高考數(shù)學分類專項訓練之統(tǒng)計

高考數(shù)學分類專項精講精練

統(tǒng)計

目錄

明晰學考要求...................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理...................................................................................1

考點精講講練...................................................................................4

考點一：隨機抽樣..............................................................................4

考點二：用樣本估計總體........................................................................9

實戰(zhàn)能力訓練..................................................................................17

明晰學考要求期

明晰學考要求

1、了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機性；

2、了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機抽樣方法；

3、會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系；

4、了解分層隨機抽樣的特點和使用范圍，掌握各層樣本量比例分配的方法，掌握分層隨機抽樣的樣本均值

和樣本方差；

5、能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義；

6、能用樣本估計總體的取值規(guī)律；

7、能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義。

基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理02

1、簡單隨機抽樣

(1)簡單隨機抽樣

分為放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣.除非特殊聲明，本章簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣.

(2)簡單隨機樣本

通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.

（3）簡單隨機抽樣的常用方法

實現(xiàn)簡單隨機抽樣的方法很多，抽簽法和隨機數(shù)法是比較常用的兩種方法.

2、總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

定義

一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為

-Y+Y+...y

…，5,則稱~~&=期?

總體均值（總體平均數(shù)）N/V；=1

為總體均值，又稱總體平均數(shù).

如果總體的N個變量值中，不同的值共有人

Ck<N）個，不妨記為X，打，…，匕，其中工出

現(xiàn)的頻率力（i=1,2,3…左）則總體均值還可以寫成

—Y+Y+---Y1￡

加權(quán)平均數(shù)的形式y(tǒng)=」~1一士

NNM

如果從總體中抽取一個容量為〃的樣本，它們的變量

值分別為％,為，％…力，則稱

樣本均值（樣本平均數(shù)）

「二必+%+…+先為樣本均值,又稱樣

〃〃日

本平均數(shù).

說明：（1）在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本均值亍去估計總體平均數(shù)少;

（2）總體平均數(shù)是一個確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機性（應為樣本具有隨機性）；

（3）一般情況下，樣本量越大，估計越準確.

3,分層隨機抽樣

（1）分層隨機抽樣的概念

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總

體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為

分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.

（2）分層隨機抽樣的平均數(shù)計算

在分層隨機抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N,抽取的樣本量

分別為m和〃，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為最，亍，樣本平均數(shù)位石，則

——TV—YYl—TT——_.—

?=----------X+----------y=——x+——y.我們可以采用樣本平均數(shù)3估計總體平均數(shù)W

M+NM+Nm+nm+n

4、統(tǒng)計圖表

(1)常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖等.

(2)頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義

(3)繪制頻率分布直方圖的步驟及頻率分布直方圖的性質(zhì)

①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差.

②決定組距與組數(shù).組距與組數(shù)的確定沒有固定的標準，一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)越多.當樣本容

量不超過100時，常分成5?12組.為方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”.

③將數(shù)據(jù)分組.

第1組頻數(shù)

④列頻率分布表.計算各小組的頻率，第，組的頻率是樣本容量.

頻率頻率

⑤畫頻率分布直方圖.其中橫軸表示分組，縱軸表示西函.礪實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的

高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度.

5、總體百分位數(shù)的估計

(1)第P百分位數(shù)的定義

一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有。%的數(shù)據(jù)小于或等于這

個值,且至少有(1-P)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

(2)計算一組"個數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的步驟：

第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步,計算，="xp%.

第3步，若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為八則第P百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第P百分位

數(shù)為第i項與第(z+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

6、樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)

一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個數(shù)據(jù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或

最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(3)平均數(shù)

一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).數(shù)據(jù)芯，々，￡…，龍"的平均數(shù)為

-_Xj+x2+x3H----xn

n

(4)標準差與方差

如果有幾個數(shù)據(jù)再，%，…，X.那么平均數(shù)1=為+々+.+…%,標準差為：

n

222222

S=J-[(^-X)+(x2-x)+--?+(x?-x)]，方差：S?=-[(%1-x)+(x,-x)+???+(x?-%)]

Vnn

7、在頻率分布直方圖中，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的估計值

(1)最高的小矩形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；

(2)中位數(shù)左邊和右邊的所有小矩形的面積和是相等的；

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫

坐標之和.

