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文檔簡介
專題18解直角三角形(10個高頻考點)(強化訓(xùn)練)
【考點1銳角三角函數(shù)的定義】
1.(2022?山東濟南?山東省實驗初級中學(xué)校考模擬預(yù)測)在正方形網(wǎng)格中,0ABe在網(wǎng)格中的位置如圖,則
C-1D.2
【答案】A
【分析】在直角AEBD中,利用勾股定理即可求得EB的長,然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】如圖,
在直角AEBO中,BD=2,£7)=4,
EB=<BD2+ED2=V22+42=2西,
貝!JeosB=—=」=—.
EB2遍5
故選:A.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,求銳角的三角函數(shù)值的方法:利用銳角三角函數(shù)的定義,轉(zhuǎn)化成直
角三角形的邊長的比.
2.(2022?吉林長春,校考二模)如圖是一架人字梯,已知力B=4C,4C與地面BC的夾角為a,兩梯腳之間的
距離BC=8米,則線段AB長為()
A
4
A.4coscrB.4sinaC.4tancrD.-----
cosa
【答案】D
【分析】過點A作4。_LBC于點D,根據(jù)等腰三角形的三線合一求出CD,然后根據(jù)余弦的定義求出AC即可.
【詳解】解:過點A作4D1BC于點
A
0CD=-BC=4米,
2
在RtZkZDC中,cosa=華,
4
團24c=----9
cosa
4
匿48=AC=—.
cosa
故選:D.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì),熟記余弦的定義是解題的關(guān)鍵.
3.(2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題)如圖,由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,點2,B,C都在格點上,
以48為直徑的圓經(jīng)過點C,D,則COSNADC的值為()
.2gD3vH62c遮
A.----b.----C.-U.—
131333
【答案】B
【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長度,然后根據(jù)圓周角定理的推論得出乙4DC="BA,AACB=90°,
計算出cosNCBA即可得到cos乙4DC.
【詳解】解:回48為直徑,CB=3,AC=2,
0ZXCB=90°,AB2=CB2+AC2,
EL4B=713,
回cos/CBA=g33V13
-V13-13
W=AC,
^Z.ADC=^.CBA,
比。SNA。。=警
故選:B.
【點睛】本題考查圓的性質(zhì)和三角函數(shù),掌握勾股定理及圓周角定理的推論是關(guān)鍵.
4.(2022?四川樂山,統(tǒng)考中考真題)如圖,在RtAABC中,ZC=90°,BC=有,點。是AC上一點,連接
BD.若tan4!=tanzXBD=貝!ICD的長為()
A.2V5B.3C.V5D.2
【答案】C
【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出“=2V5,再由勾股定理求出4B=5,過點D作DE1于點E,依據(jù)
三角函數(shù)值可得DE==,BE,從而得BE=|4E,再由AE+BE=5得AE=2,DE=1,由勾股定理得
AD=V5,從而可求出CD.
【詳解】解:在Rt△力BC中,ZC=90°,BC=V5,
EltanZ■力=-=-
AC2
團/C=2BC=2y/5,
由勾股定理得,48=y/AC2+BC2=J(2V5)2+(V5)2=5
過點。作DE,力B于點E,如圖,
團tanZ_A=tanZ-ABD=
23
心=三藝=工
'AE2'BE3'
^DE=^AE,DE=^BE,
11
^AE=-BE
23
3
回BE=-AE
2
團4E+BE=5,
^\AE+-AE=5
2
EL4E=2,
田DE=1,
在RtAZOE中,業(yè)=AE2+DE2
^\AD=NAE?+DE2=V22+I2=V5
團4。+CD=AC=2低
BCD=AC-AD=2V5-V5=V5,
故選:C
【點睛】本題主要考查了勾股定理,由銳角正切值求邊長,正確作輔助線求出。石的長是解答本題的關(guān)鍵.
5.(2022?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題)如圖,坡角為a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB,當太陽光
線與水平線成45。角沿斜坡照下,在斜坡上的樹影BC長為m,則大樹AB的高為()
C.mfcoscr—tana)D.T---------------
sinacosa
【答案】A
【分析】應(yīng)充分利用所給的a和45。在樹的位置構(gòu)造直角三角形,進而利用三角函數(shù)求解.
