滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)：概率初步知識歸納與題型突破（9類題型清單）

第26章概率初步知識歸納與題型突破(題型清單)

01思維導(dǎo)圖

不可能事件

確定事件

必然事件

確定事件與隨機(jī)事件

隨機(jī)事件

用頻率估計解

概率初步

物體的視圖

初步認(rèn)識概率

由視圖到立體圖形

例表法

用列舉法求概率

樹狀圖

02知識速記

一、確定事件與隨機(jī)事件

1、確定事件

(1)不可能事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件.

(2)必然事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件.必然事件和不可能事件

都是確定事件.

2.隨機(jī)事件

在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件.

二、用頻率估計概率

通常，在多次重復(fù)實驗中，一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)

增多，擺動的幅度會減小，這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.

一般地，在一定條件下大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率工會在某一個常數(shù)附近擺動.

n

在實際生活中，人們常把試驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值.

三、初步認(rèn)識概率

1.概率

1

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小.一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值,稱為這個事件的概率（pwbab”辦）.

如果用字母A表示一個事件，那么P（A）表示事件A發(fā)生的概率.

事件A的概率是一個大于等于0,且小于等于1的數(shù)，即OS產(chǎn)（4）二1,其中尸（必然事件）=1,P（不可

能事件）=0,0＜P（隨機(jī)事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（隨機(jī)事件）＜P（必然事件）.

一個隨機(jī)事件發(fā)生的概率是由這個隨機(jī)事件自身決定的，并且是客觀存在的.概率是隨機(jī)事件自身的屬

性，它反映這個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.

四、用列舉法求概率

常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.

L列表法

當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通

常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和

方式，并求出概率的方法.

2.樹狀圖

當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱

樹形圖、樹圖.

樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次

數(shù)和方式，并求出概率的方法.

03題型歸納

題型一確定事件和隨機(jī)事件

例題：（24-25八年級上?四川成都?開學(xué)考試）下列說法中正確的是（）

A.打開電視機(jī)，正在播放廣告是隨機(jī)事件

B.某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票，一定有1張中獎

C.拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為g

D.任意一個三角形，其內(nèi)角和為360。是必然事件

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上.浙江杭州?階段練習(xí)）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.小明買彩票中獎

B.任意拋擲一只紙杯，杯口朝下

C.任意三角形的兩邊，其差小于第三邊

D.在一個沒有紅球的盒子里摸球，摸到了紅球

2

2.（24-25九年級上?浙江杭州?期中）下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（）

A.明天太陽從西方升起

B.從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球

C.奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心

D.擲一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0

3.（2024九年級上.全國?專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.兩個負(fù)數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件

B.“煮熟的鴨子飛了”是隨機(jī)事件

C.射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件

D.“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是2”是隨機(jī)事件

題型二用列舉法求概率

例題：（24-25九年級上?全國?單元測試）在1x2的正方形網(wǎng)格格點上放三枚棋子，按如圖所示的位置已放置

了兩枚棋子，若第三枚棋子隨機(jī)放在其他格點上，則以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角

形的概率為.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級下?遼寧?專題練習(xí)）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A,B,C,。和1個小燈泡，同時閉合開

D都可以使小燈泡發(fā)光.現(xiàn)隨機(jī)閉合兩個開關(guān)，小燈泡不發(fā)光的概率為.

2.（2023?廣東佛山?模擬預(yù)測）從一1,2,3這三個數(shù)中隨機(jī)抽取兩個數(shù)分別記為x,?把點M的坐標(biāo)記為

（x,y）,若點N為（5,0）,則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為

3.（23-24九年級上.貴州黔南?開學(xué)考試）小麗在學(xué)習(xí)法制和安全知識時遇到這樣一個題：王某在清明節(jié)祭

祀焚燒紙錢引起周邊草場著火，導(dǎo)致草場燒毀面積達(dá)900余畝，王某被依法予以行政拘留.此事件給我們

什么啟示？A春游時可以在野外燒烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不帶火種進(jìn)入林區(qū)；D不在山上燒黃

蜂、燒山趕野生動物.此題的正確答案為BCD,小麗在四個選項中隨機(jī)選擇三個選項，那么答對的概率是一

3

4.（2024.山東濰坊.中考真題）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍(lán)色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽

和筆芯顏色分別一致.完成手抄報后，她隨機(jī)地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色

都不匹配的概率是.

