wèn)題的直觀的工具。利用正在圖，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了地得到解決。

對(duì)於而圖的理解

（1）表示集合的Vem圖的邊界是封閉曲線(xiàn)，它可以是圓、橢圓、矩形，也可以是其他封閉曲線(xiàn).

（2）用血加圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺(jué)形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系，缺點(diǎn)是集合元

素的公共特征不明顯.

知識(shí)點(diǎn)04：子集

1子集：

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有

包含關(guān)系，稱(chēng)集合A為集合3的子集

（1）記法與讀法：記作（或讀作“A含于5”（或“3包含A”）

（2）性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A0A.

②對(duì)于集合A,B,C,若且3口。，則

（3）vemz圖表示：

2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別

符號(hào)“口”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號(hào)“e”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)05：集合相等

一般地,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,那

43)

么集合A與集合5相等，記作4=5.也就是說(shuō)，若且則A=5.

(1)4=5的圖表示

(2)若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無(wú)關(guān)

知識(shí)點(diǎn)06：真子集的含義

如果集合A08,但存在元素xe6,且xeA,我們稱(chēng)集合A是集合3的真子集;

(1)記法與讀法：記作AUB,讀作“A真包含于3"(或“B真包含A”)

(2)性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合都不是是它本身的真子集.

②對(duì)于集合A,B，C,若AU3,且BUC,則AUC

(3)vezm圖表示:

知識(shí)點(diǎn)07：空集的含義

我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：0

規(guī)定：空集是任何集合的子集，即0口4；

性質(zhì)：①空集只有一個(gè)子集，即它的本身，070

(2)4/0,則0UA

0和00和⑼。和{0}

相同點(diǎn)都表示無(wú)都是集合都是集合

不同點(diǎn)。表示集合；0不含任何元素0不含任何元素

0是實(shí)數(shù){0}含有一個(gè)元素0{0}含有一個(gè)元素，該元

素為：0

關(guān)系0^00U{O}0。{0}或者0e{0}

知識(shí)點(diǎn)08：并集

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合稱(chēng)為集合A與集合5的并集，記作AUB(讀

作：A并5).記作：A\JB=^x\xeA^x&.

并集的性質(zhì)：A\JB=B\JA,AcAljB,AUA=A,A|J0=A.

高頻性質(zhì)：若

圖形語(yǔ)言

AB

知識(shí)點(diǎn)09：交集

一般地，由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合即由集合A和集合B的相同元素組成的集合,

稱(chēng)為集合A與集合8的交集，記作AC8(讀作：A交3).記作：4。5={尤|龍640/63}.

交集的性質(zhì)：A^B=BC\A,ApBcA,AABcB,AAA=A,ACl0=0.

高頻性質(zhì)：若4口3=323口4.

圖形語(yǔ)言

知識(shí)點(diǎn)10：全集與補(bǔ)集

全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)給定的集合叫做全集，常用。表示，

全集包含所有要研究的這些集合.

補(bǔ)集：設(shè)U是全集，A是U的一個(gè)子集(即A=u),則由。中所有不屬于集合A的元素組成的集合，叫

做U中子集A的補(bǔ)集，記作QA,即。04=卜,￡。且xcA}.

補(bǔ)集的性質(zhì)：AL)CuA=U,AnC(;A=0,Cf；(CuA)=A.

知識(shí)點(diǎn)11：充分條件與必要條件

一般地，“若p,則4”為真命題,就說(shuō)P是4的充分條件，q是P的必要條件.記作：p=q

在邏輯推理中“P=q”的幾種說(shuō)法

(1)“如果P,那么4”為真命題.

(2)P是4的充分條件.

(3)4是2的必要條件.

(4)P的必要條件是4.

(5)4的充分條件是P.

這五種說(shuō)法表示的邏輯關(guān)系是一樣的,說(shuō)法不同而已.

知識(shí)點(diǎn)12：充分條件、必要條件與充要條件的概念

(1)若夕nq,則P是4的充分條件，4是P的必要條件；

(2)若，ng且44P,則，是4的充分不必要條件；

(3)若。44且qn。，則，是4的必要不充分條件；

（4）若P=q,則，是4的充要條件；

（5）若。44且44P，則P是4的既不充分也不必要條件.

知識(shí)點(diǎn)13：全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定

1全稱(chēng)量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）

①全稱(chēng)量詞命題：對(duì)”中的任意一個(gè)x,有p（x）成立；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：VxeM,P（x）.

