高中數(shù)學專項復習：立體幾何中的最值問題（解析版）

第三篇立體幾何

專題07立體幾何中的最值問題

常見考點

考點一最大值問題

典例1.如圖，在VABC中，AC=3C=1,ZACS-120°,。為VABC的外心，PO1

平面ABC,且PO=逅.

2

⑴求證：3?！ㄆ矫鍼AC；

⑵設平面P4?n面PBC=/,若點”在線段尸C（不含端點）上運動，當直線/與平面

所成角取最大值時，求二面角A-O的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵羋

2

【解析】

（1）

如圖，連接。C,交于點O,。為AMC的外心，

所以6M=O3=OC,又因為AC=BC=1,所以△CMC三△OBC,

所以ZACO=ZBCO=~ZACB=60°,

故AOAC和AOBC都為等邊三角形，可得。4=AC=CB=BO=1,

即四邊形OACB為菱形，所以O3Z<4C；

又ACu平面PAC、02<Z平面PAC,

所以50〃平面尸AC,

⑵

因為3C〃49,BCa平面尸Q4,AOu平面PQ4,所以8c〃平面PQ4,

因為3Cu平面P3C,平面尸4。八平面PBC=/,所以3C/〃.

如圖，以點。為原點，分別以ZM,QC所在的直線為x,＞軸，過點。垂直于面ACBO

的直線為z軸建立空間直角坐標系,

則,一，o,o],cfo,1,olA|^-,O,O,o[o,-1,0

I2)\2J(2

uuoUUL「uun

所以5C=BA=(V3,0,0)PC=一5萬）

uuuuuuuUUUUUIU

因為點M在線段PC不含端點）上運動,所以PM//PC,設PM=4PC，

uuiruurumr(i./A、

所以3=3尸+尸M=[5-4—5，號(1—2))設平面.的法向量為%=(&%，4),

「ruuv

勺-BA=玉=0

貝!

1r肥下22-11,、八

,BM=—Xj+—-—yl+-(l-A)z1=0

1-22

可得：占=0,令％=2可得Z[=,所以先=0,2,

1-2

所以直線/與平面畫所成角。的正弦值為:

ruuin

ruumnx-BC

sma=cosnvBCy-fflH-

同BC

即當％=g時直線/與平面ABM所成角取最大值.

uun

r731UUW(也瓜、

此時％=(0,2,0),所以03=-+*,0BM=—,0,—

I227

設平面OBM的法向量為%Z?）,

翳"*2+卜=。

令%2=1,%=，z?——^2,

蹴人=*2+%2=0

友?n26A/2

所以3=(1,6-V^),所以cos(X幻=2

同陽2x762，

設二面角A-BM-O的平面角為巴貝hos6=，？,

2

變式1-1.如圖，在正三棱柱ABC-4片￡中，A2=A4,=2,點。在邊3c上，E為Bg

的中點.

(1)如果。為BC的中點，求證：平面網(wǎng)E〃平面GD4；

(2)設銳二面角耳-AG”/的平面角為a,/=幾占，六1,1,當力取何值時，

cosc取得最大值？

【答案】(1)證明見解析

⑵八1

【解析】

【分析】

(1)利用幾何法證明，若要證明面面平行，只要證明其中一個平面中的兩條相交直

線平行于另一個平面即可；

(2)建立如圖所示空間直角坐標系，利用法向量來求二面角的大小即可得解.

(1)

