滬科版九年級數(shù)學重難點專項突破：二次函數(shù)的最值（5種題型）（原卷版）

重難點專項突破01二次函數(shù)的最值（5種

題型）

唯【題型細目表】

題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑

題型二：面積最值問題

題型三：最大利潤問題

題型四：線段最值問題

題型五：周長最值問題

【考點剖析】

題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑

一、單選題

1.（2020秋?安徽阜陽?九年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標系中，已知42,0）,

3（4,0）,尸為y軸正半軸上一個動點，將線段以繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點A的對應點為

A.3A/2B.5C.—D.2A/5

2.（2021秋?安徽安慶?九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線y=-：x2+：x+2與x軸交于A,B兩

點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C,P為此拋物線對稱軸I上任意一點，貝必APC的周長

的最小值是（）

C.5#>D.V5+V13

二、填空題

3.（2020?安徽安慶?統(tǒng)考模擬預測）如圖，拋物線y=-x2+2x+3交x軸于A,B兩點，交y

軸于點C,點D為拋物線的頂點，點C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為E,點G,F分別在

x軸-和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為.

4.（2022秋?安徽滁州?九年級校考階段練習）己知二次函數(shù)y=-N-2x+3的圖象與無軸分別交

于A、8兩點（如圖所示），與y軸交于點C,點尸是其對稱軸上一動點，當P8+PC取得最

小值時，點P的坐標為.

5.（2021?安徽?九年級專題練習）已知拋物線＞，=融2+法+0的圖象與x軸交于點4m-4,0）

和B（m,0）,與直線y--x+p相交于點A和C（2機-4,加-6）,拋物線y—ax2+bx+c與y軸

交于點。，點尸在拋物線的對稱軸上，連B4,PD,當B4+PO的長最短時，點尸的坐標為

6.（2023春?安徽黃山?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖①，是一建筑物造型的縱截面，曲線

是拋物線的一部分，該拋物線開口向右、對稱軸正好是水平線AC,8。是與水

平線?！贝怪钡膬筛е?，AC=4米，8。=2米，。。=2米.

地面上的支撐點，用固定材料連接以、PB,對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點

0,尸之間的距離是.

（2）如圖③，在水平線上增添一張2米長的椅子跖（E在歹右側(cè)），用固定材料連

接AE、BF,對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點。，￡之間的距離是.

7.（2023春?安徽六安?九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，DC=3,

AD=6DC,尸是AO上一個動點，過點尸作尸G_LAC,垂足為G,連接3尸，取3尸中點

E,連接EG,則線段EG的最小值為.

三、解答題

8.（2020?安徽?統(tǒng)考模擬預測）如圖，二次函數(shù)丁=依2+法-1的頂點C的坐標為（1，D.

⑴求。，Z?的值；

（2）已知A點為拋物線上異于C的一點，且A點橫、縱坐標相等，B為x軸上任意一點，當

郎+BC取最小值時，求出B點坐標和此時AABC的面積.

9.（2021秋?安徽黃山?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線"以2+桁+。交x軸于A、B

兩點，交y軸于點C,對稱軸為直線x=i,已知：4-1,0）、C（0,-3）.

（1）求拋物線y-ax2+bx+c的解析式；

（2）求SAOC和國BOC的面積比;

（3）在對稱軸上是否存在一個P點,使SR4C的周長最小.若存在，請你求出點P的坐標;

若不存在，請你說明理由.

10.（2022秋?安徽合肥?九年級合肥市第四十八中學?？茧A段練習）如圖，拋物線

y=f-bx+c交x軸于點人（1,0）,交y軸于點B,對稱軸是直線x=2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P,使APAB的周長最小？若存在，求

出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

x=2

11.（2021?安徽?統(tǒng)考三模）如圖所示拋物線y=^+bx+c過點A（TO）,點C（0,3）,且

OB=OC

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點。E在直線x=l上的兩個動點，且DE=1,點￡）在點E的上方，求四邊形ACDE

的周長的最小值；

（3）點尸為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CBR1的面積分為3團5兩部分，求

點尸的坐標.

圖1圖2

12.（2021秋?安徽六安?九年級校考階段練習）已知拋物線>=辦2+法一3（4/0）的對稱軸為

直線x=l,且拋物線經(jīng)過點A（T,0）,它與x軸的另一交點為B,與y軸的交點為C.

（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；

（2）在直線x=l上求點"，使AAMC的周長最小，并求出AWC的周長.

