函數(shù)與方程（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第12講函數(shù)與方程

知識梳理

一、函數(shù)的零點(diǎn)

對于函數(shù)y=/(尤)，我們把使〃同=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程”同=0有實(shí)數(shù)根0函數(shù)尸“X)的圖像與x軸有公共點(diǎn)o函數(shù)尸〃x)有零

點(diǎn).

三、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)>="X)在區(qū)間［凡句上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

那么函數(shù)y=在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(4,b),使得

〃c)=O,c也就是方程"尤)=0的根

四、二分法

對于區(qū)間［a,0上連續(xù)不斷且0的函數(shù)/(x),通過不斷地把函數(shù)的

零點(diǎn)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方

法叫做二分法.求方程〃龍)=0的近似解就是求函數(shù)“同零點(diǎn)的近似值.

五、用二分法求函數(shù)/(x)零點(diǎn)近似值的步驟

(1)確定區(qū)間［a,6］,驗(yàn)證/(a)"(6)<0,給定精度￡.

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)X1.

(3)計(jì)算"xj.若〃再)=0,則不就是函數(shù)的零點(diǎn)；若再)<0,貝(J令

6=占(此時(shí)零點(diǎn)尤°).若/'優(yōu))"(%)<0,則令a=±(此時(shí)零點(diǎn)尤°)

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡,即若卜-耳<￡,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為"(或b)；否

則重復(fù)第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.

【解題方法總結(jié)】

函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧：

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/(尤)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/(元)至多有一個(gè)零點(diǎn).

②連續(xù)不斷的函數(shù)/(X),其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號.

③連續(xù)不斷的函數(shù)〃X)通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號.

④連續(xù)不斷的函數(shù)/(尤)在閉區(qū)間團(tuán)，句上有零點(diǎn)，不一定能推出了(“)/(6)<0.

必考題型全歸納

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

【例1】(2024?廣西玉林?博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)以幻是奇函數(shù)，且

/(無)=〃(尤)+2,若x=2是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，則〃-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【對點(diǎn)訓(xùn)練11(2024?吉林?通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知與是函數(shù)

/(x)=tanx-2的一個(gè)零點(diǎn)，貝?。輘in2%的值為()

A.--B.--C.-D.-

5555

【對點(diǎn)訓(xùn)練2】(2024?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)

/(%)=2*+x,g(x)=k>g2X+x,//(x)=k)g2X-2的零點(diǎn)依次為a,b,c,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【對點(diǎn)訓(xùn)練3】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知/(x)=e￡+lnx+2,若馬是方程

/⑺-/'(x)=e的一個(gè)解，則與可能存在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D,(3,4)

【解題總結(jié)】

求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的方法：

(1)代數(shù)法，即求方程/(x)=0的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；(2)幾何

法，即利用函數(shù)y=/(x)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

【例2】(2024?山西陽泉?統(tǒng)考三模)函數(shù)〃x)=log2X+x2+用在區(qū)間(1,2)存在零

點(diǎn).則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是()

A.（—8,-5）B.（—5,—1）C.（1,5）D.（5,+8）

3

【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=2、---〃的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間

x

（1,3）內(nèi)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（7,+oo）B.（-oo,-l）C.（-oo,-l）U（7,+oo）D.（-1,7）

2

【對點(diǎn)訓(xùn)練5］（2024?河北?高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（x）=a-是R上的奇函數(shù)，

2+1

若函數(shù)y=2咽的零點(diǎn)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)，則加的取值范圍是（）

A.B.（-L1）C.（-2,2）D.（0,1）

【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024?浙江紹興?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)〃x）=lnx+加+6,若/⑺在區(qū)

間［2,3］上有零點(diǎn)，則成的最大值為.

【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024?上海浦東新?高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

/1（元）=5近仆-湎11天在（0,2兀）上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍___________.

【解題總結(jié)】

本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，

列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.

題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題

［例3］（2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）己知實(shí)數(shù)x,y滿足

InJ2y+l+y=2,e*+x=5,貝。無+2y=.

【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024?新疆?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)/（力=0?+3/—4,若/（x）存在唯

一的零點(diǎn)%,且％<0,則。的取值范圍是.

x2+4x+a,x<0

【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024?天津?yàn)I海新?統(tǒng)考三模）己知函數(shù)/。）=1,若函

—Fa+1,尤〉0

數(shù)g（x）=/（x）-辦-1在R上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

【對點(diǎn)訓(xùn)練101（2024?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線y=xlnx有兩條過（e,a）的切線，

則a的范圍是.

