甘肅省天水市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁天水三中2024年秋季學(xué)期高二年級第一次月考數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘；滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共計40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算法則可直接得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】，則其虛部為.故選：B.3.在等比數(shù)列中，若，則的公比（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】是等比數(shù)列，依題意，，所以.故選：B4.已知遞增的等比數(shù)列中，前3項(xiàng)的和為7，前3項(xiàng)的積為8，則的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】首先由前3項(xiàng)的和為7，得出，再由前3項(xiàng)的積為8，根據(jù)下標(biāo)和定理得出，則代入求值，結(jié)合為遞增的等比數(shù)列，得出的值，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】由前3項(xiàng)的和為7，得前3項(xiàng)的積為8，得，即，則，代入，得，即，解得或，因?yàn)闉檫f增的等比數(shù)列，所以，則，所以，故選：D．5.在等差數(shù)列中，首項(xiàng)為，公差為，則（）A.2 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，首項(xiàng)為，公差為，則.故選：D.6.數(shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是（）A.， B.，2 C.，2 D.，【答案】D【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)定義分別進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)等差中項(xiàng)的定義可知，1與4的等差中項(xiàng)為；根據(jù)等比中項(xiàng)的定義可得，1與4的等比中項(xiàng)G滿足G2＝1×4＝4，G＝±2.故選：D.7.明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由n，和d求各項(xiàng)的問題，如九兒問甲歌：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七．借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”則該問題中老人的長子的歲數(shù)為（）A.35 B.32 C.29 D.26【答案】A【解析】【分析】由題意可得九個兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)的求和公式列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意，九個兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)長子的歲數(shù)為，則，解得．故選：A8.在等比數(shù)列中，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由下標(biāo)和性質(zhì)求出，再由下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.【詳解】由，得，則.故選：B二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分.）9.下面四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）．A.1，，，，…，，…B.，，，，…，，…C.，，，…，，…D.1，，，…，，…【答案】BD【解析】【分析】按已知條件逐一分析各個選項(xiàng)即可得解.【詳解】對于A，1，，，，…，，…為遞減數(shù)列，故A錯誤；對于B，，，，，…，，…為遞增數(shù)列，且是無窮數(shù)列，故B正確；對于C，，，，…，，…中，故不是遞增數(shù)列，故C錯誤；對于D，1，，，…，，…既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的，故D正確.故選：BD.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)為、、、、，則的通項(xiàng)公式可能為（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用觀察法可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】觀察數(shù)列的前項(xiàng)可知，的通項(xiàng)公式可能為，因?yàn)?，故，若，則，不合乎題意.故選：ABC.11.已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件B.是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件C.若a，b，c成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列D.若a，b，c成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可得出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)等差中項(xiàng)即可得出是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件，故A正確；對于選項(xiàng)B：，即，又a，b，c為非零實(shí)數(shù)，所以根據(jù)等比中項(xiàng)即可證明a，b，c成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，只能證明，即是a，b，c成等比數(shù)列的充分不必要條件，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：若a，b，c成等比數(shù)列，則，則，則，，成等比數(shù)列，故C正確；對于選項(xiàng)D：若a，b，c成等差數(shù)列，則，無法得到，故D錯誤；故選：AC.12.設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差為d，且滿足，則對描述正確的有（）A.是唯一最大值 B.是最大值C. D.是最小值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由得，而則，所以是的最大值，A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.由于，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以沒有最小值，D選項(xiàng)錯誤.故選：BC第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共計20分）13.在等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，已知，，則___________.【答案】15【解析】【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出，，由此能求出.【詳解】在等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，，，∴，解得，，故答案為：15.14.已知數(shù)列滿足，，則________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合題意運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，可知，且，所?故答案為：.15.已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為________．【答案】【解析】【分析】先由兩點(diǎn)間斜率公式可得，再由斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以．設(shè)直線的傾斜角為，則，所以．故答案為：．16.數(shù)列中，，則數(shù)列{an}的前2024項(xiàng)和________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】依題意，，所以故答案為：四、解答題（本題共6小題，17題10分，其余每題12分，共70分.解題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a2=2，a5=16，求：（1）a1與公比q的值；（2）數(shù)列前6項(xiàng)的和S6.【答案】（1）；（2）63.【解析】【分析】（1）由已知得，解方程組可得；（2）把所求與代入等比數(shù)列的求和公式化簡可得．【詳解】（1）由已知得，解得（2）由求和公式可得18.根據(jù)下列條件寫出直線方程，并化為一般式：（1）斜率是且經(jīng)過點(diǎn)；（2）經(jīng)過兩點(diǎn)；（3）在軸上的截距分別為，.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；（2）利用直線的兩點(diǎn)式方程進(jìn)行求解即可；（3）利用直線的截距式方程進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由直線的點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為，化為一般式方程為；【小問2詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可知，所求直線方程為，化為一般式方程為；【小問3詳解】由直線的截距式方程可知，所求直線方程，化為一般式方程為.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列；（2）求的最小值，并求取得最小值時n的值.【答案】（1），是等差數(shù)列（2）最小值，【解析】【分析】（1）根據(jù)計算，然后驗(yàn)證即可；（2）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解取得最小值時n的值.【小問1詳解】當(dāng)時，有.當(dāng)時，有.又因?yàn)椋詴r也成立，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.因?yàn)?，所以是等差?shù)列.【小問2詳解】（方法一）因?yàn)?，又因?yàn)閚是正整數(shù)，所以當(dāng)或8時，最小，最小值是.（方法二）由可知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，而且首項(xiàng).令，可得，解得，而且0.由此可知，或8時，最小，最小值是.20.某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語文成績，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語文成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）請估計本次聯(lián)考該校語文成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（3）樣本內(nèi)語文分?jǐn)?shù)在的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績在中的概率．【答案】（1）0.01；（2）中位數(shù)是，平均數(shù)是；（3）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖直接列式計算作答.（2）利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)的方法列式計算作答.（3）求出分?jǐn)?shù)在的人數(shù)，再用列舉法結(jié)合古典概率公式計算作答.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在區(qū)間、的頻率分別為0.34，0.62，因此，該校語文成績的中位數(shù)，則，解得，語文成績的平均數(shù)為，所以該校語文成績的中位數(shù)是，語文成績的平均數(shù)是.小問3詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)分別有8人和2人，因此抽取的5人中，分?jǐn)?shù)在內(nèi)有人，在內(nèi)有1人，記內(nèi)的4人為a，b，c，d，在內(nèi)的1人為F，從5人中任取2人的結(jié)果有：，共10個不同結(jié)果，它們等可能，選出的2人中恰有一人成績在中的結(jié)果是：，所以選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績在中的概率是.21.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列，a＝2．（1）若c＝1，求b；（2）若△ABC的面積為，求c．【答案】（1）；（2）2．【解析】【分析】（1）由A，B，C成等差數(shù)列及三角形內(nèi)角和為π可得B的值，在三角形中由余弦定理可得b的值；（2）由三角形的面積公式求出c邊．【詳解】（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B＝A+C，而