甘肅省多校2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試卷【含答案解析】

2024～2025學年度第一學期期末考試高一數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內容：湘教版必修第一冊第1章～第5章5.2．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題：，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定直接求解即可.【詳解】根據(jù)“，”的否定為“，”，可得，的否定為，.故選：.2.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用終邊相同的角的表示方法，逐一檢驗即得.【詳解】因為與角終邊相同的角是，，，則與角終邊相同的角是，而其他選項的角都不能用類似的式子表示．故選：C．3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義，列出不等式組，解之即得.【詳解】由題意知，解得且，則函數(shù)的定義域為．故選：D．4已知，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系式即可求得結果．【詳解】由，則.故選：B．5.已知，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用配湊方法，結合基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由，得，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為2．故選：B6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質即可結合換底公式求解.詳解】由題意，.故選：B．7.已知是上的單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調性列式求解.【詳解】因當時，為減函數(shù)，又因為在上為單調函數(shù)，所以只能為單調遞減函數(shù)，當時，一次函數(shù)單調遞減，當時，指數(shù)函數(shù)，所以將代入得：，又因為在上為單調遞減函數(shù)，所以，解得：.故選：D．8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，，都有恒成立，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用函數(shù)單調性與奇偶性的定義判斷得的單調性和奇偶性，再利用對數(shù)的運算與換底公式將，，化為的函數(shù)值，從而求解.【詳解】因為對任意的，都有恒成立，即，令，所以當時，有，即，所以函數(shù)在0,+∞上單調遞減，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，又，，，所以，，，又，函數(shù)在0,+∞上單調遞減，所以.故選：.【點睛】關鍵點點睛：本題通過構造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調性和奇偶性比較函數(shù)值大小，一定要注意應將自變量置于同一單調區(qū)間再借助單調性比較.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質可判斷ACD，舉反例排除B，從而得解.【詳解】對于ACD，因為，所以，，，故ACD正確；對于B，取，則，故B錯誤.故選：ACD.10.已知，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于AC，利用完全平方公式與三角函數(shù)的基本關系式即可求得所求；對于B，結合選項A中結論，判斷得，從而求得的取值范圍即可判斷；對于D，利用選項C中的結論求得，進而求得，即可解答.【詳解】對于A，由①，以及，對等式①兩邊取平方得，則②，故A正確；對于B，∵，∴，由②知，，故B正確；對于C，又，故C錯誤；對于D，由方程，解得，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知冪函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則下列正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象經(jīng)過點?1,1C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據(jù)冪函數(shù)定義結合單調性求解判斷；對B，由選項A得，代入運算判斷；對C，根據(jù)冪函數(shù)的單調性判斷；對D，利用作差比較法，結合基本不等式判斷.【詳解】對于A，由函數(shù)為冪函數(shù)，有，解得或2．當時，，函數(shù)在單調遞增，不符合題意；當時，，函數(shù)單調遞減，符合題意．故有，故A錯誤；對于B，由選項A，，可得，故B正確；對于C，由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，可得，故C正確；對于D，由，，則，可得，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.______．【答案】【解析】【分析】結合對數(shù)、指數(shù)運算法則及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得.【詳解】由題意知．故答案為：.13.已知的圓心角所對的弧長為，則這個扇形的面積為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧度值的定義，結合扇形面積公式求解即可.【詳解】由題意，，故這個扇形的半徑，面積為.故答案為：14.若實數(shù)，滿足，，則______．【答案】1【解析】【分析】令，易知為單調遞增函數(shù)，函數(shù)變形同構可得，進而求解即可.【詳解】令，因為和均在R上單調遞增，所以為單調增函數(shù)，，有且僅有一個零點，又由題可知，即，所以，∴，即，∴．故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知集合，集合．（1）當時，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）解出集合、后，結合交集定義即可得答案；（2）由題意可得，結合、集合計算即可得答案.【小問1詳解】當時，集合，由可得，即，則或，所以或；【小問2詳解】因為“”是“”的充分條件，所以，而，或，所以，即．16.某企業(yè)年年初花費64萬元購進一臺新的設備，并立即投入使用，該設備使用后，每年的總收入預計為30萬元，設備使用年后該設備的維修保養(yǎng)費用為萬元，盈利總額為y萬元．（1）求y關于x的函數(shù)關系式；（2）求該設備的年平均盈利額的最大值（年平均盈利額＝盈利總額÷使用年數(shù)）．【答案】（1）（2）10萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，直接求出y關于x的函數(shù)關系式；（2）求出年平均盈利額的表達式，再利用基本不等式求得最大值.【小問1詳解】根據(jù)題意：，故y關于x的函數(shù)關系式為.【小問2詳解】由（1）知盈利總額為，則年平均盈利額為，則，因（當且僅當時取等號），所以有萬元，故第8年年平均盈利額取得最大值，最大值為10萬元.17.已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點．（1）求，，；（2）求的值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義結合誘導公式求解；（2）利用誘導公式化簡，從而得解.【小問1詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，由三角函數(shù)的定義知，，，；【小問2詳解】由誘導公式，得．18.已知函數(shù).（1）若的定義域為，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若在上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得在上恒成立，分類討論的取值范圍，結合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質即可得解；（2）分類討論的范圍，根據(jù)復合函數(shù)的單調性的性質，結合定義域列出關于的不等式組，解之即可得解.【小問1詳解】對于，若的定義域為，即在上恒成立.當時，不等式化為，不符合題意；當時，則，解得；綜上，，即實數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，且恒成立，當時，，因為，所以，則在上單調遞增，且恒成立，符合題意；當時，的對稱軸為，當時，，解得，所以；當時，，解得；綜上，，即實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問的解決關鍵是，分析得在上的性質，從而利用二次函數(shù)的性質即可得解.19.已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)k的值；（2）判斷并證明的單調性；（3），最小值為1，求m的值．【答案】（1）（2）單調遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)定義來求參數(shù)即可；（2）利用定義法來證明單調性即可；（3）利用換元法，，把原函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題，從而利用二次函數(shù)