解直角三角形（強(qiáng)化訓(xùn)練）解析版

專題18解直角三角形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）

【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)的定義】

1.（2022?山東濟(jì)南?山東省實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在正方形網(wǎng)格中，0ABe在網(wǎng)格中的位置如圖，則

C-1D.2

【答案】A

【分析】在直角AEBD中，利用勾股定理即可求得EB的長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】如圖，

在直角AEBO中，BD=2,￡7）=4,

EB=<BD2+ED2=V22+42=2西，

貝！JeosB=—=」=—.

EB2遍5

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成直

角三角形的邊長(zhǎng)的比.

2.（2022?吉林長(zhǎng)春,?？级＃┤鐖D是一架人字梯，已知力B=4C,4C與地面BC的夾角為a,兩梯腳之間的

距離BC=8米，則線段AB長(zhǎng)為（）

A

4

A.4coscrB.4sinaC.4tancrD.-----

cosa

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)A作4。_LBC于點(diǎn)D,根據(jù)等腰三角形的三線合一求出CD,然后根據(jù)余弦的定義求出AC即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作4D1BC于點(diǎn)

A

0CD=-BC=4米，

2

在RtZkZDC中，cosa=華，

4

團(tuán)24c=----9

cosa

4

匿48=AC=—.

cosa

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)，熟記余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)2,B,C都在格點(diǎn)上,

以48為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,D,則COSNADC的值為（）

.2gD3vH62c遮

A.----b.----C.-U.—

131333

【答案】B

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)圓周角定理的推論得出乙4DC="BA,AACB=90°,

計(jì)算出cosNCBA即可得到cos乙4DC.

【詳解】解：回48為直徑，CB=3,AC=2,

0ZXCB=90°,AB2=CB2+AC2,

EL4B=713,

回cos/CBA=g33V13

-V13-13

W=AC,

^Z.ADC=^.CBA,

比。SNA。。=警

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)和三角函數(shù)，掌握勾股定理及圓周角定理的推論是關(guān)鍵.

4.（2022?四川樂(lè)山,統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC=有，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接

BD.若tan4!=tanzXBD=貝!ICD的長(zhǎng)為（）

A.2V5B.3C.V5D.2

【答案】C

【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出“=2V5,再由勾股定理求出4B=5,過(guò)點(diǎn)D作DE1于點(diǎn)E,依據(jù)

三角函數(shù)值可得DE==,BE,從而得BE=|4E,再由AE+BE=5得AE=2,DE=1,由勾股定理得

AD=V5,從而可求出CD.

【詳解】解：在Rt△力BC中，ZC=90°,BC=V5,

EltanZ■力=-=-

AC2

團(tuán)/C=2BC=2y/5,

由勾股定理得,48=y/AC2+BC2=J(2V5)2+(V5)2=5

過(guò)點(diǎn)。作DE，力B于點(diǎn)E,如圖，

團(tuán)tanZ_A=tanZ-ABD=

23

心=三藝=工

'AE2'BE3'

^DE=^AE,DE=^BE,

11

^AE=-BE

23

3

回BE=-AE

2

團(tuán)4E+BE=5,

^\AE+-AE=5

2

EL4E=2,

田DE=1,

在RtAZOE中，業(yè)=AE2+DE2

^\AD=NAE?+DE2=V22+I2=V5

團(tuán)4。+CD=AC=2低

BCD=AC-AD=2V5-V5=V5,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長(zhǎng)，正確作輔助線求出。石的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2022?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）如圖，坡角為a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹(shù)AB,當(dāng)太陽(yáng)光

線與水平線成45。角沿斜坡照下，在斜坡上的樹(shù)影BC長(zhǎng)為m,則大樹(shù)AB的高為（）

C.mfcoscr—tana)D.T---------------

sinacosa

【答案】A

【分析】應(yīng)充分利用所給的a和45。在樹(shù)的位置構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用三角函數(shù)求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作水平線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,貝IJAD3CD,

在Rr/kCDB中，CD-mcosa,BD=ms'\na,

在汝△CD4中,

A￡)=C￡>xtan45°

=mxcosaxtan45°

=mcosa,

^\AB=AD-BD

=(mcosa-msina)

-m(cosa-sina).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法，另外，利用三角函

數(shù)時(shí)要注意各邊相對(duì).

