廣東省惠州市博羅縣2024-2025學年高一年級上冊11月期中考試 數(shù)學試卷（含解析）

博羅縣2024-2025學年度第一學期高一階段性教學質量檢測

數(shù)學試題

本試卷共4頁，19小題；總分：150分，檢測用時：120分鐘

注意事項：

1.答卷前、考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.設全集0={-=則%（ZD8）=（）

A,{1,-1,2}B.{-1,2}C.{1}D.{-2}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合的并集與補集運算求解即可.

【詳解】因為。={—2,—1,1,2},/={-1,1},5={1,2},

所以=所以科（NU3）={—2}.

故選：D

2.命題“*eR,rAx”的否定是（）

A.eR,x2<xB.VxeR,x2<x

C.R,x2<xD.VxeR,x2<x

【答案】B

【解析】

【分析】由存在量詞命題得否定為全稱量詞命題即可得解.

【詳解】命題“HxeR,x2〉x”的否定是\/xeR,x2<x.

故選：B.

3.函數(shù)y=業(yè)二二的定義域是()

X

A.[-2,2]B.(-2,2)C.[—2,0)U(0,2]D,[-4,0)o(0,4]

【答案】C

【解析】

【分析】由4——NO且xwO可求得結果.

4-x2>0

【詳解】由題意得<,解得—2WxW2且xwO,

xw0

所以函數(shù)的定義域為[-2,0)U(0,2].

故選：C

4.已知函數(shù)=-加%+5在(-8,2]上單調遞減，則加的取值范圍為()

A.[4,+co)B,[2,+oo)c.(-oo,4]D.(-8,2]

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸列不等式即可得解.

【詳解】由二次函數(shù)性質可知，要使函數(shù)/(x)在(-叫2]上單調遞減，只需最22,

解得機24,即加的取值范圍為[4,+8).

故選：A

5.已知關于x的不等式加工2-4x+加20的解集為R，則加的取值范圍為()

A.B.

C.(2,+00)D.[2,+00)

【答案】D

【解析】

【分析】討論加=0和加W0時，從而求出不等式恒成立時實數(shù)加的取值范圍.

【詳解】當加=0時，—4x20,解得xVO,不合題意；

fm>0

當加w0時，〈/、2，解得mN2.

(-4)—4xmxm<0

故選：D.

6.不等式（加+l）x+加<0的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍為（）

A.{加卜34加<5}B.{間一24加〈一1或4〈加〈5}

C.{間一3<加<1或4c加<5}

D,卜"卜34加〈一2或4〈加W5}

【答案】D

【解析】

【分析】由含參一元二次不等式的求解方法，對參數(shù)加分類討論得到結果.

【詳解】x2一（陰+l）x+加<0=（%—1）（工一加）<0,

①當加=1時，明顯不符合題意；

②當"2>1時，不等式的解集為1<X（加，

由于不等式的解集中恰有三個整數(shù)，則整數(shù)為2,3,4,故4〈加K5；

③當加<1時，不等式的解集為加<x<l,

由于不等式的解集中恰有三個整數(shù)，則整數(shù)為0,-1,-2,故-3Wm<-2.

所以實數(shù)加的取值范圍為{加卜3V加〈一2或4〈加W5}.

故選：D.

7.數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設一個三角形的三邊長分別為a,b,c,三角形的面積S可由公

式Sf（p_a）（p_b）（p_c）求得,其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫一秦九韶公

式.現(xiàn)有一個三角形的周長為12,a=4,則此三角形面積的最大值為（）

A.4B.4A/2C.473D.475

【答案】C

【解析】

【分析】由題意得b+c=8,p=6,代入S=J0（0-a）（0-4）（0-。）化簡后利用基本不等式可求得答

案

【詳解】由題意得6+c=8,p=6,

貝US=j6（6_4）（6-4）（6-c）=2>/3x］（6-b）（6-c）W邪i（6-b+6-c）=4G，

當且僅當6=c=4時，等號成立，此時三角形的面積有最大值，且最大值為4百.

