廣東省大灣區(qū)2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

第1頁/共1頁2025屆高三年級模擬聯(lián)考?數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出后，用2B鉛筆把答案上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一是合題目要求的.1.設(shè)集合.則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】通過解二次不等式及對數(shù)不等式可化簡集合，然后由交集定義可得答案.【詳解】或，，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3.如圖，某雙曲線筆簡的軸截面曲線部分為一條離心率為且焦距為的雙曲線的一部分.忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出，該筆筒中間最窄處的直徑為得解.【詳解】依題意可得，所以，所以該筆筒中間最窄處的直徑為.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)和差角的余弦公式即可求解.【詳解】.故選：A.5.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.4 B.或1 C. D.4或【答案】B【解析】【分析】將平方化簡得，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式列式計(jì)算即可.【詳解】將兩邊平方，得，由得，即，解得或1.故選：B.6.已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得在0,+∞上單調(diào)遞增，后由零點(diǎn)存在性定理結(jié)合冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】注意到函數(shù)圖象在0,+∞上連續(xù)不間斷，因?yàn)樵?,+∞上均單調(diào)遞增，則在0,+∞上單調(diào)遞增.對于A，.因函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，則在上無零點(diǎn)，故A錯誤；對于B，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，則，結(jié)合，故在上存在零點(diǎn)，故正確；對于CD，由于在0,+∞上單調(diào)遞增，，可知C?D都是錯誤的.故選：B.7.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布服從二項(xiàng)分布，則（）A. B.C.， D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及二項(xiàng)分布的期望和方差公式即可求解AB，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式即可求解C，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性質(zhì)即可求解D.【詳解】，故AB錯誤；，故C錯誤；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，故D正確.故選:D.8.已知，其中相鄰的兩條對稱軸的距離為，且經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的方程在上的不同解的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】把方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合可找到答案.【詳解】由已知相鄰兩條對稱軸的距離為，可得，又，可得，由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則，即，又，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以在函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了弘揚(yáng)奧運(yùn)會中我國射擊隊(duì)頑強(qiáng)拼博的布斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)射擊比賽，得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)為：6，6，7，8，9，9，9，10（位：環(huán)），則這組樣本數(shù)據(jù)的（）A.極差為4 B.平均數(shù)是8C.75%分位數(shù)是9 D.方差為4【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)極差、方差、平均數(shù)、百分位數(shù)定義，結(jié)合給定數(shù)據(jù)求對應(yīng)值，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序，得，這組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；平均數(shù)為，故B正確；因?yàn)椋缘?5%分位數(shù)為，故C正確；方差為，故D錯誤.故選：ABC10.設(shè)函數(shù)，則（）A.有三個(gè)零點(diǎn)B.是的極小值點(diǎn)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義直接判斷A選項(xiàng)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，可判斷BD選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性可判斷C選項(xiàng).【詳解】對于A，令，解得或，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯誤；對于B，由，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，f′x>0，即在和1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′x<0，即在?1,1所以是的極小值點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對于C，因?yàn)?，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C選項(xiàng)正確；對于D，當(dāng)x∈?1,1時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，所以，故D選項(xiàng)錯誤；故選：BC.11.曲線上任點(diǎn)，滿足點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為6，則下列說法中正確的有（）A.曲線經(jīng)過原點(diǎn)B.曲線關(guān)于軸對稱C.曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為D.直線被曲線截得的線段長為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可列方程，即可化簡，作出函數(shù)圖象即可求解AB，結(jié)合拋物線的性質(zhì)即可求解C，聯(lián)立方程，即可求解D.