廣東省大灣區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷

廣東省大灣區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷

1.（2022高二上?廣東期末）直線％+V3y-2=0的斜率為（）

A.B.坡C.-V3D.一隹

36V3

2.（2022高二上?廣東期末）已知反=（1,-2,1）,3-6=（-1，2,-1）,則另=（）

A.（2,-4,2）B.（-2,4,-2）

C.（-2,0,-2）D.（2,1,-3）

3.（2022高二上?廣東期末）某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交

線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處

（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為

（）

①②

A.1.35mB.2.05mC.2.7mD.5.4m

4.（2022高二上?廣東期末）圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊

放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去,第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是（）

圖1

A.66D.120

5.（2022高二上?廣東期末）已知直線匕：3久—4y+7=0與直線%：6%—（m+l）y+1-巾=0平行，則人

與％之間的距離為（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2022高二上?廣東期末）已知等差數(shù)列｛a"中，a3+a5=a4+7,a10=19,則數(shù)列｛an-cosn兀｝的前

2022項(xiàng)和為（）

A.1010B.1011C.2021D.2022

7.（2022高二上?廣東期末）如圖，ABCD—EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿(mǎn)足AP=

耳通+之而+^|荏，貝吐至四8的距離為（）

4Z3

A.1B.|C.fD.|

4565

8.（2022高二上?廣東期末）我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：Fi、

七是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從尸2發(fā)出的光線加射在雙曲線右支上一點(diǎn)P，經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反向延

長(zhǎng)線過(guò)％;當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分ZF1PF2.若雙曲線C的方程為上W—￡=

1,則下列結(jié)論不亞琥的是（）

B.當(dāng)m1九時(shí)，1PF/?仍尸2|=32

C.當(dāng)n過(guò)點(diǎn)Q（7,5）時(shí)，光由0到P再到Q所經(jīng)過(guò)的路程為13

D.若T(l,0),直線PT與C相切，則|PFzl=12

9.（2022高二上?廣東期末）若橢圓的焦點(diǎn)為Fi（—c,0）,F2（C,0）（c>0）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,則橢圓上的點(diǎn)

（x,y）滿(mǎn)足（）

，2一，2

A.+(x—c)2+y2=2aB.yc1

%2—q2a2

22

rJ(x-c)+yc

D.(%—c)2+y2=a—

10.（2022高二上?廣東期末）從高一某班抽三名學(xué)生（抽到男女同學(xué)的可能性相同）參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件A

為“三名學(xué)生都是女生，，，事件B為“三名學(xué)生都是男生"，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生"，事件D

為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下正確的是（）

A.尸⑷=B.事件A與事件B互斥

C.P（C）AP（D）D.事件A與事件C對(duì)立

11.（2022高二上?廣東期末）為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：

分鐘），分別為53,57,45,61,79,49,久，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3,則

x的值可能為（）

A.58B.59C.62D.64

12.（2022高二上?廣東期末）圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，

用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于

軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角。不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物

線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線.截口曲線形狀與。和圓錐軸截面半頂

角a有如下關(guān)系（仇a6（0,芻）；當(dāng)6>a時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)。=a時(shí)，截口曲線為拋物線：當(dāng)0<

a時(shí)，截口曲線為雙曲線.（如左圖）

現(xiàn)有一定線段AB與平面0夾角0（如上右圖），B為斜足，6上一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足ZBAP=y,設(shè)P點(diǎn)在0的

運(yùn)動(dòng)軌跡是r,則（）

A.當(dāng)0=*y=<時(shí),「是橢圓

B.當(dāng)0=*丫二1時(shí)，「是雙曲線

C.當(dāng)0=?,y=今時(shí)，「是拋物線

D.當(dāng)0=.，y=.時(shí)，廠是橢圓

13.（2022高二上?廣東期末）設(shè)數(shù)列的前幾項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①{a"是單調(diào)遞減數(shù)列；

②{S"是單調(diào)遞增數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出的一個(gè)通項(xiàng)公式與=.