證明：在正三棱柱ABC-A再G中，

因為。，E分別為BC,耳￡的中點，所以田紗。，

所以四邊形8OGE為平行四邊形，所以8E〃Z)G，

又因為BE.平面GD4,r)Gu平面GD4,

所以BE〃平面GD4,同理可證AE//平面GOA,

\E[\BE=E,AtE,BEu平面所以平面砌石〃平面GOA；

⑵

以4為坐標原點，/方向為y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

小

則4（0,0,0）,B（V3,l,0）,C（0,2,0）,5,（73,1,2）,Q（0,2,2）,

所以演=（6,-1,0）,麗=（6,1,2）,離=（0,2,2）,AC=（0,2,0）,

設平面AgG的法向量為根=(n,y,z),

（ruuir

m?ABX=0,

則ruuur即

m-AC1=0,

令z=-乖）,得y=6,x=l,所以加=（l,g,-/），

UUUUULUUU

UUIUUUL^AD=ACB+AC

由CD=XCB，1,1,

rruum

〃AD=0,+（2-4）力=0,

設平面GD4的法向量為E=(a,Z?,c),<

ruuur即

n-AC1—。，2b+2c=Q

l2-2-一，百,

令c=7i,得b=6,a=~r~9所以〃=

A-

ia_o

由5/，得一r_G[_3,-l],

_，」/t

因為銳二面角q-AC的平面角為a(cosa>0),

irr

m,n

所以cosa=-w~~r-

m?n

令”^+6,則te[3,5],故—=/6,

XA

t-J

所以8d而Ek-k"

令〃=；eI，|,則〃〃)=42"-12〃+1在I，|上單調遞增,

所以…二西1而在「孱11〔]上單調遞減，

當〃=g,此時久=1,即點。與點3重合時，cosa取得最大值.

變式1-2.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側棱SA，底面ABC。,

AB垂直于AO和BC,5A=AB=3C=2,AD=1,M是棱S3的中點.

⑴求證：A"〃平面SC。；

(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值；

(3)設點N是線段CD上的動點，MN與平面SA3所成的角為，，求sin。的最大值.

【答案】(1)證明見解析

(2)當

⑶半

【解析】

【分析】

(1)建立空間直角坐標系，利用向量法證得AMH平面SCD.

(2)利用向量法求得平面SCO與平面所成的角的余弦值.

(3)設出N點的坐標，求得sin。的表達式，結合二次函數(shù)的性質求得sin。的最大值.

(1)

&4,底面所以&

由于AB_LAD,所以SA,A3,AZ)兩兩垂直，

以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,0,0),C(2,2,0),0(1,0,0),5(0,0,2),"(0,1,1),

.-.AM=(0,1,1),SD=(l,0,-2),歷=(-1,-2,0).

設平面SCD的法向量為?i=(x,y,z),

(uuvv

SD-n=0(x—2z=Q

則Juinv;-'?]0n，

CDn=0[-x-2y=0

令z=l,得日=(2,-1,1)是平面SCD的一個法向量.

-：AMn=G,AM±n?

???A隹平面SCD,

〃平面SCD.

⑵

平面SAB的一個法向量為加=(1,0,0),

設平面SCD與平面SAB的夾角為夕，

2

則coscp=

A/6x13

平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為好.

3

(3)

由題可設N(x,2x-2,0)("xV2),

貝?。蓰?(x,2x-3,-l).

平面SAB的一個法向量為加=(1,0,0),

irumr

sin。=

V5X2-12X+10

—12x—F5

7

屈

變式13如圖,在正四棱錐S-ABCD中，點。，E分別是80,8C中點，點廠是SE

上的一點.

(1)證明：OF1BC；

(2)若四棱錐S-ABCD的所有棱長為2夜，求直線。尸與平面SDE所成角的正弦值的

最大值.

【答案】(1)證明見解析

(2)—

11

【解析】

【分析】

(1)作出輔助線，證明線面垂直，進而證明線線垂直；(2)建立空間直角坐標系,

利用空間向量進行求解.

(1)

如圖，連接SO和OE,

因為S-ABCD是正四棱錐，所以S。，平面A8CD,

又因為3Cu平面ABC。，所以SOLBC

因為ABCO是正方形，所以OCJ_BC,

又因為點。，E分別是80,BC中點，所以OE〃DC,

所以OEJ_3c

又因為OEcSO=O,OE、SOu平面SOE,

所以BC,平面SOE,

因為OPu平面SOE,所以OP,8c.

(2)

易知OB,OC,OS兩兩相互垂直，如圖，以點。為原點，OB,OC,OS為x,y,z

軸建立空間直角坐標系，

因為四棱錐S-ABCD的所有棱長為2應，所以題＞=4,SO=2,

所以0(0,0,0),5(0,0,2),￡＞(-2,0,0),￡(1,1,0),

設麗=2蔻(0＜彳＜1),得產(chǎn)(442-22),則

麗=（一2,0,-2）,DE=（3,1,0）,OF^（A,A,2-2A）

設平面ME的法向量為釘=（尤,y,z）,則

（7UUV

n-SD=-2x-2z=0z=-x-

<Vuuw，解得「31取E得"=（1,-3,-1）,

n-DE=3x+y=0

設直線與平面SDE所成角為。，則

|V皿

Ivup\n-OF

sin。=cosn,OF\=,晨

?1\n\-\OF\7TT-^22+22+|2-22|2

=7~（0<A<l）,

A/11-V6A2-82+4

當'=-/=|時’6萬-84+4取得最小值j此時sin。取得最大值胃.

