立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類【十大題型】原卷版-2025年新高考數(shù)學一輪復習

立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類【十大題型】

?題型歸納

【題型1立體幾何中的體積問題】..............................................................4

【題型2立體幾何中的線段長度問題】..........................................................5

【題型3空間角問題】.........................................................................7

【題型4空間點、線、面的距離問題】..........................................................9

【題型5立體幾何中的作圖問題】..............................................................11

【題型6立體幾何中的折疊問題】..............................................................14

【題型7立體幾何中的軌跡問題】..............................................................16

【題型8立體幾何中的探索性問題】...........................................................17

【題型9立體幾何建系繁瑣問題(幾何法)】...................................................20

【題型10新情景、新定義下的立體幾何問題】..................................................21

?命題規(guī)律

1、立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類

空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內(nèi)容，空間向量是將空間幾何問題坐標化的工具，屬于高考

的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個

空間幾何體為依托，分步設問，逐層加深；第一小問主要考察空間線面位置關(guān)系的證明，難度較易；第二、

三小問一般考察空間角、空間距離與幾何體的體積等，難度中等偏難；空間向量作為求解空間角的有力工

具，通常在解答題中進行考查，解題時需要靈活建系.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1空間幾何體表面積與體積的常見求法】

1.求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2.求組合體的表面積與體積的一般方法

求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應該

怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單

幾何體的體積，再相加或相減.

【知識點2幾何法與向量法求空間角】

1.幾何法求異面直線所成的角

(1)求異面直線所成角一般步驟：

①平移：選擇適當?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是(0,5],所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面

直線所成的角.

2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：

(1)建立空間直角坐標系；

(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,f],即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的

絕對值.

3.幾何法求線面角

(1)垂線法求線面角(也稱直接法)：

①先確定斜線與平面，找到線面的交點8為斜足；找線在面外的一點/,過點/向平面a做垂線，確定

垂足。；

②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

③把投影3。與斜線歸到一個三角形中進行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.

(2)公式法求線面角(也稱等體積法)：

用等體積法，求出斜線尸/在面外的一點尸到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解.

公式為：sin6=4,其中。是斜線與平面所成的角，〃是垂線段的長，/是斜線段的長.

4.向量法求直線與平面所成角的主要方法：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角);

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余

角就是斜線和平面所成的角.

5.幾何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線,

再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解題思路：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角

的大小.

【知識點3空間距離的求解策略】

1.向量法求點到直線距離的步驟：

(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量；.

(2)在直線上任取一點M■(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量加.

(3)垂線段長度1=.而2—(加.丁.

2.求點到平面的距離的常用方法

(1)直接法：過尸點作平面a的垂線，垂足為。,把尸。放在某個三角形中，解三角形求出尸0的長度就

是點P到平面a的距離.

②轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線/平行于平面a,則轉(zhuǎn)化為直線I上某一個點到平面a的距離來求.

③等體積法.

庖

④向量法：設平面a的一個法向量為〃，/是a內(nèi)任意點，則點P到a的距離為〃=

【知識點4立體幾何中的軌跡問題的解題策略】

1.動點軌跡的判斷方法

動點軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程.

2.立體幾何中的軌跡問題的常見解法

(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，進而求解軌跡問題.

(2)交軌法：若動點滿足的幾何條件是兩動曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點，此時，要首先分析兩動曲

線的變化，依賴于哪一個變量?設出這個變量為3求出兩動曲線的方程，然后由這兩動曲線方程著力消去

參數(shù)3化簡整理即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.

(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動

點的軌跡，再進行求解.

(4)坐標法：坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，進

行求解.

(5)向量法：不通過建系，而是利用空間向量的運算、空間向量基本定理等來研究立體幾何中的軌跡問

題，進行求解.

【知識點5立體幾何中的探索性問題的求解策略】

1.與空間向量有關(guān)的探索性問題的求解策略：

在立體幾何中，與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探

究線面角、二面角或點線面距離滿足特定要求時的存在性問題.