14.（2022高二上?廣東期末）如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)。處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，已知庫(kù)底與

水壩斜面所成的二面角為120°,測(cè)得從0,C到庫(kù)底與水壩斜面的交線的距離分別為D4=8（hn,BC=

60m,若43=40TH,則甲，乙兩人相距.

c

15.(2022高二上?廣東期末)已知點(diǎn)2(2,3),B(5,-1),，為平面上的動(dòng)直線，點(diǎn)A,B到直線/的距離

分別為1,3,則這樣的直線/有條.

16.(2022高二上?廣東期末)舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點(diǎn)，

短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處的錢(qián)鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng).當(dāng)點(diǎn)D

在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng).記點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為Ci，點(diǎn)M的

運(yùn)動(dòng)軌跡為若ON=DN=1,MN=3,過(guò)C2上的點(diǎn)P向Ci作切線，則切線長(zhǎng)的最大值為.

17.(2022高二上?廣東期末)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-中，AB=AD=1,AA1=2,E是棱的

中點(diǎn).

(1)求證：BCLAB1；

(2)求平面ABiE與平面力BCD夾角的余弦值.

18.(2022高二上?廣東期末)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和%=2(1n-2"+1.

(1)求證：數(shù)列｛$｝是等差數(shù)列.

(2)若不等式2n2-n-3<(5-幻與對(duì)任意nGN*恒成立，求4的取值范圍.

19.(2022高二上?廣東期末)某校為加強(qiáng)黨史教育，進(jìn)行了一次黨史知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的

筆試成績(jī)均在75分以上(滿(mǎn)分100分)，分成[75,80),[80,85)[85,90),[90,95),[95,100]共五

組后，得到的頻率分布表如下所示：

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

第1組[75,80)①

第2組[80,85)0.300

第3組[85,90)30②

第4組[90,95)200.200

第5組[95,100]100.100

合計(jì)1001.00

頻率

AMB

11rT1-----1----

0.0_8_-------;--——?----|?-------：--i---i-：-----：i-一--一-[i——

0.07---J-----J----1--1----r-----?----

0.06—\----—

0.051-4—

0.04一+—+7——!——一+——

0.02----1-----1----(---十------r----1-----

0.01

0一

7580859095100成績(jī)

（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；

（2）為能更好了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6

名學(xué)生進(jìn)入第二輪面答，最終從6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加市安全知識(shí)答題決賽，求抽到的2位學(xué)生不

同組的概率.

20.（2022高二上廣東期末）已知圓C過(guò)點(diǎn)4（4,2）,5（1,3）,它與x軸的交點(diǎn)為（久「0）,（不，0），與y

軸的交點(diǎn)為（0,乃），（0,y2）,且不+久2+為+丫2=6.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若4（-3,-9）,直線I：x+y+2=0,從點(diǎn)A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線1反射后與圓C有交點(diǎn)，

求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.

21.（2022高二上?廣東期末）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)

系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的

夾角均為60°,我們將這種坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜60。坐標(biāo)系”.我們類(lèi)比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60。坐標(biāo)系”

下向量的斜60。坐標(biāo)：tj,齊分別為“斜60。坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位向量，若

向量元=￡+yj+z總貝瓦與有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）相對(duì)應(yīng)，稱(chēng)向量元的斜60。坐標(biāo)為[x,y,z],記作道=

[x,y,z].

(1)若無(wú)=[1,2,3],b=[-l,1,2],求為+另的斜60。坐標(biāo);

(2)在平行六面體ZBCD-ABQDi中，AB=AD=2,AAi=3,ABAD=ABAA1=^DAA1=60°,如

圖，以｛樂(lè)，AD,麗(｝為基底建立“空間斜60。坐標(biāo)系”.

②若前=[2,t,0],且前1福，求|宿卜

22.(2022高二上?廣東期末)已知橢圓C：4+^=1，點(diǎn)E(—4,0),過(guò)點(diǎn)E作斜率大于0的直線與橢圓

OZ

C相切，切點(diǎn)為T(mén).