故選：c

,、\a,a<b,,、\b,a<b,

8.已知min{a,Z?}=<，max{a,Z?}=<則下列選項錯誤的是(

\b,a>b,[a,a>b,

A.min{(z,Z?!+max{?,Z?}=a+b

.、a+b—\ci-b\

B.vmn[a,b]=-------------L

C.max+6)2,(?-Z))~|<a2+Z)2

Dmax{|a+耳，.一碼Nmax{問，網(wǎng)}

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可知min{a,b}表示a,Z?中的最小值，max{a,6}表示a,Z?中的最大值.

依據(jù)最大值最小值的定義逐一分析選項可得結果.

【詳解】由題意可知min{a,b}表示中的最小值，max{a1}表示a,b中的最大值.

對于選項A,因為min{a,6},max{a,6}分別取a,Z?中的一個最小值與一個最大值,

所以min{a,Z?}+max{a,Z?}=a+6,故A正確.

對于選項B,當a>6,則min{a,b}=b,"+

LL.t.(\ab—\ci—b\

所以mm{Q,6}=---------------

,,.(-a+b-\a-b\a+b-(b-a\~…、a+b-\a

當a46時r，min[a,b]=a,-------J------U-------A----所以min{a,b}=----------------

綜上所述，min{a,b}=土心[^——,故B正確.

對于選項C,取a=6=l,則max{(a+6/,(4—6)2}=4,

而/+〃=2，此時max{(a+by,(a-by}>a2+b2,故c錯誤.

對于選項D,當卜+.<卜—可，即仍W0時，max^|(2+Z)|,|fi!-&|j=|(2-Z)|,

因為仍WO,所以,一耳》時，卜一同2例，所以max{|a+qJ"W}?max{時,同}；

當卜+“〉,—W，即ab＞0時，max｛，+W，|a-耳｝=|a+@，

因為仍＞0,所以,+4卜+62同，所以max｛|a+W,卜一碼之max｛問,同｝.

綜上所述，max｛|a+W，|a—@｝?max｛同,同｝,故D正確.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=x〃的圖象經(jīng)過點貝IJ()

A./(x)的圖象經(jīng)過點[%g]B./(x)的圖象關于y軸對稱

C./(x)在定義域上單調遞減D./(x)在(0,+")內的值域為(0,+")

【答案】AD

【解析】

【分析】代入已知點坐標求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)塞函數(shù)的性質判斷.

【詳解】將點的坐標代入/(x)=x“，可得a=—1,

則/(x)=L

所以/(X)的圖象經(jīng)過點[9,g],A正確；

根據(jù)幕函數(shù)的圖象與性質可知/(x)=工為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，在定義域上不具有單調性，

函數(shù)/(x)=—在(0,+8)內的值域為(0,+8),故BC錯誤,D正確，

故選：AD.

10.下列說法中，正確的是()

A.若“〉人2,仍＞0,則,B.若巧

I!>不b，貝n!j,q>6

abcc

C.若b〉a〉0,m＞Q,則”％＞區(qū)D.若a>b,c<d,貝！Ja—c〉b—d

b+mb

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用不等式的性質一一判定選項即可.

【詳解】對于A,若a=-2]=-1,則工=—，>▲=—1,故A錯誤；

a2b

ab

對于B,可知02>0，不等式F〉二兩側同乘以02,有a>b,故B正確;

,a+ma(b-a^m

對于C,利用作差法知--石

b(b+m)

由Z)>a>0,m>0,知(b—Q)加〉0/(b+機)〉0,

a+ma(b-a)m

即-------=>0,故C正確;

b+mb7-b\7-b--+---m-)7

對于D,由"c<d,c<“知?！?一c〉—d,由不等式同向可加性的性質知D正確.