題型三幾何求概率

例題：（24-25九年級上?江蘇南京?期中）如圖，正方形內(nèi)接于O。，隨機(jī)向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)

飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方

形區(qū)域內(nèi)的概率是.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，將一個飛鏢隨機(jī)投擲到3x3的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分

2.（2024九年級上.全國.專題練習(xí)）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機(jī)停留在某塊方磚上,

那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是.

3.（24-25九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,WAABC

繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。后得到VABG，現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率

為.

4

B

4.（24-25九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正

方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接

大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為

現(xiàn)隨機(jī)向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為

題型四列表法或樹狀圖法求概率

例題：（24-25九年級上?河北保定?期中）如圖1,一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標(biāo)有數(shù)

字1,2,3,4.如圖2,正方形A3。頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每擲一次骰子，骰

子著地一面上的數(shù)字是幾，就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長.

如：若從圈A起跳，第一次擲得3,就順時針連續(xù)跳3個邊長，落到圈。；若第二次擲得2,就從。開始順

時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈8；…

設(shè)游戲者從圈A起跳.

（1）嘉嘉隨機(jī)擲一次骰子，落回到圈A的概率為；

（2）淇淇隨機(jī)擲兩次骰子，用列表法求最后落回到圖A的概率.

5

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?浙江杭州?期中）下圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)從A到8的電

路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠，每個元件正常工作的概率均為:，

當(dāng)某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路.

-EQZ_?B[WI-四

圖1圖2

（1）如圖1,只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為；

（2）如圖2,用2個電子元件①、②組成一個電路系統(tǒng)，求系統(tǒng)正常工作的概率.（用畫樹狀圖或列表方法求

解）

2.（24-25九年級上?山東青島?期中）某?？茖W(xué)社團(tuán)開展“我愛科學(xué)，強(qiáng)基有我”的分享活動，先將“A燃料燃

燒”“8電池充電”“C鏡花水月”“。冰雪消融”的圖案制成顏色、質(zhì)地、大小都相同的4張卡片（其中A、8主

要為化學(xué)變化，C、。主要為物理現(xiàn)象）.活動時學(xué)生根據(jù)所抽取的卡片分享相關(guān)科學(xué)知識.

A燃料燃燒B電池充電C鏡花水月D冰雪消融

抽取規(guī)則如下：4張卡片背面朝上洗勻，小云先從中隨機(jī)抽取一張，記錄下抽取的卡片，放回洗勻，小南再

從中隨機(jī)抽取一張.若他們抽取的兩張卡片上都是化學(xué)變化，則由小云分享；若他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ隙?/p>

是物理現(xiàn)象，則由小南分享；其他情況重抽.這個規(guī)則對小云和小南公平嗎？請用列表或畫樹狀圖法說明

理由.

3.（24-25九年級上?浙江湖州?階段練習(xí)）一起感悟讀書之美，推廣全民閱讀，建設(shè)“書香中國”，不負(fù)韶華

夢，讀書正當(dāng)時！我校對《三國演義》、B.《紅樓夢》、C.《西游記》、D.《水滸傳》四大名著開展“傳統(tǒng)

文化經(jīng)典著作”推薦閱讀活動.

（1）小胡從這4部名著中，隨機(jī)選擇1部閱讀，他選中《紅樓夢》的概率為.

（2）我校計劃從這4部名著中，選擇2部作為課外閱讀書籍，求《紅樓夢》被選中的概率.（請用畫樹狀圖或

列表等方法說明理由）

4.（24-25九年級上?山東青島?期中）某省運動會如期舉行，其中第二個比賽日包含排球、足球、體操以及

藝術(shù)體操4個項目.

現(xiàn)有四張關(guān)于運動項目的門票，門票的正面分別印有的圖案為A.“排球”、反“足球”、C.“體操”和D“藝

術(shù)體操”.將這四張卡片背面朝上（這四種門票的背面完全相同，A、B、C、。作為代號），洗勻：

6

⑴從中隨機(jī)抽取一張門票，抽到C的概率為；

(2)從中隨機(jī)抽取兩張，請你利用畫樹狀圖或列表格的方法，求兩張門票恰好是B和。的概率.