考點二最小值問題

典例2.如圖，在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊

形3FEZ)為矩形，BF=1,平面5FED_L平面ABCD

(1)求證：平面

(2)點P在線段上運動，設平面與平面ADE所成的夾角為。，試求。的最小

值.

【答案】(D證明見解析

⑵2

【解析】

【分析】

(1)由已知條件可得再由平面加ED,平面ABCD,可得DEL平面AD8,

則DE_L4),然后由線面垂直的判定定理可證得結論，

(2)由于AD_LBD,DELAD,DE±DB,所以建立直線DA,DB,DE為x軸，y

軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標系，令EP=2(0VXW后)，然后利用空間向量求

解即可

(1)

證明，在梯形ABC。中，

,?AB//CD,AD=OC=C3=1,/BCD=120°,

，ZCDB=ZCBD=30°,ZADC=ZDCB=120°,

ZADB=90°,ADLBD.

又?平面3FEDJ_平面ABC。，平面BFEDc平面ABCD=3￡>,DE±DB,

<￡)E_L平面A￡>8,DE±AD.

又,/BDcDE=D,ADY平面BDEF.

(2)

由(1)可知AD_LBD,DELAD,DEYDB.

可建立直線ZM,DB,DE為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標系，令

EP=A(0<2<V3),則

0（0,0,0）,4（1,0,0）,B（0,60）,P（0,2,l）,

AAB=（-1,73,0）,而=（（U-道,1）

-x+y/3y=0

、一nx-AB-0

設“=（%,y,z）為平面/MB的法向量，由腓0,得＜

（4-6）y+z=0

取y=l,%=（6,1,6-九）

UU

=（0,1,0）是平面的一個法向量，二

?.?OV/lwG，.?.當2時，cos。有最大值?二。的最小值為?

變式2-1.如圖，在VABC中，AB=1,BC=2五,B=~,將VABC繞邊A3翻轉至

△ABP,使面VABPL面VABC,。是BC的中點.

(1)求二面角尸-3C-A的平面角的余弦值；

(2)設Q是線段以上的動點，當PC與。。所成角取得最小值時，求線段AQ的長度.

【答案】(1)事

(2)|石

【解析】

【分析】

(1)延長R4,過點尸作PEL&L,垂足為E,過點E作E/U3C,垂足為尸,連接PF,

則NPFE是二面角尸-3C-A的平面角，再解三角形即得解；

(2)連接EC,以E為原點，由題得及」￡?，以￡B為x軸，EC為V軸，EP為z軸，建

2

立空間直角坐標系，利用向量法求出當2=1時，PC與。。所成的角最小，即得解.

(1)

解:

由題得AC?=l+8-2xlx2>/2xcos45r=5,:.AC=y/5.

所以cos/54c=[±亨=-@<0,所以的C是鈍角.

2xlxV55

延長3A,過點P作PELBA,垂足為E,過點E作比U8C,垂足為尸，連接PE,

則ZPFE是二面角尸-3C-A的平面角.

由題得尸E=20xcos45°=2=BE,

所以所=2*cos45°=0，

所以tanNPFE=1,cosNPFE=%

所以二面角尸-BC-A的平面角的余弦值為由.

3

(2)

解：連接EC,以E為原點，由題得EC，￡S,以￡B為x軸，EC為y軸，E尸為z軸，建

立空間直角坐標系，由題得5(2,0,0),A(l,0,0),E(0,0,0),C(0,2,0),設0ay,z),

AQ=2AP=2(-l,0,2),2e[0,1],即(xTV修)=(一九°，24),，。(1-40,22),

因為￡>(1,1,0),DQ=(-2,-1,2A),PC=(0,2,-2),

卜2-M=1,(1+2"

所以cos住房=

A/522+1x272叵V5力+1

2(1+2X)(2-5X)

令/⑷JI；；"=?！筣，，/V)=-(5/l2+l)2-

2

4r（A）=0,/le[0,l],.-.2=j.