故選：BCD

11.高斯函數(shù)是數(shù)學中的一個重要函數(shù)，在自然科學、社會科學以及工程學等領域都能看到它的身影.設

xeR,用符號國表示不大于x的最大整數(shù)，如[1.6]=1,[-1.6]=-2稱函數(shù)/(x)=[%]叫做高斯函數(shù).下

列關于高斯函數(shù)/(x)=[x]的說法正確的有()

A./(-3)=-3

B.若/(。)=/伍)，則同<1

C.函數(shù)y=〃x)-x的值域是

D,函數(shù)〉=x-/(x)在[1,+8)上單調遞增

【答案】ABD

【解析】

【分析】由高斯函數(shù)/(X)=[x]的定義逐一判斷即可.

【詳解】對A,由高斯函數(shù)的定義，可得/(-3)=-3,故A正確;

對B,若/(。)=/伍)，則同=[句，而[可表示不大于x的最大整數(shù)，則一即|"耳<1,

故B正確；

對C,函數(shù)y=/(x)-X,當X=1時，J=/(l)-l=[l]-l=0,故C錯誤；

x(l<x<2)

2x(2<x<3)

對D,函數(shù)y=X?/(%)=xJx]=<即函數(shù)y=x-/（x）為分段函數(shù)，在[1,+8）上單調遞

3x(3<x<4)

增，故D正確.

故選：ABD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.二次不等式"2+區(qū)+1>0的解集為<x—1<X<；Q,則仍的值為.

【答案】6

【解析】

1b

1—1-1—=----

【分析】由二次不等式與二次方程的關系可得r3a,從而得解.

、3a

【詳解】二次不等式ax1+bx+\>0的解集為<x-l<x<^>,

則。<0,且ax?+6x+l=0的兩個根為一1和1.

1b

—1Id-=--

所以<]:",解得。=—3]=—2.

、3a

所以ab=6

【點睛】本題主要考查了二次方程與二次不等式的關系，屬于基礎題.

13.已知函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，且當x<0時，/（X）=X3-3X+1,則/（2）=,當x〉0時,

/（%）=-

【答案】①.1②.X3-3X-1

【解析】

【分析】不妨設x〉0,則-x<0,將-x代入解析式，由/（_》）=—/（x）即可求解.

【詳解】設x〉0,則—x<0,又因為x<0,/(X)=X3-3X+1,

所以/(—x)=-x3+3x+1,

,?,y=/(》)是奇函數(shù)，，/(一》)=—/00，所以-/(%)=7?+3丁+1,

即/(X)=X3-3X-1,且/(2)=1.

故答案為：①1

@X3-3X-1

14.函數(shù)y=/(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，可以將其推廣為:

函數(shù)y=/(x)的圖象關于點尸(。,6)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y=/(x+。)-b為奇函數(shù).已知函數(shù)

/(%)=工3—3f圖象成中心對稱，貝U：

/(-2O22)+/(-2O21)+-+/(O)+/(l)+/(2)+-??+/(2023)+/(2024)=.

【答案】-8094

【解析】

【分析】根據(jù)給定的充要條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)/(x)的對稱中心，再求值即可.

【詳解】設函數(shù)/(力=/—3/圖象的對稱中心為尸(d6),

設g(x)=/(x+a)—b=(x+a)3-3(x+a)2-b,則g(x)為奇函數(shù)，

g(-x)=/(-%+?)-&JLg(-x)=-g(x),貝！]/(_x+a)-6=6-/(x+a),

即f(—x+a)+/(x+a)=2b,即[(—x+a)，—3(—x+a)~]+[(x+a)，—3(x+a)~]=2b,

/、，,,f6(z-6=0fa=1

整理得(6"6)一+2成一6。--26=0,于是I、3,2c,>解得c，

'72a3-6a2-2b=0M[b=-2

因此函數(shù)/(力=/—3/圖象的對稱中心為(1,—2),則/(—x+l)+/(x+l)=—4,

令S=/(—2022)+〃—2021)+…+/(O)+/(l)+/(2)+???+/(2023)+/(2024),

則S=/(2024)+〃2023)+…+/(2)+/(1)+/(0)+-一+/(—2021)+/(—2022),

于是2s=4047x(—4),解得S=—8094,

所以/(―2022)+/(-2021)+---+/(0)+/(1)+/(2)+-??+/(2023)+/(2024)=-8094.