【考點(diǎn)2銳角三角函數(shù)的增減性】

6.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考一模）已知AABC是銳角三角形，若AB>4C,則（）

A.sin4<sinBB.sinF<sinCC.sin4<sinCD.sinC<sinA

【答案】B

【分析】大邊對(duì)大角，可得回C>配，當(dāng)角度在0。?90。間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃?/p>

（或減小）；依此即可求解.

【詳解】解：回ABC是銳角三角形，若AB>AC,

則EIOEIB,

貝！JsinB<sinC.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°?90。間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減

?。┒龃螅ɑ驕p?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅虎壅兄惦S著角度的增大

（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

7.（2022?浙江金華?校聯(lián)考一模）若她是銳角，且sinA=1,則（）

A.O0<0A<3O°B.3O°<0A<45°C.45°<0A<6O°D.6O°<0A<9O°

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?，及30。、45。、60。的正弦值可求出.

【詳解】解：EEA是銳角，且sinA=[<^=sin30。，

0Oo<fflA<3O",

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減

?。?，正確理解銳角正弦值的增減性是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?山東臨沂?統(tǒng)考一模）如圖,撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂Li=L-cosa,阻力臂G=I,cos6,

如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（）

A.越來(lái)越小B.不變C.越來(lái)越大D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)杠桿原理及cosa的值隨著a的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案.

【詳解】解：回動(dòng)力x動(dòng)力臂=阻力x阻力臂，

團(tuán)當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力x動(dòng)力臂為定值，且定值＞0,

回動(dòng)力隨著動(dòng)力臂的增大而減小，

團(tuán)杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)a的度數(shù)越來(lái)越小，此時(shí)cosa的值越來(lái)越大，

又團(tuán)動(dòng)力臂Li=L-cosa,

回此時(shí)動(dòng)力臂也越來(lái)越大，

團(tuán)此時(shí)的動(dòng)力越來(lái)越小，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本

題的關(guān)鍵.

9.(2022?浙江寧波?統(tǒng)考一模)紅領(lǐng)巾的形狀是等腰三角形，底邊長(zhǎng)為100厘米，腰長(zhǎng)為60厘米，則底角

()

A.小于30。B.大于30。且小于45。U等于30。D.大于45。且小于60。

【答案】B

【分析】過(guò)A作AD1BC于D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD=1BC=50,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到

cosB=^=1,再利用銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷進(jìn)而得到結(jié)論.

606

【詳解】如圖，過(guò)4作于O

囿48=AC=60

回BD=CD=-BC=50

262

0—<cosB<—

22

03OO<ZB<45°

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)銳角三角函數(shù)的定義以及性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的增減性是

解題的關(guān)鍵.

10.（2022?四川成都?統(tǒng)考一模）己知?<cosA<sin70。，則銳角A的取值范圍是

【答案】200<I3A<300.

【詳解】EJy<cosA<sin70°,sin70°=cos20",

[Ecos300<cosA<cos200,

團(tuán)20°〈團(tuán)AV30°.

【考點(diǎn)3同角三角函數(shù)的關(guān)系】

1L（2022?陜西西安?交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）已知a為銳角,cosa=求tana——。°'比的值.

31-sina

【答案】-3

【分析】根據(jù)siMa+cos2a=1,tana=3吧，可得sina,tana,代入所求式子可得答案.

cosa

【詳解】解：a為銳角，cosa=%得

.r,2~2A/2

sma=VI—cosza=——:

3

2版

sina-內(nèi)

tana=---=-f-=2QV2.

cosa-

3

i

tana-cosa=2V2----=-3

l-sma1一這

3

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用siMa+cos2a=1,tana='竺是解題關(guān)鍵.