【詳解】解:如圖,過點C作水平線與的延長線交于點D,貝IJAD3CD,
在Rr/kCDB中,CD-mcosa,BD=ms'\na,
在汝△CD4中,
A£)=C£>xtan45°
=mxcosaxtan45°
=mcosa,
^\AB=AD-BD
=(mcosa-msina)
-m(cosa-sina).
故選:A.
【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法,另外,利用三角函
數(shù)時要注意各邊相對.
【考點2銳角三角函數(shù)的增減性】
6.(2022?浙江紹興?統(tǒng)考一模)已知AABC是銳角三角形,若AB>4C,則()
A.sin4<sinBB.sinF<sinCC.sin4<sinCD.sinC<sinA
【答案】B
【分析】大邊對大角,可得回C>配,當角度在0。?90。間變化時,正弦值隨著角度的增大(或減?。┒龃?/p>
(或減?。灰来思纯汕蠼?
【詳解】解:回ABC是銳角三角形,若AB>AC,
則EIOEIB,
貝!JsinB<sinC.
故選:B.
【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性,當角度在0°?90。間變化時,①正弦值隨著角度的增大(或減
?。┒龃螅ɑ驕p小);②余弦值隨著角度的增大(或減小)而減?。ɑ蛟龃螅?;③正切值隨著角度的增大
(或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?
7.(2022?浙江金華?校聯(lián)考一模)若她是銳角,且sinA=1,則()
A.O0<0A<3O°B.3O°<0A<45°C.45°<0A<6O°D.6O°<0A<9O°
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大(或減?。┒龃螅ɑ驕p小),及30。、45。、60。的正弦值可求出.
【詳解】解:EEA是銳角,且sinA=[<^=sin30。,
0Oo<fflA<3O",
故選:A.
【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性,銳角的正弦值隨著角度的增大(或減?。┒龃螅ɑ驕p
?。?,正確理解銳角正弦值的增減性是解題的關(guān)鍵.
8.(2022?山東臨沂?統(tǒng)考一模)如圖,撬釘子的工具是一個杠桿,動力臂Li=L-cosa,阻力臂G=I,cos6,
如果動力F的用力方向始終保持豎直向下,當阻力不變時,則杠桿向下運動時的動力變化情況是()
A.越來越小B.不變C.越來越大D.無法確定
【答案】A
【分析】根據(jù)杠桿原理及cosa的值隨著a的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案.
【詳解】解:回動力x動力臂=阻力x阻力臂,
團當阻力及阻力臂不變時,動力x動力臂為定值,且定值>0,
回動力隨著動力臂的增大而減小,
團杠桿向下運動時a的度數(shù)越來越小,此時cosa的值越來越大,
又團動力臂Li=L-cosa,
回此時動力臂也越來越大,
團此時的動力越來越小,
故選:A.
【點睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性,熟練掌握相關(guān)知識是解決本
題的關(guān)鍵.
9.(2022?浙江寧波?統(tǒng)考一模)紅領(lǐng)巾的形狀是等腰三角形,底邊長為100厘米,腰長為60厘米,則底角
()
A.小于30。B.大于30。且小于45。U等于30。D.大于45。且小于60。
【答案】B
【分析】過A作AD1BC于D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD=1BC=50,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到
cosB=^=1,再利用銳角三角函數(shù)的增減性進行判斷進而得到結(jié)論.
606
【詳解】如圖,過4作于O
囿48=AC=60
回BD=CD=-BC=50
262
0—<cosB<—
22
03OO<ZB<45°
故選:B
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)銳角三角函數(shù)的定義以及性質(zhì),熟練掌握銳角三角函數(shù)的增減性是
解題的關(guān)鍵.
10.(2022?四川成都?統(tǒng)考一模)己知?<cosA<sin70。,則銳角A的取值范圍是
【答案】200<I3A<300.
【詳解】EJy<cosA<sin70°,sin70°=cos20",
[Ecos300<cosA<cos200,
團20°〈團AV30°.
【考點3同角三角函數(shù)的關(guān)系】
1L(2022?陜西西安?交大附中分校??寄M預(yù)測)已知a為銳角,cosa=求tana——?!?比的值.