②全稱(chēng)量詞命題的否定：

2存在量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）

①存在量詞命題：存在M中的元素?zé)o，有p（x）成立；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：3x^M,p（x）.

②存在量詞命題的否定：

03題型歸納

題型一集合的表示方法

例題1.（23-24高一上.江蘇淮安.開(kāi)學(xué)考試）若4={-2,-1,1,2,3},B={x\x=t2,teA\,用列舉法表示

B=.

【答案】{1,4,9}

【分析】由集合的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)锳={—2,T,1,2,3},3=卜,=尸,止入},

所以8={1,4,9}.

故答案為：{1,4,9}

例題2.（23-24高一上?河南商丘?階段練習(xí)）已知集合4={1,2,3,4,6},8=則集合8中的元

素個(gè)數(shù)為.

【答案】13

【分析】由題列舉出集合2,即得.

【詳解】將x,y及j的值列表如下，去掉重復(fù)的值，可知集合3=中的元素個(gè)數(shù)為13.

12346

112346

2

2123

22

124

312

33i

j_j_32

4i

4242

j_J_j_2

61

6323

故答案為：13

例題3.（23-24高一上?上海楊浦?期中）用列舉法表示集合A="|三eN*,aez1=.

【答案】{T2,3,4}

【分析】對(duì)整數(shù)。取值，并使一為正整數(shù)，這樣即可找到所有滿(mǎn)足條件的。值，從而用列舉法表示出集

5-a

合A.

【詳解】因?yàn)閍eZ且3eN*

5-a

所以a可以取-1,2,3,4.

所以A={-1,2,3,4}

故答案為：{-1,2,3,4}

【點(diǎn)睛】考查描述法、列舉法表示集合的定義，清楚Z表示整數(shù)集，屬于基礎(chǔ)題.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一上?上海楊浦?階段練習(xí)）用列舉法表示集合{y|y=Y,-i＜尤＜2,yeZ}=

【答案】{01,2,3}

【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.

【詳解】因?yàn)檠?/,-1＜》＜2,

所以04y＜4,

又yeZ,

所以y=0,1,2,3

故答案為{0」,2,3}

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的描述法，屬于中檔題.

2.（23-24高一上.廣東廣州?期中）用列舉法表示集合租|￡eZ,mez]=______.

m+1?

【答案】｛—11,—6,—3,—2,0,1,4,9).

【分析】利用題目條件，依次代入，使￡eZ,meZ,從而確定出機(jī)的值，即可得到答案

m+1

【詳解】V—eZ,m^Z,

m+1

.,.加+1為10的因數(shù)

則根+1=1,2,5,10,-10,-5,-2,-1

m-0,1,4,9,-11,—6,-3,—2

貝惜案為{T1，-6,-3,-2,0,149}

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示法，理清題意，找出滿(mǎn)足條件的因數(shù)是關(guān)鍵，考查了學(xué)生分析問(wèn)題解

決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(23-24高一?全國(guó)?課后作業(yè))用另一種形式表示集合.

(1)A=[eZ----ezj>；(2){2,4,6,8).

【答案】(1){-3,0,1,2,4,5,6,91；(2){x\x=2k,l<k<4,keZ).

【解析】(1)描述法轉(zhuǎn)為列舉法時(shí)，首先確定集合是有哪些元素組成的，然后將所有元素寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)；(2)

列舉法轉(zhuǎn)為描述法時(shí)，首先明確集合中元素的公共屬性，即把握住集合中元素滿(mǎn)足什么條件.

【詳解】(1)要使元,二一是整數(shù)，則|3-尤|必是6的約數(shù)，當(dāng)x=-3,0,1,2,4,5,6,9時(shí)，|3-尤|是6的約數(shù)，

3-x

AA={-3,0,1,2,4,5,6,9).

(2){x\x=2k,1<A;<4,^GZ}.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

題型二根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

例題1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若。<1,2,片},則“的取值集合為()

A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2)

【答案】C

【分析】結(jié)合元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可得.

【詳解】當(dāng)a=l時(shí)，/=i,不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)a=2時(shí)，貝1|ae{l,2,4},符合題意，

當(dāng)〃=/時(shí)，有々=1或。=0,已知當(dāng)a=1時(shí)符合題意，

當(dāng)〃=0時(shí)，則”{1,2,0},符合題意，

故〃的取值集合為{0,2}.