題型二：面積最值問題

一、單選題

L（2022秋,安徽安慶?九年級統(tǒng)考期中）如圖，將一張邊長為1的正方形紙ABCD折疊,

使得點2始終落在邊AZ）上，則折起部分面積的最小值為（）

2.（2022秋?安徽合肥?九年級校聯(lián)考期中）在AABC中，邊的長與2C邊上的高的和為

8,當AABC面積最大時，則其周長的最小值為（）

A.475+2B.4>/5+4C.275+2D.26+4

3.（2023春?安徽蚌埠?九年級專題練習）如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ZB=600,矩形

PQNM的四個頂點分別在菱形的四邊上，AP=AQ=CN=CM,則矩形PQNM的最大面

積為（）

C.8摳D.9百

二、填空題

4.（2023春?安徽蚌埠?九年級校聯(lián)考期中）如圖，點E為正方形ABCD的邊8上一點，以

點A為圓心，AE長為半徑畫弧所，交邊BC于點R已知正方形邊長為L

（1）若NZME=15。，則。￡的長為

（2）0AEF的面積為S的最大值是.

5.（2022秋?安徽馬鞍山?九年級?？计谥校┯?8m木料制作成一個如圖所示的"目"形長方

形大窗框（橫檔所，GH也用木料，其中鉆=￡F=GH=CD,要使窗框ABCD的面積最

大，則A3的長為m.

三、解答題

6.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地平面

圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路（寬度不計）經(jīng)過該矩形區(qū)域，其中N都在矩形

ABCD的邊界上.已知AB=8,BC=6（單位：百米），小路將矩形A8CD分成面積

為跖，S2（單位：平方百米）的兩部分，其中H《邑，且點A在面積為既的區(qū)域內(nèi)，記小

路的長為/百米.

圖1圖2

（1）如圖1,已知/=3,設AN=x百米.

①若x=l,求S］的大小；

②求H的最大值；

（2）若$2=2，，點M在CD邊上，點N在AB邊上，求/的取值范圍.

7.（2023春?安徽宿州,九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在AABC中，ZBAC^90°,

A5=AC=12,點尸在邊AB上，D、E分別為8C、PC的中點，連接DE.過點E作8C

的垂線，與BC、AC分別交于尸、G兩點，連接。G,交PC于點H.

(1)N￡E>C的度數(shù)為一。;

⑵PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由;

⑶連接PG,求AAPG的面積的最大值.

8.(2023?安徽滁州?校聯(lián)考一模)如圖(1),一塊鋼板余料截面的兩邊為線段。4,OB,

另一邊曲線ACB為拋物線的一部分，其中C點為拋物線的頂點，于D,以。4邊

所在直線為x軸，。8邊所在直線為>軸，建立平面直角坐標系xQy,規(guī)定一個單位代表1

米.已知00=1米，ZM=2米，CD=4米.

(1)求曲線ACS所在拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若在該鋼板余料中截取一個一邊長為3米的矩形，設該矩形的另一邊長為米，求九的

取值范圍；

⑶如圖(2),若在該鋼板余料中截取一個其中點P在拋物線ACB上，記△PBD

的面積為S,求S的最大值.

9.(2022秋?安徽池州?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在中，

ZA=90°,AB^8,AC=6.若動點。從點8出發(fā)，沿線段54運動到點A為止，運動速度為

每秒2個單位長度.過點。作。交AC于點￡,設動點。運動的時間為x秒，AE

的長為又

A

（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（2）當X為何值時，△3DE的面積有最大值，最大值為多少？

10.（2022秋?安徽合肥?九年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形窗戶邊框ABCD由矩形AEFD,矩

形BHGE,矩形CFG”組成，其中3AE=BE.已知制作此窗戶邊框的材料的總長是6

米，設3C=x（米）；窗戶邊框ABCD的面積為S（米2）.

（1）用含尤的代數(shù)式表示A2.

（2）求當S取得最大值時，AB的長.

11.（2022秋?安徽安慶?九年級安慶市第四中學?？茧A段練習）如圖，一次函數(shù)y=r+6與

反比例函數(shù)y=*＞。）的圖象交于點A（〃z,3）和3（3,1）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式.

k

（2）請直接寫出不等式組+6的解集是

⑶點尸是線段A3上一點，過點尸作軸于點￡）,連接。P,若△尸的面積為S,求

S的最小值.

12.（2022秋?安徽合肥?九年級合肥38中?？计谥校┤鐖D，拋物線y=-尤2+bx+c與x軸交

于A,B兩點，與y軸交于點C,已知點B的坐標為（3,0）,點C的坐標為（0,3）.