F

考點精講講練考點精講精練03

考點一：隨機抽樣

【典型例題】

例題1.(2023廣西)一支羽毛球隊有男運動員20人，女運動員15人，按性別進行分層.用分層隨機抽

樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為7的樣本.如果樣本按比例分配，那么女運動員應抽取的人數(shù)為

()

A.2B.3C.5D.6

【答案】B

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】先求出抽樣的比例，在計算女運動員的人數(shù)即可.

【詳解】總?cè)藬?shù)有20+15=35,

抽樣比例為7會

7

所以女運動員應抽取15x行=3人.

故選：B.

例題2.(2024新疆)一支運動隊有男運動員32人，女運動員24人，按性別進行分層，用分層隨機抽樣

的辦法從全體運動員中抽出一個容量為21的樣本.如果樣本按比例分配，那么男運動員應抽取()

A.9人B.12人

C.15人D.18人

【答案】B

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】利用分層抽樣的等比例列式即可得解.

【詳解】依題意，設男運動員應抽取工人，

所以男運動員應抽取12人.

故選：B.

例題3.（2024北京）某校組織全校1850名學生赴山東曲阜、陜西西安和河南洛陽三地開展研究性學習活

動，每位學生選擇其中一個研學地點，且每地最少有100名學生前往，則研學人數(shù)最多的地點（）

A.最多有1651名學生B.最多有1649名學生

C.最少有618名學生D.最少有617名學生

【答案】D

【知識點】總體與樣本

【分析】根據(jù)題意求出最多和最少的人數(shù)即可.

【詳解】1850-3=616……2,

616+1=617,即研學人數(shù)最多的地點最少有617名學生，

1850-100-100=1650,即研學人數(shù)最多的地點最多有1650名學生.

故選：D

例題4.（2024福建）已知男女生共有100人，其中男生45人，現(xiàn)從100人中抽20人，則抽出的20人中

男生有人.

【答案】9

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】根據(jù)分層比可求男生人數(shù).

【詳解】男生的分層比為4荒5，4故520人中男生的人數(shù)為嵩x20=9,

故答案為：9.

例題5.（2024湖南）某班有50名學生，按男、女生分層隨機抽樣，從男、女生中各取樣6人和9人，則

這個班男生人數(shù)是班級總?cè)藬?shù)的.

2

【答案】j/0.4

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分層抽樣的概念可得這個班男生人數(shù)是班級總?cè)藬?shù)的工，進而計算即可.

6+9

【詳解】依題意可得這個班男生人數(shù)是班級總?cè)藬?shù)的三=3.

6+95

2

故答案為：

例題6.（2024廣東）三個人過關(guān)，甲帶560元，乙?guī)?50元，丙帶180元，共要交100元關(guān)稅，若按照比

例繳納，乙應交—元.（結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】32

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】根據(jù)比例求得正確答案.

350

【詳解】依題意，乙應交1℃*100—32元.

560+350+180

故答案為：32

【即時演練】

1.從某班57名同學中選出4人參加戶外活動，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將57名同學按01、02、…、

57進行編號，然后從隨機數(shù)表第一行的第7列和第8列數(shù)字開始往右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第4個

同學的編號為（）

03474373863696473661469863716297

74246292428114572042533237321676

（注：表中的數(shù)據(jù)為隨機數(shù)表第一行和第二行）

A.24B.36C.42D.52

【答案】A

【知識點】隨機數(shù)表法

【分析】利用隨機數(shù)表法可得結(jié)果.

【詳解】從隨機數(shù)表第一行第7列和第8列數(shù)字開始往右依次選：36、47、46、24,

選出的第4個同學的編號為24.

故選:A.

2.某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2:2:6,用分層抽樣的方法抽取一個容量為

〃的樣本.若樣本中C型號的產(chǎn)品有120件，則樣本容量，『為（）

A.150B.180C.200D.250

【答案】C

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)分析求解即可.

【詳解】由題意得，wx-1-=120,解得“=200.

故選：c.

3.我市某所高中每天至少用一個小時學習數(shù)學的學生共有1200人，其中一、二、三年級的人數(shù)比為3:4:3,

要用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為120的樣本，則應抽取的一年級學生的人數(shù)為（）

A.52B.48C.36D.24

【答案】C

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計算即得.

【詳解】依題意，應抽取的一年級學生的人數(shù)為『Jxl20=36.