5.(24-25九年級上?陜西咸陽?期中)置換反應(yīng)是一種單質(zhì)與一種化合物反應(yīng)，生成另一種單質(zhì)和另一種化

合物的反應(yīng)，包括金屬與金屬鹽的反應(yīng)，金屬與酸的反應(yīng)等.某次化學(xué)實驗課上，老師帶來了Al,Zn,Cu,Ag

四種金屬.這四種金屬分別用四個相同的不透明的容器裝著，讓同學(xué)們隨機(jī)選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來制

取氫氣.(根據(jù)金屬活動順序可知，Al，Zn可以置換出氫氣，而Cu,Ag不能置換出氫氣)

(1)若從四種金屬中隨機(jī)選擇一種，選到Zn的概率是「

(2)甲同學(xué)從四種金屬中隨機(jī)選擇一種金屬進(jìn)行實驗，將四個容器的順序打亂，然后乙同學(xué)從四種金屬中再

隨機(jī)選擇一種金屬進(jìn)行實驗，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人所選金屬均能置換出氫氣的概率.

題型五利用概率判定游戲的公平性

例題：(24-25九年級上?云南文山?期中)為了舉薦九年級一班的小明和小亮代表班級在周一升旗時致辭，老

師準(zhǔn)備了如圖所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、B,每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每一個

扇形內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.規(guī)定：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，但轉(zhuǎn)盤停止后，兩個指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之和為奇數(shù)時，小

明致辭；數(shù)字之和為偶數(shù)時，小亮致辭，如果指針恰好停在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一

(1)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)這個規(guī)則公平嗎？請說明理由.

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25九年級上?河北保定?期中)4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1,2,3,4,將卡片的背面朝上，洗勻

后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標(biāo)號為1,2,3的3個小球，

這些球除標(biāo)號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標(biāo)號作為減數(shù).

(1)求這兩個數(shù)的差為。的概率；(用列表法或樹狀圖說明)

(2)如果游戲規(guī)則規(guī)定：當(dāng)抽到的這兩個數(shù)的差為非負(fù)數(shù)時，則甲獲勝；否則，乙獲勝.你認(rèn)為這樣的規(guī)則

公平嗎？請說明理由.

7

1234

10123

2-1012

3-2-101

2.(24-25九年級上?山西運城?期中)游戲是生活中有趣味的社交活動，是人類終身不可缺少的伴侶，更是

家庭歡樂的源泉.小剛父親和小剛二叔玩一種游戲，游戲規(guī)則：兩人只可以說出“木棒”、“老虎”、“公雞”、

，，小蟲，，中的任何一個，同時各說出一個后定勝負(fù)，其中“木棒”勝“老虎”、“老虎”勝“公雞”、“公雞”勝“小蟲”、

“小蟲”勝“木棒”.其它情況，則為平局.例如，小剛父親說“老虎”，小剛二叔說“公雞”,則小剛父親勝；又

如，兩人同時說“蟲子”，則為平局；再如，一人說“公雞”，一人說“木棒”，則為平局.

(1)每一次小剛父親說出“老虎”的概率是；

(2)如果用A,B,C,。分別表示小剛父親說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”；用A，耳，G，2分

別表示小剛二叔說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”，那么某一次說出時小剛父親勝小剛二叔的概率是多

少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明；

(3)你認(rèn)為這個游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔公平嗎？為什么？

3.(24-25九年級上?陜西咸陽?期中)如圖是一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成三等份，分別標(biāo)注數(shù)字轉(zhuǎn)

動轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動停止后，指針指向一個扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，此時稱為轉(zhuǎn)

動轉(zhuǎn)盤一次(若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉(zhuǎn)動的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個扇形的

內(nèi)部為止).

(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向奇數(shù)的概率是;

(2)嘉嘉和淇淇一起玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)則如下：兩人各轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，若兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字均為奇數(shù)，則嘉嘉獲勝；

若兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字為一個奇數(shù)一個偶數(shù)(不分先后)，則淇淇獲勝.請通過畫樹形圖或列表的方法說明該游

戲規(guī)則對雙方是否公平.