Xe[O2,(時，/(2)>0,函數(shù)單調遞增，Xe(7jl)時，/VXO,函數(shù)單調遞減.

2

所以當九=彳時，/(㈤取最大值，此時PC與。。所成的角最小，

變式2-2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為矩形，底面ABCD,設平面SAD與平

面SBC的交線為根.

(1)證明：mlIBC,且7"，平面SDC；

(2)已知SD=AD=OC=2,R為加上的點求S3與平面RCZ)所成角的余弦值的最小

值.

【答案】(1)證明見解析；(2)息.

3

【解析】

【分析】

(1)先由BC/MD證明5c〃平面皿)，再由線面平行推線線平行，可得m//BC；

由S_DJL,BC,1可得BC_L平面SDC,再由m/ABC,即得證；

(2)建立空間直角坐標系，計算平面R8的法向量，表示S3與平面RC?所成角,

計算最值即得解

【詳解】

(1)由題意，四棱錐S-ABCD的底面為矩形，可知3C/MT),

又3cz平面SAP,ADu平面SAC

所以3c〃平面

又加為平面240與平面SBC的交線，且BCu平面S3C,故m/ABC

因為SDL底面45cD,BCu平面A5CZ),所以SDLBC,

又BCLDC,且Sr>nr>C=D,

所以3CL平面SDC,

又mUBC,所以加，平面SDC

(2)

由(1)可知，DS,DA,DC兩兩互相垂直，以。為坐標原點，DA，比,麗的方

向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D-xyz

0(0,0,0),5(0,0,2),*2,2,0),C(0,2,0),因為點R在平面S4。內的機上，且欣/AD,

所以可設R(a,0,2)

SB=(2,2,-2),DC=(O,2,O),DR=(a,0,2)

設平面KCD的法向量為3=(x,y,z),則

「VUW

n-DR=ax-\-2z=Q[ax+2z=0-/、

<v即V可取〃=(—2,0,

n-DC=2y=0U=n。

設SB與平面HS所成角為e

rur

貝n-SB

|Jsin6=cosfrutr

nSB

因為當且僅當〃=2時等號成立

a+4

所以sin”如,cos0>2

33

所以S3與平面RCD所成角的余弦值的最小值為g

變式2-3.如圖，在梯形A5Q?中，AB//CD,AD=DC=CB=1,/BCD=120。,四邊

形3FED為矩形，平面3FED_L平面ABC。，BF=1.

(1)求證：8￡>_L平面AED,ADJ_平面BDEF；

(2)點尸在線段E尸上運動，設平面尸筋與平面AOE所成銳二面角為0,試求e的最

小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)y.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件轉化垂直關系，利用線面垂直的判斷定理，即可證明；

(2)分別以直線C4,CB,CE為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，令

EP=2(0<2<73),然后寫出各點坐標，求出平面B1B和平面ADE的法向量，由法

向量夾角與二面角的關系求得cose(為幾的函數(shù))，由函數(shù)知識可得最小值.

【詳解】

解：（1）證明，在梯形A5CD中，

VAB//CD,AD=Z）C=CF=1,ZBCD=120°,

工NCDB=ZCBD=30°,ZADC=NDCB=120°,ZADB=90°,/.ADLBD.

\,平面跳ED_L平面ABC。,平面毋EDc平面ABCD=3D,DEu平面BFED,DE±DB,

又；4）門。e=。，，BD_L平面ADE.

又四邊形SDEF是矩形，EDA.BD,二ED_L平面A5CD,EDYAD,

'：ED^}BD=D,AD_L平面3￡）￡F.

（2）由（1）可建立直線DA,DB,￡（E為x軸，V軸，z軸的如圖所示的空間直角

坐標系，令EP=2（00V⑹，則0（0,0,0）,A（l,0,0）,8（0,60）,P（0,2,l）,

ruw

r-x+百y=0

_n}-AB=0

設％=（x,y,z）為平面BIB的法向量，由<i?群°，得<

（4-6）y+z=0

取、=1,貝I]%=（"1,百-幾）.