故答案為：-8094

【點睛】結論點睛：函數(shù)V=/(x)的定義域為。，VxeZ),

①存在常數(shù)a,6使得/(x)+/(2a—x)=2b=/(a+x)+/(a—x)=2b,則函數(shù)歹=/(x)圖象關于點

(a,6)對稱.

②存在常數(shù)。使得/(x)=/(2a—x)=/(a+x)=/(a—x),則函數(shù)歹=/(x)圖象關于直線x=a對稱.

四、解答題：本大題共5小題，其中15小題13分，16題與17題每小題15分，18題與19

題每小題17分，共77分.

x+3,x<0

15.已知函數(shù)/(x)=<

-x2+2x,x>0

(1)求/(/(—2))的值；

(2)在給出的坐標系中畫出函數(shù)/(x)的大致圖象，并寫出函數(shù)/(x)的單調區(qū)間和值域.

【答案】(1)1；(2)作圖見解析，增區(qū)間為(-8,0],(0,1],減區(qū)間為[1,+8),值域是(一叫3].

【解析】

【分析】(1)判斷并代入求出函數(shù)值.

(2)畫出給定函數(shù)的圖象，結合圖象求出單調區(qū)間及值域.

【小問1詳解】

x+3,x<0

函數(shù)/(X)=2c-貝2)=1,所以/(/(—2))=/■⑴=1.

-X-+2x,x>0n

【小問2詳解】

當x<0時，/(x)=x+3,其圖象是直線y=x+3在〉軸及左側部分；

當x〉0時，/(X)=-X2+2X,其圖象是拋物線歹=—%?+2%在〉軸右側部分,

函數(shù)/(x)的大致圖象，如圖：

函數(shù)/(X)的遞增區(qū)間為(―8,0],(0,1],遞減區(qū)間為[1,+8),

當x<0時，/(x)e(-co,3];當x〉0時，/(x)e(-8,1],

所以函數(shù)/(X)的值域是(-8,3].

16,設集合/={》,2—2加x+加2vo},5=|x2-4x-5<0J.

Cl)若加=5,求4cB；

(2)若“xe/”是“xeB”的充分不必要條件，求實數(shù)%的取值范圍.

【答案】(1)^n5={x|4<x<5}；(2)0<m<4；

【解析】

【分析】

(1)由集合描述求集合A、B,根據(jù)集合交運算求(2)由充分不必要條件知B,即可求加

的取值范圍.

[詳解]5={X|X2-4X-5<O}={X|-1<X<5},

(1)加=5時，A=<^x|x2-10x+24<0^={x14<x<6},

Ar>B={xI4<x<5}；

(2)“工￡4”是“工￡5”的充分不必要條件，即B,

又/二卜卜之一2mx+加2-lV()}二{x|加一IVxV加+1}且加一1〈加+1,

m-1>-1

掰.I。，解得。*為

【點睛】本題考查了集合的基本運算，及根據(jù)充分不必要條件得到集合的包含關系，進而求參數(shù)范圍，屬

于基礎題.

17.如圖，在周長為8的矩形48CD中(其中48〉2。)，現(xiàn)將V48c沿ZC折疊到V48'C,設/9與

CD交于■點E,設4B=x,B'E=y.

（1）求△8'EC的周長；

（2）試用x表示V,并求x的取值范圍；

（3）當x為何值時，△8'EC的面積S取得最大值，并求出該最大值.

Q

【答案】（1）4；（2）>=4一一,2<x<4；

X

（3）當x=2啦時，△8'EC的面積S取得最大值12-8近.

【解析】

【分析】（1）通過證明△/￡>￡三ACS'E,即可得到/￡=?！?。￡=8'￡,從而求出48'￡。的周長.

（2）在火/VB'CE利用勾股定理并結合（1）即可建立B'E和％的關系，根據(jù)題意即實際意義可求出x的范

圍.

（3）將△8'EC的面積表示出來，再利用基本不等式求最大值即可.