3+4+3

故選：C

4.某中等職業(yè)學校為了了解高二年級1200名學生的視力情況，抽查了其中200名學生的視力，并進行統(tǒng)

計分析.下列敘述正確的是（）

A.上述調(diào)查屬于全面調(diào)查B.每名學生是總體的一個個體

C.200名學生的視力是總體的一個樣本D.1200名學生是總體

【答案】C

【知識點】總體與樣本、普查與抽樣的合理選擇

【分析】利用總體、樣本、調(diào)查方法的相關(guān)概念分析選項即可.

【詳解】上述調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A項錯誤；

每名學生的視力是總體的一個個體，故B項錯誤；

200名學生的視力是總體的一個樣本，故C項正確；

1200名學生的視力是總體，故D項錯誤.

故選：C

5.某高中三個年級共有學生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，該校為了解學生睡眠

情況，準備從全校學生中抽取80人進行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，且按年級來分層，則高一年

級應抽取的人數(shù)是（）

A.24B.26C.30D.32

【答案】D

【知識點】分層抽樣的特征及適用條件

【分析】按照分層抽樣計數(shù)規(guī)則計算可得.

【詳解】依題意高一年級應抽取的人數(shù)為毀*80=32人.

故選：D.

6.下列調(diào)查中，適合用普查的是（）

A.了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間B.了解“嫦娥四號"衛(wèi)星零部件的質(zhì)量

C.了解一批電池的使用壽命D.了解某市居民對廢電池的處理情況

【答案】B

【知識點】普查與抽樣的合理選擇

【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果沒

有普查準確，但相對節(jié)約人力，物力和時間.

【詳解】A、了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；

B、了解“嫦娥三號”衛(wèi)星零部件的狀況，適合用普查，符合題意；

C、華為公司一批某型號手機電池的使用壽命，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；

D、了解某市居民對廢電池的處理情況，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；

故選：B.

7.某校高三年級共有學生525名，其中男生294名，女生231名.為了解該校高三年級學生的體育鍛煉情

況，從中抽取50名學生進行問卷調(diào)查.若采用分層隨機抽樣的方法，則要抽取男生的人數(shù)為.

【答案】28

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算

【分析】由分層抽樣的性質(zhì)結(jié)合題意計算即可；

【詳解】由題意可得，要抽取的男生人數(shù)為50x29||4|=28人.

故答案為：28.

8.有以下兩個案例：

案例一：從同一批次同類型號的10袋牛奶中抽取3袋分別檢測三聚家胺的含量；

案例二：某公司有員工800人，其中具有高級職稱的有160人，具有中級職稱的有320人，具有初級職稱

的有200人，其他人員120人，從中抽取容量為40的樣本，了解他們的收入情況.

⑴你認為這兩個案例分別應采用怎樣的抽樣方式較為合適？

⑵在你使用的分層抽樣案例中寫出抽樣過程.

【答案】⑴案例一用簡單隨機抽樣，案例二用分層抽樣

（2）答案見解析

【知識點】簡單隨機抽樣的特征及適用條件、分層抽樣的特征及適用條件、設計分層抽樣過程

【分析】（1）由分層抽樣和簡單隨機抽樣的定義即可得出答案；

（2）按照分層、確定抽樣比、確定各層樣本數(shù)、按簡單隨機抽樣方式在各層確定相應的樣本、匯總構(gòu)成一

個容量為40的樣本的過程求解即可.

【詳解】（1）案例一用簡單隨機抽樣，案例二用分層抽樣.

（2）①分層，將總體分為具有高級職稱、中級職稱、初級職稱及其他人員四層；

②確定抽樣比4=黑=

oUUZU

③按抽樣比確定各層應分別抽取的人數(shù)為8,16,10,6；

④按簡單隨機抽樣的方法在各層確定相應的樣本；

⑤匯總構(gòu)成一個容量為40的樣本.

考點二：用樣本估計總體

【典型例題】

例題1.（2024北京）下圖是甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫走勢圖.

［溫度（℃）

O10203H40506S70

■甲乙

記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為二，標準差為電；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)為E，標準

差為$2.根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）

A.X1<X2,Sx<s2B.X1<^2,^>s2C.X1>^2,^<S2D.Xl>X2,S1>s2

【答案】B

【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)、用方差、標準差說明數(shù)據(jù)的波動程度

【分析】分析統(tǒng)計圖中對應信息得出對應量的結(jié)果即可.