?.?第=（0,1,0）是平面4￡見的一個法向量，，

V0</<V3,...當2=6時，cos。有最大值，夕的最小值為

鞏固練習

練習一最大值問題

1.如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，AB=3C,點A在平面A3C的射影為線段AC

的中點，側面eGC是菱形，過點穌民。的平面a與棱AG交于點E.

B

(1)證明：四邊形2與ED為矩形；

(2)求CB,與平面ABB^所成角的正弦值的最大值.

【答案】⑴證明見解析

⑵|

【解析】

【分析】

(1)由已知線面平行的判定定理得到BXBH平面A,ACC,,在運用面面平行的判定與性質

得四邊形8月￡。為平行四邊形.運用線面垂直判定定理可得80,平面ACGA,從而

得出結論.

(2)以。8,AC,AQ所在直線分別為x軸、y軸、Z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標系。-孫z,依題意得跳)=",分別求解平面A即A的法向量和啰的方向向量,

2

運用線面角的向量求解方法得到答案.

(1)

取AG中點為￡,連接耳￡,DE.

在三棱柱ABC-a4G中，側面AAB用為平行四邊形，所以4B//AA,

因為瓦8。平面44(?&,AAu平面AACG,所以8網(wǎng)/平面AACG.

因為42u平面B片。，且平面BBQc平面4ACG=DE,所以與B/ADE.

因為在三棱柱4BC-4月￡中，平面ABC〃平面ABC,平面BBQc平面ABC=,

平面88QC平面A4G=2F，所以BD〃"E,所以四邊形84助為平行四邊形.

在小ABC中，因為AB=BC,。是AC的中點，所以3DLAC.

由題可知平面至C,所以A.D1AC,

因為ACcAD=O,所以8。，平面ACGA,

所以所以四邊形2用為矩形.

(2)

由(1)知D8,AC,4。兩兩垂直，以DB,AC,4。所在直線分別為x軸、y軸、

z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。-乎.

設AD=1,BD=a,在△A41D中，M=2AD,Z^DA=9Q°,所以百，

所以￡>(0,0,0),A(0,-l,0),$(0,0,道)，B(a,0,0),則可=(0,1,石)，AB=(fl,l,0).

UUUUUIUUUIU/\

因為網(wǎng)0,1,6),所以。4=?！?。3=,』,。3),即用(0,1,6).

因為C(0,l,0),所以璃=(a,0,君).設平面小阻耳的法向量為心(x,y,z),

UUW

rvy=-杷z,

n?AA1=0,y+A/3Z=0

則＜v皿即'所以

n-AB=0,ax+y=0,x=正z.

a

令Z=〃，貝|y=—耳，X=6所以|=(6,一耳,4).

設C4與平面ABB^所成角為e,

ruuir

/FUUIIn-CBl

則sin6=cos(幾,CB]Ouuir

“C與，3+4〃2xJ/+3

2^3a26,262

=—―=———<——=—

J4/+9+.L2+^+15-^T53,

Va

當且僅當4/=，，即0=半時等號成立.

故C4與平面ABB.A所成角的正弦值最大為|.

2.如圖，在矩形A8CD中，M.N分別是線段A8、CD的中點，4)=2,AB=4,

將△ADM沿DW翻折，在翻折過程中A點記為P點.

(1)從△/的翻折至VNDM的過程中，求點P運動的軌跡長度；

(2)翻折過程中，二面角P-BC-。的平面角為仇求tan。的最大值.

【答案】⑴缶

⑵3

【解析】

【分析】

(1)取DM的中點E,則從△ADN翻折至的過程中，點P運動的軌跡是以

點E為圓心，AE為半徑的半圓，由此可求得點P運動的軌跡長度.

(2)由(1)得，連接AN,并延長交BC延長線于R過尸作尸OLEF,再過點。作

OG±BC,則/PGO就是二面角P—BC-O的平面角/^ZPEO=a,[0<a<7r),

PO-PEsina='J2sina,OF=3五-④cosa、OG=3-cosa,可得

tanZPGO=—=^^,令叵皿=左，運用輔助角公式和正弦函數(shù)的性質可求

OG3—cosa3-cosa

得最大值.

