甘肅省多校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：湘教版必修第一冊(cè)第1章～第5章5.2．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題：，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定直接求解即可.【詳解】根據(jù)“，”的否定為“，”，可得，的否定為，.故選：.2.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用終邊相同的角的表示方法，逐一檢驗(yàn)即得.【詳解】因?yàn)榕c角終邊相同的角是，，，則與角終邊相同的角是，而其他選項(xiàng)的角都不能用類似的式子表示．故選：C．3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義，列出不等式組，解之即得.【詳解】由題意知，解得且，則函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：D．4已知，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得結(jié)果．【詳解】由，則.故選：B．5.已知，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用配湊方法，結(jié)合基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2．故選：B6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解.詳解】由題意，.故選：B．7.已知是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解.【詳解】因當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)函數(shù)，所以只能為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)，所以將代入得：，又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以，解得：.故選：D．8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，，都有恒成立，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義判斷得的單調(diào)性和奇偶性，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算與換底公式將，，化為的函數(shù)值，從而求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有恒成立，即，令，所以當(dāng)時(shí)，有，即，所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，又，，，所以，，，又，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較函數(shù)值大小，一定要注意應(yīng)將自變量置于同一單調(diào)區(qū)間再借助單調(diào)性比較.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ACD，舉反例排除B，從而得解.【詳解】對(duì)于ACD，因?yàn)椋?，，，故ACD正確；對(duì)于B，取，則，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于AC，利用完全平方公式與三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得所求；對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A中結(jié)論，判斷得，從而求得的取值范圍即可判斷；對(duì)于D，利用選項(xiàng)C中的結(jié)論求得，進(jìn)而求得，即可解答.【詳解】對(duì)于A，由①，以及，對(duì)等式①兩邊取平方得，則②，故A正確；對(duì)于B，∵，∴，由②知，，故B正確；對(duì)于C，又，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由方程，解得，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知冪函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,1C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)冪函數(shù)定義結(jié)合單調(diào)性求解判斷；對(duì)B，由選項(xiàng)A得，代入運(yùn)算判斷；對(duì)C，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷；對(duì)D，利用作差比較法，結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)為冪函數(shù)，有，解得或2．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，符合題意．故有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A，，可得，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，故C正確；對(duì)于D，由，，則，可得，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)、指數(shù)運(yùn)算法則及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得.【詳解】由題意知．故答案為：.13.已知的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧度值的定義，結(jié)合扇形面積公式求解即可.【詳解】由題意，，故這個(gè)扇形的半徑，面積為.故答案為：14.若實(shí)數(shù)，滿足，，則______．【答案】1【解析】【分析】令，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)變形同構(gòu)可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】令，因?yàn)楹途赗上單調(diào)遞增，所以為單調(diào)增函數(shù)，，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，又由題可知，即，所以，∴，即，∴．故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）解出集合、后，結(jié)合交集定義即可得答案；（2）由題意可得，結(jié)合、集合計(jì)算即可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，由可得，即，則或，所以或；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，所以，而，或，所以，即．16.某企業(yè)年年初花費(fèi)64萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新的設(shè)備，并立即投入使用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預(yù)計(jì)為30萬(wàn)元，設(shè)備使用年后該設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為萬(wàn)元，盈利總額為y萬(wàn)元．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該設(shè)備的年平均盈利額的最大值（年平均盈利額＝盈利總額÷使用年數(shù)）．【答案】（1）（2）10萬(wàn)元【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，直接求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出年平均盈利額的表達(dá)式，再利用基本不等式求得最大值.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意：，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知盈利總額為，則年平均盈利額為，則，因（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以有萬(wàn)元，故第8年年平均盈利額取得最大值，最大值為10萬(wàn)元.17.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求，，；（2）求的值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，從而得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由三角函數(shù)的定義知，，，；【小問(wèn)2詳解】由誘導(dǎo)公式，得．18.已知函數(shù).（1）若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得在上恒成立，分類討論的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）分類討論的范圍，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合定義域列出關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于，若的定義域?yàn)?，即在上恒成?當(dāng)時(shí)，不等式化為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且恒成立，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞增，且恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)的解決關(guān)鍵是，分析得在上的性質(zhì)，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.19.已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3），最小值為1，求m的值．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)定義來(lái)求參數(shù)即可；（2）利用定義法來(lái)證明單調(diào)性即可；（3）利用換元法，，把原函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問(wèn)題，從而利用二次函數(shù)