COSCC

12.（2022?廣東?九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）現(xiàn)有如下信息：（1）黃金分割比（簡(jiǎn)稱：黃金比）是指把一條線段分割

為兩部分，較短部分與較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度之比等于較長(zhǎng)部分與整體長(zhǎng)度之比，其比值為4（2）黃金三角形

被譽(yù)為最美三角形，是較短邊與較長(zhǎng)邊之比為黃金比的等腰三角形；（3）有一個(gè)內(nèi)角為36。的等腰三角形為

黃金三角形.由上述信息可求得sinl26。=

【答案】竽

【分析】如圖作三角形，設(shè)4B=BC=a,AC=b,先求出8$36。=四，再由sinl26。=cos36。，進(jìn)而求

4

出sinl26。=旦.

4

【詳解】解：如圖，等腰三角形△ABC,乙48c=36。，48=BC=a,AC=b,

B

取4c中點(diǎn)D,連接BD,可得2=與二，

a2

由題意可得sin幽=^=B」=旦」=■,

2aa2224

2

所以cos/ABC=1-2sin2等=1_2（號(hào)）=早，

所以cos36。=立il,

4

所以sinl26。=cos36°=匹tl.

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，讀懂題意，熟悉掌握余弦定理和誘導(dǎo)公式是本題的解

題關(guān)鍵.

13.（2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）已知a,￡都是銳角，且a+0=90。，sina+cos￡=遍,

則a=.

【答案】600

【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系得出COS0=sina,求出sina=當(dāng)，即可得出答案.

【詳解】解：Ela+/?=90°,

團(tuán)cos/?=sina,

團(tuán)sina+cosj6=V3,

2sincr=V3,sincr=

El銳角a=60°.

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出sina的

值.

14.（2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn):2sina-cosa（其中0。<a<90°）=.

【答案】cosa-sina或sina—cosa或0

【分析】根據(jù)a的度數(shù)分別討論，依據(jù)三角函數(shù)值及算術(shù)平方根的性質(zhì)將式子化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：E0°<a<90°,

回①當(dāng)0°<a<45°時(shí)，Vl—2sina-cosa=-y（sina-cosa）2=cosa-sina；

②當(dāng)45°<a<90°是，—2sina?cosa=J（sina-cosa）2=sina-cosa；

2

③當(dāng)a=45。時(shí)，Vl—2sina-cosa=A/（sina—cosa）=0,

故答案為：cosa—sina或sina—cosa或0.

【點(diǎn)睛】此題考查算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)，銳角三角函數(shù)值的確定，算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟記銳角三角函數(shù)值

的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?安徽亳州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在0ABe中，0C=9O°,a,b,c分別0A,0B,EIC的對(duì)邊.

⑴求siMa+siMB的值；

(2)填空：當(dāng)a為銳角時(shí)，sin2a+sin2(90°—a)=；

⑶利用上述規(guī)律，求下列式子的值：sin2l°+sin22°+sin23°+■?■+sin289°.

【答案】⑴1

(2)1

(3)44.5

【分析】（1）由三角函數(shù)的定義及勾股定理即可證明;

（2）由（1）得出的結(jié)論解答即可；

(3)由(1)得出的結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)并求值即可；

⑴

證明：團(tuán)在RZEL4BC中，EC=90",

回?zé)嵝?.

又Elsin力=-,sinB=

CC

Esin2A+sin2B=(2)+(g)="—1；

⑵

當(dāng)a為銳角時(shí)，sin2a+sin2(90°—a)-1,

故答案為1；

⑶

sin2l°+sin22°+sin23°+…+sinz89°

=(sin2l0++sin289°)+(sin22°+sin288°)+-?■+(sin244°+sin246°)+sin245°

=1+1+1+...+1+I(44個(gè)1相力口)

=44.5

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟記定義是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】

16.(2022?浙江杭州,統(tǒng)考二模)在放AaBC中，ZC=90°,cos4=貝l|sin8=.

【答案w

【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解.

【詳解】解：???在44BC中，ZC=90°,

NA+NB=90°,

???sinB=cosA=

3

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦.