(1)

解：取。”的中點E,則從△ADM翻折至ANDM的過程中，點尸運動的軌跡是以點

E為圓心，AE為半徑的半圓，

因為AD=2,AB=4,所以AE=VJ,所以點P運動的軌跡長度為岳.

(2)

解：由(1)得，連接AN,并延長交3c延長線于憶ANLDM,折起后，有DMJL

面PEN,過P作POLE廠,則尸。，面DWBC,再過點。作OGL3C,則/PGO就

是二面角P-BC-D的平面角0,

設NP￡O=a,（0WaW?）,PO=PEsina=>/2sma，

OF=AF-AE-OE-4^2-0-0cosa-30-0cosa,OG=3-cosa,

/POV2sina

tanZPGO=——二------------------

OG3-cosa

令行sin"=kn6s0a+kcosa=3k,所以42+/sin（a+月）=34，所以T?「一TT」》

3-cosa72+k

解得-小〈

3.在四棱錐尸-ABCD中，以，平面ABC。，底面ABC。是直角梯形，其中AD//3C,

ABLAD,AB=AD=^BC=2,E為棱BC上的點，且BE=：BC.

（2）若二面角A-PC-D的平面角的正切值為求E4的長；

⑶在（2）的條件下，若。為線段尸C上一點，求8。與面尸CD所成角為。，求sin。的

最大值.

【答案】（1）證明見解析

Q）4

【解析】

【分析】

（1）如圖建系，設AP=a,求出詼、AC.Q的坐標，計算詼^O,DEAP=O,

可證明OELAC,DEYAP,由線面垂直的判定定理即可求證；

12

（2）設二面角A-PC-D的平面角為a，由圖知a為銳角，則tana、，所以cosa=^

分別求出平面PCD和平面PAC的一個法向量，利用空間向量夾角公式列方程求出。

的值即可求解；

（3）PQ=APC=（22,42,-4A）,貝I」皿=而+用=（22—2,42,4—44）,由（2）知平面

PC。的一個法向量元=11,T,利用空間向量夾角公式將sind'cos（麗，外表示為

關于2的函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質即可求解.

（1）

因為上4_L平面ABC。，AB,ADC\§\ABCD,所以24_LAB,PA±AD,

因為所以AB,AD,AP兩兩垂直，

如圖以A為原點，分別以所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

設AP=a,則A（0,0,0）,6（2,0,0）,C（2,4,0）,￡＞（0,2,0）,P（0,0,a）,E（2,l,0）

所以瓦=（2,-1,0）,AC-（2,4,0）,衣=（0,0,a）,

因為詼.衣=2x2-lx4+0=0,DEAP=0,所以詼_L/,DE±AP,

即OE_LAC,DEYAP,因為ACnAP=A,所以DEL平面PAC

（2）

由（1）知：OE_L平面PAC,取平面PAC的法向量龐=（2,-1,0）,

因為定=(2,4,-a),CD=(-2,-2,0),

設平面PCD的一個法向量為3=（x,y,z）,

尸。?為=2%+4y—az=0『「?\2,所以］=卜,-1,二2

由力.一2二尸?！t—z=—

aa

設二面角A-PC-O的平面角為a,且a為銳角,

則tana=；,所以cosa=q

所以*一\解DEnr總3廣飛2，

Va

整理可得：2.C4=3＞解得：。=4,所以帖的長為4.

Va

(3)

由(2)知叢的長為4,即a=4,

因為。為線段PC上一點，所以配//斤，設畫=2斤=(2彳,4%-4孫

所以麗=麗+迎=(-2,0,4)+(2444”)=(22-2,44,4-4/1),

平面尸CD的一個法向量元=11,-1,-￡|,

當幾=-7^^='|時，-1CU+5最小為jx1]-10x1+5=

4.如圖，在直角三角形A05中，NQ4S=30。，斜邊AB=4,直角三角形AOC可以

通過A08以直線AO為軸旋轉得到，且二面角8-AO-C是直二面角，動點O在斜邊

48上.

