專題訓(xùn)練：全等三角形中相關(guān)輔助線問題（原卷版）

專題訓(xùn)練：全等三角形中相關(guān)輔助線問題知識(shí)框架全等中常見輔助線總結(jié)分類講解全等中常見輔助線總結(jié)方法1截長補(bǔ)短法（往往需證2次全等）截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE（3）旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等。注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個(gè)圖形的短邊共線）例：如圖，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求證BM+CN=MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE=MN1．（2021·湖北八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2020·黑龍江龍鳳初一期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．3．（2020·浙江秀洲初二期中）（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，請(qǐng)?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進(jìn)而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．4．（2020·天津和平初二期中）(1)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，∠ECG=45°，那么EG與圖中兩條線段的和相等？證明你的結(jié)論.(2)請(qǐng)用(1)中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題，如圖，在四邊形ABCG中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長?5．（2021·湖北）如圖，△ABC為等邊三角形，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，在l上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿足∠BDC＝60°．（1）如圖1，在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點(diǎn)F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè)，其余條件不變時(shí)（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．

6．（2021·四川東辰國際學(xué)校八年級(jí)期末）已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點(diǎn)Q在DC的延長線上，點(diǎn)P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．7．（2020·江蘇八年級(jí)月考）（1）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明ABE≌ADG，再證明AEF≌AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______________；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩地分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．方法2.與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線1).已知中點(diǎn)（1）中線倍長法：將中點(diǎn)處的線段延長一倍。目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。1．（2021·北京九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，為中線，求中線的取值范圍．2．（2021·湖北隨州市·八年級(jí)期末）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．3．（2021·四川七年級(jí)期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）4．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，AB＝8，AC＝6．（1）求四邊形AEDF的周長；（2）若∠BAC＝90°，求四邊形AEDF的面積．5．（2021·湖北八年級(jí)期末）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．6．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．（1）如圖1，①若，請(qǐng)直接寫出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）向中線作垂線：過線段兩端點(diǎn)向中點(diǎn)處的線段作垂線。目的：構(gòu)造出一組全等三角形輔助線技巧：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。1．（2021·全國初三專題練習(xí)）如圖，是延長線上一點(diǎn)，且，是上一點(diǎn)，，求證：.2．（2021·全國初三專題練習(xí)）如圖，已知AD為△ABC的中線，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．3．（2020.廣東省七年級(jí)期中）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，（1）在圖中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分別為M、N；（2）求證：DM＝DN；（3）求AD＝3，求AM+AN的值．4．（2020·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．5．（2021·江蘇八年級(jí)期中）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到__________，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；（模型應(yīng)用）（2）如圖，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、=、＜”）（4）如圖，分別以的三條邊為邊，向外作正方形，連接、、．當(dāng)，，時(shí)，圖中的三個(gè)陰影三角形的面積和為__________；（5）如圖，點(diǎn)、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．6．（2021·黑龍江八年級(jí)期中）在中，直線經(jīng)過點(diǎn)，于，于，于．請(qǐng)解答下列問題：（1）如圖①，求證：；（提示：過點(diǎn)作于）（2）如圖②、圖③，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明；（3）在（1）（2）的條件下，若，，，則______．二、證中點(diǎn)（需證2次全等）（1）過端點(diǎn)作另一邊的平行線：目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn)：中線倍長的反向應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分別是AC和AC的延長線上的點(diǎn)，連接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求證：D是AC的中點(diǎn)。2.如圖，AB⊥AE，AB=AE，AC⊥AD，AC=AD，AH⊥DE于點(diǎn)H，延長AH交BC于點(diǎn)M。求證：M是BC的中點(diǎn)。3．（2020·安徽八年級(jí)期末）如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD＝CE，連接DE交底BC于G.求證：GD＝GE.4．（2020·華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖1，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且CE＝BD，連接DE交BC于點(diǎn)F．⑴求證：EF＝DF；⑵如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，求證：BC＝2FG.5．（2021·河南八年級(jí)期末）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下思路：如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論.完成下面問題：（1）這一思路的輔助線的作法是：．（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上思路的證明方法（要求：寫出輔助線的作法，畫出相應(yīng)的圖形，并寫出證明過程）．6．（2020·北京朝陽初二期末）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程）．（2）兩端點(diǎn)向中線作垂線：目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn)：與已知中點(diǎn)時(shí)向中線作垂線方法一致1．（2021·全國初三專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，延長交于.求證：.2．（2020.河北省期中）如圖．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延長線交DE于F。（1）求證：點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)；（2）求證：S△ABC＝2S△BEF．3．（2021·吉林八年級(jí)期末）如圖①，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥CA的延長線點(diǎn)E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得△ABC≌△DAE進(jìn)而得到AC=DE，BC=AE，我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型．請(qǐng)應(yīng)用上述“一線三等角”模型，解決下列問題：（1）如圖②，∠BAD=∠CAE=90°