17.(2022?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在RtAABC中，回A=90。,AD團(tuán)BC,垂足為D.給出下列四個(gè)結(jié)論：①sinct二sinB；

@sinP=sinC；(3)sinB=cosC；④sina=cos0.其中正確的結(jié)論有.

A

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)回A=90。，AD0BC,可得13a=加，Bp=EC,再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.

【詳解】EEA=90°,AD0BC,

H3a+郵=90°,EIB+郵=90°,陰+恥=90°,

團(tuán)團(tuán)a二團(tuán)B,邨二團(tuán)C,

團(tuán)sina二sinB,故①正確；

sinp=sinC,故②正確；

,.ACAC

回在RtAABC中sinB=—,cosC=—,

BCBC

團(tuán)sinB二cosC,故③正確；

團(tuán)sina=sinB,cos回。=cosC,

團(tuán)sina二cos團(tuán)B，故④正確；

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系.

18.(2022?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)在回ABC中，已知回C=90°,sinA+sinB=貝UsinA—sinB=.

【答案】±|.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,貝!JsinA='，sinB=-/a24-b2=c2.

cc

7

團(tuán)sinA4-sinB=

0(sinA+sinB)2==?(^+|)249a24-b24-2ab49c2+2ab492ab24

25c2-25c2-25c2-25

222

ri/.A.T-*\78b、？a+b-2abc-2ab.2ab.241

團(tuán)(sinA-sinB)/=(------Y=-----；---=—；—=1——-=1------=—.

'7vccyc2c2c22525

團(tuán)sinA—sinB=±|.

19.（2012?湖南衡陽(yáng)?中考真題）觀察下列等式

(l)sin300=|cos600=|

(2)sin45°=ycos=45°=y

(3)sin60°=ycos30°=y

根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算sWa+siM(90°-a)=.

【答案】L

【分析】根據(jù)①②③可得出規(guī)律，即siMa+siM(900-a)=1,繼而可得出答案

【詳解】由題意得，sin230°+sin2(90°-30°)=sin230°+sin260°=i+-=l；

44

sin245°+sin2(90°-45°)=sin245o+sin245°=-+-=l；

22

?21

sin260°+sin2(90°-60°)=sin260°+sin230°=-+-=l；

44

0sin2a+sin2(90°-a)=1.

故答案為1.

20.（2022?湖南婁底,統(tǒng)考中考真題）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號(hào)叫魚(yú)骨線，作用是為了

提醒駕駛員在開(kāi)車時(shí)減速慢行.如圖，用平行四邊形4BCD表示一個(gè)“魚(yú)骨”，48平行于車輛前行方向，BE1

AB/CBE=a,過(guò)8作4。的垂線，垂足為4（A點(diǎn)的視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)點(diǎn)），若sina=0.05,4B=300mm,貝!]

AA'-mm.

【答案】15.

【分析】根據(jù)同角的余角相等得到乙494=Na,進(jìn)一步根據(jù)三角函數(shù)求解即可.

【詳解】解：如圖所示，

D

^A'B14。且四邊形ABC。為平行四邊形，

^A'B1BC,AA'BC=^ABC+^A'BA=90°,

又EIBE1AB,

國(guó)乙4BE=^.ABC+"=90°,

^Z-A'BA=Na,

AAr

^\sinZ-ArBA=sintx=——=0.05,

AB

又回=300mm,

回A4'=AB-sinZ-ArBA=300x0.05=15mm.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等找出角的關(guān)系，根據(jù)同角三角

函數(shù)關(guān)系求值.

【考點(diǎn)5特殊角的三角函數(shù)】

21.(2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)定義一種運(yùn)算；sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin，，sin(a—￡)=

sinacosjS-cosasinQ.例如：當(dāng)a=45°,0=30。時(shí)，sin(45°+30°)=—x—+—x-=恒22則sinl5。的

值為.