【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024?天津北辰?統(tǒng)考三模）設(shè)aeR,對任意實(shí)數(shù)無，記

/(x)=min{e^-2,e2^-ae+a+24).若〃x)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【對點(diǎn)訓(xùn)練121(2024?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)機(jī)，"滿足

2023-2/n3-ln2

----------m=---------Inn-In(2e2020)=0,貝！|相九=___________.

2n')

【解題總結(jié)】

方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是

要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單

調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.

題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題

1

v~2_|__尤尤0

【例4】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)2',若關(guān)于x的方

—|2x—1|+1,x>0

程r(x)-(k+1)#(力+?2=0有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)上的取值范圍為

()

A.B.1^(1,2)C.(O,1)U(1,2)D.(2,+s)

【對點(diǎn)訓(xùn)練13](2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃到=忖-2卜1,則關(guān)于x的方

程r(x)+時(shí)(x)+〃=。有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)私〃滿足()

A.機(jī)〉0且〃>0B.機(jī)<0且〃>0

C.0(加<1且〃=0D.—IvmvO且〃=0

【對點(diǎn)訓(xùn)練14】(2024?四川資陽?高三統(tǒng)考期末)定義在R上函數(shù)/(x),若函數(shù)

,、，、，、2(

y=/(x-l)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，且〃x)=-1x,x.eI0,1「),、則關(guān)于x的方程

e—z,xGi,+ooj,

尸⑺-2〃礦(x)=1(eR)有〃個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則?的所有可能的值為

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【對點(diǎn)訓(xùn)練15](2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃幻=(r-了-1)/,設(shè)關(guān)于％的

方程/(無)7棚5)=2(加eR)有"個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則〃的所有可能的值為

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【解題總結(jié)】

1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍.

2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎

實(shí).

題型五：函數(shù)的對稱問題

【例5】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=2x+1[；VxV2j的圖象上存在點(diǎn)

P,函數(shù)g(x)=依-3的圖象上存在點(diǎn)°,且P,。關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.[-4,01B.0,1C.[0,41D.1,4

|_oJ|_8

【對點(diǎn)訓(xùn)練16](2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=靖，函數(shù)g(x)與/(無)的圖

象關(guān)于直線丫=無對稱，若〃x()=g(x)-區(qū)無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.B.C.(e,+<?)D.g，+0°)

【對點(diǎn)訓(xùn)練17】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=a-21nx,dw尤We)的圖象上

e

存在點(diǎn)"，函數(shù)y=f+l的圖象上存在點(diǎn)N,且"，N關(guān)于x軸對稱，則。的取值范圍

是()

【對點(diǎn)訓(xùn)練18](2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=a-x2d<x<e,e為自

然對數(shù)的底數(shù))與%x)=21nx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.1,—+2B.[l,e2—2]

C.—+2,-2D.[e~-2,+co)

【解題總結(jié)】

轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題

題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型

【例6】(2024?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(x)=「一2eJ+-Inx至少存在一

X

個(gè)零點(diǎn)，則加的取值范圍為()

A.B.+-,+00^c.D.e+L+s]

【對點(diǎn)訓(xùn)練19](2024?湖北?高三校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)/(X)=/_2夕2+如_1口工，記

g(x)=—,若函數(shù)g(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

A.1――片+―[B.C.(0,/+—D.18,/十一

【對點(diǎn)訓(xùn)練201(2024?福建廈門?廈門外國語學(xué)校?？家荒?若至少存在一個(gè)元，使得

方程In犬一加^=工(爐一24)成立.則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【對點(diǎn)訓(xùn)練211(2024?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)

f(x)=x2-2x-^+a(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，若函數(shù)/(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1H—]B.(0,eH-]C.[eH—,+co)D.(—co,1H—]

eeee

【解題總結(jié)】

分類討論數(shù)學(xué)思想方法

題型七：唯一零點(diǎn)求值問題

[例7](2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(彳)=,+2|+/+2+12T有唯一零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【對點(diǎn)訓(xùn)練22】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃力=a(sinx+cosx)

有唯一零點(diǎn)，貝()

71-4兀

A.—B.——c.也D.1

ee

【對點(diǎn)訓(xùn)練23](2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x),"(x)分別是定義在R上的

偶函數(shù)和奇函數(shù)，且g(x)+/z(x)=eX+sinx—x,若函數(shù)/口卜那.聞—赤卜—?。2。)—？^

有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)九的值為

A.-1或9B.1或C.-1或2D.—2或1

22

【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)”》）=217一卜（21+22一）一1

有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)。=

A.—2B.—C.—1D.—或—1

22

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：

（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.