故選：C.

例題2.(23-24高一上?浙江寧波?期中)已知集合A={a,a-2,a2-a-i},若一個(gè)小則實(shí)數(shù)。的值

為.

【答案】-1或0

【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系列式求解，利用元素的互異性進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】由題意，—leA,

若a=-1,此時(shí)a-2=-3,〃=符合題意；

若a—2=—1,貝［|a=l,此時(shí)a—1=—1,不符合題意；

若/-a-l=-l,貝1ja=l或a=0,

a=l時(shí)，a-2=-l,a2-a-1=-1,不符合題意；

a=0H寸，a-2=-2,/-a-1=-1,符合*^§意，

綜上，。=一1或a=0.

故答案為：-1或0.

例題3.(23-24高一上.四川達(dá)州?期中)設(shè)關(guān)于x的不等式加一2元+.W0的解集為S,若OeS且-leS,

則。的取值范圍是.

【答案】-l<a<0

【分析】根據(jù)已知條件列不等式組，由此求得。的取值范圍.

axO2-2x0+fl<0

【詳解】依題意，、2,、，

〃x(—1)—2x(—1)+a〉0

解得一1<4W0.

故答案為：-1<6?<0

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24高一上.湖北孝感?期中)已知集合4=卜,儲(chǔ)+24,2。+1},且3eA,貝心=()

A.1B.-3或1C.3D.-3

【答案】D

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于。的等式，結(jié)合集合元素滿(mǎn)足互異性可求得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)榧?={4,4+24,24+1},且3eA,

所以，/+2〃=3或2。+1=3,

解得a=1或a=—3,

當(dāng)a=l時(shí)，/+2々=2々+1=3,集合A中的元素不滿(mǎn)足互異性；

當(dāng)a=-3時(shí)，A={4,3,—5},符合題意.

綜上，a=—3.

故選：D.

2.(23-24高一上?天津南開(kāi)?期中)設(shè)集合4={2,.+2,2/+力，若3eA,貝.

_3

【答案】-萬(wàn)/—1.5

【分析】依題意可得，+2=3或2/+〃=3,求出。的值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)锳={2M+2,2Q2+〃}且3巳A,

~3

所以〃+2=3或2〃+々=3,解得。=1或。=-5,

當(dāng)〃=1時(shí)2/+々=4+2=3,不滿(mǎn)足集合元素的互異性，故舍去；

當(dāng)。=一］時(shí)A=［2,；,31,符合題意.

故答案為：-￡3

3.（23-24高一上?北京?期中）不等式‘一＜1的解集為A,若2?A,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

X-Y

【答案】［1,+8）

【分析】根據(jù)2/A,得至求出答案.

【詳解】由題意得解得

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［1,+8）.

故答案為：［1,+8）

題型三根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)

例題1.（多選）（23-24高一上?廣東佛山.階段練習(xí)）已知集合4=卜|（"-1卜2+5+1卜+1=0}中有且僅

有一個(gè)元素，那么”的值為（）

A.-1B.1C.-D.0

3

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意分類(lèi)討論求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?=卜|（/-1卜2+（。+1"+1=（）}中有且僅有一個(gè)元素，

所以當(dāng)/-1=0,即4=±1時(shí)，

若。=1,貝l"={x|2x+l=0}=.；1符合題意，

若a=-l,則4={沖=0}=0不符合題意；

當(dāng)/—I。。，即QW±1時(shí)，

貝那=（。+1）2_4（/_1）=_3/+2。+5=0,

解得。=-1（舍）或"*

所以a的值可能為1,1

故選：BC

例題2.（23-24高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合&={聞依2-3x+2=。}.

（1）若集合A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的值及該元素分別為;

（2）若集合A中至多有一個(gè)元素，貝心的取值范圍是.

【答案】0，1或{alazj或a=0}

【分析】（1）、根據(jù)集合A中只有一個(gè)元素對(duì)。分類(lèi)討論，當(dāng)a=0時(shí)驗(yàn)證A是否只有一個(gè)元素；當(dāng)。片0時(shí)，

則A=0；即可求出實(shí)數(shù)。的值及相對(duì)應(yīng)的元素；

（2）、根據(jù)題意可知A=0或集合A中只有一個(gè)元素，當(dāng)A=0時(shí)，則/<0；結(jié)合（1）即可求出。的取

值范圍.