【答案】空返

4

【分析】根據(jù)sin(a-/?)=sinacosS-cosasin^代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：Sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°—cos45°sin30°

x—--xi

2222

_V6_\J2

~44

_V6—\/2

4

故答案為：與I

4

【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

22.(2022?浙江杭州?杭州綠城育華學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知a為銳角，若btan2a-4tana+皆=0,則a的

度數(shù)為.

【答案】60?；?0。

【分析】因數(shù)分解gtan2a-4tana+百=0,即可求解.

【詳解】解：原式化為btaMa—4tana+百=(tana—V5)(V^tana-1)=0,

0tan(z=b或tana=―,a為銳角，

由特殊角的三角函數(shù)值得，a=60?；騛=30。，

故答案為：60?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值，解特殊角的三角函數(shù)的方程是解

題的關(guān)鍵.

23.(2022,四川自貢,?？家荒?在MBC中，若卜in4-耳+(]-cosB?=0,〃NB都是銳角，貝！]△ABC

是三角形.

【答案】等邊

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出她和團(tuán)B,繼而可判斷AABC的形狀.

【詳解】解：回卜inA—?|+(|-cosB)=0,

團(tuán)卜訪4一耳=0,G—COS8)2=0,

c.A取1

團(tuán)sinZ=—,cosBn=

22

團(tuán)她二60°,團(tuán)慶60°,

團(tuán)△力BC是等邊三角形.

故答案為：等邊.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三

角函數(shù)值.

24.(2022,遼寧丹東?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(-4,0),B(2,0),點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)=30。時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【答案】(0,3遍+而)或(0,-3遍-回)

【分析】分M在y軸的正半軸和負(fù)半軸兩種情況計(jì)算，結(jié)合對(duì)稱性求解即可.

【詳解】如圖，當(dāng)M在y軸的正半軸上時(shí)，

將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到等邊三角形A8C,

071(-4,0),8(2,0),

EL4B=BC=CA=6,A0=4,

過(guò)點(diǎn)C作軸，CR3x軸，垂足分別為E,F,

貝UAF=4Bcos60°=6X：=3,C產(chǎn)=ABsin60°=6x苧=3b，OF=OA-AF=1,

四邊形CE。尸是矩形，

0OE=CF=3V3,CE=OF=1,

以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)V,連接AM,根據(jù)圓周角定理，得N8M2=30。,

連接CM,

貝I]EM7CM2-CE2=V62-12=V35,

E1OA/=OE+EM=3百+序，

0M(0,3V3+V35);

根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)”在y軸的負(fù)半軸時(shí)，M(0,-3A/3-V35)

故答案為：(0,3V3+V35)或(0,-3V3-V35).

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，勾股定理，熟

練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

25.（2022?上海靜安?統(tǒng)考一模）計(jì)算：Vcos230°—sin230°+（血45——5。）.

\tan4507

【答案】竽

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

311L

=彳—彳+]+7一迎

J442

V21廠

=—+1+--v2

_3-V2

2?

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6解直角三角形】

26.（2022?江蘇無(wú)錫?無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，ANBC中，分別以48、AC為底邊向外作等

腰皿和等腰△碼：，連接DE,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接即并延長(zhǎng)交08的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,DE=^FG,DG=

4V10,若NG+Z.DAE-乙CEF=180°,tanzOEG=1,貝肚an/EDG的值為

【答案】蔡

【分析】作BKIIEC交EF的延長(zhǎng)線于K,連接。F，DK,作ER_LDG于R,首先證明△BFK三△CFE進(jìn)而證明

出^DAESADBK,推出DE=DK,由EF=FK,推出DF1EK,設(shè)FG=4a,由DE=—FG,可得DE=15a,

4

由tanNDEG=%推出DF=12a,EF=9a,在RtADFG中，MOF2+FG2=DG2,構(gòu)建方程求出。，再

解直角三角形求出RG,ER即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：作BK1IEC交EF的延長(zhǎng)線于K,連接。凡OK,作ER1DG于R,

