廣西河池市校聯(lián)體2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)聯(lián)考（12月） 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣西河池市校聯(lián)體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)考（12月

）數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知拋物線。:必=4x的焦點(diǎn)為尸，拋物線上的點(diǎn)M（2,2板）到焦點(diǎn)廠的距離為

（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知直線4：x-y-l=0，：x-y+l=0,貝I"與人的距離為（）

A.1B.2C.y]2D.2>/2

3.若橢圓焦點(diǎn)在x軸上且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0,2）,c=3,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）

x2y2.x2j^2x2x2y2

9413449413

4.已知兩個(gè)向量2=（1,-1,2）,B=（2,x,y）,且Z//B，則％+歹的值為（）

A.2B.4C.6D.8

5.已知直線％-即+2=0平分圓。：爐+3_1）2=i的周長(zhǎng)，則。=（）

A.2B.4C.6D.8

22

6.已知拋物線產(chǎn)=6的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線,珠=1（6/0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線

的漸近線方程為（）

I八

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±—%D.y=±V3x

23

7.在直四棱柱中，底面/BCD為等腰梯形，

AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=AlA=4,￡為棱441的中點(diǎn)，則8月到平面ED耳的

n3廂

\J.-----------

10101010

22

8.已知雙曲線C:土-匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為不、月，A5是雙曲線上關(guān)于原

97

點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，并且|/同=2°,則V/8片的面積等于（）

A.6B.7C.8D.9

二、多選題（本大題共1小題）

9.已知直線4：x+ay+l=o,l2:（a-l）x+_v+fl=0,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。=1時(shí)，直線4的傾斜角為135。B.當(dāng)時(shí)，a=；

c.若〃〃2，則。=-1D.直線4始終過定點(diǎn)（-1,0）

三、單選題（本大題共1小題）

10.如圖，正方體/BCD-4452的棱長(zhǎng)為1，M是4G上的中點(diǎn)，以下說法正確

的是（）

A.4c的面積是定值力B.與痂同向的單位向量是

2

（46"逅）

「豆干三1

C.9與前夾角的余弦值為逅

D.平面/呂。的一個(gè)法向量是（1,L-D

6

四、多選題（本大題共1小題）

11.己知橢圓C:f1,耳，鳥上分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)/,6分別為它的左

右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)N（4,4）,點(diǎn)〃是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）

A.存在4個(gè)點(diǎn)〃，使得居=90°B.直線M4與直線MB斜率乘積為定值

_25

~~9

C.西1+西1有最小值三18D.IMVI+I孫I|的I取值范圍為[4技L14]

五、填空題（本大題共3小題）

12.已知直線，過點(diǎn)（1,2）,傾斜角為45。，則直線，的縱截距為

13.已知圓x2+y2-2x+6y=/-10（r>0）與直線x-y+l=O相切，則廠=

22

14.雙曲線c：土-2L=i的離心率為_______.

m3m

六、解答題(本大題共5小題)

15.已知V/8C的頂點(diǎn)分別為A(2,2),8(4,-2),C(-6,2).

(1)求3C邊的中線所在直線的方程；

(2)求8C邊的垂直平分線所在直線的方程.

22

16.已知橢圓C：三+A=l(a>6>0),〃為橢圓上一點(diǎn)，片，耳分別為它的左右焦

點(diǎn)，〃到不，月距離之和為4,離心率e=".

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線Ay=x-l與橢圓交于46兩點(diǎn)，求|力團(tuán)的長(zhǎng)以及三角形力四面積.

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，側(cè)棱尸4,底面/BCD,ABX.BC,且P/=2,

AB=BC=也,AD=CD=45,E為尸C中點(diǎn).

R

⑴求點(diǎn)C到平面￡4。的距離；

(2)求平面P8C與平面E4D夾角的正弦值.

22

18.己知圓G：x~+y+2x—Ay+1=0,圓C2:x+y~—4x—5=0.

(1)證明兩圓相交，并求兩圓公共弦長(zhǎng)；

(2)已知過點(diǎn)(0,1)的直線，與圓G交于46兩點(diǎn)，且求直線，的斜率.

19.設(shè)拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，已知點(diǎn)尸到圓氏(x+曰+V=1上一點(diǎn)

的距離的最大值為2.

(1)求拋物線C的方程；

22

(2)已知耳凡是雙曲線上-匕=1左右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)月的直線/與C交于M,N兩點(diǎn)

22一

.證明：納區(qū)=坦臣.

參考答案

1.【答案】C

【詳解】解：由焦半徑公式得：|MW=x°+5=2+l=3.

故選：C.

