甘肅省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

第1頁/共1頁2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測卷高二數(shù)學(xué)（120分鐘150分）1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，進(jìn)而得到傾斜角.【詳解】的斜率為，又傾斜角，故直線傾斜角為.故選：B2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，且滿足，則等于（）A.34 B.30 C.28 D.22【答案】B【解析】【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，公差為2，且滿足，所以，故選：B.3.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求出，根據(jù)拋物線方程得出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，所以拋物線準(zhǔn)線方程為.故選：C.4.已知點(diǎn)為圓上兩點(diǎn)，若，且，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)弦長及面積求出圓心到直線的距離為，再由勾股定理求得半徑.【詳解】因?yàn)?，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以，所以．故選：C．5.已知某校教學(xué)樓共有四層，每層有8個(gè)班級(jí)，先從四個(gè)樓層中選取兩層，然后從所選的樓層中一層選3個(gè)班級(jí)，另一層選4個(gè)班級(jí)進(jìn)行衛(wèi)生檢查，則不同的選取方式共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】由組合知識(shí)，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理得到答案.【詳解】先從四個(gè)樓層中選取兩層，方案有種，從所選的樓層中一層選3個(gè)班級(jí)，另一層選4個(gè)班級(jí)進(jìn)行衛(wèi)生檢查，方案有種，綜上，不同的選取方式有種.故選：A6.若雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則其離心率為（）A. B. C.2或 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)漸近線的夾角可得的值，從而可求離心率.【詳解】由題設(shè)可得漸近線的方程為，因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角為，故直線的傾斜角為或，故或，故或，故選：C.7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，若的前7項(xiàng)和為，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為（）A. B. C. D.60【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得到，結(jié)合等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為得到，進(jìn)而證明數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，前項(xiàng)和為若，則，，不符合題意，所以，所以由得到，，將代入得，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，則，所以數(shù)列也為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，所以數(shù)列的前7項(xiàng)和為，故選：D8.設(shè)分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的周長為，且，則的面積為（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，結(jié)合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面積.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得，又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即，∴，C選項(xiàng)正確；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線和直線，則直線平行的充分不必要條件可以是（）A. B.或C. D.【答案】AC【解析】【分析】求出直線平行的充要條件，再由充分不必要條件的定義即可得答案.【詳解】解：當(dāng)直線平行時(shí)，則有，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)兩直線平行，所以直線平行的充要條件為或，由充分不必要條件的定義可知A，C滿足題意.故選：AC．10.在下列關(guān)于二項(xiàng)式的命題中，正確的是（）A.的展開式中，一共有6項(xiàng)B.在的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為64C.若，則D.二項(xiàng)式，若，則【答案】ABC【解析】【分析】應(yīng)用展開式的性質(zhì)判斷A；利用展開式二項(xiàng)式系數(shù)的和公式求解判斷B；令與，可求得的值判斷C；求得中的系數(shù)即可計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，二項(xiàng)式展開式一共有6項(xiàng)，A正確；對(duì)于B，在的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故B正確；對(duì)于C，令，可得，令，可得，所以，故C正確；對(duì)于D，二項(xiàng)式，則，令，得，則，故D不正確.故選：ABC.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，過作的垂線，垂足分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若直線的斜率為1，則 B.以為直徑的圓與軸相切C. D.【答案】BD【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程，求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線定義結(jié)合韋達(dá)定理判斷A；利用拋物線定義，結(jié)合圓的切線判斷B；舉例說明判斷C；推理證得判斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，點(diǎn)，設(shè)，對(duì)于A，直線，由消去得，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，線段中點(diǎn)橫坐標(biāo)，弦中點(diǎn)到軸的距離為，因此以為直徑的圓與軸相切，B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，同理，則，因此，D正確.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及拋物線過焦點(diǎn)的弦問題，合理利用拋物線的定義是解決問題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則通項(xiàng)公式為_________．【答案】【解析】【分析】變形得到，故為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，其中，故為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，所以.故答案為：13.在的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)中第三項(xiàng)和第四項(xiàng)相等且最大，則的系數(shù)為__________．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的概念以及組合數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，得，因?yàn)榈耐?xiàng)公式為，令，即，則的系數(shù)為.故答案為：40.14.已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】【分析】利用“點(diǎn)差法”求得直線斜率，寫出直線方程，聯(lián)立方程組結(jié)合弦長公式即可求解.【詳解】設(shè),則，兩式作差可得：，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，則，所以直線的方程為，聯(lián)立，則，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.甲、乙、丙做四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作只需1人完成，每人至少完成1項(xiàng)工作．（1）共有多少種不同的情況；（2）求甲做工作的概率．【答案】（1）36（2）【解析】【分析】（1）由題意可知有1人做兩項(xiàng)工作，其余2人各做一項(xiàng)工作，根據(jù)排列與組合的知識(shí)求解即可；（2）分甲只做工作和甲做工作及中的任意一項(xiàng)工作，求解即可.【小問1詳解】解：甲、乙、丙做四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作只需1人完成，每人至少完成1項(xiàng)工作，故有1人做兩項(xiàng)工作，其余2人各做一項(xiàng)工作，共有種情況．【小問2詳解】解：甲做工作的情況有2種：①甲只做工作，共有種情況；②甲做工作及中的任意一項(xiàng)工作，共有種情況，所以甲做工作的情況有種，故所求概率為．16.已知圓，圓．（1）若兩圓公共弦所在直線的方程為，求的值；（2）若圓與直線相交于兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)圓所滿足的條件得到不等式，得到，兩圓相減得，根據(jù)公共弦方程，得到，求出答案；（2）由求出圓心到直線的距離，進(jìn)而由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出.【小問1詳解】由題意，得，解得．，，兩式相減得．又兩圓公共弦所在直線的方程為，即，所以，即，滿足，故；【小問2詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：．設(shè)圓的半徑為．在中，取的中點(diǎn)，連接，如圖．因?yàn)?，所以．又因?yàn)闉閳A心到直線的距離，所以，所以，解得．17.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為2，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng)．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，故可求證為等差數(shù)列，故可求的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和可求.【小問1詳解】由，得，否則，依次，這與題設(shè)矛盾，而，于是，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，故，所以．【小問2詳解】由（1）得．設(shè)數(shù)列的公比為，則，且．因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即，解得或（舍去）或（舍去），所以，所以，所以．所以．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)，焦距為，過點(diǎn)且斜率為的直線（1）求橢圓的方程；（2）求斜率的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)求出基本量后可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用判別式為正可求參數(shù)的范圍；（3）結(jié)合（2）中結(jié)果可求兩點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題意得，又，所以，所以的方程為．小問2詳解】過點(diǎn)且斜率為的直線的方程為，聯(lián)立與，得，，解得或，故斜率的取值范圍是．【小問3詳解】時(shí)，，聯(lián)立得，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故或．19.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，實(shí)軸長為2，為的右支上一點(diǎn)，且．（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，過分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，與雙曲線分別交于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合雙曲線的定義可得，根據(jù)