31-sina
【答案】-3
【分析】根據(jù)siMa+cos2a=1,tana=3吧,可得sina,tana,代入所求式子可得答案.
cosa
【詳解】解:a為銳角,cosa=%得
.r,2~2A/2
sma=VI—cosza=——:
3
2版
sina-內(nèi)
tana=---=-f-=2QV2.
cosa-
3
i
tana-cosa=2V2----=-3
l-sma1一這
3
【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系,利用siMa+cos2a=1,tana='竺是解題關(guān)鍵.
COSCC
12.(2022?廣東?九年級統(tǒng)考競賽)現(xiàn)有如下信息:(1)黃金分割比(簡稱:黃金比)是指把一條線段分割
為兩部分,較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體長度之比,其比值為4(2)黃金三角形
被譽為最美三角形,是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形;(3)有一個內(nèi)角為36。的等腰三角形為
黃金三角形.由上述信息可求得sinl26。=
【答案】竽
【分析】如圖作三角形,設(shè)4B=BC=a,AC=b,先求出8$36。=四,再由sinl26。=cos36。,進而求
4
出sinl26。=旦.
4
【詳解】解:如圖,等腰三角形△ABC,乙48c=36。,48=BC=a,AC=b,
B
取4c中點D,連接BD,可得2=與二,
a2
由題意可得sin幽=^=B」=旦」=■,
2aa2224
2
所以cos/ABC=1-2sin2等=1_2(號)=早,
所以cos36。=立il,
4
所以sinl26。=cos36°=匹tl.
4
故答案為:
【點睛】本題考查了余弦定理以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,讀懂題意,熟悉掌握余弦定理和誘導(dǎo)公式是本題的解
題關(guān)鍵.
13.(2022?陜西西安?交大附中分校??寄M預(yù)測)已知a,£都是銳角,且a+0=90。,sina+cos£=遍,
則a=.
【答案】600
【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系得出COS0=sina,求出sina=當,即可得出答案.
【詳解】解:Ela+/?=90°,
團cos/?=sina,
團sina+cosj6=V3,
2sincr=V3,sincr=
El銳角a=60°.
故答案為:60°.
【點睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系,特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出sina的
值.
14.(2022?陜西西安?交大附中分校??寄M預(yù)測)化簡:2sina-cosa(其中0。<a<90°)=.
【答案】cosa-sina或sina—cosa或0
【分析】根據(jù)a的度數(shù)分別討論,依據(jù)三角函數(shù)值及算術(shù)平方根的性質(zhì)將式子化簡即可.
【詳解】解:E0°<a<90°,
回①當0°<a<45°時,Vl—2sina-cosa=-y(sina-cosa)2=cosa-sina;
②當45°<a<90°是,—2sina?cosa=J(sina-cosa)2=sina-cosa;
2
③當a=45。時,Vl—2sina-cosa=A/(sina—cosa)=0,
故答案為:cosa—sina或sina—cosa或0.
【點睛】此題考查算術(shù)平方根的化簡,銳角三角函數(shù)值的確定,算術(shù)平方根的性質(zhì),熟記銳角三角函數(shù)值
的計算公式是解題的關(guān)鍵.
15.(2022秋?安徽亳州?九年級統(tǒng)考期末)如圖,在0ABe中,0C=9O°,a,b,c分別0A,0B,EIC的對邊.
⑴求siMa+siMB的值;
(2)填空:當a為銳角時,sin2a+sin2(90°—a)=;
⑶利用上述規(guī)律,求下列式子的值:sin2l°+sin22°+sin23°+■?■+sin289°.
【答案】⑴1
(2)1
(3)44.5
【分析】(1)由三角函數(shù)的定義及勾股定理即可證明;
(2)由(1)得出的結(jié)論解答即可;
(3)由(1)得出的結(jié)論進行化簡并求值即可;
⑴
證明:團在RZEL4BC中,EC=90",
回?zé)嵝?.
又Elsin力=-,sinB=
CC
Esin2A+sin2B=(2)+(g)="—1;
⑵
當a為銳角時,sin2a+sin2(90°—a)-1,
故答案為1;
⑶
sin2l°+sin22°+sin23°+…+sinz89°
=(sin2l0++sin289°)+(sin22°+sin288°)+-?■+(sin244°+sin246°)+sin245°
=1+1+1+...+1+I(44個1相力口)
=44.5
【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的關(guān)系,熟記定義是解題的關(guān)鍵.
