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文檔簡介
專題訓(xùn)練:全等三角形中相關(guān)輔助線問題知識(shí)框架全等中常見輔助線總結(jié)分類講解全等中常見輔助線總結(jié)方法1截長補(bǔ)短法(往往需證2次全等)截長補(bǔ)短法使用范圍:線段和差的證明(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。例:如圖,求證BE+DC=AD方法:=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF=BE(2)補(bǔ)短:將短線段延長,證與長線段相等例:如圖,求證BE+DC=AD方法:=1\*GB3①延長DC至點(diǎn)M處,使CM=BE,證DM=AD;=2\*GB3②延長DC至點(diǎn)M處,使DM=AD,證CM=BE(3)旋轉(zhuǎn):將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn),使兩短邊構(gòu)成一條邊,證與長邊相等。注:旋轉(zhuǎn)需要特定條件(兩個(gè)圖形的短邊共線)例:如圖,已知AB=AC,∠ABM=∠CAN=90°,求證BM+CN=MN方法:旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處,證NE=MN1.(2021·湖北八年級(jí)期末)如圖,△ABC中,∠B=2∠A,∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D,已知AC=16,BC=9,則BD的長為()A.6 B.7 C.8 D.92.(2020·黑龍江龍鳳初一期末)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD.求證:EF=BE+FD.3.(2020·浙江秀洲初二期中)(1)問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,請(qǐng)?zhí)骄繄D中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么?小明探究此問題的方法是:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)AG.先證明△ABE≌△ADG,得AE=AG;再由條件可得∠EAF=∠GAF,證明△AEF≌△AGF,進(jìn)而可得線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是.(2)拓展應(yīng)用:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD.問(1)中的線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.4.(2020·天津和平初二期中)(1)如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),G是AD上一點(diǎn),∠ECG=45°,那么EG與圖中兩條線段的和相等?證明你的結(jié)論.(2)請(qǐng)用(1)中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題,如圖,在四邊形ABCG中,AG//BC(BC>AG),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點(diǎn),且∠ECG=45°,BE=4,求EG的長?5.(2021·湖北)如圖,△ABC為等邊三角形,直線l經(jīng)過點(diǎn)C,在l上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿足∠BDC=60°.(1)如圖1,在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E,使∠AEC=60°,求證:△AEC≌△CDB;(2)如圖2,點(diǎn)F、G在直線l上,連AF,在l上方作∠AFH=120°,且AF=HF,∠HGF=120°,求證:HG+BD=CF;(3)在(2)的條件下,當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè),其余條件不變時(shí)(如圖3),線段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為.
6.(2021·四川東辰國際學(xué)校八年級(jí)期末)已知在四邊形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,∠BAD+∠BCD=180°,AB=BC(1)如圖1,連接BD,若∠BAD=90°,AD=7,求DC的長度.(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上,滿足PQ=AP+CQ,求證:∠PBQ=∠ABP+∠QBC(3)若點(diǎn)Q在DC的延長線上,點(diǎn)P在DA的延長線上,如圖3所示,仍然滿足PQ=AP+CQ,請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系,并給出證明過程.7.(2020·江蘇八年級(jí)月考)(1)問題背景:如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn)且∠EAF=60°,探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明ABE≌ADG,再證明AEF≌AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是______________;(2)探索延伸:如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;(3)實(shí)際應(yīng)用:如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以45海里/小時(shí)的速度前進(jìn),同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),2小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩地分別到達(dá)E、F處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.方法2.與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線1).已知中點(diǎn)(1)中線倍長法:將中點(diǎn)處的線段延長一倍。目的:=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形;=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。1.(2021·北京九年級(jí)專題練習(xí))如圖,中,,,為中線,求中線的取值范圍.2.(2021·湖北隨州市·八年級(jí)期末)在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中,有一種典型的方法是倍延中線.(1)如圖1,是的中線,求的取值范圍.我們可以延長到點(diǎn),使,連接,易證,所以.接下來,在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍,從而得到中線的取值范圍是;(2)如圖2,是的中線,點(diǎn)在邊上,交于點(diǎn)且,求證:;(3)如圖3,在四邊形中,,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,且,試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明.3.(2021·四川七年級(jí)期末)在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),連接AE,作EF⊥AE,若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上,∠BAC=α,則∠BFD=_________.(用α含的式子表示)4.(2021·江蘇八年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,AD是高,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),AB=8,AC=6.(1)求四邊形AEDF的周長;(2)若∠BAC=90°,求四邊形AEDF的面積.5.(2021·湖北八年級(jí)期末)在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中,有一種典型的方法是倍延中線.(1)如圖1,是的中線,求的取值范圍.我們可以延長到點(diǎn),使,連接,易證,所以.接下來,在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍,從而得到中線的取值范圍是;(2)如圖2,是的中線,點(diǎn)在邊上,交于點(diǎn)且,求證:;(3)如圖3,在四邊形中,,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,且,試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明.6.