D

A

iB\XFC

\/^G

K

@BF=CK,Z.K=Z.FEC,

在△BFK和△CFE中，

乙K=Z.FEC

BF=CK,

ZBFK=乙EFC

ISABFK=△CFE(ASA),

團(tuán)CE=BK,EF=FK,

團(tuán)AE=EC,

團(tuán)4E=BK,

國(guó)乙KBG=乙BGF-乙BKG=乙BGF一乙FEC,

又團(tuán)匕BGF+Z.DAE一乙CEF=180°,

團(tuán)NKBG+乙DAE=180°,

⑦乙KBG+乙DBK=180°,

國(guó)乙DBK=/.DAE,

在△〃!￡1和△OBK中，

'DB=AD

乙DBK=/.DAE,

、BK=AE

0ADAE三△OBK(SAS),

WE=DK,

國(guó)EF=FK,

團(tuán)DF1EK,設(shè)FG=4a,

0DE=—FG,

4

⑦DE=15a,

4

0tanzDFG=-)

回OF=12a,EF—9a,

在RtaDFG中，^DF2+FG2=DG2,

2

0(12a)2+(4a)2=(4V10),

解得a=1或一1(舍棄)，

回EG=13,

atanzOGfi1=—=3,

4a

麗G=悟ER=*

1010

r-lCCTAz-?Amx13V1027V10

⑦DR=DG-RG=4vl0----=

1010

39V10

StanzEDG=—RD=27聯(lián)屈=—9,

10

故答案為：當(dāng).

9

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

27.(2022?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題)如圖，AB是回。的直徑，點(diǎn)E在回。上，連接AE和BE,8c平分0A8E

交團(tuán)。于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作CZMBE,交5E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接CE

D

⑴請(qǐng)判斷直線C。與回。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若sin|3ECZ)=|,CE=5,求團(tuán)0的半徑.

【答案】(1)8是國(guó)。的切線，理由見(jiàn)解析

(2)0(9的半徑為當(dāng)

6

【分析】(1)結(jié)論：CQ是團(tuán)。的切線，證明OC0CD即可；

(2)設(shè)。4=OC=r,設(shè)AE交OC于點(diǎn)，證明四邊形CDEJ是矩形,推出CD=EJ=4,CJ=DE=3,再

利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

(1)

解：結(jié)論：CQ是回。的切線.

理由：連接0C

回0C=05,

^\OCB=^OBC,

勖C平分她BO,

^\OBC=^CBE,

^\OCB=^CBE,

⑦OC〃BD,

^CD^BD,

團(tuán)CD回OC,

團(tuán)oc是半徑，

團(tuán)CD是回。的切線；

(2)

設(shè)04=。。=%設(shè)AE交。。于點(diǎn)J.

她3是直徑，

^\AEB=90°,

團(tuán)OCWC,CD^\DB,

團(tuán)團(tuán)0=團(tuán)。07=回。E/=90°,

團(tuán)四邊形CDE/是矩形，

釀G/E=90°,CD=EJ,CJ=DE,

回OCWAE,

^AJ—EJ,

npR

團(tuán)sin團(tuán)￡。。=空==CE=5,

CE5

回。E=3,C￡)=4,

[M/=E/=CZ)=4,CJ=DE=3,

在R/ELVO中，r=(r-3)2+42,

EBO的半徑為變.

6

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，切線的判定，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

28.(2022?上海?統(tǒng)考中考真題)一個(gè)一次函數(shù)的截距為1,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3).

⑴求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)A,2在某個(gè)反比例函數(shù)上，點(diǎn)8橫坐標(biāo)為6,將點(diǎn)B向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)C,求COS0ABC的值.

【答案】⑴"尤+1

(2)y

【詳解】(1)解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式"區(qū)+1,

把A(2,3)代入，得3=2左+1,

解得：k-1,

回這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=x+l；

(2)解：如圖，

設(shè)反比例函數(shù)解析式為"3

把A(2,3)代入，得3成,

解得：m=6,

團(tuán)反比例函數(shù)解析式為y4，

當(dāng)x=6時(shí),則y=*=l,

0B(6,1),

E1AB=J(6-2尸+(1-31=2V5,

回將點(diǎn)B向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)C,

0C(6,3),BC=2,

E1A(2,3),C(6,3),

0AC||x軸，

EIB(6,1),C(6,3),

08國(guó)軸，

ElAOaBC,

EI0ACB=9OO,

EBABC是直角三角形,

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點(diǎn)的平移,解三角形，坐標(biāo)與圖形，求得AC0BC是解題的關(guān)

鍵.