(1)求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(2)過(guò)線段ET的中點(diǎn)G作直線1交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，直線EA與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M,直

線EB與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,求證：MN//ET-,

(3)請(qǐng)結(jié)合(2)的問(wèn)題解決，運(yùn)用類(lèi)比推理，猜想寫(xiě)出拋物線中與之對(duì)應(yīng)的一個(gè)相關(guān)結(jié)論(無(wú)需證明).

答案解析部分

L【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜率

【解析】【解答】因?yàn)橹本€方程為x+By-2=0,化為斜截式為：y

所以直線的斜率為：—孚

故答案為：D.

【分析】將直線的一般式轉(zhuǎn)化為斜截式，從而得出直線的斜率。

2.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】另=五—0—尤)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出向量另的坐標(biāo)。

3.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的應(yīng)用

【解析】【解答】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy,使接收天線的頂點(diǎn)

(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上.

4/

01Fx

X

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=2px(p>0),

由已知條件可得，點(diǎn)4(0.6,1.8)在拋物線上，

所以1.2p=1.82,解得p=2.7,

因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意由拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)結(jié)合拋物線的定義，把數(shù)值代入計(jì)算出P的取值，結(jié)合已知條件即

可得出答案。

4.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】因?yàn)閳D1有1個(gè)小正方體，圖2有1+5=6個(gè)小正方體，圖3有1+5+9=15個(gè)小正方體,

歸納可得：第n個(gè)疊放圖形中共有n層，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以4為公比的等差數(shù)列，

n（n1）4

所以第n個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是Sn=n+；=2層—n，

第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是58=2X8?-8=120,

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得出第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木

塊的總數(shù)。

5.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面內(nèi)兩條平行直線間的距離

【解析】【解答】?.?直線。與L平行，.噌=、不又，解得加=7.

6m+11—m

,__|7+3|__?

2

V/2的方程為3x—4y—3=0,它們之間的距離d=方7=.

故答案為：B.

【分析】?jī)芍本€斜率存在時(shí)，平行則斜率相等，求出m的值，再根據(jù)兩平行線間的距離公式，即可計(jì)算出

答案。

6.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和

【解析】【解答】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，=2。4=+7,所以a4=7,

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為由，公差為d,

貝郎二4解得：｛號(hào)二;所以即=1+（-1）X2=2x1,

設(shè)數(shù)列｛。九?COS7UT｝的前幾項(xiàng)和為S九，

貝心2022——al+。2—。3+。4+…—^2021+。2022，

=（。2—。1）+（。4一。3）+…+（。2022一a2021）

=Wild=2022.

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出數(shù)列｛an?cosmr｝的通項(xiàng)公

式，再結(jié)合并項(xiàng)求和的方法得出數(shù)列｛。九?coszur｝的前幾項(xiàng)和。

7.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【解析】【解答】解：如圖，分別以4B,AD,AE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，AB,AD,

族可作為X,y,z軸方向上的單位向量,

'-"AP=^AB++lAE

—>

T/、15AB_3

又“B=（L。，。），”.扇=4

2

2TT

AP到AB的距離d=\AP\-華華

\AB\

故答案為：C

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量法直接求解即可.

8.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

【解析】【解答】在雙曲線需—4=1中，a=3,b=4,貝!Jc=5,易知點(diǎn)尸式―5,0)、%(5，0)，

設(shè)仍&|=u,\PF2\=v,

4

對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線m_Z|=1的漸近線方程為y+-X

-3

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著孫的增大，射線n慢慢接近于直線y=右為此時(shí)0<k<$

4

-

同理可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),3

當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，k=0,

綜上所述，k的取值范圍是(空，J),A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)m_Ln時(shí)，a—u=2a=6,

u2+v2=(u—v)2+2uv=36+2uv=102,所以，|PF][?[PF2|=uu=32,B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，|FiQ|=J(7+5)2+52=13,

故n過(guò)點(diǎn)Q(7,5)時(shí)，光由4到P再到Q所經(jīng)過(guò)的路程為

\PF2\+\PQ\=\PF1\-2a+\PQ\=|FiQ|-6=7,C不符合題意;

對(duì)于D選項(xiàng)，若7(1,0),由角平分線定理可得等￡=掰=隔=￥=宜

即需解得“l(fā)=12'D對(duì).