【詳解】（1）、A=1x|ax23-3x+2=o|

當(dāng)a=0時(shí)，A=⑶-3x+2=0}=51,集合A中只有一個(gè)元素，符合題意；

9

當(dāng)〃。0,因?yàn)锳中只有一個(gè)元素，則方程62一3x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)根..??△=（-3）92-8〃=0,得。=三,

O

4

此時(shí)A=集合A中只有一個(gè)元素符合題意;

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素羨2；當(dāng)〃=9三時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素4刀.

383

a0,9

（2）、若集合4=0,則方程分2一3彳+2=0無(wú)解,

A=(-3)-8a<0,8

?94

由（1）可知當(dāng)a=0時(shí)，集合4中只有一個(gè)元素當(dāng)a=g時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素丁.

383

綜上所述：a的取值范圍是號(hào)或。=0}.

O

故答案為：。［7或Q4{alawQj或a=0、}.

3o3o

例題3.（23-24高一上.河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）已知集合A={xeR|"2-3無(wú)+l=0,aeR},求集合4滿(mǎn)足下列

條件時(shí)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合

（1）集合A中有且僅有一個(gè)元素；

（2）集合A中有兩個(gè)元素；

【答案】（1）（。，：

⑵{*<0或0<。<*

【分析】將集合中元素的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程辦2一3x+1=0MwR解的個(gè)數(shù)，然后利用方程"2-3x+1=0,a€R解

的情況求解即可.

【詳解】（1）集合A中有且僅有一個(gè)元素，即方程內(nèi)2_3x+l=0,aeR只有一個(gè)解，

①當(dāng)。=0時(shí)，方程為-3x+l=0,解得x=；,符合要求；

9

②當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，八=9-4〃=0,解得〃=:；

4

所以0的所有可能取值構(gòu)成的集合為

（2）集合中有兩個(gè)元素，即方程內(nèi)2-3》+1=0,。€區(qū)為一元二次方程，a^O,且方程有兩個(gè)解，所以

Q9]

A=9-4?>0,解得a<j,所以°的所有可能取值構(gòu)成的集合為?<0或0<a<].

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一上?廣東梅州?期中）若集合/=同（加+1）/-陽(yáng)+根T=。}的所有子集個(gè)數(shù)是2,則加的值

是—

【答案】-1或土空

3

【分析】首先將題目等價(jià)轉(zhuǎn)換為方程（〃2+1）/-：加+〃工-1=0只有一個(gè)解，從而對(duì)加分類(lèi)討論即可求解.

【詳解】由題意M只含有一個(gè)元素，當(dāng)且僅當(dāng)方程（〃工+1）/-儂+〃工-1=0只有一個(gè)解，

情形一：當(dāng)加=T時(shí)，方程變?yōu)榱藊-2=0,此時(shí)方程只有一個(gè)解x=2滿(mǎn)足題意；

情形二：當(dāng)〃件-1時(shí)，若一元二次方程（根+1）工2-3+m一1=。只有一個(gè)解，

則只能A=〃-4（m-l）（m+l）=4-3m2=。，

解得"2=±

23°.

綜上所述，滿(mǎn)足題意的加的值是-1或土區(qū)1.

3

故答案為：-1或土空.

3

2.（23-24高二下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）集合4=卜|冰2—3x+2=0,aeR}

（1）若A是空集，求。的取值范圍.

（2）若A中至多一個(gè)元素，求〃的取值范圍.

9

【答案】（1）。>三

O

9

(2)。2—或a=0

8

9

【分析】(1)根據(jù)題意可知方程改2_3%+2=0無(wú)解，可知且A<0,即可解得〃>7；

O

(2)由題可得方程"2-3x+2=0至多一個(gè)實(shí)數(shù)根，易知a=0符合題意，當(dāng)a彳0時(shí)需滿(mǎn)足AWO,即可求

得a的取值范圍.