29.(2022?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題)

C

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,0ABe和0ADE都是等邊三角形,連接80,CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,0ABe和0AOE都是等腰直角三角形，0ABe=她。石=90。.連接BO,CE.請(qǐng)直接

寫(xiě)出器的值.

CE

⑶【拓展提升】如圖3,0ABe和她。E都是直角三角形，HABC=0AZ)￡=90°,且理=絲=三.連接BD,CE.

BCDE4

①求黑的值；

②延長(zhǎng)CE交2。于點(diǎn)R交于點(diǎn)G.求sinBB”的值.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2停

⑶①*②g

【分析】(1)證明△BAZM3CAE,從而得出結(jié)論；

(2)證明△54DEBC4E,進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)①先證明每4803她?！辏辉僮C得△C4EEBBAD進(jìn)而得出結(jié)果；

②在①的基礎(chǔ)上得出0ACE=0ABD,進(jìn)而I3BFC=EIBAC,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：回財(cái)BC和AAOE都是等邊三角形，

^\AD=AE,AB=AC,^\DAE=^BAC=60°f

^\DAE-^BAE=^\BAC-0BAE,

^\BAD=^\CAE,

盟瓦⑦防CAE(SAS),

⑦BD=CE；

(2)解：回EA3C和HADE都是等腰直角三角形，

ARAR1

—=—=回DAE=[E3AC=45。，

AEACV2

團(tuán)團(tuán)ZME-^\BAE=^BAC-I3BAE,

^IBAD^CAE,

團(tuán)團(tuán)BAO團(tuán)團(tuán)CAE,

BD_AB_1_\[2

''CE~AC~2；

(3)解：①*SABC=SADE=90°,

0EL4BC00AJDE,

fflBAC=0DA￡,—=—

ACAE5

WCAE=^\BAD,

回團(tuán)CAEW15AD,

.BD_AD_3

CE~AE~5'

②由①得：BCAE^\BAD,

^\ACE=^ABD,

^\AGC=BBGF,

^\BFC=^\BAC,

RC4

0sin0BFC=—

AC5

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解

決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握"手拉手”模型及其變形.

30.(2023?上海靜安,統(tǒng)考一模)如圖，已知在△4BC中，NB為銳角，4D是BC邊上的高，cosB=*AB=

13,BC=21.

⑴求力C的長(zhǎng)；

(2)求N&4c的正弦值.

【答案】⑴"長(zhǎng)為20.

⑵NB4C的正弦

65

【分析】(1)由NB的余弦求出BD的長(zhǎng)，得到DC長(zhǎng)，由勾股定理即可解決問(wèn)題.

(2)過(guò)C作于由三角形的面積公式求出C8的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)cosB=—=^-,AB=13,

AB15

5

???BD=13x—=5,

13

??.CD=BC-BD=21=5=16

AD=yjAB2-BD2=J132-52=12

???AC=JAD2+CD2=V122+162=20

(2)作CH14B于〃

???△麗的面積=那心,■AD

???13CH=21X12

252

252

??.NB4C的正弦值是察=需=黑

ACZU65

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線.

【考點(diǎn)7解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問(wèn)題】

31.（2022,湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高度

為30m,當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30。，繼續(xù)飛行20m到達(dá)8處，測(cè)得旗桿頂部的

俯角為60。，則旗桿的高度約為m.（參考數(shù)據(jù)：百=1.732,結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）

【答案】12.7

【分析】設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C,頂部為點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作。瓦AB,交直線A2于點(diǎn)E.設(shè)r>E=xm,在R煙瓦汨

中，tan60°=—=—=V3,進(jìn)而求得AE,在R^ADE中，tan30°=—=,求得X,根據(jù)CD=CE-DE

BEBEAE20+—x3

可得出答案.