，【詳解】設(shè)點(diǎn)Px,y，因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為6，所以，當(dāng)時(shí)，得，兩邊同平方，得；當(dāng)時(shí)，得，兩邊同平方，得，對于A，如圖，曲線過原點(diǎn)，A正確；對于B，由圖易知，兩段拋物線弧均關(guān)于軸對稱，故曲線關(guān)于軸對稱，B正確；對于C，若點(diǎn)Px,y在上，得，所以，若點(diǎn)Px,y在上，同理得，C錯誤；對于D，由，得或（舍去），由，得或（（舍去），故與曲線交于點(diǎn)，則，可得，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)yy的取值范圍去掉絕對值符號，得到分段函數(shù).三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為.令，則，故的系數(shù)是.故答案為：6013.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為，母線長最短，最長，則斜截圓柱的體積為__________【答案】【解析】【分析】將如圖所示的相同的兩個(gè)幾何體拼接為圓柱，求出圓柱的體積即可得答案.【詳解】將如圖所示的相同的兩個(gè)幾何體拼接為圓柱，則圓柱底面半徑為，高為，體積為，則該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即.故答案為：14.若直線（為常數(shù)）與曲線，曲線均相切，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，根據(jù)兩直線相等，列方程可得，進(jìn)而代入在直線上，求解.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)直線與fx=lnx的切點(diǎn)為，則切線方程為，即，又因?yàn)椋越獾?，所以切線方程為，因?yàn)?，所以，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，所以①，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線上，所以②，由①和②可得，所以，解得.故答案為：四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?運(yùn)用過程及演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知.（1）求角的大小；（2）已知.求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩角和的余弦公式化簡結(jié)合二倍角的余弦公式即可求出的值，進(jìn)而可求角；（2）由余弦定理可得，再利用三角形面積公式即可求出.【小問1詳解】因?yàn)?，即，解得?因?yàn)樵谥校?，所以【小?詳解】在中，由余弦定理，得，整理得，由，解得，所以的面積為.16.如圖，在三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，其對角線交于點(diǎn).且平面.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】分析】（1）通過證明，可證明結(jié)論；（2）方法1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，然后由空間向量知識可得答案；方法2，取中點(diǎn)，連接，由題可得平面與平面的夾角即為，然后可得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又因平面，且平面，所?又平面，所以平面.【小問2詳解】方法1，由，四邊形為菱形，，則是邊長為2的等邊三角形.所以.因?yàn)槠矫?，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，取，則，故，易知平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的余弦值cosθ故平面與平面夾角的余弦值為；方法2，由，四邊形為菱形，，則是邊長為2的等邊三角形，所以，所以.取中點(diǎn)，連接，在等腰直角中，且，由勾股定理得.因?yàn)?，則，.注意到，平面平面，所以平面與平面的夾角即為.在中，，則，即，故平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)的方法分別判定單調(diào)性即可.（2）由（1）中函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，以及，可判斷當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到，再令，對其求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出其最值，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由恒成立，得恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故恒成立，因此，所以.18.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)且的周長為.（1）求橢圓的方程.（2）若直線過點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)（i）求直線的方程；（ii）已知點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）（i）或；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列方程，求出，即可得答案；（2）（i）判斷直線斜率存在，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意可得，化簡即可求得答案；（ii）利用弦長公式求出，再求出Q到直線AB的距離，即可求得答案.【小問1詳解】根據(jù)題意有，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】（i）若直線的斜率不存在，其垂直平分線與軸重合，不符合題意；不妨設(shè)直線的方程為的中點(diǎn)為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立有，整理得，直線過橢圓焦點(diǎn)，必有，則，所以，由題意知，即，解得，即，整理得直線的方程為或（ii）由弦長公式可知，由直線的對稱性，知點(diǎn)到兩條直線的距離相同，即，所以的面積為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)，對任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若，請判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)；（2）若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件；（3）已知數(shù)列中，且.若數(shù)列只有性質(zhì)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）數(shù)列不具有“性質(zhì)”（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義和遞推公式結(jié)合放縮法判斷即可；（2）先證明充分性，依題意可得，即可得到，從而得，再根據(jù)定義證明必要性即可；（3）首先根據(jù)定義證明，然后利用反證法證明，即可得到，結(jié)合即可得解.【小問1詳解】，對于，故，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”.【小問2詳解