【小問1詳解】

依題意，NAED=NCEB：NADE=ZCB'E,AD=CB',

則VADE=ACB'E,于是AE=CE,AD=CB',DE=B'E,

因此砥+05'+5'￡=砥+/。+?！?/。+。。=4,

所以△B'EC的周長為定值4.

【小問2詳解】

由折疊知AB'=AE+B'E=AB=x,則AE=x—y,即CE=x—y,

由（1）知C￡++CS'+5'￡=4,即（x—y）+C8'+y=4,則CS'=4—x,

在RtAB'EC中，由勾股定理得8'￡2+8，。2=砥2,

Q

即必+（4—x）2=（x—y）2,化簡得y=4——,

而AB>AD,AB+AD=4,則x>4—x且x<4,即2Vx<4,

8

所以歹二4——,2<x<4.

x

【小問3詳解】

在Rt^B'EC中,S='5'C-8'E=L（4—X）（4—?）=12—3—2X,2<X<4,

22xx

則S=12—（"+2x）W12—2、S.2X=12—8、5，當且僅當嶼=2%，即》=2夜時等號成立，

x\xx

所以當x=20時，△8'EC的面積S取得最大值，為12-8JL

18.已知函數(shù)/（力=竽/是定義在［—1』上的奇函數(shù)，且/。）=1

（1）求加，〃的值；

（2）用定義法判定/（x）的單調性；

（3）求使/（。-1）+/（。2-1）<0成立的實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）m=2,n=0

（2）/（x）在［-U］上是增函數(shù).

⑶［0,1）.

【解析】

【分析】（1）由函數(shù)在x=0處有定義得/（0）=0,聯(lián)立/（1）=1待定系數(shù)加，〃，再利用定義證明函數(shù)的奇

偶性即可；

（2）按“區(qū)間取值一作差變形——符號判斷”的步驟利用定義法判定即可得；

（3）結合函數(shù)的奇偶性與單調性解抽象不等式的方法求解，注意函數(shù)的定義域.

【小問1詳解】

因為函數(shù)/（可是定義在上的奇函數(shù)，

7（o）=o［〃=°W=2

所以1八1,得加+〃，，解得c，

=1［^―=1〔〃=0

2x

驗證：當加=2,〃=0時，/（%）=———.

X+1

由題意，/（X）的定義域［-1,1］關于原點對稱.

-2x

且任意都有/(—x)=;一六二含=-小),

(r)+1

所以/(x)是奇函數(shù)，滿足題意.

故加=2,〃=0.

【小問2詳解】

/(X)在[-U]上是增函數(shù).

2x

由(1)知，/(%)=——-,xe[T,l].

證明：設VXi，/e[T1],且再<%2，

2匹2X2_2可代+1)-2%2_2伉-XJG/T)

則/(xj—/(工2)=

x：+lxf+1卜：+1乂岐+1)(片+川君+1)

-1<^<x2<1,x2-x1>0,x[x2-1<0,(X；+*后+1)>0,

.?./(x1)-/(x2)<0,.-./(x1)</(x2),

???f(x)在［-1』上是增函數(shù).

【小問3詳解】

+-1)<0=/("l)<-/任-1)，

因為/(x)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù),

所以_/—1)=/(l—a),

則叫，

2Y

由(2)知/(x)=丁匚在[-U]上是增函數(shù),

X+1

—1<a—l<l0<a<2

所以《-1<?2-1<1,即<Q<a2<2,解得0<a<l.

Cl—1<1—Q2—2VQV1

故實數(shù)。的取值范圍是［0,1).

-l.xeM,

19.對于集合跖定義函數(shù)京(x)=<W”對于兩個集合MN,定義集合

MM={x|九(x)/(x)=—1}.已知/={2,4,6,8,10},5={1,2,4,8,16}

（1）寫出以（1）和/（1）的值，并用列舉法寫出集合NAS；

（2）用Can/（河）表示有限集合“所含元素的個數(shù)，求Card（叢4）+C