專題訓練：全等三角形中相關輔助線問題（原卷版）

專題訓練：全等三角形中相關輔助線問題知識框架全等中常見輔助線總結分類講解全等中常見輔助線總結方法1截長補短法（往往需證2次全等）截長補短法使用范圍：線段和差的證明（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE（3）旋轉：將包含一條短邊的圖形旋轉，使兩短邊構成一條邊，證與長邊相等。注：旋轉需要特定條件（兩個圖形的短邊共線）例：如圖，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求證BM+CN=MN方法：旋轉△ABM至△ACF處，證NE=MN1．（2021·湖北八年級期末）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2020·黑龍江龍鳳初一期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．3．（2020·浙江秀洲初二期中）（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是．（2）拓展應用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．4．（2020·天津和平初二期中）(1)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，∠ECG=45°，那么EG與圖中兩條線段的和相等？證明你的結論.(2)請用(1)中所積累的經驗和知識完成此題，如圖，在四邊形ABCG中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長?5．（2021·湖北）如圖，△ABC為等邊三角形，直線l經過點C，在l上位于C點右側的點D滿足∠BDC＝60°．（1）如圖1，在l上位于C點左側取一點E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當A、B位于直線l兩側，其余條件不變時（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關系為．

6．（2021·四川東辰國際學校八年級期末）已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關系，并給出證明過程．7．（2020·江蘇八年級月考）（1）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，先證明ABE≌ADG，再證明AEF≌AGF，可得出結論，他的結論應是______________；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩地分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．方法2.與中點有關的輔助線1).已知中點（1）中線倍長法：將中點處的線段延長一倍。目的：=1\*GB3①構造出一組全等三角形；=2\*GB3②構造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中去。1．（2021·北京九年級專題練習）如圖，中，，，為中線，求中線的取值范圍．2．（2021·湖北隨州市·八年級期末）在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明．3．（2021·四川七年級期末）在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）4．（2021·江蘇八年級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，AB＝8，AC＝6．（1）求四邊形AEDF的周長；（2）若∠BAC＝90°，求四邊形AEDF的面積．5．（2021·湖北八年級期末）在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明．6．（2021·上海九年級專題練習）已知，在中，，點為邊的中點，分別交，于點，．（1）如圖1，①若，請直接寫出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關系，并說明理由．（2）向中線作垂線：過線段兩端點向中點處的線段作垂線。目的：構造出一組全等三角形輔助線技巧：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。1．（2021·全國初三專題練習）如圖，是延長線上一點，且，是上一點，，求證：.2．（2021·全國初三專題練習）如圖，已知AD為△ABC的中線，點E為AC上一點，連接BE交AD于點F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．3．（2020.廣東省七年級期中）如圖，△ABC中，D為BC的中點，（1）在圖中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分別為M、N；（2）求證：DM＝DN；（3）求AD＝3，求AM+AN的值．4．（2020·遼寧鞍山市·八年級期中）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．5．（2021·江蘇八年級期中）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖，，，過點作于點，過點作于點．由，得．又，可以推理得到．進而得到__________，．我們把這個數(shù)學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；（模型應用）（2）如圖，，，，連接，，且于點，與直線交于點．求證：點是的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、=、＜”）（4）如圖，分別以的三條邊為邊，向外作正方形，連接、、．當，，時，圖中的三個陰影三角形的面積和為__________；（5）如圖，點、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．6．（2021·黑龍江八年級期中）在中，直線經過點，于，于，于．請解答下列問題：（1）如圖①，求證：；（提示：過點作于）（2）如圖②、圖③，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需要證明；（3）在（1）（2）的條件下，若，，，則______．二、證中點（需證2次全等）（1）過端點作另一邊的平行線：目的：構造出一組全等三角形特點：中線倍長的反向應用1.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分別是AC和AC的延長線上的點，連接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求證：D是AC的中點。2.如圖，AB⊥AE，AB=AE，AC⊥AD，AC=AD，AH⊥DE于點H，延長AH交BC于點M。求證：M是BC的中點。3．（2020·安徽八年級期末）如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點，且BD＝CE，連接DE交底BC于G.求證：GD＝GE.4．（2020·華中科技大學同濟醫(yī)學院附屬中學八年級月考）如圖1，△ABC中，AB＝AC，點D在AB邊上，點E在AC的延長線上，且CE＝BD，連接DE交BC于點F．⑴求證：EF＝DF；⑵如圖2，過點D作DG⊥BC，垂足為G，求證：BC＝2FG.5．（2021·河南八年級期末）閱讀下面材料：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經過討論，同學們得到以下思路：如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結論.完成下面問題：（1）這一思路的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上思路的證明方法（要求：寫出輔助線的作法，畫出相應的圖形，并寫出證明過程）．6．（2020·北京朝陽初二期末）閱讀下面材料：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經過討論，同學們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結論．完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應的圖形，不需要寫出證明過程）．（2）兩端點向中線作垂線：目的：構造出一組全等三角形特點：與已知中點時向中線作垂線方法一致1．（2021·全國初三專題練習）如圖，在中，，，，，延長交于.求證：.2．（2020.河北省期中）如圖．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延長線交DE于F。（1）求證：點F是ED的中點；（2）求證：S△ABC＝2S△BEF．3．（2021·吉林八年級期末）如圖①，∠BAD=90°，AB=AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥CA的延長線點E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得△ABC≌△DAE進而得到AC=DE，BC=AE，我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型．請應用上述“一線三等角”模型，解決下列問題：（1）如圖②，∠BAD=∠CAE=90°