【考點4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】
16.(2022?浙江杭州,統(tǒng)考二模)在放AaBC中,ZC=90°,cos4=貝l|sin8=.
【答案w
【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解.
【詳解】解:???在44BC中,ZC=90°,
NA+NB=90°,
???sinB=cosA=
3
故答案為:
【點睛】本題考查互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是掌握一個角的余弦等于它余角的正弦.
17.(2022?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖,在RtAABC中,回A=90。,AD團BC,垂足為D.給出下列四個結(jié)論:①sinct二sinB;
@sinP=sinC;(3)sinB=cosC;④sina=cos0.其中正確的結(jié)論有.
A
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)回A=90。,AD0BC,可得13a=加,Bp=EC,再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進行逐項判斷.
【詳解】EEA=90°,AD0BC,
H3a+郵=90°,EIB+郵=90°,陰+恥=90°,
團團a二團B,邨二團C,
團sina二sinB,故①正確;
sinp=sinC,故②正確;
,.ACAC
回在RtAABC中sinB=—,cosC=—,
BCBC
團sinB二cosC,故③正確;
團sina=sinB,cos回。=cosC,
團sina二cos團B,故④正確;
故答案為①②③④.
【點睛】本題主要考查銳角的三角函數(shù),解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系.
18.(2022?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)在回ABC中,已知回C=90°,sinA+sinB=貝UsinA—sinB=.
【答案】±|.
【詳解】根據(jù)題意,設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,貝!JsinA=',sinB=-/a24-b2=c2.
cc
7
團sinA4-sinB=
0(sinA+sinB)2==?(^+|)249a24-b24-2ab49c2+2ab492ab24
25c2-25c2-25c2-25
222
ri/.A.T-*\78b、?a+b-2abc-2ab.2ab.241
團(sinA-sinB)/=(------Y=-----;---=—;—=1——-=1------=—.
'7vccyc2c2c22525
團sinA—sinB=±|.
19.(2012?湖南衡陽?中考真題)觀察下列等式
(l)sin300=|cos600=|
(2)sin45°=ycos=45°=y
(3)sin60°=ycos30°=y
根據(jù)上述規(guī)律,計算sWa+siM(90°-a)=.
【答案】L
【分析】根據(jù)①②③可得出規(guī)律,即siMa+siM(900-a)=1,繼而可得出答案
【詳解】由題意得,sin230°+sin2(90°-30°)=sin230°+sin260°=i+-=l;
44
sin245°+sin2(90°-45°)=sin245o+sin245°=-+-=l;
22
?21
sin260°+sin2(90°-60°)=sin260°+sin230°=-+-=l;
44
0sin2a+sin2(90°-a)=1.
故答案為1.
20.(2022?湖南婁底,統(tǒng)考中考真題)高速公路上有一種標線叫縱向減速標線,外號叫魚骨線,作用是為了
提醒駕駛員在開車時減速慢行.如圖,用平行四邊形4BCD表示一個“魚骨”,48平行于車輛前行方向,BE1
AB/CBE=a,過8作4。的垂線,垂足為4(A點的視覺錯覺點),若sina=0.05,4B=300mm,貝!]
AA'-mm.
【答案】15.
【分析】根據(jù)同角的余角相等得到乙494=Na,進一步根據(jù)三角函數(shù)求解即可.
【詳解】解:如圖所示,
D
^A'B14。且四邊形ABC。為平行四邊形,
^A'B1BC,AA'BC=^ABC+^A'BA=90°,
又EIBE1AB,
國乙4BE=^.ABC+"=90°,
^Z-A'BA=Na,
AAr
^\sinZ-ArBA=sintx=——=0.05,
AB
又回=300mm,
回A4'=AB-sinZ-ArBA=300x0.05=15mm.
故答案為:15.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等找出角的關(guān)系,根據(jù)同角三角
函數(shù)關(guān)系求值.
【考點5特殊角的三角函數(shù)】
21.(2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)定義一種運算;sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin,,sin(a—£)=
sinacosjS-cosasinQ.例如:當a=45°,0=30。時,sin(45°+30°)=—x—+—x-=恒22則sinl5。的
值為.