故答案為：C.

【分析】在雙曲線普—a=1中得出a,b的值，再結(jié)合雙曲線中a,be三者的關(guān)系式得出c的值，進(jìn)而

得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)|P0|=a,|PF2|=u,利用雙曲線g—￡=1的漸近線方程為y=±*再利用分類(lèi)討

論的方法結(jié)合并集的運(yùn)算法則得出實(shí)數(shù)k的取值范圍；當(dāng)mln時(shí)，u-v=2a=6,再利用平方法和兩點(diǎn)

距離公式得出|Pa|“PF2l的值；利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得出I&QI的值，故n過(guò)點(diǎn)Q(7,5)時(shí)，再

結(jié)合雙曲線的定義得出光由&到P再到Q所經(jīng)過(guò)的路程；若7(1,0)，由角平分線定理和三角形的面積公式

得出|PF2|的值，從而找出結(jié)論不正確的選項(xiàng)。

9.【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義

【解析】【解答】由橢圓定義可知，A符合題意；由橢圓第二定義可知C符合題意；B中顯然支力士a,即

橢圓上的長(zhǎng)軸端點(diǎn)不滿(mǎn)足B中方程，B不符合題意；由J(%_c)2+y2=°-:尤兩邊平方可得(x-c)2+

y2=(a—滔，整理得=02—c2,即機(jī)+￡=1,D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的定義和橢圓的第二定義，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)和兩點(diǎn)距離公式，進(jìn)而得出

正確的選項(xiàng)。

10.【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】由所抽學(xué)生為女生的概率均為｝則P(4)=8)3=/，A符合題意；

A,B兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件，B符合題意；

C事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，其對(duì)立事件為4D符合題

思；

。事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，與c事件含義相同，故

P(C)=P(D),C不符合題意;

故答案為：ABD

【分析】利用已知條件結(jié)合獨(dú)立事件乘法求概率公式、互斥事件的定義、對(duì)立事件的定義，進(jìn)而找出正確

的選項(xiàng)。

1L【答案】A,D

【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

【解析】【解答】將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?5,49,53,57,61,79.

若x＜57,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57,

他們的差為4,不符合條件；

若％N79,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61,

它們的差為18,不符合條件；

若57＜久＜79,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x）,

貝!]|久-61|=3,解得久=58或%=64

故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結(jié)合百分位數(shù)的求解方法，進(jìn)而得出x的值。

12.【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義；旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】:AB為定線段，4比42=丫為定值，.?.P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，

其中圓錐的軸截面半頂角為y,6與圓錐軸AB的夾角為0

對(duì)于A,0＞y,平面0截圓錐得橢圓，A符合題意；對(duì)于B,（p＞Y＞「是橢圓，B不符合題意.

對(duì)于C,（p-y,r是拋物線，C符合題意.對(duì)于D,隼＞丫,「是橢圓，D符合題意.

故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義，進(jìn)而找出正確的選項(xiàng)。

13.【答案】工（答案不唯一）

n

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；數(shù)列的函數(shù)特性

【解析】【解答】根據(jù)題意，數(shù)列5｝滿(mǎn)足：①5｝是單調(diào)遞減數(shù)列；②5｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

故只需也"是正項(xiàng)單調(diào)遞減數(shù)列即可.