【詳解】甲地1至7日最低氣溫均低于乙地，則甲地最低氣溫平均值也會小于乙地，即%（京；

標準差時反應一組數(shù)據(jù)的波動強弱的量，

由圖可知甲地最低氣溫明顯波動性較大，則標準差值要大，即

故選：B

例題2.（2024福建）已知X、x+1、x+3、x+5、x+6的平均數(shù)為5,則它們的中位數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【知識點】計算幾個數(shù)的中位數(shù)

【分析】根據(jù)平均數(shù)定義求出無，再根據(jù)中位數(shù)定義即可求解.

【詳解】人*+1、x+3、x+5、x+6的平均數(shù)為5,

則x+x+l+x+3+龍+5+x+6=25,即5x+15=25,

解得x=2,所以它們的中位數(shù)為x+3=2+3=5.

故選：C.

例題3.（2022河北）若樣本數(shù)據(jù)芯,馬，尤4,三的平均數(shù)是2,貝！］數(shù)據(jù)2%+1,2々+1,2另+1,2匕+1,2%+1的

平均數(shù)是（）

B.3C.5D.7

【答案】C

【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)

【分析】由均值的定義求解.

【詳解】由題意＜+尤2+：+%+[=2,

以(2菁+1)+(2%2+1)+(2/+1)+(2/+1)+(2/+1)2(%+/+*3+*4+*5)+]

=2x2+l=5,

故選：C.

例題4.(2024湖北)向盼歸同學通過計步器，記錄了自己20天每天走的步數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下:

2107416554675678570565428358859286668722

872699861057511558117361212112386124001303916530

則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為()

A.8720B.8722C.8724D.8726

【答案】C

【知識點】計算幾個數(shù)的中位數(shù)、總體百分位數(shù)的估計

【分析】將成績按照從小到大的順序排列后利用百分位數(shù)的定義計算即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意將8位同學的成績按照從小到大的順序排列如下：

2107,4165,5467,5678,5705,6542,8358,8592,8666,8722,8726,9986,10575,11558,11736,12121,12386,12400,13039,16530

5

又20x50%=10,所以數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為第10個數(shù)和第11個數(shù)的平均數(shù)，即為8722箸型=8724.

故選：C.

例題5.(2024江蘇)某考生參加某高校的綜合評價招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根

據(jù)考生表現(xiàn)給出得分，分數(shù)由低到高依次為：76,a,b,80,80,81,84,85,若這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)

為77,則該名考生的面試平均得分為()

A.79B.80C.81D.82

【答案】B

【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)、總體百分位數(shù)的估計

【分析】計算位置指數(shù)？=叩％,代入數(shù)據(jù)可得位置，根據(jù)已知可求得.

【詳解】由題意知，下四分位數(shù)為第二個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，即等=77,

解之得〃+b=154,

76+Q+Z?+80+80+81+84+85㈣=。.

所以該名考生面試的平均得分為8

88

故選:B.

例題6.（2023安徽）某校為了解學生課外閱讀情況，對該校學生的年閱讀量（單位：本）進行抽樣調(diào)查,

將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)所在的區(qū)間為（）

C.[45,55)D.[55,65]

【答案】B

【知識點】總體百分位數(shù)的估計

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算即可求解.

【詳解】數(shù)據(jù)在[15,25）的概率為0.005x10=0.05<0.25,

數(shù)據(jù)在[15,35）的概率為0.005X10+0.030x10=0.35>0.25,

故樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)所在的區(qū)間為[25,35）,

故選：B

例題7.（2024云南）某校為了解今年春季學期開學第一周，高二年級學生參加學校社團活動的時長，有

關(guān)部門隨機抽查了該校高二年級100名同學，統(tǒng)計他們今年春季學期開學第一周參加學校社團活動的時長,

并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中這100名同學今年春季學期開學第一周參加學校社團活動的時長

（單位:小時）范圍是[2,12],數(shù)據(jù)分組為[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12].這100名同學中，今年春季學期

開學第一周參加學校社團活動的時長不少于6小時的人數(shù)為人.

頻率

【知識點】由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量

【分析】計算出參加學校社團活動的時長不少于6小時的頻率，進而得到出參加學校社團活動的時長不少

于6小時的人數(shù).