【答案】空返
4
【分析】根據(jù)sin(a-/?)=sinacosS-cosasin^代入進行計算即可.
【詳解】解:Sinl5°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°—cos45°sin30°
x—--xi
2222
_V6_\J2
~44
_V6—\/2
4
故答案為:與I
4
【點睛】此題考查了公式的變化,以及銳角三角函數(shù)值的計算,掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.
22.(2022?浙江杭州?杭州綠城育華學(xué)校??寄M預(yù)測)已知a為銳角,若btan2a-4tana+皆=0,則a的
度數(shù)為.
【答案】60?;?0。
【分析】因數(shù)分解gtan2a-4tana+百=0,即可求解.
【詳解】解:原式化為btaMa—4tana+百=(tana—V5)(V^tana-1)=0,
0tan(z=b或tana=―,a為銳角,
由特殊角的三角函數(shù)值得,a=60?;騛=30。,
故答案為:60?;?0。.
【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值,掌握特殊角的三角函數(shù)值,解特殊角的三角函數(shù)的方程是解
題的關(guān)鍵.
23.(2022,四川自貢,??家荒?在MBC中,若卜in4-耳+(]-cosB?=0,〃NB都是銳角,貝!]△ABC
是三角形.
【答案】等邊
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出她和團B,繼而可判斷AABC的形狀.
【詳解】解:回卜inA—?|+(|-cosB)=0,
團卜訪4一耳=0,G—COS8)2=0,
c.A取1
團sinZ=—,cosBn=
22
團她二60°,團慶60°,
團△力BC是等邊三角形.
故答案為:等邊.
【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,非負數(shù)的性質(zhì),等邊三角形的判斷,解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三
角函數(shù)值.
24.(2022,遼寧丹東?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標系中,已知點4(-4,0),B(2,0),點M是y軸上的一個動點,
當=30。時,點M的坐標為.
【答案】(0,3遍+而)或(0,-3遍-回)
【分析】分M在y軸的正半軸和負半軸兩種情況計算,結(jié)合對稱性求解即可.
【詳解】如圖,當M在y軸的正半軸上時,
將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到等邊三角形A8C,
071(-4,0),8(2,0),
EL4B=BC=CA=6,A0=4,
過點C作軸,CR3x軸,垂足分別為E,F,
貝UAF=4Bcos60°=6X:=3,C產(chǎn)=ABsin60°=6x苧=3b,OF=OA-AF=1,
四邊形CE。尸是矩形,
0OE=CF=3V3,CE=OF=1,
以點C為圓心,以AC長為半徑作圓,交y軸于點V,連接AM,根據(jù)圓周角定理,得N8M2=30。,
連接CM,
貝I]EM7CM2-CE2=V62-12=V35,
E1OA/=OE+EM=3百+序,
0M(0,3V3+V35);
根據(jù)對稱性,當點”在y軸的負半軸時,M(0,-3A/3-V35)
故答案為:(0,3V3+V35)或(0,-3V3-V35).
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值,圓周角定理,勾股定理,熟
練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值,圓周角定理是解題的關(guān)鍵.
25.(2022?上海靜安?統(tǒng)考一模)計算:Vcos230°—sin230°+(血45——5。).
\tan4507
【答案】竽
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可.
311L
=彳—彳+]+7一迎
J442
V21廠
=—+1+--v2
_3-V2
2?
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
【考點6解直角三角形】
26.(2022?江蘇無錫?無錫市天一實驗學(xué)校??寄M預(yù)測)如圖,ANBC中,分別以48、AC為底邊向外作等
腰皿和等腰△碼:,連接DE,點F為BC的中點,連接即并延長交08的延長線于點G,DE=^FG,DG=
4V10,若NG+Z.DAE-乙CEF=180°,tanzOEG=1,貝肚an/EDG的值為
【答案】蔡
【分析】作BKIIEC交EF的延長線于K,連接。F,DK,作ER_LDG于R,首先證明△BFK三△CFE進而證明
出^DAESADBK,推出DE=DK,由EF=FK,推出DF1EK,設(shè)FG=4a,由DE=—FG,可得DE=15a,
4
由tanNDEG=%推出DF=12a,EF=9a,在RtADFG中,MOF2+FG2=DG2,構(gòu)建方程求出。,再
解直角三角形求出RG,ER即可解決問題.