故｛廝｝的通項(xiàng)公式可以為斯=1

故答案為：1（答案不唯一）

n

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而得出滿(mǎn)足要求的數(shù)列的通項(xiàng)公式。

14.【答案】20V41

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)；二面角的平面角及求法

【解析】【解答】作BE//AD,且BE=AD,連結(jié)DE,EC,

???BEYAB,BCVAB,:.AB1平面EBC且乙CBE=120°,

四邊形ADEB時(shí)平行四邊形，DE//AB,DE1平面EBC,ECu平面CEB,

???DE1EC

△CEB中，EC=J602+802-2X60X80X(-1)=20A/37，

△CDE中，DC=yjDE2+EC2=V402+14800=20V41.

故答案為：20V41

【分析】作BE//AD,且BE=4。，連結(jié)DE,EC,證得DE1平面EBC,得到OE1EC,分別

在ACEBCDE中，利用余弦定理，即可求解.

15.【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；圓與圓的位置關(guān)系及其判定

【解析】【解答】到點(diǎn)A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切；

到點(diǎn)B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；

由于|力切=5>3+1,即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數(shù)為4條，

即點(diǎn)A,B到直線I的距離分別為1,3的直線有4條，

【分析】利用已知條件結(jié)合直線與圓相切位置關(guān)系判斷方法得出到點(diǎn)A的距離為1的直線即該直線與以

A為圓心，1為半徑的圓相切，到點(diǎn)B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切，由

于|AB|=5>3+1結(jié)合兩圓位置關(guān)系判斷方法判斷出兩圓相離，進(jìn)而得出公切線的條數(shù)，從而得出點(diǎn)A,

B到直線2的距離分別為1,3的直線有4條。

16.【答案】V15

【知識(shí)點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】以滑槽AB所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因?yàn)閨ON|=1,所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡Ci是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓,

其方程為/+y2=i.

設(shè)點(diǎn)D(t,0)(|t|<2),N(x0,y0),M(x,y),

依題意，MD=2而，且|而|=\0N\=1，

(X_2+-y2—]

所以(t—久，一y)=2(%o—t,M)),且I°2上2，

歐+羽=1

anft—x=2%o—2t日

叫y=_2yo，且t(?2xo)=O.

由于t不恒等于0,于是t=2%0，故久o=全兀=-專(zhuān)，

代入就+光=1,可得,+彳=1，

故曲線。2的方程為岑+^=L設(shè)。2上的點(diǎn)P(4cosa,2sina),

lo4

則|0P『=16cos2a+4sin2a=4+12cos2a<16,

則切線長(zhǎng)為J|OP|2_12<V16^1=底,故切線長(zhǎng)的最大值為咫.

故答案為：V15

【分析】以滑槽AB所在的直線為x軸，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用|0N|=1結(jié)合圓的

定義，所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡。是以。為圓心，半徑為1的圓，從而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)點(diǎn)

0(30)(|t|<2),N(%o，y0),M(x,y),依題意，MD=2DN，且|而|=|而|=1，再利用向量共線的

坐標(biāo)表示合向量的模的坐標(biāo)表示得出久0=a兀=一%再代入郊+羽=1，可得科+《=1，故曲線。2

的方程為看+4=1，設(shè)C2上的點(diǎn)P(4cosa,2sina),再利用兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)的圖象求最值的方

法以及余弦函數(shù)求值域的方法，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出切線長(zhǎng)的最大值。

17.【答案】(1)證明：在長(zhǎng)方體4BCD中，BC1BA,BC1

又BAnBBi-B,BAu平面BA力BB±u平面BAA1B1，

所以BC，平面BAAiBi，

又4Biu平面844通1，所以BC1AB1；

（2）解：以Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,44i所在直線分別為刈y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則由4B=AD=1,AAi=2,得力(0,0,0),B(l,0,0),D(0,1,0),4(0,1,2),0,2),

%(I,0,2),

又E是棱ODi的中點(diǎn)，所以E(0,1,1)-所以荏=(0,1,1),ABl=(1,0,2),

設(shè)平面ABiE的一個(gè)法向量為詁=（k，y,z）,

n-~AE=0zgry+z—0

則有n?ABi=0寸,％+2z=0

取z-1,得n=(—2,—1,1),

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為記=（0,0,1）,

設(shè)平面ZBiE與平面4BC0的夾角為仇

母河=|(-2)x0+(—l)x0+lxl|=V6

則cos。

㈤㈤j(-2)2+(-l)2+l2xjo2+O2+l26'

所以平面ABiE與平面4BCD夾角的余弦值為第.