⑴求拋物線的表達式：

⑵點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當APBC的面積最大時，求點P的坐標.

題型三：最大利潤問題

一、解答題

1.（2023?安徽六安??？寄M預測）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖

成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價尸（元/千克）與時間第f（天）之間的

-/+16（1</<40）

函數(shù)關(guān)系為：尸=:,日銷售量y（千克）與時間第f（天）之間的函數(shù)

-1r+46（41</<80）

⑴求日銷售量y與時間f的函數(shù)關(guān)系式？

⑵哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

⑶在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈加（加〈7）元給村

里的特困戶，在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間f的增大而增大，求相

的取值范圍.

2.（2023?安徽安慶?統(tǒng)考二模）"龍池香尖”是懷寧縣一款中國國家地理標志產(chǎn)品，素有：

"揚子江心水，蒙山頂上茶”的美譽.某茶莊以600元/kg的價格收購一批龍池香尖，為保護

消費者的合法權(quán)益，物價部門規(guī)定每千克茶葉的利潤不低于0元，且不超過進價的60%,

經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn)，日銷量y（kg）與銷售單價x（元/kg）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)統(tǒng)計如

表：

元/kg)700900

y(kg)9070

⑴根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

⑵在銷售過程中，每日還需支付其他費用9000元，當銷售單價為多少時，該茶莊日利潤最

大，并求出最大利潤.

3.（2023?安徽滁州?統(tǒng)考二模）牛草山奶牛養(yǎng)殖場如今達到了日產(chǎn)鮮奶500千克的規(guī)模.根

據(jù)以前市場銷售經(jīng)驗，如果鮮奶售價為20元/千克，每天可售出鮮奶400千克，鮮奶售價

每提高1元，日銷售鮮奶數(shù)量將減少10千克，每天沒能銷售的鮮奶全部按10元/千克的價

格廉價賣給奶制品加工廠.養(yǎng)殖場研究決定將鮮奶的售價提高到x元/千克，而當?shù)匚飪r部

門結(jié)合本地收入與消費水平規(guī)定鮮奶售價不超過40元/千克，設養(yǎng)殖場每天鮮奶總銷售收

入為y元.

（1）求y與x之間的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）鮮奶售價定為多少時，養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多？養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最

多是多少元？

4.（2023春?安徽淮北?九年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）某商場試銷一款玩具，進價為20

元/件，商場與供貨商約定，試銷期間利潤不高于30%,且同一周內(nèi)售價不變.從試銷記錄

看到，當售價為22元時，一周銷售了80件該玩具；當售價為24元時，一周銷售了60件

該玩具.每周銷量〉（件）與售價x（元）符合一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求每周銷量》（件）與售價x（元）之間的關(guān)系式；

⑵若商場一周內(nèi)銷售該玩具獲得的利潤為210元，則該玩具的售價為多少元？

⑶商場將該玩具的售價定為多少時，一周內(nèi)銷售該玩具獲得利潤最大？最大利潤W為多少

元？

5.（2023?安徽?模擬預測）小明同學利用寒假30天時間販賣草莓，了解到某品種草莓成本

為1。元/千克，在第尤天的銷售量與銷售單價如下（每天內(nèi)單價和銷售量保持一致）

銷售量機（千克）銷售單價W（元/千克）

當10x415時，〃=20+'x

m=40-x當164尤430時，n=10+—

2X

設第尤天的利潤卬元.

（1）請計算第幾天該品種草莓的銷售單價為25元/千克；

（2）這30天中，該同學第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【注：利潤=（售價-成

本）x銷售量】

⑶在實際銷售的前15天中，草莓生產(chǎn)基地為刺激銷售,鼓勵銷售商批發(fā)草莓，每多批發(fā)1千

克就發(fā)給g4。22）元獎勵，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前8天中，每天獲得獎勵后的利潤隨時間

x（天）的增大而增大，試求。的取值范圍.

6.（2022秋?安徽蕪湖?九年級蕪湖市第二十九中學?？计谥校┠吵薪?jīng)銷一種銷售成本為

每件40元的商品，據(jù)市場調(diào)查分析，如果按每件50元銷售，一周能售出500件，若銷售

單價每漲1元，每周銷量就減少10件，設銷售單價為x元（xW50）,一周的銷售量為y

件，

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（標明x的取值范圍）；

⑵設一周的銷售利潤為S,寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當單價是多少時利潤最大；

⑶在超市對該種商品投入不超過12000元的情況下，使得一周銷售利潤不低于8000元，

銷售單價應在什么范圍內(nèi)？

7.（2022秋?安徽六安?九年級?？计谀┠称髽I(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，

為了合理定價，投放市場進行試銷.據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是

50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.