【詳解】(1)由A是空集可知方程及-3x+2=0無(wú)解，

若a=0,則方程-3x+2=0必有解，不合題意；

若a片0,由方程a尤2-3尤+2=0無(wú)解可得A=(-3)2-4x2a=9-8。<0,

9

解得。>g；

o

9

即“的取值范圍為a>g.

o

(2)由A中至多一個(gè)元素可知方程依2一3%+2=0至多一個(gè)實(shí)數(shù)根，

2

若〃=0,則方程-3%+2=0有一解x=§,符合題意；

若則方程"-3%+2=0至多一個(gè)實(shí)數(shù)根，

,9

即可得△=(—3)—4x2a=9—8〃00,解得〃之一；

8

綜上可得，〃的取值范圍為〃之:9或，=0

o

3.(23-24高一.全國(guó)?課后作業(yè))已知集合A是方程(4-1)尤2+2,+1卜+1=0的解集.

(1)若A是空集，求。的取值范圍；

(2)若A是單元素集(集合中只有一個(gè)元素)，求。的值；

(3)若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍.

【答案】(l)(-s,T]

(2)1

⑶STU。｝

【分析】(1)需對(duì)參數(shù)。進(jìn)行分類(lèi)討論，分/一1=0和4一1力0兩種情況求解；

(2)結(jié)合(1)可直接求解；

(3)將(1)(2)結(jié)論綜合，即為對(duì)應(yīng)取值范圍.

【詳解】(1)若"_1=0,貝!ja=l或〃=一1,當(dāng)a=l時(shí)，方程為4x+l=0,

其解為X==，所以A是單元素集.

4

當(dāng)。=-1時(shí)，方程為0J+1=0,無(wú)實(shí)數(shù)解，所以A為空集.

所以，若A是空集，

/—1w0,

則。=一1或V/、2/9\

A=4（4Z+1）-4（?2-l）=8tz+8<0,

即aW—1,所以〃的取值范圍為（-g-1］；

（2）由⑴可知，若A是單元素集，貝躇=1或:一產(chǎn)。'即a=l；

（3）由（1）（2）知，若A中至多只有一個(gè)元素，即A為空集或單元素集，則。的取值范圍為

題型四集合的基本關(guān)系

例題1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）在下列選項(xiàng)中，能正確表示集合4={-3,0,3}和8={》|必+3彳=（）}的關(guān)

系的是（）

A.A=BB.A^BC.A=BD.Ac3=0

【答案】B

【分析】先求出集合8,然后利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由8={X3+3X=0},可得3={-3,0},又4={-3,0,3},所以A^B

故選：B

例題2.（23-24高一上?吉林?階段練習(xí)）已知集合M=1x|x=2根+g,meZ：,N=|尤|x=

尸={x|x=p+g,pez1,則M,N,尸的關(guān)系（）

A.M=N窿PB.M^N=P

C.M^N^PD.N^P^M

【答案】B

【分析】將集合尸化為與N相同的形式，即可判斷集合間的關(guān)系.

［詳解］由M=|x|x=（2m+1）_1,相ez1,P=|x|x=（p+l）_g,peZ：,

而2m+1為奇數(shù)，P+1為整數(shù)，X^=1x|x=n-|,nezj,

所以M星N=P.

故選：B

例題3.（2024.重慶.三模）已知集合A=?-5x+6=。},B={x|-l<x<5,xeN},則滿(mǎn)足AgC8的

集合C的個(gè)數(shù)為.

【答案】7

【分析】化簡(jiǎn)集合48,結(jié)合求集合的子集的結(jié)論即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?={無(wú)--5彳+6=0}={2,3},

B={x|-l<x<5,xeN}={0,l,2,3,4},

所以滿(mǎn)足A=C2的集合C中必有元素2,3,

所以求滿(mǎn)足CB的集合C的個(gè)數(shù)，即求｛0,1,4｝集合的真子集個(gè)數(shù),

所以滿(mǎn)足A=C8的集合C的個(gè)數(shù)為23-1=7個(gè).

故答案為：7.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一下?山東淄博?期中）己知集合卜=+N==左±;，左eZ,,M=（）

A.M=NB.M?N

C.MjND.McN=0

【答案】A

【分析】先分析集合河、N,得到M=N,從而得解.

［詳解］=：+==>「I，左eZ,,

［I,14k±l,J

?/=<%%=A：±—=--—,keZ>,

因?yàn)镸+l表示奇數(shù)，列舉為｛…-3,5,7…｝,

4k±1同樣表示奇數(shù)，所以Af=N.

故選：A

2.（23-24高一上?江蘇南通?期中）下列關(guān)系中正確的是（）

A.兀eQB.0c｛O｝C.｛0,1｝c｛（O,l）｝D.｛（a,/?）｝=｛（Z?,a）｝

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系確定正確答案.