【詳解】解:作BK1IEC交EF的延長線于K,連接。凡OK,作ER1DG于R,
D
A
iB\XFC
\/^G
K
@BF=CK,Z.K=Z.FEC,
在△BFK和△CFE中,
乙K=Z.FEC
BF=CK,
ZBFK=乙EFC
ISABFK=△CFE(ASA),
團CE=BK,EF=FK,
團AE=EC,
團4E=BK,
國乙KBG=乙BGF-乙BKG=乙BGF一乙FEC,
又團匕BGF+Z.DAE一乙CEF=180°,
團NKBG+乙DAE=180°,
⑦乙KBG+乙DBK=180°,
國乙DBK=/.DAE,
在△〃!£1和△OBK中,
'DB=AD
乙DBK=/.DAE,
、BK=AE
0ADAE三△OBK(SAS),
WE=DK,
國EF=FK,
團DF1EK,設(shè)FG=4a,
0DE=—FG,
4
⑦DE=15a,
4
0tanzDFG=-)
回OF=12a,EF—9a,
在RtaDFG中,^DF2+FG2=DG2,
2
0(12a)2+(4a)2=(4V10),
解得a=1或一1(舍棄),
回EG=13,
atanzOGfi1=—=3,
4a
麗G=悟ER=*
1010
r-lCCTAz-?Amx13V1027V10
⑦DR=DG-RG=4vl0----=
1010
39V10
StanzEDG=—RD=27聯(lián)屈=—9,
10
故答案為:當.
9
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線,構(gòu)造
全等三角形解決問題,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.
27.(2022?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題)如圖,AB是回。的直徑,點E在回。上,連接AE和BE,8c平分0A8E
交團。于點C,過點。作CZMBE,交5E的延長線于點。,連接CE
D
⑴請判斷直線C。與回。的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若sin|3ECZ)=|,CE=5,求團0的半徑.
【答案】(1)8是國。的切線,理由見解析
(2)0(9的半徑為當
6
【分析】(1)結(jié)論:CQ是團。的切線,證明OC0CD即可;
(2)設(shè)。4=OC=r,設(shè)AE交OC于點,證明四邊形CDEJ是矩形,推出CD=EJ=4,CJ=DE=3,再
利用勾股定理構(gòu)建方程求解.
(1)
解:結(jié)論:CQ是回。的切線.
理由:連接0C
回0C=05,
^\OCB=^OBC,
勖C平分她BO,
^\OBC=^CBE,
^\OCB=^CBE,
⑦OC〃BD,
^CD^BD,
團CD回OC,
團oc是半徑,
團CD是回。的切線;
(2)
設(shè)04=。。=%設(shè)AE交。。于點J.
她3是直徑,
^\AEB=90°,
團OCWC,CD^\DB,
團團0=團。07=回。E/=90°,
團四邊形CDE/是矩形,
釀G/E=90°,CD=EJ,CJ=DE,
回OCWAE,
^AJ—EJ,
npR
團sin團£。。=空==CE=5,
CE5
回。E=3,C£)=4,
[M/=E/=CZ)=4,CJ=DE=3,
在R/ELVO中,r=(r-3)2+42,
EBO的半徑為變.
6
【點睛】本題考查解直角三角形,切線的判定,垂徑定理,矩形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識,解題的
關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,屬于中考??碱}型.
28.(2022?上海?統(tǒng)考中考真題)一個一次函數(shù)的截距為1,且經(jīng)過點A(2,3).
⑴求這個一次函數(shù)的解析式;
(2)點A,2在某個反比例函數(shù)上,點8橫坐標為6,將點B向上平移2個單位得到點C,求COS0ABC的值.
【答案】⑴"尤+1
(2)y
【詳解】(1)解:設(shè)這個一次函數(shù)的解析式"區(qū)+1,
把A(2,3)代入,得3=2左+1,
解得:k-1,
回這個一次函數(shù)的解析式為y=x+l;
(2)解:如圖,
設(shè)反比例函數(shù)解析式為"3
把A(2,3)代入,得3成,
解得:m=6,
團反比例函數(shù)解析式為y4,
當x=6時,則y=*=l,
0B(6,1),
E1AB=J(6-2尸+(1-31=2V5,
回將點B向上平移2個單位得到點C,
0C(6,3),BC=2,
E1A(2,3),C(6,3),
0AC||x軸,
EIB(6,1),C(6,3),
08國軸,
ElAOaBC,
EI0ACB=9OO,
EBABC是直角三角形,
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,點的平移,解三角形,坐標與圖形,求得AC0BC是解題的關(guān)
鍵.