（1）求出每天的銷售利潤》（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

⑶如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷

售單價應控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本=每件的成本x每天的銷售量）

8.（2022秋?安徽合肥?九年級合肥市廬陽中學校考期中）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)

查發(fā)現(xiàn)：在實際銷售中，售價x為整數(shù)，且該商品的月銷售量y（件）是售價x（元/件）

的一次函數(shù)，其售價x（元/件）.月銷售量y（件）.月銷售利潤w（元）的部分對應值如

表：

售價X（元/件）4045

月銷售量y（件）300250

月銷售利潤W（元）30003750

注：月銷售利潤=月銷售量X（售價一進價）

⑴求該商品的成本價，并求出y關(guān)于X的函數(shù)表達式；

⑵若用w（元）表示該商品的月銷售利潤，求卬關(guān)于x的函數(shù)解析式;

⑶當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤.

題型四：線段最值問題

一、填空題

1.(2023?安徽蚌埠,統(tǒng)考三模)如圖，點C是線段上一動點，AACD,“BCE均為等邊

三角形，AB=6,連接DE.

(1)若DELCE,則上=；

(2)DE長度的最小值為.

二、解答題

2.(2023?安徽合肥?統(tǒng)考三模)如圖，拋物線y=+bx+c經(jīng)過點A(l,l),3(-3,-3),點

。是拋物線的對稱軸上一點，點尸在拋物線上，且點尸的橫坐標為根.

⑴求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若-3WmW1,求點尸到直線AB的距離的最大值；

(3)若A、B、P、。四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標.

3.（2023?安徽合肥,統(tǒng)考二模）如圖，某數(shù)學興趣小組以樓梯為場景設計的小球彈射實驗示

意圖，樓梯平臺寬為3,前方有六個臺階十~”（各拐點均為90。），每個臺階的高

為2,寬為2,樓梯平臺到x軸距離。4=14,從y軸上的點C處向右上方彈射出一個小球

P（小球視為點），飛行路線為拋物線L：y=V+2X+16,當點尸落到臺階后立即彈起，

其飛行路線是與乙形狀相同的拋物線.

（1）通過計算判斷小球P第一次會落在哪個臺階上；

（2）若小球P第二次的落點在臺階心中點M上，求小球P第二次飛行路線的解析式；

⑶若小球P再次從點M處彈起后落入x軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿

也為接收），接收裝置最大截面為矩形￡^汨，點E橫坐標為16,EF=1,EH=1,求出

小球第三次飛行路線的頂點到x軸距離最小值.

4.（2023?安徽阜陽?統(tǒng)考二模）如圖1,拋物線y=-gx2+bx+c的頂點坐標為。［1,：］,與

y軸交于點C,與x軸交于點A和點3.

⑴求拋物線的解析式.

⑵若M為y軸上一點，當?shù)闹底钚r，求點M的坐標.

⑶如圖2,若尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求△3PC的面積的最大值.

5.(2023?安徽合肥?校聯(lián)考一模)如圖，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過4-1,0),8(3,0),C(0,3)

三點，。為直線BC上方拋物線上一動點，過點。作軸于點0,。。與8c相交于

點M.DEJLBC干■E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵求線段DE長度的最大值；

⑶連接AC,是否存在點。，使得ACDE中有一個角與NC4O相等？若存在，請直接寫出

點。的坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2023秋?安徽六安?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標中，”LBC是直角三角

形，ZACB=90°,AC=BC,OA=2,OC=4,拋物線y=Y+bx+c經(jīng)過A、B兩點,

拋物線的頂點為。.

備用圖

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點E是直角三角形ABC斜邊A2上一動點（點A、B除外），過點E作了軸的垂線交拋物

線于點當線段M的長度最大時，求點E的坐標；

⑶在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一個點尸，使是以E尸為直角邊的直角三

角形?若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，說明理由.

7.（2023秋,安徽合肥?九年級校考期末）如圖，拋物線y=-：/+bx+c與x軸交于

A（-2,0）、8（8,0）兩點，與y軸交于點C.點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點

尸作直線尸軸于點D,交直線8C于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段PE的最大值；

(3)當CP=CE時，求點尸的坐標.

8.(2022秋?安徽蕪湖?九年級?？茧A段練習)如圖，拋物線y=aY+fcv+3與x軸交于A,

B兩點,且點B的坐標為(2,0),與y軸交于