題型六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用

8

例題：（24-25九年級上?河北滄州?期末）為了回饋顧客，某商場在“五一”期間對一次購物超過200元的顧客

進(jìn)行抽獎返券活動.活動方案有二：

方案一：顧客分別轉(zhuǎn)動甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤各一次（甲盤的白色區(qū)域占;，乙盤的白色區(qū)域占;，其余均為黑色

區(qū)域），若轉(zhuǎn)盤停止時指針的指向為下表中的組合，則可按下表獲得贈券.

兩轉(zhuǎn)盤顏色（甲，乙）（\里八、、，里八、、/）（黑，白）（白，黑）（白，白）

中獎券金額0元10元20元50元

方案二：尊重顧客意愿，可以不經(jīng)過抽獎，直接領(lǐng)取10元贈券.

問題：

（1）方案一中，顧客獲得10元和50元贈券的概率分別是多少？

（2）如果你是顧客，你會選擇兩種方案中的哪一種？試通過計算給出合理理由.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024七年級下.全國?專題練習(xí)）一次抽獎活動設(shè)置如下的翻獎牌，翻獎牌的正面、背面如下，如果你只

能在9個數(shù)字中選擇一個數(shù)字翻牌，請解決下面的問題:

翻獎牌正面翻獎牌反面翻獎牌反面（備用圖）

⑴直接寫出翻牌得到“手機(jī)”獎品的可能性的大??；

（2）請你根據(jù)題意設(shè)計翻獎牌反面的獎品，包含（手機(jī)、微波爐、球拍、電影票，謝謝參與）使得最后抽到“球

拍”的可能性大小是已.

2.（24-25九年級上?遼寧錦州?期中）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.抽

獎規(guī)則如下：

1.抽獎方案有以下兩種：

方案A,從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機(jī)摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15

元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；

方案8,從裝有2個紅、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機(jī)摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金10元，

否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中.

9

2.抽獎條件是：

顧客購買商品的金額每滿100元，可根據(jù)方案A抽獎一次：每滿足200元，可根據(jù)方案2抽獎一次（例如

某顧客購買商品的金額為310元,則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據(jù)方案A抽獎三次或方案A,

B各抽獎一次）.

已知某顧客在該商場購買商品的金額為230元.若該顧客只選擇根據(jù)方案A進(jìn)行抽獎，求其所獲獎金為15

元的概率；

3.（22-23九年級上?河南平頂山?期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎酬賓活動，

凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：

方案一：是直接獲得20元的禮金卷；

方案二：是得到一次播獎的機(jī)會.規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A、B,這兩個轉(zhuǎn)盤

除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎?wù)咄瑫r轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割

線上時重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少.

指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)

禮金券（元）27927

A款B款

（1）請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率.

（2）如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為

實惠.

題型七用頻率估計概率

例題：（24-25九年級上?浙江衢州?期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：由此估計

這種蘋果樹苗的移植成活的概率為.

移植的棵數(shù)10020050010002000

成活的棵數(shù)811563958001600

10

成活的頻率0.810.780.790.800.80

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中）對一批燈泡進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計合格燈泡的只數(shù)，得到合格燈泡的頻率

見下表：

抽取只數(shù)/只501001505001000200010000

合格頻率0.820.830.820.840.840.840.84

估計從該批次燈泡中任抽一只燈泡是合格品的概率為.

2.（24-25九年級上?福建漳州?期中）在不透明袋子中有1個黃球、2個白球和7個紅球，這些球除顏色外無

3.（24-25九年級上?陜西商洛?期中）興趣學(xué)習(xí)小組對某品種的小麥在相同條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗，結(jié)果如表

所示：

試驗的麥粒數(shù)〃10020050010002000

發(fā)芽的麥粒數(shù)加911784509001820

發(fā)芽的頻率絲0.910.890.900.900.91

n

通過試驗，估計在這批麥粒中任取1粒能發(fā)芽的概率為.（精確到0.1）

題型八已知概率求數(shù)量

例題：（24-25九年級上?廣東珠海?期中）袋子里裝有紅、黃兩種顏色的小球，除了顏色之外小球的形狀、大

小、材質(zhì)完全相同，攪拌均勻后從袋中隨機(jī)摸出一個球是紅球的概率為也如果袋中有紅球有3個，則袋中

的黃球有個.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）一個紙箱中混裝有75顆白棋子和若干顆黑棋子，現(xiàn)將紙箱中棋子攪勻，并

11

從中取出36顆棋子，數(shù)得黑棋子有9顆，據(jù)此估計該紙箱裝有黑棋子約有顆.

