2023屆高考數(shù)學一輪復習-第2講-用樣本估計總體

第2講用樣本估計總體考向預測核心素養(yǎng)利用樣本的均值、方差估計總體的集中趨勢和離散程度是高考考查的熱點，以客觀題為主，中低難度.數(shù)據(jù)分析[學生用書P293])一、知識梳理1．總體百分位數(shù)的估計(1)百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．(2)百分位數(shù)的意義反映該組數(shù)中小于或等于該百分位數(shù)的分布特點．2．總體集中趨勢的估計名稱概念平均數(shù)如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用eq\x\to(x)表示，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應的樣本數(shù)據(jù))叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)3.總體離散程度的估計總體(樣本)方差和總體(樣本)標準差假設一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，那么這n個數(shù)的(1)標準差s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－eq\x\to(x)）2＋（x2－eq\x\to(x)）2＋…＋（xn－eq\x\to(x)）2])；(2)方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．4．分層隨機抽樣的均值與方差分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為eq\x\to(w)，樣本方差為s2.以分兩層抽樣的情況為例．假設第一層有m個數(shù)分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為seq\o\al(2,1)；第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差為seq\o\al(2,2).則eq\x\to(x)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,)(xi－eq\x\to(x))2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2.則(1)eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)；(2)s2＝eq\f(1,m＋n){m[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(w))2]＋n[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(w))2]}．常用結論1．若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\x\to(x)＋a；2．若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；3．s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．二、教材衍化1．(人A必修第二冊P202例2改編)一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為________，第86百分位數(shù)為________．解析：因為75%×20＝15，所以第75百分位數(shù)為eq\f(14＋15,2)＝14.5.因為86%×20＝17.2，所以第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)17.答案：14.5172．(人A必修第二冊P212例6改編)為調查高一年級學生期中考試數(shù)學成績的情況，從(1)班抽取了12名學生的成績，他們的平均分為91分，方差為3，從(2)班抽取了8名學生的成績，他們的平均分為89分，方差為5，則合在一起后的樣本均值為________，樣本方差為________．解析：樣本均值eq\x\to(a)＝eq\f(12×91＋8×89,12＋8)＝90.2，樣本方差s2＝eq\f(12×[3＋（91－90.2）2]＋8×[5＋（89－90.2）2],12＋8)＝4.76.答案：90.24.76一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．()(2)方差和標準差的單位是一樣的．()(3)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)的估計值．()答案：(1)×(2)×(3)√二、易錯糾偏1．(統(tǒng)計量意義作用不清致誤)某鞋店試銷一款新女鞋，銷售情況如下表：鞋號/碼3435363738394041數(shù)量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計量中對你來說最重要的是()A．平均數(shù) B.眾數(shù)C．中位數(shù) D.方差解析：選B.鞋店經(jīng)理最關心的是哪種鞋號的鞋銷量最大，即數(shù)據(jù)的眾數(shù)．2．(平均數(shù)、方差含義不明致誤)如圖所示，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，樣本標準差分別為sA和sB，則()A．eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA>sB B.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA>sBC．eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA<sB D.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA<sB解析：選B.觀察題圖可得樣本A的數(shù)據(jù)均小于或等于10，樣本B的數(shù)據(jù)均大于或等于10，故eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，又樣本B的數(shù)據(jù)波動范圍較小，故sA>sB.3．(分層隨機抽樣所得樣本的均值方差公式記憶不準致誤)某學校有高中學生500人．其中男生320人，女生180人．希望獲得全體高中生身高的信息，按照分層隨機抽樣原則抽取樣本，男生樣本量為32，女生樣本量為18，通過計算男生身高樣本均值為173.5cm，方差為17；女生身高樣本均值為163.83cm，方差為30.03，則所有數(shù)據(jù)的樣本均值為________cm，方差為________．解析：由題意得eq\x\to(ω)＝eq\f(32,50)×173.5＋eq\f(18,50)×163.83≈170.02(cm)，s2＝eq\f(1,50)×{[32×17＋32×(173.5－170.02)2]＋[18×30.03＋18×(163.83－170.02)2]}≈43.24.答案：170.0243.24[學生用書P295]考點一總體取值規(guī)律和百分位數(shù)的估計(自主練透)復習指導：通過樣本數(shù)據(jù)或統(tǒng)計圖表可對總體取值規(guī)律和百分位數(shù)進行估計．1．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是()A．該年第一季度GDP增長率由高到低排位第3的是山東省B．該年第一季度浙江省的GDP總量最低C．該年第一季度GDP總量和增長率由高到低排位均居同一位次的省份有2個D．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長解析：選B.由題圖可知A，D項均正確，該年第一季度GDP總量和增長率由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一，河南均第四，共2個，故C項正確；該年浙江省的GDP增長率最低．故B項不正確．故選B.2．為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.