廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次階段測試數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁2024-2025學(xué)年深圳市第二高級(jí)中學(xué)第二階段考試高二數(shù)學(xué)命題人:劉曉華審題人:伍友時(shí)間:120分鐘滿分:150分一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)的特征求解即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行求得，再結(jié)合兩平行線間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】若直線與直線平行，則，解得，此時(shí)兩直線方程分別為和，兩直線平行，符合題意，所以這兩條直線間的距離為.故選：B.3.橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由對(duì)稱的關(guān)系表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡可求出橢圓的離心率【詳解】設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)镕關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q，所以，即，解得，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，得，又，即，所以所以該橢圓的離心率是.故選：C4.已知雙曲線，則過點(diǎn)與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有（）A.4條 B.3條 C.2條 D.1條【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系確定滿足條件的直線的條數(shù).【詳解】分析條件可得：點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且位于第一象限，和雙曲線的右頂點(diǎn)有相同橫坐標(biāo)，如圖：所以過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線只有兩條：一條是切線：x=2，一條是過點(diǎn)且與另一條漸近線平行的直線.故選：C5.四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)用表示向量，對(duì)照系數(shù)，求得，代入可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，解得，所以，故選：B.6.已知中心在原點(diǎn)，半焦距為4的橢圓被直線方程截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)差法可得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率關(guān)系，運(yùn)算可得解.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，直線的斜率.由，得，得，所以，即，，，，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.7.如圖，二面角等于是棱上兩點(diǎn)，，且，則CD的長等于（）A.26 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】依題意，可得，再由空間向量的模長計(jì)算公式，代入求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，所以，由，得，又因?yàn)椋?，所以，?故選：A.8.直線l：（參數(shù)，）的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】直線，因?yàn)椋?，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的斜率，因?yàn)椋?，?故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.兩個(gè)圓的公切線有2條B.的取值范圍為C.兩個(gè)圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在該圓上D.兩個(gè)圓的公共弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)和半徑可判斷出兩圓外離，即A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；利用圓上點(diǎn)最值關(guān)系可得B正確，易知直線即為兩圓對(duì)稱軸，可得C正確.【詳解】易知圓的圓心為，半徑將化為，可知圓心為，半徑；對(duì)于A，易知兩圓心距，可知兩圓外離，所以兩個(gè)圓的公切線有4條,即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為，即B正確；對(duì)于C，顯然兩圓圓心，都在直線上，因此直線即為兩圓對(duì)稱軸，即可判斷C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知兩圓外離，即不存在公共弦，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知橢圓為橢圓上任意一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為8B.存在點(diǎn)使得的長度為4C.橢圓上存在4個(gè)不同的點(diǎn)，使得D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，先根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系求解方程，再根據(jù)橢圓的定義求解即可；對(duì)B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷即可；對(duì)C，根據(jù)可得的軌跡，再分析與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；對(duì)D，根據(jù)的面積表達(dá)式分析即可.【詳解】對(duì)A，橢圓，則過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為，故A正確；對(duì)B，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，即，故，即不存在點(diǎn)，使得的長度為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點(diǎn)，易得該圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，即橢圓上存在4個(gè)不同的點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)D，的周長為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，故當(dāng)最大時(shí)最大，此時(shí)為上下頂點(diǎn)，，則，解得，故D正確.故選：ACD11.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點(diǎn)，為底面正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.直線平面C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.當(dāng)?shù)恼兄禐?時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】由三棱錐的體積公式直接求出A正確；建立如圖所示空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用兩向量的數(shù)量積不為零得到與不垂直可得B錯(cuò)誤；求出平面的法向量，利用點(diǎn)到面的距離公式可得C正確；當(dāng)?shù)恼兄禐?時(shí)，不變得到點(diǎn)的軌跡，再求其長度可得D正確；【詳解】對(duì)于A，如圖1，因，故A正確；對(duì)于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上圖建系，設(shè)P的坐標(biāo)為，當(dāng)，有，則，設(shè)平面的法向量，則，故．取平面一點(diǎn)A與點(diǎn)E構(gòu)成，所以點(diǎn)E到平面的距離，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镻為底面正方形的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)恼兄禐?時(shí)，不變，由圓錐性質(zhì)可知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為高，為母線的圓錐的底面圓周，此時(shí)為底面半徑r，又因?yàn)镻在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以P的軌跡是底面圓周的；當(dāng)?shù)恼兄禐?，則為，所以P的軌跡長為，故D正確，故選：ACD．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量，則點(diǎn)到直線的距離為_____.【答案】##【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的空間向量距離公式求出答案.【詳解】，，故在上的投影向量的模為，故B點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.13.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦長的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】可知直線過定點(diǎn)，可知圓心到直線的距離，即可得弦長的取值范圍.【詳解】直線的方程可化為，令得，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，即點(diǎn)A在圓內(nèi)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，不妨設(shè)圓心到直線的距離為，當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓心到直線的距離為，此時(shí)弦長取最大，為，當(dāng)時(shí)，，，所以，即的斜率為，即，此時(shí)直線的方程為：，即；圓心到直線的距離為，此時(shí)弦長取最小，，所以弦長的取值范圍為；故答案為：.14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與漸近線垂直，垂足為點(diǎn)，延長交于點(diǎn).若，則的離心率為_____.【答案】##【解析】【分析】設(shè)的左焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義，得，又，，在中，由余弦定理可得，結(jié)合可得，求得答案.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，從而.設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，由雙曲線的定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓C：的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，求m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通過短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離可知，進(jìn)而利用離心率的值計(jì)算即得結(jié)論；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出.【詳解】解：（1）由題意可得，解得：，，橢圓C的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，得，，，，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)?韋達(dá)定理?弦長公式，屬于中檔題.16.如圖，在正方體中，點(diǎn)分別在上，且.（1）若，證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，故，得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用法向量求解出面面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，故，，又，，故，，又，，故，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】以坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為3，則，可得，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，令得，，故，且平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角的大小為，則所以平面與平面夾角余弦值為.17.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知直線過點(diǎn)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得圓C的方程；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式和數(shù)形結(jié)合即可求得直線l的方程.【小問1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A心C在直線上，①，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，將A，B兩點(diǎn)代入圓方程可得：②，③，聯(lián)立①②③解得，，，，圓C的方程為.【小問2詳解】因?yàn)閳AC上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，圓心C到直線l的距離，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，圓心C到直線l的距離為1，符合題意；當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，圓心C到直線l的距離，解得，直線l的方程為，即，綜上，所求直線l的方程為或.18.在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖）．將沿折起到位置，使得平面平面（如圖）．（1）求證：；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）連接，證明四邊形是菱形，從而證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再證明，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)樵谔菪沃?，，，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，垂足為，且為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形中，，所以，，所以，，，所以，，設(shè)為平面的法向量，則有可取，因?yàn)?，，所以，設(shè)與平面所成角為，則，所以，因?yàn)?，所以，所以線段上存在點(diǎn)，時(shí)，使得與平面所成角的正弦值為．19.由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比．已知橢圓：與橢圓：相似．（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左、右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，過分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當(dāng)時(shí)，若直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）首先得到、的長軸長、短軸長、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計(jì)算可得；（2）①設(shè)，則直線的方程為，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進(jìn)而得，再根據(jù)即可求得答案；②由題知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得，故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，進(jìn)而得其對(duì)應(yīng)的方程，再與橢圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達(dá)定理，弦長公式得、，進(jìn)而得．【小問1詳解】對(duì)于橢圓：，則長軸長為，短軸長為，焦距為，橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.【小問2詳解】①由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以．