2.【答案】C

-1-1廠

【詳解】由題意得，4與4的距離d=%4=后,

VI2+12

故選：C

3.【答案】B

【詳解】橢圓焦點(diǎn)在x軸上且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0,2）,所以6=2,

又c=3,貝ij/=/+。2=4+9=13,

22

所以橢圓方程為二+匕=1,

134

故選：B.

4.【答案】A

【詳解】因?yàn)椤?/5，所以:=5=9，解得無=-2/=4,

所以x+y=2.

故選：A.

5.【答案】A

【詳解】由/+3-1）2=1,可得圓心為（0,1）,

因?yàn)橹本€》-以+2=0平分圓/+（”1）2=1的周長(zhǎng)，

所以直線過圓的圓心，則0-。+2=0,解得。=2.

故選：A

6.【答案】D

【詳解】已知拋物線/=16x的準(zhǔn)線為x=-4,

22

所以雙曲線,-a=1（6/°）的一個(gè)焦點(diǎn)為（一4°），

所以4+6?=4"解得/=12,

22

所以雙曲線,-3=1的漸近線方程為＞=±屈.

故選：D.

7.【答案】B

【詳解】底面移制為等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,

如圖，在底面/員初中，過點(diǎn)2作。48,垂足為〃，

以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以而，反,兩所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系D-xyz.

則。(0,0,0),5(6,3,0)中(右,3,4),頤白,-1,2),

可得函=(6,3,4),反=(6,-1,2),麗=(0,0,4),

n-DBX=A/3X+3y+4z=0

設(shè)平面ED目的法向量為方=(x,y,z),貝°

n-DE=Gx-y+2z=0

令y=C,貝！Jz=-2/x=5,

可得平面EDBX的一個(gè)法向量為力=(5,6,-2⑹,

設(shè)BB,到平面￡處的夾角為，?[(J,

可得3。=加―而夕=場(chǎng),所以3月到平面EDq的夾角余弦值為我.

1010

故選：B.

8.【答案】B

【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性以及A,8是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)可知，A,

B,。三點(diǎn)共線，

連接""AF2,BF、,BF2,|/@=2C=|片閭，則四邊形";8月為矩形，

所以瓦"忸胤=|/閭，

22

由雙曲線。：土-匕=1可得。=3,

97

則c=y/a2+b2=J9+7=4，

所以|郎=閨閶=2c=8,所以|必「+忸周2=?陰2=,

又設(shè)國-忸/=||/用-|盟|=2a=6,

所以|盟「+|明「-2|4酬明|=36,解得|期||母;|=14,

所以凡郎/媼忸用=7.

故選：B.

9.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=1時(shí)，直線/］：x+y+l=O,斜率左=一1,則傾斜角為135。，故

A正確；

對(duì)于B,4,右等價(jià)于。-1+。=。，解得。=g，故B正確；

對(duì)于C,若〃4,貝壯(。一1)一1=。且。N。一1,故“=上好，故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D,/|：x+即+1=0,當(dāng)y=0時(shí)x=-l,所以直線4恒過(-1,0),故D正確.

故選：ABD.

10.【答案】C

【詳解】對(duì)A：???M在4G上且4GP/C,

到的距離等于4G到nc的距離，則為定值1,

.?.S,=-X1XV2=—,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

1V/MW/4IUC22

對(duì)B：因?yàn)榻⒉煌目臻g直角坐標(biāo)系，與商同向的單位向量的表示方法會(huì)不同

,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

同理，D選項(xiàng)也不對(duì).

如圖所示建系，A1,0,0),B(l,1,0),,0(0,0,0),(1,1,1),MQ1,11

C,

---------ri

D：..........L-JCfe

4111_______K

■工B

對(duì)c：方=(0,1,0),加=&q,i],

7~7377T7\_AB-DM_2_&

cos(A.B.——?----?—.——一,故C選項(xiàng)正確;

\AB\\DM\lx/16

故選：c

11.【答案】AD

22

【詳解】對(duì)于A中，由橢圓C：二+2=1,可得。=5/=3,c=4,

259

由6<c<。，以。為圓心，6月為直徑的圓，與橢圓。有4個(gè)交點(diǎn),

所以存在4個(gè)點(diǎn)〃，使得/￡崢=90。，A選項(xiàng)正確;

2225

對(duì)于B中，設(shè)物x,y),則工+匕=1,且4-5,0),3(5,0),可得f-25=-工/,

2599

119

kk_yy_y_y_

則也?切B-3?三一4石--五為定值，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

—y

9

對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得I孫|+現(xiàn)名|=10,

則占+占（叼+肛）=12+修+叫

VI111217

\MF}\\MF2\|A^|J101\MF\

\MFA\MFSIIII

當(dāng)且僅當(dāng)扁=今昌時(shí)，即|姐|=|孫1=5時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