【詳解】兀是無(wú)理數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

空集是任何集合的子集，所以B選項(xiàng)正確.

集合｛0,1｝與集合｛（0,1）｝的元素不相同，所以沒(méi)有包含關(guān)系，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B

3.（多選）（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4=｛1,2｝,8=｛0,1,2,3,4｝,集合C滿(mǎn)足A。=3,則（）

A.leC,2tCB.集合C可以為｛1,2｝

c.集合C的個(gè)數(shù)為7D.集合C的個(gè)數(shù)為8

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意可確定C的元素情況，由此一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】由題意得&={1,2},B={0,1,2,3,4},又AC=B.

所以leC,21C,故A正確；

當(dāng)6={1,2}時(shí)，不滿(mǎn)足AC,B錯(cuò)誤，

集合C的個(gè)數(shù)等價(jià)于集合{0,3,4}的非空子集的個(gè)數(shù)，

所以集合C的個(gè)數(shù)為23-1=7,故C正確，D錯(cuò)誤，

故選：AC.

題型五根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

例題1.（多選）（23-24高一下?河北張家口?開(kāi)學(xué)考試）若集合4=卜g-2=0},3=1,2+3彳+2=0},且

A=則實(shí)數(shù)”的取值為（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】ABC

【分析】空集是任何一個(gè)集合的子集，由A=分別對(duì)A=0和AW0進(jìn)行分類(lèi)討論求實(shí)數(shù)a的值.

【詳解】因?yàn)閒+3x+2=0,

解得X1=-1,X2=-2,則B={-2,-1}.

當(dāng)A=0時(shí)，方程雙—2=0無(wú)解，貝！Ja=0；

2

當(dāng)AW0時(shí)，方程改一2=0有解，貝1]。。0且工=一，

a

2

因?yàn)樗砸弧?,

a

2

若一二一1,即a=—2

a

2

若一=—2,即，=—1.

a

綜上所述，Ag5時(shí)，〃的值為-2,-1,0.

故選：ABC.

例題2.（23-24高一上?湖北武漢?階段練習(xí)）設(shè)使式子J至*有意義的實(shí)數(shù)x的取值范圍為集合A,集合

V5-x

3={%*_2rwc+2m2—m—1<0^.

（1）求集合A；

（2）若求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）A={x\-2<x<5}（2）me{-2}u[-l,2]

【分析】（1）判斷JpE有意義條件，即可求出集合A；

V5-x

(2)將B中的不等式左側(cè)進(jìn)行因式分解，利用關(guān)系8g4對(duì)于8是空集和B非空分類(lèi)討論，分別得到關(guān)于m

的不等式，解出即可得到答案.

【詳解】⑴由可知420邛2+“)(5：)2。..._2=<5,A={x|-2<x<5}；

V5-x5-x["5

(2)B=x2—3mx+2m2—m—l<=2m—l)(x—m+1)<01

①當(dāng)m—1=2m+1即m=一2時(shí)，5=0qA,滿(mǎn)足題意；

m<-2

②當(dāng)相一1>2m+1即相〈一2時(shí)，B={x|2m+l<x<m-l},要使則<2機(jī)+12-2,.,.根的值不存在;

m-l<5

m>-2

③當(dāng)機(jī)一1<2m+1即機(jī)>一2時(shí)，B={x|m-l<x<2m+l},要使則<2機(jī)+1<5,m42；

m-1>-2

綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍是%=-2或-1W〃zW2即me{-2}u[-l,2]

例題3.(23-24高一?浙江杭州.期末)已知集合A=[x[=<o[,B=U>1

[尤+1J[X--3x+2

C={x|2x?+mx-lWO}.

(I)若(Ac3)uC,求機(jī)的取值范圍.

(II)若Cu(AUB),求加的取值范圍.