（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解.

（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問題

[Yr<0

【例8】（2024?天津南開?高三南開中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)〃力=C，若函

[log2x,x>（）

數(shù)ga）=〃%）+M有兩個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

A.[-1,0）B.[-l,+oo）C.（-。,0）D.（-oo,l]

【對點(diǎn)訓(xùn)練25]（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知機(jī)〉0,函數(shù)

（%—2）ln（x+1）,-1<x<m,

/?=<兀）,恰有3個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

cos3x+—\,m<x<7i,

[I4j

A?[運(yùn)運(yùn)1中喋B.[運(yùn)五|中,力C.（。，御2,jD.（。，道|逐彳]

e九％>0

【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024?陜西西安?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)『（x）=:~八，若函數(shù)

-3x,x<0

g（x）=/（-%）-/（%）,則函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.5

【對點(diǎn)訓(xùn)練27]（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=

2sin2TI\x-a+—,x<a

<LI2〃,若函數(shù)/（%）在[0,+8）內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍是

X2-（2〃+l）X+〃2+2,X><2

【解題總結(jié)】

己知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系

中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

題型九：零點(diǎn)嵌套問題

【例9】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（無）=（尤/）2+（°-1）（迎，）+1”有三個(gè)不

同的零點(diǎn)不，々，不淇中不＜々＜七，則（1-占洲）（172/2）（1_鼻*）2的值為（）

A.1B.（6?—I）2C.—1D.1—a

【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（ax+lnx）（x-lnx）-尤2,

有三個(gè)不同的零點(diǎn)，（其中玉＜%＜當(dāng)），則的值為

A.a—1B.1—ciC.-1D.1

【對點(diǎn)訓(xùn)練291（2024?遼寧?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)

〃%）=9（lnx）2+（a-3）xlnx+3（3-a）無之有三個(gè)不同的零點(diǎn)J々，x3,且

玉<1<%<冗3，貝”3—的值為（）

A.81B.-81C.-9D.9

【對點(diǎn)訓(xùn)練301（2024*重慶南岸-高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義在R

上的函數(shù)，（%）滿足/（x）=9尤2+（〃-3）xex+3（3-a）e2x有三個(gè)不同的零點(diǎn)七,%，%，且

D.-9

【解題總結(jié)】

解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

題型十：等高線問題

—x—2xxW0

【例10】（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù),二一

|lnx|,x>0

①若方程〃x）=a有四個(gè)不同的實(shí)根毛，巧，尤3，Z，則可?尤2，彳3，匕的取值范圍是（0,1）

②若方程有四個(gè)不同的實(shí)根毛，巧，W，Z，則可+々+退+匕的取值范圍是

（0,+oo）

③若方程/（X）=依有四個(gè)不同的實(shí)根，則〃的取值范圍是13

④方程/（x）-1+￡|/（尤）+1=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1,2,3,6

四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

+Y<（~）

【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=:/一八，若方程

|log2x|,x>0

/（力=。有四個(gè)不同的解%,乙,%，匕，且無1<%<工3<%，則三G+xJ+j：的取值范圍是

九3，玉?

（）

A.（-1,1]B.[-1,1]C.[-1,1）D.（-1,1）

【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024?四川瀘州?高一四川省瀘縣第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

[log?尤,|0〈尤V3

=h210c，若方程/（尤）=7%有四個(gè)不同的實(shí)根毛，巧，馬，匕，滿足

—x-----%+8,x>3

133

占<尤2<W<無4，則6"I43）的取值范圍是（）

玉馬

A.(0,3)B.(0,4]C.(3,4]D.(1,3)

茗,1

【對點(diǎn)訓(xùn)練331（2024?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)五無）=<I,若互不

—X+1,x>1

I2

相等的實(shí)數(shù)也，X2,X3滿足/（%/）=f（X2）=f（X3）,則的取值范圍

是（）

os

A.)B.(1,4)C.(a,4)D.(4,6)

42

【解題總結(jié)】

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法

題型十一：二分法

【例11](2024