【詳解】今年春季學期開學第一周參加學校社團活動的時長不少于6小時的頻率為

1-（0.04+0.12）x2=0.68,

故參加學校社團活動的時長不少于6小時的人數(shù)為0.68x100=68.

故答案為：68

例題8.（2023廣西）一家水果店的店長為了解本店荔技的日銷售情況，安排兩位員工分別記錄并整理了

6月份上、下半月荔枝的日銷售量（單位：kg）.結(jié)果如下：（已按從小到大的順序排列）.

上半月：55707580808484858689

91949699104

下半月：74758385858793949799

101102107107117

⑴請計算該水果店6月份荔枝日銷量的中位數(shù)、極差；

（2）一次進貨太多，賣不完的荔枝第二天就會不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求，店長希望在荔枝

銷售期間，每天的荔枝盡量新鮮，又能有80%的天數(shù)可以滿足顧客的需求.請問：每天應該進多少千克荔

枝？

【答案】⑴中位數(shù)為88,極差為62；

（2）100千克

【知識點】總體百分位數(shù)的估計、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差、計算幾個數(shù)的中位數(shù)

【分析】（1）將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)中位數(shù)和極差公式即可；

（2）根據(jù)題意直接計算即可.

【詳解】（1）將所有數(shù)據(jù)從小到大排列：

55,70,74,75,75,80,80,83,84,84,85,85,85,86,87,89,

91,93,94,94,96,97,99,99,101,102,104,107,107,117,

中位數(shù)為第15,16個數(shù)的平均數(shù)，即（87+89）+2=88,

極差為117-55=62.

（2）80%x30=24,數(shù)據(jù)從小到大排列，第24,25個數(shù)據(jù)分別為99,101,三出=100.

每天應該進100千克蘋果.

【即時演練】

1.2024年巴黎奧運會中國代表隊獲得金牌榜第一，獎牌榜第二的優(yōu)異成績.首金是中國組合黃雨婷和盛李

豪在10米氣步槍混合團體賽中獲得，兩人在決賽中14次射擊環(huán)數(shù)如圖，則（）

S9射擊成績圖

S8

S7

O6

.

s5

o4

.

。3

。2

S1

10

99

9.8

9.7

.6

.9

-盛李豪黃雨婷

A.盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過10.6

B.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第80百分位數(shù)為10.65

C.盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標準差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標準差

D.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差

【答案】C

【知識點】根據(jù)折線統(tǒng)計圖解決實際問題、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差、計算幾個數(shù)的平均數(shù)、

總體百分位數(shù)的估計

【分析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可直接判斷選項A,利用第80百分位數(shù)的解法直接判斷選項B,根據(jù)圖表的分散程

度即可判斷選項C,根據(jù)極差的求法直接判斷選項D.

【詳解】由題知，盛李豪的射擊環(huán)數(shù)只有兩次是10.8環(huán)，5次10.6環(huán)，

其余都是10.6環(huán)以下，所以盛李豪平均射擊環(huán)數(shù)低于10.6,故A錯誤；

由于14x0.8=11.2,故第80百分位數(shù)是從小到大排列的第12個數(shù)10.7,故B錯誤；

由于黃雨婷的射擊環(huán)數(shù)更分散，故標準差更大，故C正確；

黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差為10.8-9.7=1.1,

盛李豪的射擊環(huán)數(shù)極差為10.8-10.3=0.5,故D錯誤.

故選：C

2.將某學校一次物理測試學生的成績統(tǒng)計如下圖所示，則估計本次物理測試學生成績的平均分為（同一組

A.68B.70C.72D.74

【答案】C

【知識點】由頻率分布直方圖估計平均數(shù)

【分析】根據(jù)小矩形面積和為1解得的值，再根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)即可.

【詳解】依題意，（0.005+0.015+0.02+0.03+0.005+zn）x10=1,解得機=0.025,

貝（I平均分為45x0.05+55x0.15+65*0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.05=72.

故選：C.

3.已知退休的王大爺連續(xù)5天戶外運動的步數(shù)（單位：百步）分別為50,49,51,48,52,則該組數(shù)據(jù)

的均值與方差分別為（）

A.50,2B.50,10C.51,2D.51,1

【答案】A

【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差

【分析】根據(jù)平均值和方差的計算公式，可得答案.

50+49+51+48+52”

【詳解】均值:---------------------------=50

5

方差：|X[（50-50）2+（49-50）2+（51-50）2+（48-50）2+（52-50）2]=2.