?11|"戶2|

對(duì)于D中，由點(diǎn)兒在橢圓外，設(shè)直線嶼,入百與橢圓相交于乂,乂，

如圖所示，則（|跖V|+|M%=|N闿+|N]N|=|g|="（4+4）2+42=4后,

因?yàn)閨N同=4,且|MV|+|町|=2。+|〃乂|一慳段=10+|〃乂|-四局,

可知即|出|-|5|<4,當(dāng)〃與外重合時(shí)，等號(hào)成立,

所以（|MV|+|M|L=10+同時(shí)一回聞=10+|"|=14,

所以|ACV|+|孫|e[46,14],所以D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

12.【答案】1

【詳解】由題意知，斜率為tan45°=l,則直線方程為尸2=x-l,令即x=O,〉=l,

直線1的縱截距為1.

故答案為：1.

13.【答案】巫

2

【詳解】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+5+3)2=/&>0),

所以圓心為(1,-3),半徑為「，

|1-(-3)+1|5V2

依題意，廠

5V2

故答案為:

2

14.【答案】2或38

3

=加力2=3優(yōu)，所以0=止于=2.

【詳解】當(dāng)加>0,a2

y/m

y/-m-3m2A/3

當(dāng)加<0,/=-3m,b1=

3

故答案為：2或空.

3

15.【答案】(l)2x-3y+2=0

(2)5x-2y+5=0.

【詳解】(1)設(shè)8C中點(diǎn)的坐標(biāo)為。(%,%),貝|%="=一1,%=二一=0,所

以。(-1,0),

3C邊的中線/。過點(diǎn)42,2),D(-l,0)兩點(diǎn),

,2-02

所以《二E

3

7

所以4。所在直線方程為V-0=§(x+l),

即2x-3y+2=0；

(2)因?yàn)锽C的斜率左=--=——=——f

-6-4105

所以5C的垂直平分線的斜率左=：,

所以5C的垂直平分線所在直線的方程為歹-0=g(x+l),

即5x-2y+5=0.

丫2

16.【答案】⑴土+歹2=1；

4

⑵字+

【詳解】(1)依題意，2a=4,則。=2,由離心率6=",得e

2a2

得6=1,

所以橢圓C的方程為主+/=1.

4-

y=x-l

o

⑵由，X22消去V得5X2-8X=0,解得天=0,超=9,

——+y-=15

14'

7

則弦長(zhǎng)|481=71+1-|XI-X2|=容；

|0-0-1|

原點(diǎn)。到直線，：V=xT距離為：d=

#+（-1）22

所以三角形4。6面積：S=-\AB[d=-x^x^=-

2112525

4

17.【答案】⑴§

⑵叵

9

【詳解】(1)設(shè)AC與BD交點(diǎn)、為O,連接。E,貝IJOE〃0/,所以平面43CQ

所以O(shè)C,OD,OE三條直線兩兩互相垂直，

以O(shè)C,OD,OE所在的直線分別為1,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Oxyz,

由題意知OA=1,OD=2,

則/(—1,0,0),5(0,-1,0),C(l,0,0),Z)(o,2,0),尸(一1,0,2),￡(0,0,1),

通=(1,2,0),通=0,0,1),

設(shè)平面反4〃的法向量為元=(xij”zj,

[h萬-A.D通=二2++2Kz='。0’可取M/IT、，

AC-n44

又就二(2,0,0),則點(diǎn)。到平面瓦!〃的距離：d=

\n\J4+1+43，

(2)PD=(1,2,-2),石=(1,2,0),PS=(1,-1,-2),5C=(1,1,0),

設(shè)平面加，的法向量為應(yīng)=(工2，%/2),

,?

m?PB=x7-y7-2Z9=0(、

則-222,可取加=(1,-M),

m?BC=/+%=0

———玩?五—1_V3

所以COS加,〃=I_||=~f=一7==-，

網(wǎng),同<3xV99

所以平面用C與平面以2夾角的余弦值為如，

9

所以平面用C與平面￡42夾角的正弦值為叵.

9

18.【答案】(1)證明見解析，呸叵

13

⑵1-拒或i+VL

【詳解】(1)如圖：

圓。1化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(彳+1)2+(了-2)2=4,圓心G(-l,2),半徑4=2,

圓G化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-2『+/=9,圓心G(2,0),半徑々=3,

由比一馬|=I<IGGI=/4=JE<苒+^=5,所以兩圓相交，

兩圓方程作差得(x?+/+2x-4y+1)-(廠+/一4x-5)=6x-4y+6=0.

即公共弦所在直線的方程為3x-2y+3=0.

|3x(-l)-2x2+3|4A/B

圓￡的圓心到公共弦所在直線的距