29.(2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題)
C
(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,0ABe和0ADE都是等邊三角形,連接80,CE.求證:BD=CE.
(2)【類比探究】如圖2,0ABe和0AOE都是等腰直角三角形,0ABe=她。石=90。.連接BO,CE.請直接
寫出器的值.
CE
⑶【拓展提升】如圖3,0ABe和她。E都是直角三角形,HABC=0AZ)£=90°,且理=絲=三.連接BD,CE.
BCDE4
①求黑的值;
②延長CE交2。于點R交于點G.求sinBB”的值.
【答案】⑴見解析
(2停
⑶①*②g
【分析】(1)證明△BAZM3CAE,從而得出結(jié)論;
(2)證明△54DEBC4E,進而得出結(jié)果;
(3)①先證明每4803她。£;再證得△C4EEBBAD進而得出結(jié)果;
②在①的基礎(chǔ)上得出0ACE=0ABD,進而I3BFC=EIBAC,進一步得出結(jié)果.
【詳解】(1)證明:回財BC和AAOE都是等邊三角形,
^\AD=AE,AB=AC,^\DAE=^BAC=60°f
^\DAE-^BAE=^\BAC-0BAE,
^\BAD=^\CAE,
盟瓦⑦防CAE(SAS),
⑦BD=CE;
(2)解:回EA3C和HADE都是等腰直角三角形,
ARAR1
—=—=回DAE=[E3AC=45。,
AEACV2
團團ZME-^\BAE=^BAC-I3BAE,
^IBAD^CAE,
團團BAO團團CAE,
BD_AB_1_\[2
''CE~AC~2;
(3)解:①*SABC=SADE=90°,
0EL4BC00AJDE,
fflBAC=0DA£,—=—
ACAE5
WCAE=^\BAD,
回團CAEW15AD,
.BD_AD_3
CE~AE~5'
②由①得:BCAE^\BAD,
^\ACE=^ABD,
^\AGC=BBGF,
^\BFC=^\BAC,
RC4
0sin0BFC=—
AC5
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解
決問題的關(guān)鍵是熟練掌握"手拉手”模型及其變形.
30.(2023?上海靜安,統(tǒng)考一模)如圖,已知在△4BC中,NB為銳角,4D是BC邊上的高,cosB=*AB=
13,BC=21.
⑴求力C的長;
(2)求N&4c的正弦值.
【答案】⑴"長為20.
⑵NB4C的正弦
65
【分析】(1)由NB的余弦求出BD的長,得到DC長,由勾股定理即可解決問題.
(2)過C作于由三角形的面積公式求出C8的長即可解決問題.
【詳解】(1)cosB=—=^-,AB=13,
AB15
5
???BD=13x—=5,
13
??.CD=BC-BD=21=5=16
AD=yjAB2-BD2=J132-52=12
???AC=JAD2+CD2=V122+162=20
(2)作CH14B于〃
???△麗的面積=那心,■AD
???13CH=21X12
252
252
??.NB4C的正弦值是察=需=黑
ACZU65
【點睛】本題考查的是解直角三角形,關(guān)鍵是作出恰當?shù)妮o助線.
【考點7解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問題】
31.(2022,湖北黃石?統(tǒng)考中考真題)某校數(shù)學(xué)興趣小組開展無人機測旗桿的活動:已知無人機的飛行高度
為30m,當無人機飛行至A處時,觀測旗桿頂部的俯角為30。,繼續(xù)飛行20m到達8處,測得旗桿頂部的
俯角為60。,則旗桿的高度約為m.(參考數(shù)據(jù):百=1.732,結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù))
【答案】12.7
【分析】設(shè)旗桿底部為點C,頂部為點過點。作。瓦AB,交直線A2于點E.設(shè)r>E=xm,在R煙瓦汨
中,tan60°=—=—=V3,進而求得AE,在R^ADE中,tan30°=—=,求得X,根據(jù)CD=CE-DE
BEBEAE20+—x3
可得出答案.