故選：A.

4.第33屆夏季奧林匹克運動會女子10米跳臺跳水決賽中，全紅禪以425的高分拿下冠軍.下面統(tǒng)計某社

團一位運動員10次跳臺跳水的訓練成績：68,80,74,63,66,84,78,66,70,76,則這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)為.

【答案】72

【知識點】計算幾個數(shù)的中位數(shù)

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列后，按中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：63,66,66,68,70,74,76,78,80,84.

所以中位數(shù)為：四產(chǎn)=72.

故答案為：72

5.樣本數(shù)據(jù)90,80,79,85,72,74,82,77的極差和第75百分位數(shù)分別為.

【答案】18,83.5

【知識點】計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差、總體百分位數(shù)的估計

【分析】根據(jù)極差和百分位數(shù)的定義計算即可.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：72,74,77,79,80,82,85,90,共8個,

極差為90-72=18,

因為8x75%=6,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為巫箸=83.5.

故答案為：18,83.5.

6.一組數(shù)據(jù)2,3,X,5,7的平均數(shù)是4,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

【答案】3

【知識點】根據(jù)平均數(shù)求參數(shù)、計算幾個數(shù)的眾數(shù)

【分析】根據(jù)平均數(shù)得到方程，求出x=3,從而求出眾數(shù).

【詳解】???一組數(shù)據(jù)2,3,x,5,7的平均數(shù)是4,

由于3出現(xiàn)了2次，其他數(shù)據(jù)均出現(xiàn)1次，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3

故答案為：3

7.已知一組樣本數(shù)據(jù)玉,％，…，%的樣本平均數(shù)為3,方差為2,由％=2々+1(%=1,2,…生成一組新的樣

本數(shù)據(jù)4%，…，笫，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為;樣本方差為.

【答案】7；8.

【知識點】平均數(shù)的和差倍分性質(zhì)、各數(shù)據(jù)同時乘除同一數(shù)對方差的影響

【分析】由期望、方差性質(zhì)直接計算即可.

【詳解】因為數(shù)據(jù)玉，尤2,…，毛的樣本平均數(shù)為3,方差為2,

所以數(shù)據(jù)%%，…，%的樣本平均數(shù)為2X3+1=7,方差為據(jù)X2=8.

故答案為：7；8

8.在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，

只知道抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為170和10,抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160

和15.則估計出總樣本的方差為.

【答案】37

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、估計總體的方差、標準差、計算幾個數(shù)據(jù)的

極差、方差、標準差

【分析】按男女生比例抽取樣本，結(jié)合相應公式計算均值和方差即可.

【詳解】由題意知，

2030

總樣本的平均數(shù)為——X170+xl60=164,

20+3020+30

總樣本的方差為1^x[10+(170-164)[+?[15+(160-164)1=37.

故答案為：37

9.有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

設甲、乙兩名運動員射擊平均環(huán)數(shù)分別記為無和歹，方差分別記為S；和心

（i）?^x9y>s；,S?；

（2）如果你是教練，你如何對這次射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？

【答案】（1）7;7；4；1.2

⑵答案見解析

【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差、用方差、標準差說明數(shù)據(jù)的波動

程度

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差公式計算即可；

（2）由（1）的結(jié)論，平均數(shù)一樣，則通過方差判斷其穩(wěn)定性即可得結(jié)果.

_9+5+7+8+7+6+8+6+7+7-

y=-----------------------------------------=7,

-10

22222222222

S1=^[（7-7）+（8-7）+（7-7）+（9-7）+（5-7）+（4-7）+（9-7）+（10-7）+（7-7）+（4-7）]

=4,

S；=^[（9-7）2+（5-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（7-7）2]

=1.2.

（2）由（1）知，甲乙射擊的平均成績一樣，但乙比甲射擊的成績更穩(wěn)定，所以選擇乙.

10.下表是五年級一、二兩個班各11名同學1分鐘仰臥起坐的成績（單位：次）：

一班1933262928333435333330

二班2527292829302935293029

⑴這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？

（2）你認為哪個數(shù)表示兩個班的成績更合適？

【答案】⑴平均數(shù)為30.27次；29.09次；中位數(shù)33次，29次，眾數(shù)33次，29次.