A

(1)求證：平面CODJ_平面A03；

(2)當。為AB的中點時，求異面直線A0與CD所成角的正切值；

(3)求8與平面A05所成角的正切值的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑵姮

3

⑶事

【解析】

【分析】

(1)證明4OC為二面角C-AO-3的平面角，然后證明C。，平面A05,得證面面

垂直；

(2)取中點E.連接CE,￡>E,證明異面直線A。與8所成角為NCDE(或其補

角)，在△EDC中計算其正切值；

(3)證明/CDO是CD與平面AOB所成角，求出0。的最小值即。到的距離即可

得結論.

(1)

證明：因為COLAO,BO1AO,所以/BOC為二面角C—AO—8的平面角，即

NCO3=90。，COYBO,

又AOCW=O,AO,8Ou平面A03,所以CO_L平面493,

因為COu平面COD,所以平面CO。，平面AOB；

(2)

解：取。3中點E.連接CE,DE,如圖，

因為。是AB中點，所以AO/ADE,所以異面直線A0與CD所成角為NCDE(或其補

角），

由已知CO_LAO,BOVAO,BOC\CO^O,3O,C。u平面BOC,所以AO,平面BOC,

而CEu平面BOC,所以AO_LCE,所以DE_LCE,

又AB=4,/Q4B=30。，所以O3=OC=2,AO=2從而OE=GOE=\,

CE=yICCP+OE2=V22+l2=A/5，

CE_V5_715

tanNADE=布=耳=亍

(3)

由(1)知CO,平面A03,所以/CDO是8與平面AOB所成角,

又。Du平面A08,則CO_LOO,

co2

tanZCDO=——

OD~OD

直角^AOB中，。到AB上點的距離的最小值為AB邊上的高即

OAxOB=業(yè)地,

AB4

2_2百

所以tanZCDO的最大值為

練習二最小值問題

5.如圖，A3CD為正方形，尸DCE為直角梯形，/電心=90。，平面ABCD，平面「DCE,

^.PD=AD=2EC=2.

.?.苑=（-2,0#,令直線8。與平面PDB所成角為a,

\BQAC4A/2A/W

sin。=1.=j—2/----.

\BQ\\AC78V?+4VF+45

6.如圖，在梯形A5c。中，ABI/CD,AD=DC=SC=1,ZABC=60°,四邊形ACEE

為矩形，平面ACFEL平面ABC。，CF=1,設點M在線段所上運動.

(1)證明：BCLAM-

（2）設平面跖記與平面廠CB所成銳二面角為e,求e的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）y.

【解析】

（1）由平面幾何知識，余弦定理可得BC_LAC.,再由面面垂直、線面垂直的性質

可得證；

（2）由（1）可建立分別以直線C4,CB,CP為無軸，,軸，z軸的如圖所示的空

間直角坐標系，令根=2（OWXW6）,由二面角的向量求解方法可表示

。?！岸　埂?4,由二次函數(shù)的性質可求得最值.

【詳解】

(1)證明：在梯形ABCD中，因為AB//CD,AD=DC=CB=1,ZABC=60°,

所以AB=2,AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos60°=3,

所以AB2=AC2+BC2,所以8CJ_AC.

因為平面Acm平面ABCD,^-^ACFE^^ABCD^AC,

因為3Cu平面ABC。，所以平面ACFE.所以8c；

（2）解：由（1）可建立分別以直線。1,CB,C/為x軸，》軸，z軸的如圖所示

的空間直角坐標系，

令9=則C（0,0,0）,A（山,0,0）,3（0,1,0）,M（A,0,l）.AB=（-^,1,0）,

uuu

設三=（x,y,z）為平面"AB的一個法向量，

n-AB=0-A/3X+y=0,

由取x=l,貝l]”=（1,百,石-2）,

n-BM=0寸Ax—y+z=0,

碗=。,0,0）是平面尸CB的一個法向量,

.cose」"川

【點睛】

向量法求二面角的步驟：建、設、求、算、取.

1、建：建立空間直角坐標系.以三條互相垂直的垂線的交點為原點，沒有三垂線時

需做輔助線;建立右手直角坐標系，讓盡量多的點落在坐標軸上。

2、設：設所需點的坐標，并得出所需向量的坐標.

3、求：求出兩個面的法向量.

4、算：運用向量的數(shù)量積運算，求兩個法向量的夾角的余弦值；

5、?。焊鶕?jù)二面角的范圍（。，句和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.