【答案】(I)相(II)--<m<l

【解析】(I)首先求出集合A,B及AcB,再根據(jù)4口8工。，得到不等式組，解得即可；

(II)首先求出AU3,根據(jù)Cu(AUB),則方程2/+*一1=。的小根大于一1,大根小于或等于4,令

/(X)=2X2+;MX-1,即可得到不等式組，解得即可；

【詳解】解：因?yàn)锳中言<。},B中曾念“}

因,2U21,即x+2-(/一3x+2)即苫4；4)v°解得01或2<.

x-3X+2d-3x+2(x-2)(x-l)

所以A={x[—l<x<3},B=[0,l)U(2,4]

。={尤|2爐+初^—1《0}表示2f+7依-140的解集；

(I)因?yàn)锳nB=[0,l)U(2,3),由題意知ApIBaC

所以方程2尤2+3-1=0的小根小于或等于0,大根大于或等于3,令〃x)=2x2+/nr-1

/(3)=3/71+17<0

m

當(dāng)“。則m八，不等式組無(wú)解,

---?。

4

[/(0)=-1<0

當(dāng)一：23則m,解得〃ZV—72,

4——>3

I4

〃0)=-上。17

當(dāng)0〈一?<3則</(3)=3根+17<0,WW-12<m<-y

八

0<——1n<A3

I4

,17

由此得加工---.

(II)AUB=(-1,4]

由C=AU3)

所以方程2爐+如-1=0的小根大于-1,大根小于或等于4,令f(x)=2x2+7加一1

所以</（4）=4制+3120解得一號(hào)4根<1

-1<——<4

I4

【點(diǎn)睛】解決集合的關(guān)系問(wèn)題，一般先化簡(jiǎn)各個(gè)集合，然后利用交集、并集、補(bǔ)集的定義求出結(jié)果，屬于

中檔題.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一上?上海普陀?期中）已知集合2=卜|尤2+尤_6=0},0={幻依+1=0},且滿(mǎn)足Q=求實(shí)

數(shù)?？赡苋〉囊磺兄?

【答案】0,-1|

【分析】根據(jù)。屋尸，分類(lèi)討論求解即可.

【詳解】???尸=卜|/+尤-6=0}={-3,2},。=「，

可能為0,{-3},{2}.

當(dāng)。=0時(shí)，依+1=0無(wú)解，故Q=0,滿(mǎn)足QuP,

當(dāng)。={一3}時(shí)，貝IJ—3。+1=0,解得〃=；,

當(dāng)。={2}時(shí)，則2a+l=0,解得

綜上，實(shí)數(shù)々的取值為0Tq.

2.（23-24高一上.江蘇無(wú)錫.階段練習(xí)）已知集合人={尤卜2+2彳-°=0}.

（1）若。是A的真子集，求”的范圍；

(2)^B=[X\X2+X=0],且A是B的子集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)a>-l；(2)a<-l.

【解析】(1)根據(jù)。是A的真子集可得ANO得解；

(2)由A是8的子集對(duì)集合A進(jìn)行討論可求解.

【詳解】(1),?若。是A的真子集

A=|x|x2+2x-a=0}*0,

/.D=4+4a?0,

aN—1；

(2)B=|x|x2+x=o|={0,-1},

**,AcrB,A=0,{0},{—1},{0,-11,

A=0f則A=4+4a<0,<7<—1；

A是單元素集合，A=4+4a=0,，a=—l止匕時(shí)

A={-1},符合題意；

A=10,-1},0-1=-1w-2不符合.

綜上，a<-\.

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，分類(lèi)討論集合的包含關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(20-21高一上.湖北武漢.階段練習(xí))設(shè)集合A={2,3,4+2“-3},B={|2a-l|,2).

(1)若CM={5},求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若8gA,求實(shí)數(shù)。的取值集合.

【答案】(1)G=2；(2){1,2,A/2,-2-2A/2}.

【解析】(1)由補(bǔ)集的定義結(jié)合集合的性質(zhì)得出滿(mǎn)足意義的方程組進(jìn)而解出。的值即可；

(2)由集合的包含關(guān)系，得出|2a-l|=3,|2a-l|="+2a—3,分別解方程求得a,驗(yàn)證后可得答案.

6+2a—3=5

【詳解】(1)由得：,解得：。=2；

|2?-1|=3

(2)①若|2a—1|=3,解得：〃=2或a=—l,

當(dāng)〃=2時(shí)，a2+2a—3=5,滿(mǎn)足題意，

當(dāng)〃二一1時(shí)，a2+2a—3=—4滿(mǎn)足題意，

②若|2Q—1=儲(chǔ)+2a-3,解得：〃或〃=一2-2a，

當(dāng)々=應(yīng)時(shí)，4={2,3,2立-1},8={20一1,2卜滿(mǎn)足題意，

當(dāng)°=-2-2&時(shí)，A={2,3,5+4應(yīng)},B=(5+472,2),滿(mǎn)足題意,

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值集合為：{1,2,忘,-2-2忘}.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，考查由集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于

?？碱}.