O

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）在長(zhǎng)方體ABC?！?8停1。1中，BC1BA,BCVBBr,再利用線線垂直證出線面垂

直，所以BC1平面BA&B1，再結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，從而證出BCl/Bi。

（2）以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,441所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由AB=AD=

1,AA1=2,進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合E是棱的中點(diǎn)和中點(diǎn)的的性質(zhì)，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再結(jié)

合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用平面的法向量求解方法得出平面力BiE的一個(gè)法向量和平面

4BCD的一個(gè)法向量，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式得出平面ZBiE與平面夾角的余弦值。

18.【答案】(1)證明：當(dāng)幾=1時(shí)，SI=2%—22,解得即=4,

n

當(dāng)？1之2時(shí),ccn=Sn-—2an—2。幾_1-2,

所以即=2味1+2%即第=斜+1,

即$一箭=1，

故數(shù)列｛第｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(2)解：由(1)知，弟=九+1,即即=2”(>1+1),

所以2n2—n—3=(n+l)(2n—3)<(5—A)(n+l)2n,對(duì)任意幾6N*恒成立，

即5-4>專(zhuān)工對(duì)任意zieN*恒成立，

記勾=2；幾3,故歷=—^<0,

所以g2時(shí)，"±1=誓3所以*=?,即3>%，

幾23時(shí)，觸1<1，即隨著n的增大，星遞減，

Dn

所以bn的最大值為4=看,

所以5—4>率即4(竽

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列概念與表示；數(shù)列的遞推公式

n

【解析】【分析】⑴當(dāng)叱2時(shí)，an^Sn-Sn_1^2an-2an.1-2,可得罪一粕=1，可證得數(shù)列

乙2

｛擲是等差數(shù)列；

(2)由(1)得與=2"5+1),題意轉(zhuǎn)化為5—2>^對(duì)任意TieN*恒成立，記bn=等^,由此求出2

的取值范圍.

19.【答案】(1)解：第2組的頻數(shù)為100x0.300=30人，所以①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)為

0.300,

頻率分布直方圖如圖所示,

（2）解：因?yàn)榈?、4、5組共有60名選手，

所以利用分層抽樣在60名選手中抽取6名選手進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：

第3組：^x6=3人，第4組：器x6=2人，第5組：器x6=l人，

所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面答.

設(shè)第3組的3位學(xué)生為A2,A3,第4組的2位學(xué)生為BI，B2,第5組的1位學(xué)生為CI,

則從這6位學(xué)生中抽取2位學(xué)生有：

（&，&），（&，43），（&，BJ,（&,口2）,（4，O（a，&），（&，BQ,（A2,B2）,（A2,J）,

（4,BQ,（43,B2）,（X3,CI）,（B「B2）,（%,Q）,（B2,CI）,共15種情況.

抽到的2位學(xué)生不同組的有：

（4；B］）,（41，S2）9（41，C］），（42，B］）,（“2，B?），（42，。1）,

（4,81）,（4，殳），（43，C1）,⑸,Cl）,（B2,Cl）,共n種情況.