（2）平均數(shù)

【知識點】計算幾個數(shù)的中位數(shù)、計算幾個數(shù)的平均數(shù)、計算幾個數(shù)的眾數(shù)

【分析】（1）利用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念計算即可；

（2）利用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的統(tǒng)計意義分析即可.

【詳解】（1）一班平均數(shù)為（19+33+26+29+28+33+34+35+33+33+30）—11=333+11^30.27（次）,

一班數(shù)據(jù)從小到大排列為：19,26,28,29,30,33,33,33,33,34,35,

所以一班的中位數(shù)為33次，33出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)是33次；

二班平均數(shù)為（25+27+29+28+29+30+29+35+29+30+29）+11=320+11“29.09（次）,

二班數(shù)據(jù)從小到大排列為：25,27,28,29,29,29,29,29,30,30,35,

所以二班的中位數(shù)是29次，29出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以二班的眾數(shù)是29次.

(2)運用平均數(shù)表示兩個班的成績更合適.

實戰(zhàn)能力訓練實戰(zhàn)能力訓練04

一、單選題

1.一數(shù)學學習小組有5名同學，他們的歷次數(shù)學考試成績都比較穩(wěn)定，且每次測試5人成績的方差均為6

左右.某次數(shù)學測試他們中的甲同學因故沒能參加考試，其余四位同學的數(shù)學成績分別為111分，114分，

117分，118分.如果甲同學參加這次考試，利用以往的經(jīng)驗(方差為6)估計其成績?yōu)?)

A.112分B.113分C.115分D.119分

【答案】C

【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)、根據(jù)方差、標準差求參數(shù)

【分析】根據(jù)題意，設甲的分數(shù)為H0+5a,求得五位同學本次考試成績的平均數(shù)，然后再由方差的公式代

入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】設甲的分數(shù)為110+5。，

則這五位同學本次考試成績的平均數(shù)為：|(lll+114+117+118+110+5fl)=114+fl,

所以這五位同學本次考試成績的方差為：

|[(111-114-?)2+(114-114-fl)2+(117-114-fl)2+(l18-114-a)2

(110+5a-114-a)2]=6,解得a=l,

所以甲的分數(shù)為11。+5a=115.

故選：C

2.高二年級進行消防知識競賽，統(tǒng)計所有參賽同學的成績，成績都在[50,100]內(nèi)，估計所有參賽同學成績

【答案】C

【知識點】總體百分位數(shù)的估計

【分析】先由長方形的面積和為1求出“，再由第75百分位數(shù)的定義求解;

【詳解】因為24x10=1,所以a=0.05.

參賽成績位于［50,80）內(nèi)的頻率為10x（0.01+0.015+0.035）=0.6,

第75百分位數(shù)在［80,90）內(nèi),

設為80+y,貝!J0.03y=0.15,

解得>=5,即第75百分位數(shù)為85,

故選：C.

3.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè).某農(nóng)戶種植一種觀賞花棄，為了解花

卉的長勢，隨機測量了1。0枝花的高度（單位：cm）,得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則（）

?頻率/組距

0.056

0.048

0.036

0.028

0.020

0.012

O40455055606570高度/cm

A.樣本花卉高度的極差不超過20cm

B.樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)

C.樣本花的高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)

D.樣本花升高度小于60cm的占比不超過70%

【答案】D

【知識點】根據(jù)頻率分布直方圖計算眾數(shù)、計算頻率分布直方圖中的方差、標準差、由頻率分布直方圖估

計平均數(shù)、由頻率分布直方圖估計中位數(shù)

【分析】利用極差的定義可判斷A選項；利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義可判斷B選項：利用平均數(shù)公式求出樣

本花卉高度的平均數(shù)，可判斷C選項；計算出樣本花升高度小于60cm的占比，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，由頻率分布直方圖可知，樣本花卉高度的極差為70-40=30（cm）,A錯;

對于B選項，樣本花卉高度的眾數(shù)為W=57.5（cm）,

設樣本花卉高度的中位數(shù)為acm,

前三個矩形的面積和為（0.012+0.028+0.036）x5=0.38,

前四個矩形的面積和為0.38+0.056x5=0.66,故。?55,60）,

由中位數(shù)的定義可得Q38+（a—55）x0.056=0.5,解得aa57.14（cm）,則a<57.5,

所以，樣本花卉高度的中位數(shù)小于眾數(shù)，B錯；

對于C選項，由頻率分布直方圖可知，

樣本花卉高度的平均數(shù)為

x=42.5X0.06+47.5X0.14+52.5x0.18+57.5x0.28+62.5x0.24+67.5x0.1=56.5（cm）,

且最＜a,所以，樣本花的高度的平均數(shù)小于中位數(shù)，C錯；

對于D選項，由B選項可知，樣本花升高度小于60cm的占比為66%,D對.