2.（24-25九年級上?浙江金華?階段練習(xí)）在一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球4個，這些球除顏

色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球

的頻率在0.2,那么可以估算出m的值為.

3.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習(xí)）在一個不透明的袋子里裝有3個黑球和若干個白球，它們除顏色

不同外其余都相同.若每次搖勻后，從中隨機(jī)摸出一球，記下顏色后放回袋中，大量重復(fù)上述實驗后，發(fā)

現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在20%,則袋子中白球有個.

4.（23-24九年級上?陜西渭南?階段練習(xí)）一個盒子中裝有20顆藍(lán)色幸運星，若干顆紅色幸運星和15顆黃

色幸運星，這些幸運星除顏色外都相同.小明從中隨機(jī)摸出一顆幸運星記下顏色并放回，發(fā)現(xiàn)摸到紅色幸

運星的頻率穩(wěn)定在0.5,則可估計盒中紅色幸運星的顆數(shù)為顆.

題型九頻率和概率的綜合應(yīng)用

例題：（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）下表是某校生物興趣小組在相同的實驗條作下，對某植物種子發(fā)芽

率進(jìn)行研究時所得到的數(shù)據(jù)：

試驗的種子數(shù)〃100200500100020005000

發(fā)芽的粒數(shù)加94a47595419064748

發(fā)芽頻率”0.940.9550.95b0.9530.9496

n

（1）上表中的。=,b=.

（2）任取一粒這種植物種子，估計它能發(fā)芽的概率是.（結(jié)果精確到0.01）

（3）若該校勞動基地需要這種植物幼苗9500棵，試估計需要準(zhǔn)備多少粒種子進(jìn)行發(fā)芽培育？

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）某射擊運動員在同一條件下進(jìn)行練習(xí)，結(jié)果如下表所示:

射擊次數(shù)”10205010020050010002000

擊中10環(huán)次數(shù)m81944931784538991802

擊中10環(huán)頻率一

n

（1）計算表中擊中10環(huán)的各個頻率;

12

(2)這名運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為多少？

2.(24-25九年級上?陜西西安?階段練習(xí))在一個不透明的口袋里裝有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共5

個，這些球除顏色不同外，其他均相同.某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個球記下

顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù).下表是活動中的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)機(jī)5896116295484601

摸到白球的頻率絲0.580.640.580.590.6050.601

n

(1)請估計：當(dāng)〃很大時，摸到白球的頻率將會接近(精確到0.1).

⑵試估算口袋中白球的個數(shù).

3.(24-25九年級上?貴州貴陽?階段練習(xí))閱讀下列材料：模擬試驗是利用替代物模擬實際事物而進(jìn)行的試

驗.例如我們在估計6個人中有2個人生肖相同的概率時，可以用12個編有號碼、大小相同的球代替12

種不同的生肖，這樣每個人的生肖都對應(yīng)著一個球，6個人中有2個人生肖相同，就意味著6個球中有2個

球的號碼相同.因此可在口袋中放入這樣的12個球，從中摸出1個球，記下它的號碼，放回去；再從中摸

出1個球，記下它的號碼，放回去，……，直至摸到第6個球，記下第6個號碼，到此為一次模擬試驗.重

復(fù)多次這樣的試驗，即可估計6人中2人生肖相同的概率……；

小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組按照材料中所述的方法進(jìn)行了模擬試驗，他們重復(fù)了多次這樣的模擬實驗，根據(jù)

實驗結(jié)果制成的統(tǒng)計表如下：

實驗總次數(shù)5010020030050010001500

“有2個小球號碼相同”的次數(shù)38751602343958101185

“有2個小球號碼相同”的頻率00.750.800.780.79k

(1)表格中上的值為.

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可估算6個人中有2個人生肖相同的概率大約是.(精確到0.1)

(3)若要估計“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模擬試驗方法，則需要準(zhǔn)備個球，一

次模擬試驗需要記錄個號碼.