解析：底部周長在[80，90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90，100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24.答案：243．下表為12名畢業(yè)生的起始月薪：畢業(yè)生起始月薪畢業(yè)生起始月薪128507289022950831303305092940428801033255275511292062710122880則此12名畢業(yè)生起始月薪的第85百分位數(shù)是________．解析：將12個數(shù)據(jù)按從小到大排序：2710，2755，2850，2880，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325.計算i＝12×85%＝10.2，所以所給數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)是第11個數(shù)據(jù)3130.答案：3130(1)計算一組數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟(2)應用統(tǒng)計圖表或樣本數(shù)據(jù)提取關鍵信息，對總體取值規(guī)律作出估計，可培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．考點二總體集中趨勢的估計(綜合研析)復習指導：眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)等可以用來估計總體集中趨勢．(1)(2022·江西景德鎮(zhèn)一中7月月考)為了解果樹樹苗的生長情況，現(xiàn)從甲、乙兩個品種中各隨機抽取了100株進行高度(單位：cm)測量，并將高度數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖求得甲、乙兩個品種樹苗高度的平均值都是65.5，用樣本估計總體，則下列描述正確的是()A．甲品種的平均高度高于乙品種，但乙品種比甲品種長得整齊B．乙品種的平均高度高于甲品種，但甲品種比乙品種長得整齊C．甲、乙品種的平均高度差不多，且甲品種比乙品種長得整齊D．甲、乙品種的平均高度差不多，且乙品種比甲品種長得整齊(2)統(tǒng)計局就某地居民的月收入(單位：元)情況調查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了頻率分布直方圖(如圖)，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[2500，3000)內．①估計該地居民的月收入的中位數(shù)為________，眾數(shù)為________．②估計該地居民月收入的平均數(shù)為________．【解析】(1)由題可知，甲、乙兩個品種高度的平均值相同，均為65.5，即甲、乙品種的平均高度差不多，從頻率分布直方圖可以看出乙品種比甲品種高度更集中，長得更整齊，故選D.(2)①由題圖得，(0.0002＋0.0004＋a＋a＋0.0003＋0.0001)×500＝1，解得a＝0.0005.因為0.0002×500＝0.1，0.0004×500＝0.2，0.0005×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3500＋eq\f(0.5－（0.1＋0.2）,0.0005)＝3900.因此估計該地居民月收入的中位數(shù)是3900元．在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形底邊中點的橫坐標，所以眾數(shù)應為eq\f(3500＋4500,2)＝4000.②樣本平均數(shù)為(2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001)×500＝3900，因此估計該地居民月收入的平均數(shù)為3900元．【答案】(1)D(2)①39004000②3900估計總體集中趨勢的幾個數(shù)字特征(1)中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需要根據(jù)實際需要選擇使用．(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標；②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積和應該相等；③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和，即在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．|跟蹤訓練|1．從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總如下：身高[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]頻數(shù)535302010由此表估計這100名小學生身高的中位數(shù)為(結果保留4位有效數(shù)字)()A．119.3 B.119.7C．123.3 D.126.7解析：選C.由題意知身高在[100，110)，[110，120)，[120，130)內的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設中位數(shù)為x，則(x－120)×eq\f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C.2．(多選)(2022·遼寧新高考名校5月聯(lián)考)某大學共有12000名學生，為了了解學生課外圖書閱讀情況，該校隨機地從全校學生中抽取1000名，統(tǒng)計他們年度閱讀書籍的數(shù)量，并制成如圖所示的頻率分布直方圖，由此來估計全體學生年度閱讀書籍的情況．下列說法中不正確的是(注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)()A．該校學生年度閱讀書籍本數(shù)的中位數(shù)為6B．該校學生年度閱讀書籍本數(shù)的眾數(shù)為10C．該校學生年度閱讀書籍本數(shù)的平均數(shù)為6.88D．該校學生年度讀書不低于8本的人數(shù)約為3600解析：選ABD.對于A：由題圖可知，中位數(shù)在[4，8)內，設中位數(shù)為x，則0.06×4＋0.10×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，故A錯誤．對于B：由題圖可知，眾數(shù)在[4，8)內，故B錯誤．對于C：平均數(shù)為4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，故C正確．對于D：由題圖可知，該校抽取的學生年度讀書不低于8本的頻率之和為1－0.16×4＝0.36，所以該校學生年度讀書不低于8本的人數(shù)約為0.36×12000＝4320，D錯誤．故選ABD.考點三總體離散程度的估計(綜合研析)復習指導：通過方差、標準差等數(shù)字特征可對總體離散程度進行估計．某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表．y的分組[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80]企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．(精確到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.【解】(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為eq\f(14＋7,100)＝0.21.產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為eq\f(2,100)＝0.02.用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.