(2021·上海九年級(jí)專題練習(xí))已知,在中,,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),分別交,于點(diǎn),.(1)如圖1,①若,請(qǐng)直接寫出______;②連接,若,求證:;(2)如圖2,連接,若,試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(2)向中線作垂線:過線段兩端點(diǎn)向中點(diǎn)處的線段作垂線。目的:構(gòu)造出一組全等三角形輔助線技巧:銳角三角形的垂線在中線線段上;鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。1.(2021·全國初三專題練習(xí))如圖,是延長線上一點(diǎn),且,是上一點(diǎn),,求證:.2.(2021·全國初三專題練習(xí))如圖,已知AD為△ABC的中線,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn),連接BE交AD于點(diǎn)F,且AE=FE.求證:BF=AC.3.(2020.廣東省七年級(jí)期中)如圖,△ABC中,D為BC的中點(diǎn),(1)在圖中作出CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分別為M、N;(2)求證:DM=DN;(3)求AD=3,求AM+AN的值.4.(2020·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中)閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明.已知:如圖,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求證:AB=CD.分析:證明兩條線段相等,常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個(gè)三角形中,且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等,因此,要證AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法,請(qǐng)任意選出其中一種,對(duì)原題進(jìn)行證明.①如圖1,延長DE到點(diǎn)F,使EF=DE,連接BF;②如圖2,分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE,CG⊥DE,垂足分別為點(diǎn)F,G.(2)請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線,并對(duì)原題進(jìn)行證明.5.(2021·江蘇八年級(jí)期中)通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí),解決下列問題:(模型呈現(xiàn))(1)如圖,,,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn).由,得.又,可以推理得到.進(jìn)而得到__________,.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型;(模型應(yīng)用)(2)如圖,,,,連接,,且于點(diǎn),與直線交于點(diǎn).求證:點(diǎn)是的中點(diǎn);(深入探究)(3)如圖,已知四邊形和為正方形,的面積為,的面積為,則有__________(填“>、=、<”)(4)如圖,分別以的三條邊為邊,向外作正方形,連接、、.當(dāng),,時(shí),圖中的三個(gè)陰影三角形的面積和為__________;(5)如圖,點(diǎn)、、、、都在同一條直線上,四邊形、、都是正方形,若該圖形總面積是16,正方形的面積是4,則的面積是__________.6.(2021·黑龍江八年級(jí)期中)在中,直線經(jīng)過點(diǎn),于,于,于.請(qǐng)解答下列問題:(1)如圖①,求證:;(提示:過點(diǎn)作于)(2)如圖②、圖③,線段,,之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需要證明;(3)在(1)(2)的條件下,若,,,則______.二、證中點(diǎn)(需證2次全等)(1)過端點(diǎn)作另一邊的平行線:目的:構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn):中線倍長的反向應(yīng)用1.如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D,E分別是AC和AC的延長線上的點(diǎn),連接BD,BE,若AB=CE,∠DBC=∠EBC。求證:D是AC的中點(diǎn)。2.如圖,AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE于點(diǎn)H,延長AH交BC于點(diǎn)M。求證:M是BC的中點(diǎn)。3.(2020·安徽八年級(jí)期末)如圖,△ABC是等腰三角形,D,E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn),且BD=CE,連接DE交底BC于G.求證:GD=GE.4.(2020·華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考)如圖1,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AB邊上,點(diǎn)E在AC的延長線上,且CE=BD,連接DE交BC于點(diǎn)F.⑴求證:EF=DF;⑵如圖2,過點(diǎn)D作DG⊥BC,垂足為G,求證:BC=2FG.5.(2021·河南八年級(jí)期末)閱讀下面材料:數(shù)學(xué)課上,老師給出了如下問題:如圖,AD為△ABC中線,點(diǎn)E在AC上,BE交AD于點(diǎn)F,AE=EF.求證:AC=BF.經(jīng)過討論,同學(xué)們得到以下思路:如圖①,添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB,再利用AE=EF可以進(jìn)一步證得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,從而證明結(jié)論.完成下面問題:(1)這一思路的輔助線的作法是:.(2)請(qǐng)你給出一種不同于以上思路的證明方法(要求:寫出輔助線的作法,畫出相應(yīng)的圖形,并寫出證明過程).6.(2020·北京朝陽初二期末)閱讀下面材料:數(shù)學(xué)課上,老師給出了如下問題:如圖,AD為△ABC中線,點(diǎn)E在AC上,BE交AD于點(diǎn)F,AE=EF.求證:AC=BF.經(jīng)過討論,同學(xué)們得到以下兩種思路:思路一如圖①,添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB,再利用AE=EF可以進(jìn)一步證得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,從而證明結(jié)論.思路二如圖②,添加輔助線后并利用AE=EF可證得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE,再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB,從而證明結(jié)論.完成下面問題:(1)①思路一的輔助線的作法是:;②思路二的輔助線的作法是:.(2)請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求:只寫出輔助線的作法,并畫出相應(yīng)的圖形,不需要寫出證明過程).(2)兩端點(diǎn)向中線作垂線:目的:構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn):與已知中點(diǎn)時(shí)向中線作垂線方法一致1.(2021·全國初三專題練習(xí))如圖,在中,,,,,延長交于.求證:.2.(2020.河北省期中)如圖.∠C=90°,BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延長線交DE于F。(1)求證:點(diǎn)F是ED的中點(diǎn);(2)求證:S△ABC=2S△BEF.3.(2021·吉林八年級(jí)期末)如圖①,∠BAD=90°,AB=AD,過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C,過點(diǎn)D作DE⊥CA的延長線點(diǎn)E,由∠1+∠2=∠D+∠2=90°,得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°,AB=AD,得△ABC≌△DAE進(jìn)而得到AC=DE,BC=AE,我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型.請(qǐng)應(yīng)用上述“一線三等角”模型,解決下列問題:(1)如圖②,∠BAD=∠CAE=90°
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