4.(24-25九年級上?江蘇南通?開學(xué)考試)在一個不透明的口袋里裝有顏色不同的黃、白兩種顏色的球共5

只，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù).下

13

表是活動中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)相5896116295484601

摸到白球的頻率絲0.580.640.580.590.6050.601

n

(I)請估計：當(dāng)〃很大時，摸到白球的頻率將會接近；(精確到0.1)

(2)試估算口袋中白球有多少只？

(3)請你設(shè)計一個增(減)袋中白球或黃球球個數(shù)的方案，使得從袋中摸出一個球，這只球是黃球的概率大

于是白球的概率.

14

第26章概率初步知識歸納與題型突破(題型清單)

01思維導(dǎo)圖

不可能事件

確定事件

必然事件

確定事件與隨機(jī)事件

隨機(jī)事件

用頻率估計解

概率初步

物體的視圖

初步認(rèn)識概率

由視圖到立體圖形

例表法

用列舉法求概率

樹狀圖

02知識速記

一、確定事件與隨機(jī)事件

1、確定事件

(1)不可能事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件.

(2)必然事件

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件.必然事件和不可能事件

都是確定事件.

2.隨機(jī)事件

在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件.

二、用頻率估計概率

通常，在多次重復(fù)實驗中，一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)

增多，擺動的幅度會減小，這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.

一般地，在一定條件下大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率里會在某一個常數(shù)附近擺動.

n

在實際生活中，人們常把試驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值.

三、初步認(rèn)識概率

1.概率

15

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小.一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值,稱為這個事件的概率（pwbab”辦）.

如果用字母A表示一個事件，那么P（A）表示事件A發(fā)生的概率.

事件A的概率是一個大于等于0,且小于等于1的數(shù)，即OS產(chǎn)（4）二1,其中尸（必然事件）=1,P（不可

能事件）=0,0＜P（隨機(jī)事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（隨機(jī)事件）＜P（必然事件）.

一個隨機(jī)事件發(fā)生的概率是由這個隨機(jī)事件自身決定的，并且是客觀存在的.概率是隨機(jī)事件自身的屬

性，它反映這個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.

四、用列舉法求概率

常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.

L列表法

當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通

常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和

方式，并求出概率的方法.

2.樹狀圖

當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱

樹形圖、樹圖.

樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次

數(shù)和方式，并求出概率的方法.

03題型歸納

題型一確定事件和隨機(jī)事件

例題：（24-25八年級上?四川成都?開學(xué)考試）下列說法中正確的是（）

A.打開電視機(jī)，正在播放廣告是隨機(jī)事件

B.某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票，一定有1張中獎

C.拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為g

D.任意一個三角形，其內(nèi)角和為360。是必然事件

【答案】A

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不

可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也

可能不發(fā)生的事件.據(jù)此對各選項分析判斷求解.

【詳解】解：A、打開電視機(jī)，正在播放廣告是隨機(jī)事件，故本選項符合題意；

16

B、某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票不一定會中獎，故本選項不符合題意；

c、拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為:，故本選項不符合題意；

D、任意一個三角形，其內(nèi)角和為360。是不可能事件，故本選項不符合題意；

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?浙江杭州?階段練習(xí)）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.小明買彩票中獎

B.任意拋擲一只紙杯，杯口朝下

C.任意三角形的兩邊，其差小于第三邊

D.在一個沒有紅球的盒子里摸球，摸到了紅球

【答案】C

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查了隨機(jī)事件，理解事件的分類是解題的關(guān)鍵.根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的

概念求解.

【詳解】解：A：小明買彩票中獎屬于隨機(jī)事件；

B：任意拋擲一只紙杯，杯口朝下屬于隨機(jī)事件；

C：任意三角形的兩邊之差都小于第三邊，是必然事件；

D：在一個沒有紅球的盒子里摸到紅球是不可能事件.

故選：C.

2.（24-25九年級上?浙江杭州?期中）下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（）

A.明天太陽從西方升起

B.從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球

C.奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心

D.擲一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0

【答案】C

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查的是隨機(jī)事件的分類，掌握必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念是解題的關(guān)鍵，必

然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事

件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事

17

件的類型即可.

【詳解】解：A、明天太陽從西方升起是不可能事件，不符合題意；

B、從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球是不可能事件，不符合題意；

C、奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，符合題意；

D、擲一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0是必然事件，不符合題意；

故選：C.