題型六集合的基本運(yùn)算

例題1.(天津市河北區(qū)2023-2024學(xué)年高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)(二)數(shù)學(xué)試題)已知集合A={1,2,3,4},集

合2=印2斗<3},則Ac隔8)=()

A.{3,4}B.{1,4}C.{2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【分析】利用集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題可得：々2={x|x<2或x>3},所以Ac他8)={1,4},

故選：B

例題2.(23-24高一上.陜西西安.開(kāi)學(xué)考試)已知國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，集合A={尤eZ[0<[x]<3},

5=卜卜2+辦乂爐+2苫+6)=0},MAndRB=0,則集合8的子集個(gè)數(shù)為().

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】由新定義及集合的概念可化簡(jiǎn)集合A={L2},再由Ac(%3)=0可知分類(lèi)討論1,2的歸屬，

從而得到集合B的元素個(gè)數(shù)，由此利用子集個(gè)數(shù)公式即可求得集合8的子集的個(gè)數(shù).

【詳解】由題設(shè)可知，A={xeZ|0<[x]<3}={l,2},

又因?yàn)锳C(%B)=0,所以AgB,

而8={x|(無(wú)2+ax)(尤2+2x+6)=o},

因?yàn)閅+0的解為%=0或1=一。，％2+2%+/7=0的兩根%],%2滿(mǎn)足％1+%2=—2,

所以1，2分屬方程X2+ax=。與％2+2%+8=0的根，

,,，—一fl2+lXd!=0心,1

右1是/+依=0的根，2是12+2%+/?=。的根，則有LcC7C，解得I7Q，

22+2x2+0=0[b=-S

代入x1+ax=0與X2+2%+》=0,解得x=0或x=l與x=2或％=-4,

故5={0,l,2,T}；

[22+2x^=0f〃=-2

若2是—+公=o的根，1是％2+2x+Z?=0的根，則有(2-17八，解得L

[r+2xl+Z?=0[b=-3

代入x2+ax=0與％2+2%+8=0,解得x=0或x=2與x=l或x=-3,

故3={0,1,2,—3}；

2

所以不管1,2如何歸屬方程/+分=0-^X+2X+Z>=0,集合B總是有4個(gè)兀素，

故由子集個(gè)數(shù)公式可得集合8的子集的個(gè)數(shù)為24=16.

故選：C

例題3.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）集合A={-2,0,l,2},B={-2,1,3},U=則e（AnB）=（）

A.{-2}B.{0,2,3}C.{0,1,3}D.{1,2,3}

【答案】B

【分析】根據(jù)集合交并補(bǔ)運(yùn)算規(guī)則直接計(jì)算即可.

【詳解】由題U={—2,0,1,2,3},AnB={-2,1},

所以d（AcB）={0,2,3}.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024.內(nèi)蒙古呼和浩特.二模）已知集合。={0』,3,5,7,9},A={1,3},B={1,7},則屯（4口3）=（）

A.{1,3,7}B.{5,9}C.{0,3,5,7,9}D.{0,5,9}

【答案】D

【分析】先求AUB,再根據(jù)補(bǔ)集定義即可求解結(jié)論.

【詳解】集合u={0,1,3,5,7,9},A={1,3},B={1,7},

二AJ8={1,3,7},

（A|JB）={0,5,9}

故選：D.

2.（2024?天津北辰?三模）已知集合。={-2,-1,?！?2},M={-2,2},N={x|-lVx〈l,xeN},貝|&M）cN=

（）

A.{-1,0,1}B.[-1,1]C.{0,1}D.[0,1]

【答案】C

【分析】

由已知求解必M,化簡(jiǎn)集合N后再由交集運(yùn)算得答案.

【詳解】

?.?集合U={—2,-1,0,1,2},M={-2,2},

A^={-1,0,1},又"=何一1"<1,無(wú)€用={0』},

；.（毛M）nN={0,l}.

故選：C.

3.（23-24高二下.江蘇蘇州?期末）設(shè)全集U={-3,T0,l,3},集合A={-1,0,1},B={y\y=3x,x^A\,則

AI”=()

A.{-3,0,3}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{