【詳解】解：設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C,頂部為點(diǎn)。，延長(zhǎng)CO交直線于點(diǎn)E,依題意則。的4B,

貝lJCE=30m,AB=20m,0EAD=3O°,團(tuán)仍。=60°,

設(shè)DE=xm,

在RtSiBDE中，

tan60°=—BE=—BE=V3

解得BE=~x

貝以E=AB+BE=(20+yx)m,

在R/EIAOE中，tan30°=—=

AE20+冬3

解得x=10A/3X17.3m,

0CD-CE-DE=12.7m.

故答案為：12.7.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

32.(2022?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題)如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹(shù)4B,距樹(shù)12米處有一棟教學(xué)樓CD,

為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹(shù)，站在樓頂。處，測(cè)得點(diǎn)B的仰角為45。，點(diǎn)4的俯角為30。，小青計(jì)算后得到

如下結(jié)論：①=18.8米；②CD=8.4米；③若直接從點(diǎn)4處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓CD方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓

有影響；④若第一次在距點(diǎn)2的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CD造成危害.其中正確的是.(填

寫(xiě)序號(hào)，參考數(shù)值：V3?1.7,a=1.4)

【答案】①③④

【分析】過(guò)點(diǎn)。的水平線交A2于E,先證四邊形EAC。為矩形，ED=AC=12米，①利用三角函數(shù)求出

AB=2E+AE=￡)Etan45°+DEtan30。，②利用CD=A￡=￡)Etan30°=4g?6.8米，③利用42=18.8米＞12米,

④點(diǎn)B到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8<12,判斷即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。的水平線交4B于E,

0Z)￡0AC,EA0CZ),0Z)C4=9O°,

回四邊形EACD為矩形，

EIED=AC=：L2米，

@XB=B￡+AE=Z)Etan45°+Z)Etan30o=12+4V3?12+4X1,7=18.8故①正確；

②EICr)=AE=￡)Etan30°=4b?6.8米，故②不正確；

③0AO=2C￡>,故40=13.6米48=18.8米>13.8米，團(tuán)直接從點(diǎn)A處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓CD方向會(huì)對(duì)教學(xué)

樓有影響；故③正確；

④團(tuán)第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，

團(tuán)點(diǎn)B到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8<13.8,

團(tuán)第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CD造成危害.故④正確

回其中正確的是①③④.

故答案為①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，矩形的判斷與性質(zhì)，掌握解直角三角形方法，矩形的判斷與性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

33.(2022?海南?統(tǒng)考中考真題)無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛.如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的

高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓CD樓頂。處的俯角為45。，測(cè)得樓48樓頂A處的俯角為60。.已知樓48和

樓CD之間的距離BC為100米，樓4B的高度為10米，從樓4B的A處測(cè)得樓CD的。處的仰角為30。(點(diǎn)A、

B、C、D、尸在同一平面內(nèi)).

⑴填空：^APD=度，AADC=度;

(2)求樓CD的高度(結(jié)果保留根號(hào))；

(3)求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面BC的高度.

【答案】⑴75；60

(2)(等代+10)米

(3)110米

【分析】(1)根據(jù)平角的定義求乙4PD,過(guò)點(diǎn)A作力E1DC于點(diǎn)E,再利用三角形內(nèi)角和求Z4DC；

(2)在RtZkAED中，4ME=30。求出。E的長(zhǎng)度再根據(jù)CD=DE+EC計(jì)算即可；

(3)作PG_LBC于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)尸,證明△4PF三△ZME即可.

【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)A作2E1DC于點(diǎn)E,

M-N

60°y^<45o

D

呂

呂

呂

呂

呂

呂

呂

呂

A30°E呂

二0

BC

由題意得：/-MPA=60°,ANPD=45°,ADAE=30°,

SAAPD=180°-AMPA-乙NPD=75°

/.ADC=90°-^DAE=60°

（2）由題意得：4E=BC=1