(2)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝eq\f(1,100)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))ni(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,100)×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0．202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17.所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為0.30，0.17.總體離散程度的估計標準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標準差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.|跟蹤訓練|1．(多選)為了比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機抽取了該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)列表如下：甲2628312931乙2830293132以下結論正確的是()A．甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫B．甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫C．甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差D．甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差解析：選AD.方法一：因為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，所以eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，又seq\o\al(2,甲)＝eq\f(9＋1＋0＋4＋4,5)＝eq\f(18,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(4＋1＋0＋1＋4,5)＝2，所以s甲>s乙．故可判斷結論AD正確．方法二：甲地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在26和31之間，且數(shù)據(jù)波動較大，而乙地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在28和32之間，且數(shù)據(jù)波動較小，可以判斷結論AD正確．2．甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目的選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是________．解析：由題表中數(shù)據(jù)可知，乙、丙的平均環(huán)數(shù)最高，但丙方差最小，說明技術穩(wěn)定，且成績好．答案：丙[學生用書P380(單獨成冊)])[A基礎達標]1．某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成如下表格，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()環(huán)數(shù)5678910人數(shù)127631A.7，7 B.8，7.5C．7，7.5 D.8，6解析：選C.從表中數(shù)據(jù)可知7環(huán)有7人，人數(shù)最多，所以眾數(shù)是7；中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個與第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第10個數(shù)是7，第11個數(shù)是8，所以中位數(shù)是eq\f(7＋8,2)＝7.5.2．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B.平均數(shù)C．方差 D.極差解析：選A.記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)．3．(2022·河南部分名校第一次階段性測試)下圖是2012—2020年我國快遞業(yè)務量變化情況統(tǒng)計圖，則這9年我國快遞業(yè)務量同比增速的中位數(shù)為()A．30.5% B.48.0%C．51.4% D.51.9%解析：選B.將各年我國快遞業(yè)務量同比增速按從小到大排列得25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位數(shù)為第5個數(shù)48.0%.故選B.4．(2022·安徽江淮十校第一次聯(lián)考)某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了解該公司職工的年齡構成情況，隨機采訪了9名職工，得到的數(shù)據(jù)(單位：歲)為36，36，37，37，44，40，43，44，43，若用樣本估計總體，則年齡在(eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s)(eq\o(x,\s\up6(－))為平均數(shù)，s為標準差)內的人數(shù)占公司總人數(shù)的百分比是(精確到1%)()A．56% B.14%C．25% D.67%解析：選A.eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(36＋36＋37＋37＋44＋40＋43＋44＋43,9)＝40，s2＝eq\f(16＋16＋9＋9＋16＋0＋9＋16＋9,9)＝eq\f(100,9)，s＝eq\f(10,3)，所以年齡在(eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s)即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110,3)，\f(130,3)))內的人數(shù)為5，eq\f(5,9)×100%≈56%，故選A.5．(多選)(2021·新高考卷Ⅱ)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是()A．樣本x1，x2，…，xn的標準差B．樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C．樣本x1，x2，…，xn的極差D．樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)解析：選AC.由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選AC.6．在樣本的頻率分布直方圖中，共有8個小長方形，若最后一個小長方形的面積等于其他7個小長方形的面積和的eq\f(1,4)，且樣本容量為200，則第8組的頻數(shù)為________．解析：設最后一個小長方形的面積為x，則其他7個小長方形的面積和為4x，從而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8組的頻數(shù)為200×0.2＝40.答案：407．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為________．解析：設5個班級中參加的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，則由題意知eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五個整數(shù)的平方和為20，則必為0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知參加的人數(shù)分別為4，6，7，8，10，故最大值為10.答案：108．