故選：D.

4.已知一組數(shù)據(jù)玉,斗，…,x”的平均數(shù)元=4,方差$2=5,則數(shù)據(jù)4%+2,4%+2,…,4%+2的平均數(shù)、方差

分別為（）

A.16,20B.16,80C.18,20D.18,80

【答案】D

【知識點】平均數(shù)的和差倍分性質(zhì)、各數(shù)據(jù)同時乘除同一數(shù)對方差的影響

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)求解.

【詳解】由題意數(shù)據(jù)4玉+2,4%+2,…,4%+2的平均數(shù)為41+2=4x4+2=18，

方差為42s2=16x5=80,

故選：D.

5.某學校的高一、高二及高三年級分別有學生1000人、800人、1200人，用分層抽樣的方法從全體學生

中抽取一個容量為30人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級學生的平均身高為165cm、168cm、171cm,

估計該校學生的平均身高是（）

A.166.4cmB.168.2cmC.169.1cmD.170.0cm

【答案】B

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、計算幾個數(shù)的平均數(shù)

【分析】由分層抽樣的概念求出各個年級抽得的人數(shù)，計算平均數(shù)即可.

【詳解】因為高一、高二及高三年級分別有學生1000人、800人、1200人，

用分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個容量為30人的樣本，

則高一、高二及高三年級分別抽10人，8人，12人，

抽出的高一、高二及高三年級學生的平均身高為165cm、168cm、171cm,

10x165+8x168+12x171

所以該校學生的平均身高為=168.2(cm).

30

故選：B

6.在2024年巴黎奧運會上，中國跳水隊表現(xiàn)卓越，成功包攬了全部8枚跳水金牌，這一成績不僅創(chuàng)造了

歷史，也再次證明了“夢之隊”的實力和統(tǒng)治力.跳水比賽計分規(guī)則如下：針對運動員每次跳水，共有7個裁

判評分，去掉一個最高分與一個最低分，剩下的分數(shù)相加后乘以難度分，即可得出最終得分.下列說法正確

的是（）

A.去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定改變

B.去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的方差可能不變

C.去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變

D.去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不變

【答案】B

【知識點】計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差、計算幾個數(shù)的平均數(shù)、計算幾個數(shù)的中位數(shù)、計算幾個

數(shù)的眾數(shù)

【分析】根據(jù)題意設出裁判的評分，根據(jù)數(shù)字特征計算即可.

【詳解】若7個裁判的評分分別為：10,10,9.9,9.9,9.9,9.8,9.7,

去掉一個最高分與一個最低分后評分為：10,9.9,9.9,9.9,9.8,

去掉前后的中位數(shù)都為9.9,故A錯誤；

去掉一個最高分和一個最低分前平均數(shù)為

x=-(10+10+9.9+9.9+9.9+9.8+9.7)?9.89

去掉一個最高分和一個最低分后平均數(shù)為

—1

(10+9.9+9.9+9.9+9.8)=9.9,故C錯誤；

若7個裁判的評分分別為：10,10,10,9.9,9.9,9.9,9.8,眾數(shù)為：10和9.9,

去掉一個最高分與一個最低分后評分為：10,10,9.9,9.9,9.9,眾數(shù)為9.9,故D錯誤；

若七個裁判的評分為：10,10,10,10,10,10,10,則去掉一個最高分和一個最低分前后均值都為10,

方差都為0,則B正確；

故選：B.

7.已知總體劃分為3層，按比例用分層隨機抽樣法抽樣，各層的樣本量及樣本平均數(shù)如下表：

分層樣本量樣本平均數(shù)

第一層1055

第二層3075

第三層1090

估計總〃K平均數(shù)為()

A.73B.74C.76D.80

【答案】B

【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)

【分析】利用分層抽樣的平均數(shù)公式，列式計算即得.

?、5力、am*人、I.10x55+30x75+10x90

【詳解】依題意，估計總體平均數(shù)為-----s.