3.（2024九年級上.全國.專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.兩個負(fù)數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件

B.“煮熟的鴨子飛了”是隨機(jī)事件

C.射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件

D.“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是2”是隨機(jī)事件

【答案】D

【知識點】事件的分類

【分析】本題考查了不可能事件、隨機(jī)事件和必然事件，根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可求解，掌握

不可能事件、隨機(jī)事件和必然事件的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、兩個負(fù)數(shù)相乘，積是正數(shù)是必然事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B、“煮熟的鴨子飛了”是不可能事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；

C、射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是隨機(jī)事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；

D、“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是2”是隨機(jī)事件，說法正確，符合題意；

故選：D.

題型二用列舉法求概率

例題：（24-25九年級上?全國?單元測試）在1x2的正方形網(wǎng)格格點上放三枚棋子，按如圖所示的位置已放置

了兩枚棋子，若第三枚棋子隨機(jī)放在其他格點上，則以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角

形的概率為

3

【答案】-/0.75

【知識點】列舉法求概率

18

【分析】本題主要考查了幾何概率，勾股定理的逆定理，先將第三枚棋子可能落在其余四個位置的格點位

置找到.再找出與已知格點構(gòu)成直角三角形的3種情況，然后根據(jù)概率計算公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，第三枚棋子一共有A,B,C,。四個位置可以放置，其中能與已知兩枚棋子構(gòu)成

直角三角形的點是2、C、。三個點，

以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角形的概率為3:，

4

3

故答案為：—.

4

Ai------------------\D

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級下.遼寧.專題練習(xí)）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A,B,C,。和1個小燈泡，同時閉合開

關(guān)48或同時閉合開關(guān)C,。都可以使小燈泡發(fā)光.現(xiàn)隨機(jī)閉合兩個開關(guān)，小燈泡不發(fā)光的概率為

【知識點】列舉法求概率

【分析】本題考查列舉法求概率，根據(jù)題意，隨機(jī)閉合兩個開關(guān)共有6種情況，

其中小燈泡不發(fā)光的情況有AC,4）,3C,3。共4種情況，進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：隨機(jī)閉合兩個開關(guān)共有AB,AC,A。,3cmeD,6種情況，其中小燈泡不發(fā)光的情況有

AC,AD,3C,3。共4種情況，

63

2

故答案為：—.

2.（2023?廣東佛山?模擬預(yù)測）從-1,2,3這三個數(shù)中隨機(jī)抽取兩個數(shù)分別記為x,y,把點M的坐標(biāo)記為

（x,y）,若點N為（5,0）,則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為.

【答案】|

【知識點】判斷一次函數(shù)的圖象、列舉法求概率

19

【分析】本題考查了求概率、一次函數(shù)的圖像，正確找出當(dāng)直線MN經(jīng)過第二象限時，點M的所有符合條

件的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：點"的坐標(biāo)共有6種：（T2）,（-1,3）,（2,-1）,（3,-1）,（3,2）,（2,3）,

點N為（5,0）,

直線經(jīng)過第二象限，點M的坐標(biāo)有（-1,2）,（-1,3）,（3,2）,（2,3）,共四種情況；

42

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為

63

2

故答案為：—■

3.（23-24九年級上.貴州黔南.開學(xué)考試）小麗在學(xué)習(xí)法制和安全知識時遇到這樣一個題：王某在清明節(jié)祭

祀焚燒紙錢引起周邊草場著火，導(dǎo)致草場燒毀面積達(dá)900余畝，王某被依法予以行政拘留.此事件給我們

什么啟示？A春游時可以在野外燒烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不帶火種進(jìn)入林區(qū)；D不在山上燒黃

蜂、燒山趕野生動物.此題的正確答案為BCD,小麗在四個選項中隨機(jī)選擇三個選項，那么答對的概率是一

【答案】y/0.25

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列舉法求概率

【分析】此題考查了概率，寫出所以等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：由題意可得，共有ABC、ABD.ACD,3。這4種等可能的結(jié)果，其中符合條件的結(jié)果只

有BCD1種，

答對的概率是:，

故答案為：；

4.（2024.山東濰坊.中考真題）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍(lán)色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽

和筆芯顏色分別一致.完成手抄報后，她隨機(jī)地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色

都不匹配的概率是.