將高三某班60名學生參加某次數(shù)學模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖(如圖)，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是__________．(結果保留兩位小數(shù))解析：由題圖可知，分數(shù)在120分以下的學生所占的比例為(0.0100＋0.0150＋0.0150＋0.0300)×10×100%＝70%，分數(shù)在130分以下的學生所占的比例為(0.0100＋0.0150＋0.0150＋0.0300＋0.0225)×10×100%＝92.5%.因此，80%分位數(shù)一定位于[120，130]內．因為120＋eq\f(0.80－0.70,0.925－0.70)×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44.答案：124.449．在一次全省科普知識競賽中，某市3000名參賽選手的初賽成績的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求t的值，并估計該市選手在本次競賽中，成績在[80，90)內的選手人數(shù)；(2)如果在本次競賽中該市計劃選取1500人入圍決賽，那么進入決賽選手的分數(shù)應該如何制定？(結果保留整數(shù))解：(1)依題意，(2t＋3t＋7t＋6t＋2t)×10＝1，所以t＝0.005.所以成績在[80，90)內的頻率為6×0.005×10＝0.3，故所求選手人數(shù)為3000×0.3＝900.(2)要選取1500人入圍決賽，即求該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．因為成績在前三組的頻率為(2＋3＋7)×0.005×10＝0.6>0.5，成績在前兩組的頻率為(2＋3)×0.005×10＝0.25<0.5，所以中位數(shù)在區(qū)間[70，80)內，所以中位數(shù)為70＋eq\f(0.5－0.25,0.035)≈77，故進入決賽選手的分數(shù)應該制定為77分．10．在一次數(shù)學知識競賽中，兩組學生的成績如下：分數(shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212經(jīng)計算，兩組的平均分都是80分，請根據(jù)所學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這次競賽中哪個組更優(yōu)秀，并說明理由．解：從不同的角度分析如下：①甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)這一角度看，甲組成績好些．②seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.同理得seq\o\al(2,乙)＝256.因為seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定．③甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好．④從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于90分的有20人，乙組成績大于或等于90分的有24人，所以乙組成績在高分段的人數(shù)多．同時，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成績較好．[B綜合應用]11．(多選)(2022·江川二中高二期中考試)某研究機構為了實時掌握當?shù)匦略龈咚龠\行情況，在某服務區(qū)從小型汽車中抽取了80名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．下列結論正確的是()A．這80輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計值為77.5B．這80輛小型車輛車速的中位數(shù)的估計值為77.5C．這80輛小型車輛車速的平均數(shù)的估計值為77.5D．在該服務區(qū)任意抽取一輛車，估計車速超過75km/h的概率為0.65解析：選ABD.對于A：由題圖可知，眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應的值eq\f(75＋80,2)＝77.5，故A正確．對于B：[60，65)，[65，70)，[70，75)所對應的矩形的面積分別為0.05，0.1，0.2，其和為0.35<0.5，而[75，80)對應的矩形面積為0.3，因此中位數(shù)的估計值為75＋eq\f(0.5－0.35,0.3)×5＝77.5，故B正確．對于C：平均數(shù)的估計值為62.5×0.05＋67.5×0.1＋72.5×0.2＋77.5×0.3＋82.5×0.25＋87.5×0.1＝77，故C錯誤．對于D：估計車速超過75km/h的概率為(0.06＋0.05＋0.02)×5＝0.65，故D正確．故選ABD.12．(多選)(2022·福建三明5月三模)某市原來開汽車上班的唐先生累計了過去一年每個工作日的上班通行時間，并進行初步整理，得到如下頻率分布表(T表示通行時間，單位：min)．T[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]頻率0.10.30.30.20.1該市號召市民盡量減少開車出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排，唐先生積極響應政府號召，準備每天從騎自行車和開汽車兩種出行方式中隨機選擇一種，如果唐先生選擇自行車，當天上班的平均通行時間為30min.將頻率視為概率，以各組區(qū)間的中點值代表該組的值，根據(jù)用樣本估計總體的思想對唐先生上班通行時間進行判斷，以下說法不正確的是()A．開汽車出行的通行時間的中位數(shù)為27.5minB．開汽車出行的通行時間少于40min的概率為0.01C．選擇騎自行車比開汽車平均通行時間多耗費5minD．若選擇騎自行車和開汽車的概率相等，則平均通行時間為28.5min解析：選ABC.對于A，由頻率分布表可知中位數(shù)在[25，30)內，若設中位數(shù)為a，則有0.1＋0.3＋eq\f(0.3,5)(a－25)＝0.5，解得a＝eq\f(80,3)<27.5，所以A錯誤；對于B，由頻率分布表可知開汽車出行的通行時間少于40min的概率為1，所以B錯誤；對于C，由頻率分布表可得開汽車平均通行時間為0.1×17.5＋0.3×22.5＋0.3×27.5＋0.2×32.5＋0.1×37.5＝27(min)，所以選擇騎自行車比開汽車平均通行時間多耗費3min，所以C錯誤；對于D，由上面的計算可知平均通行時間為eq\f(27＋30,2)＝28.5(min)，所以D正確．故選ABC.13．某醫(yī)院急救中心關于病人等待急診的時間記錄如下表：等待時間/分0～55～1010～1515～2020～25頻數(shù)48521用上述分組資料計算出病人平均等待時間的估計值x＝________，病人等待時間標準差的估計值s＝________．(精確到小數(shù)點后兩位)解析：eq\x\to(x)＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)÷20＝9.5，s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]÷20＝28.5，所以s＝eq\r(28.5)≈5.34.答案：9.55.3414．氣象意義上從春季進入夏季的標志為：連續(xù)5天每天日平均溫度不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：℃)．①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，平均數(shù)為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，平均數(shù)為26，方差為10.2.則肯定進入夏季的地區(qū)有________個．解析：甲地肯定進入夏季，因為眾數(shù)為22，所以22℃至少出現(xiàn)兩次，若有一天低于22℃，則中位數(shù)不可能為24