【詳解】解:設(shè)旗桿底部為點C,頂部為點。,延長CO交直線于點E,依題意則。的4B,
貝lJCE=30m,AB=20m,0EAD=3O°,團仍。=60°,
設(shè)DE=xm,
在RtSiBDE中,
tan60°=—BE=—BE=V3
解得BE=~x
貝以E=AB+BE=(20+yx)m,
在R/EIAOE中,tan30°=—=
AE20+冬3
解得x=10A/3X17.3m,
0CD-CE-DE=12.7m.
故答案為:12.7.
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.
32.(2022?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題)如圖,校園內(nèi)有一株枯死的大樹4B,距樹12米處有一棟教學(xué)樓CD,
為了安全,學(xué)校決定砍伐該樹,站在樓頂。處,測得點B的仰角為45。,點4的俯角為30。,小青計算后得到
如下結(jié)論:①=18.8米;②CD=8.4米;③若直接從點4處砍伐,樹干倒向教學(xué)樓CD方向會對教學(xué)樓
有影響;④若第一次在距點2的8米處的樹干上砍伐,不會對教學(xué)樓CD造成危害.其中正確的是.(填
寫序號,參考數(shù)值:V3?1.7,a=1.4)
【答案】①③④
【分析】過點。的水平線交A2于E,先證四邊形EAC。為矩形,ED=AC=12米,①利用三角函數(shù)求出
AB=2E+AE=£)Etan45°+DEtan30。,②利用CD=A£=£)Etan30°=4g?6.8米,③利用42=18.8米>12米,
④點B到砍伐點的距離為:18.8-8=10.8<12,判斷即可.
【詳解】解:過點。的水平線交4B于E,
0Z)£0AC,EA0CZ),0Z)C4=9O°,
回四邊形EACD為矩形,
EIED=AC=:L2米,
@XB=B£+AE=Z)Etan45°+Z)Etan30o=12+4V3?12+4X1,7=18.8故①正確;
②EICr)=AE=£)Etan30°=4b?6.8米,故②不正確;
③0AO=2C£>,故40=13.6米48=18.8米>13.8米,團直接從點A處砍伐,樹干倒向教學(xué)樓CD方向會對教學(xué)
樓有影響;故③正確;
④團第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐,
團點B到砍伐點的距離為:18.8-8=10.8<13.8,
團第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐,不會對教學(xué)樓CD造成危害.故④正確
回其中正確的是①③④.
故答案為①③④.
【點睛】本題考查解直角三角形,矩形的判斷與性質(zhì),掌握解直角三角形方法,矩形的判斷與性質(zhì)是解題
關(guān)鍵.
33.(2022?海南?統(tǒng)考中考真題)無人機在實際生活中應(yīng)用廣泛.如圖8所示,小明利用無人機測量大樓的
高度,無人機在空中P處,測得樓CD樓頂。處的俯角為45。,測得樓48樓頂A處的俯角為60。.已知樓48和
樓CD之間的距離BC為100米,樓4B的高度為10米,從樓4B的A處測得樓CD的。處的仰角為30。(點A、
B、C、D、尸在同一平面內(nèi)).
⑴填空:^APD=度,AADC=度;
(2)求樓CD的高度(結(jié)果保留根號);
(3)求此時無人機距離地面BC的高度.
【答案】⑴75;60
(2)(等代+10)米
(3)110米
【分析】(1)根據(jù)平角的定義求乙4PD,過點A作力E1DC于點E,再利用三角形內(nèi)角和求Z4DC;
(2)在RtZkAED中,4ME=30。求出。E的長度再根據(jù)CD=DE+EC計算即可;
(3)作PG_LBC于點G,交AE于點尸,證明△4PF三△ZME即可.
【詳解】(1)過點A作2E1DC于點E,
M-N
60°y^<45o
D
呂
呂
呂
呂
呂
呂
呂
呂
A30°E呂
二0
BC
由題意得:/-MPA=60°,ANPD=45°,ADAE=30°,
SAAPD=180°-AMPA-乙NPD=75°
/.ADC=90°-^DAE=60°
(2)由題意得:4E=BC=1
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