所以抽到的2位學(xué)生不同組的概率為II

【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣方法；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計(jì)算公式

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合頻率分布表和頻率分布直方圖各小組的頻率等于各小組的矩形的面

積，進(jìn)而畫(huà)出頻率分布直方圖。

（2）利用已知條件結(jié)合分層抽樣的方法得出第3、4、5組分別抽取的人數(shù)，再結(jié)合古典概型求概率公式

得出抽到的2位學(xué)生不同組的概率。

20.【答案】（1）解：設(shè)圓C的一般式方程為：x2+y2+Dx+EyF=0,

令y=0,得%2+Dx+F=0,所以工1+x2=-D,

令％=0,得y2+Ey+F=0,所以丫1+丫2=—M

所以有％1+冷+%+%=一（D+E）=6,

所以D+E=-6,①

又圓C過(guò)點(diǎn)力（4,2）,5（1,3）,所以有42+22+4。+2E+F=0,@12+32+D+3E+F=0,③

由①②③得。=-4,E=-2,F=0,

所以圓C的一般式方程為%2+y2_軌_2y=0,標(biāo)準(zhǔn)方程為?！?)2+(y-I)2=5；

(2)解：設(shè)力(—3,—9)關(guān)于/：x+y+2=。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)力i(%i，yj，

耳=1

11+3

所以有故點(diǎn)4(7,1),

+^^+2=0

二反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)41(7,1),設(shè)反射光線所在直線方程為：kx-y-7k+l=0,

12/c-1-7/c+l|代

所以有1~123

M+1

所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為0,1].

【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜率；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合代入法和賦值法，進(jìn)而解方程組求出圓的一般方程，再轉(zhuǎn)化為圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)設(shè)4(一3,-9)關(guān)于/：x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)&Qi，yj,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直斜率

之積等于-1,進(jìn)而得出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)兒(久1，%),所以反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)&(7,1),設(shè)反射光線所在直線方

|2fc—1—7fc+l|/p-

程為：kx-y-7k+l=0,再利用點(diǎn)到直線的距離公式和已知條件得出—n=—〈V5,進(jìn)而得出反

“+1

射光線所在的直線斜率取值范圍。

21.【答案】(1)解：由五=[1,2,3]，b=[—1,1,2],知E=：+2j+3k，b=—i+j+2/c?

所以五+b=(i+2j+3k)+(—i+_/+2k)-3j+5k，

所以Z+[0,3,5];

(2)解：設(shè)：，j,Z分別為與國(guó)，AD,瓦％同方向的單位向量，

則荏=2，，AD=2j,麗=3總

①初=ADl-AE

_,1

=(AD+而)-(AB+5引)

」

2

=-AB+AD+"

.3

2f3c

=[-2,2,引

②由題前7=AB+AD+引=2：+23+3總

因?yàn)榫?[2,t,0],所以前=2：+tj.

由前1近知前.宿=(2：+2不+3%).(2：+琰)=0

=4i2+2tj2+(4+2tyi-J+-7+3tk-J=O

13t

=4+2t+(4+2t),2+3+-0

=>t=—2

貝=|2i-2j|=J(2"27)2

=J4—+4產(chǎn)一8

=V4+4—4=2?

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

【解析】【分析】(1)利用“空間斜60。坐標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)定義和向量的坐標(biāo)表示和平面向量基本

定理，進(jìn)而得出五+石的斜60。坐標(biāo)。

(2)①利用“空間斜60。坐標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)定義和向量的坐標(biāo)表示和三角形法則以及平面向量

基本定理，進(jìn)而得出向量前1的斜60。坐標(biāo)。

②利用“空間斜60。坐標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)定義和兩向量垂直數(shù)量積為。的等價(jià)關(guān)系以及數(shù)量積的

坐標(biāo)表示，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和平面向量基本定理，再利用數(shù)量積求向量的模的公式得出|施|的

值。

22.【答案】(1)解：設(shè)切線ET的方程為：y=k(x+4)

y=k(x+4)

聯(lián)立方程?y20(1+4k2)K2+32k2久+64k2-8=0—①

(⑥+丁=1

因?yàn)橹本€與橢圓C相切，所以4=(321)2_4(1+4k2)(641-8)=04/c2-1=0

1

???k>0,/c=

乙

當(dāng)上=機(jī)寸，代入①式中得/+4久+4=0,解得％=—2,進(jìn)而代入直線E