7.如圖，在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四邊形

BFED為矩形，平面BfED，平面ABC。，BF=1.

(1)求證：平面BWE。；

(2)點P在線段階上運動，設平面出3與平面ADE所成銳二面角為仇試求。的最

小值.

【答案】(1)證明見解析(2)。最小值為60。

【解析】

【分析】

(1)在梯形A8CO中，利用勾股定理，得到再結合面面垂直的判定，證

得DEL平面ABCD,即可證得平面BFED；

(2)以。為原點，直線ZM,DB,DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，求得平面陰B與平面ADE法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。

【詳解】

(1)證明：在梯形ABC。中，

'JAB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,.'.AB=2.

：.BD2=AB2+AD2-2ABADcos60O=3.

.".AB^AE^+BD2,：.AD±BD.

?.?平面BEE。，平面ABCD,平面BPE/m平面ABCD=BD,

BFED,DE1DB,：.DE±^^ABCD,

：.DE±AD,又DECBD=D,.?.ADd_平面BRED

(1)由(1)知，直線A。，BD,ED兩兩垂直，故以。為原點，直線ZM,DB,DE

分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

令石尸="0至於6)，則。(0,0,0),A(1,0,0),5(0,令,0),P(Q,九1),

所以15=(—1,石，0),gp=(0,2—73,1).

設知=(x,y,z)為平面的法向量，

由1,黑一：得‘。，取y=l,則"/=(百，1,

[niBP=0[A-yJ3y+z=0

因為〃2=（0』,0）是平面ADE的一個法向量，

4.〃21____1____

所以COS朗麗=M+1+7-力xl=

因為g左6，所以當4=百時，cos。有最大值3，所以6的最小值為60。.

本題考查了線面垂直關系的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學生的

空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理，

通過嚴密推理是線面位置關系判定的關鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往

往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

8.如圖，正方形ABC。邊長為1,E￡）_L平面ABC。，F(xiàn)B±^^ABCD,且ED=FB=1

IE,尸在平面ABCD同側），G為線段EC上的動點.

（1）求證：AG-LDF；

（2）求AG2+BG2的最小值，并求取得最小值時二面角B-AG-C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）最小值?，二面角3-AG-C的余弦值為等.

【解析】

【分析】

法一：（1）將幾何體補形為正方體，分別證明ACLDF,可得上，平面ACE,

即可證明結論；（2）建立空間直角坐標系，將AG2+BG2轉化為向量的模長問題，即

可求解AG2+8G2的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.

法二：（1）直接建立空間直角坐標系，用而?前=0證明AGJLDb；（2）將4行+3行

轉化為向量的模長問題，即可求解AG2+3G2的最小值，然后利用向量的方法求二面

角即可.

【詳解】

法一：（1）分別作40，平面A3C。，CNr^ABCD,^LAM=CN=1,順次連接E,

M,F,N,如圖，

易得幾何體ABCD-MRVE為正方體，連接應＞,二8DLAC,

VFBL^^ABCD,ACu平面ABCD,

FB±AC,又,：FBcBD=B,

FBu平面BDEF,3Du平面BDEF,

，AC_L平面3/比F,又〈DEu平面BDEF,AC1DF,同理可證尸,

又?.?ACcAE=A,ACu平面ACE,AEu平面ACE,

工￡）尸，平面ACE,：AGu平面ACE,/.AGIDF.

（2）?；EDJ_平面ABCD,AD±CD,故以。為原點，DA，DC,指的正方向為了軸,

。軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,由題意得,0（0,0,0）,4（1,0,0）,5（1,1,0）,

C（o,l,o）,E（0,0,l）,F（l,l,l）,

?.?3在0￡上，...設京=/1函（0W4W1）,則有

AG=AC+CG=AC+2CE=(-l,l,O)+2(O,-l,l)=(-l,l-^,2),

BG=BC+CG=BC+ACE=(-1,O,O)+2(O,-1,1)=(-1,-A,2),

AG2+BG2=|AG|2+|BG|2=l+(l-A)2+A2+l+r+A2

=4萬-2彳+3=4(；1」］+—,

I4j4

當且僅當幾=:時，AG2+8G2取得最小值?，

44

此時在平面ACG中，AC=(-1,1,0),C￡=(O,-l,l),