【答案】|

【知識點】列舉法求概率

【分析】本題考查了用列舉法求概率，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配

的結(jié)果，利用概率公式計算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得，共有6種結(jié)果：紅紅，黃黃，藍(lán)藍(lán)；紅紅，藍(lán)黃，黃藍(lán)；黃紅，紅黃，藍(lán)藍(lán)；黃

紅，藍(lán)黃，紅藍(lán)；藍(lán)紅，紅黃，黃藍(lán)；藍(lán)紅，黃黃，紅藍(lán)；

20

其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有2種結(jié)果,

21

，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是

63

故答案為：

題型三幾何求概率

例題：（24-25九年級上?江蘇南京?期中）如圖，正方形內(nèi)接于。。，隨機(jī)向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)

飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方

形區(qū)域內(nèi)的概率是.

■2_

【答案】-

71

【知識點】幾何概率

【分析】本題考查了幾何概率.設(shè)正方形的邊長為〃，則圓的直徑為必二7二億，求出正方形的面積為

（歷'2

a2,圓的面積為萬*號a=不，然后用正方形的面積除以圓的面積即可求解.

I2J2

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為則圓的直徑為行二7二億，

（萬Y2

...正方形的面積為圓的面積為;rx咚a=怨-,

I2J2

a22

飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是五二5.

2

故答案為：一.

71

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，將一個飛鏢隨機(jī)投擲到3x3的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分

的概率為一.

21

【答案】|4

【知識點】幾何概率

【分析】本題主要考查了幾何概率，確定陰影部分的面積在整個圖形中占的比例成為解題的關(guān)鍵.

用陰影部分的面積除以總面積即可解答.

【詳解】解：：3x3的方格紙的面積為=3x3=9,陰影部分面積為4xgx2xl=4,

???飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是4:.

4

故答案為：—.

2.（2024九年級上.全國.專題練習(xí)）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機(jī)停留在某塊方磚上,

那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是.

【答案】I

【知識點】幾何概率

【分析】本題考查的是幾何概率.先求出黑色方磚在整個地板中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：由圖可知，黑色方磚可拼成3塊，共有9塊方磚，

???黑色方磚在整個地板中所占的比值;=；,

.??小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是g,

故答案為：—.

3.（24-25九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,將AABC

繞點2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。后得到,現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率

為.

22

B

25

【答案】而

【知識點】用勾股定理解三角形、幾何概率

【分析】本題考查幾何概率，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.證明陰影

部分的面積=三角形ABA的面積，求出三角形AB4的面積，可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點4作于點

ZACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=7AC2+BC2=A/82+62=10，

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知BAi=BA=W,=30°,

=5,

??^=1-AB-4H=1X10X5=25,

=

:S陰-S&A%+~^^ABCSAA%=25,SAABC=—?AC-BC=5x8x6=24,

「?現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為=看75==今75.

25+2449

25

故答案為：--.

49

4.（24-25九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正

方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接

大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為

7,較短直角邊為4,現(xiàn)隨機(jī)向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為；

23

【知識點】以弦圖為背景的計算題、幾何概率

【分析】此題主要考查了幾何概率及勾股定理，用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.根據(jù)題

意易得30=3,則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面

積公式計算即可.

【詳解】解：如圖，

:.BD=BC—CD=3,

S大正方形=AC2=AB2+BC-=65,

則中間小正方形的面積為3x3=9,

小正方形的外陰影部分的4S：=4xg4B.8。=24,

陰影部分的面積為9+24=33,

???針尖落在陰影區(qū)域的概率為尸=233.

65

故答案為：名33.

題型四列表法或樹狀圖法求概率

例題：（24-25九年級上?河北保定?期中）如圖I,一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標(biāo)有數(shù)

字1,2,3,4.如圖2,正方形ABCD頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每擲一次骰子，骰

24

子著地一面上的數(shù)字是幾，就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長.

如：若從圈A起跳，第一次擲得3,就順時針連續(xù)跳3個邊長，落到圈。；若第二次擲得2,就從。開始順

時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈8；…

設(shè)游戲者從圈A起跳.

A

(1)嘉嘉隨機(jī)擲一次骰子，落回到圈A