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2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上,并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;字體工整,筆跡清楚.4.考試結(jié)束后,請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容:湘教版必修第一冊第1章~第5章5.2.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題:,,則是()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定直接求解即可.【詳解】根據(jù)“,”的否定為“,”,可得,的否定為,.故選:.2.與角終邊相同的角是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用終邊相同的角的表示方法,逐一檢驗(yàn)即得.【詳解】因?yàn)榕c角終邊相同的角是,,,則與角終邊相同的角是,而其他選項(xiàng)的角都不能用類似的式子表示.故選:C.3.已知函數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義,列出不等式組,解之即得.【詳解】由題意知,解得且,則函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x:D.4已知,則()A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得結(jié)果.【詳解】由,則.故選:B.5.已知,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用配湊方法,結(jié)合基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由,得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,所以的最小值為2.故選:B6.已知,,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解.詳解】由題意,.故選:B.7.已知是上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解.【詳解】因當(dāng)時(shí),為減函數(shù),又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)函數(shù),所以只能為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)時(shí),一次函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),指數(shù)函數(shù),所以將代入得:,又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù),所以,解得:.故選:D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且對任意的,,都有恒成立,記,,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令,利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義判斷得的單調(diào)性和奇偶性,再利用對數(shù)的運(yùn)算與換底公式將,,化為的函數(shù)值,從而求解.【詳解】因?yàn)閷θ我獾?,都有恒成立,即,令,所以?dāng)時(shí),有,即,所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減,又函數(shù)為奇函數(shù),所以,即函數(shù)為偶函數(shù),又,,,所以,,,又,函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減,所以.故選:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題通過構(gòu)造新函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較函數(shù)值大小,一定要注意應(yīng)將自變量置于同一單調(diào)區(qū)間再借助單調(diào)性比較.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知,則下列正確的是()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ACD,舉反例排除B,從而得解.【詳解】對于ACD,因?yàn)?,所以,,,故ACD正確;對于B,取,則,故B錯誤.故選:ACD.10.已知,,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于AC,利用完全平方公式與三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得所求;對于B,結(jié)合選項(xiàng)A中結(jié)論,判斷得,從而求得的取值范圍即可判斷;對于D,利用選項(xiàng)C中的結(jié)論求得,進(jìn)而求得,即可解答.【詳解】對于A,由①,以及,對等式①兩邊取平方得,則②,故A正確;對于B,∵,∴,由②知,,故B正確;對于C,又,故C錯誤;對于D,由方程,解得,所以,故D正確.故選:ABD.11.已知冪函數(shù),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則下列正確的是()A.B.函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)?1,1C.若,則D.若,則【答案】BCD【解析】【分析】對A,根據(jù)冪函數(shù)定義結(jié)合單調(diào)性求解判斷;對B,由選項(xiàng)A得,代入運(yùn)算判斷;對C,根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷;對D,利用作差比較法,結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A,由函數(shù)為冪函數(shù),有,解得或2.當(dāng)時(shí),,函數(shù)在單調(diào)遞增,不符合題意;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,符合題意.故有,故A錯誤;對于B,由選項(xiàng)A,,可得,故B正確;對于C,由函數(shù)為偶函數(shù),可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,可得,故C正確;對于D,由,,則,可得,故D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)、指數(shù)運(yùn)算法則及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得.【詳解】由題意知.故答案為:.13.已知的圓心角所對的弧長為,則這個(gè)扇形的面積為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧度值的定義,結(jié)合扇形面積公式求解即可.【詳解】由題意,,故這個(gè)扇形的半徑,面積為.故答案為:14.若實(shí)數(shù),滿足,,則______.【答案】1【解析】【分析】令,易知為單調(diào)遞增函數(shù),函數(shù)變形同構(gòu)可得,進(jìn)而求解即可.【詳解】令,因?yàn)楹途赗上單調(diào)遞增,所以為單調(diào)增函數(shù),,有且僅有一個(gè)零點(diǎn),又由題可知,即,所以,∴,即,∴.故答案為:1.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知集合,集合.(1)當(dāng)時(shí),求;(2)若“”是“”的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)或;(2)【解析】【分析】(1)解出集合、后,結(jié)合交集定義即可得答案;(2)由題意可得,結(jié)合、集合計(jì)算即可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),集合,由可得,即,則或,所以或;【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件,所以,而,或,所以,即.16.某企業(yè)年年初花費(fèi)64萬元購進(jìn)一臺新的設(shè)備,并立即投入使用,該設(shè)備使用后,每年的總收入預(yù)計(jì)為30萬元,設(shè)備使用年后該設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為萬元,盈利總額為y萬元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求該設(shè)備的年平均盈利額的最大值(年平均盈利額=盈利總額÷使用年數(shù)).【答案】(1)(2)10萬元【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件,直接求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求出年平均盈利額的表達(dá)式,再利用基本不等式求得最大值.【小問1詳解】根據(jù)題意:,故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.【小問2詳解】由(1)知盈利總額為,則年平均盈利額為,則,因(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號),所以有萬元,故第8年年平均盈利額取得最大值,最大值為10萬元.17.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求,,;(2)求的值.【答案】(1),,(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式求解;(2)利用誘導(dǎo)公式化簡,從而得解.【小問1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),由三角函數(shù)的定義知,,,;【小問2詳解】由誘導(dǎo)公式,得.18.已知函數(shù).(1)若的定義域?yàn)?,求?shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得在上恒成立,分類討論的取值范圍,結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解;(2)分類討論的范圍,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),結(jié)合定義域列出關(guān)于的不等式組,解之即可得解.【小問1詳解】對于,若的定義域?yàn)?,即在上恒成?當(dāng)時(shí),不等式化為,不符合題意;當(dāng)時(shí),則,解得;綜上,,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是;【小問2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,且恒成立,當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,則在上單調(diào)遞增,且恒成立,符合題意;當(dāng)時(shí),的對稱軸為,當(dāng)時(shí),,解得,所以;當(dāng)時(shí),,解得;綜上,,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第2小問的解決關(guān)鍵是,分析得在上的性質(zhì),從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.19.已知為偶函數(shù),為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)k的值;(2)判斷并證明的單調(diào)性;(3),最小值為1,求m的值.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增,證明見解析(3)【解析】【分析】(1)利用偶函數(shù)定義來求參數(shù)即可;(2)利用定義法來證明單調(diào)性即可;(3)利用換元法,,把原函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題,從而利用二次函數(shù)
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