解決這兩類探索性問題的解題策略是：先建立空間直角坐標系，引入?yún)?shù)(有些是題中己給出)，設

出關(guān)鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.

?舉一反三

【題型1立體幾何中的體積問題】

【例1】(2024?陜西咸陽?模擬預測)已知三棱柱48C—&a的，如圖所示，P是公的，上一動點，點0、D

分另1］是AC、PC的中點，ABIBC,AA!=AB=BC=2.

⑴求證：。川平面P4B；

(2)當44i1平面4BC,且&P=3PCi時，求三棱錐為—4PC的體積.

【變式1-1](2024?山東日照?二模)在三棱錐P—ABC中，BA1BC,平面48C,點E在平面4BC內(nèi),

且滿足平面PAE1平面PBE,AB=BC=BP=1.

(1)求證：AE1BE；

(2)當二面角E-PA-B的余弦值為手時，求三棱錐E-PCB的體積.

【變式1-2](2024?河南?模擬預測)如圖，幾何體ABCDEF中，底面48CD為邊長為2的菱形，平面CDEF，

平面A8CD,平面平面ABC。，Z.DAB=

(1)證明：CT1平面/BCD；

(2)若DE=孚，平面ADE與平面BCF的夾角為也求四棱錐E—48CD的體積.

【變式1-3](2024?黑龍江雙鴨山?模擬預測)如圖，四棱錐P—4BCD的底面4BCD是矩形，PD1平面

48C2PD=回。;短時為PD的中點，Q為尸/上一點，S.AM1DQ.

汆-------V

⑴證明：PC〃平面5D。；

(2)若二面角B-DQ-C為45°,求三棱錐Q—BCD的體積.

【題型2立體幾何中的線段長度問題】

【例2】(2024?江蘇南京?二模)如圖,AD//BC,AD1AB,點E、F在平面力BCD的同側(cè)，CF//AE,

AD=1,AB=BC=2,平面4CFEJ.平面4BCD,EA=EC=V3.

⑴求證：BF〃平面2DE；

(2)若直線EC與平面FBD所成角的正弦值為需，求線段CF的長.

【變式2-1](2024?重慶?模擬預測)如圖，在四棱錐E—ABC。中，EC1^ABCD.AB||DC,AACD^HL

三角形，DC=24B=2,CB=CE,點尸為棱BE上的動點.

E

/B

(1)證明：DC1平面BCE；

(2)當二面角F-AC-8的大小為45。時，求線段CF的長度.

【變式2-2]（2024?湖北?模擬預測）如圖,AE1平面力BCD,E,9在平面力BCD的同側(cè)，AE//DF,AD//BC,

AD1AB,AD=AB^^BC=1.

￡￡F

(1)若四點在同一平面內(nèi)，求線段EF的長;

(2)若DF=24E,平面BEF與平面BCF的夾角為30°,求線段2E的長.

【變式2-3](2024?湖南?模擬預測)如圖1,在五邊形力BCDP中，連接對角線AD,AD//BC,AD1DC,

PA=PD=2?AD=2BC=2DC=4,將三角形PAD沿2。折起，連接PC,PB,得四棱錐P—4BCD（如圖

2),且PB=2VlE為2D的中點，M為BC的中點，點N在線段PE上.

圖1圖2

(1)求證：平面PAD_L平面力BCD；

(2)若平面4MN和平面P4B的夾角的余弦值為嚼，求線段EN的長.

【題型3空間角問題】

【例3】(2024?青海?二模)如圖，在三棱柱4BC—4m也1中，所有棱長均相等,CB^CBCL0,/.ABB1

=60°,CB1BB「

(1)證明；4。1平面BBiCiC.

(2)若二面角Ci-—B的正弦值.

【變式3-1](2024?福建龍巖?三模)如圖，在四棱臺ABCD—4中停以1中，底面四邊形/BCD為菱形,

Z.ABC=60°,AB=2A=2AxB^,AAi_L平面ABCD.

(1)證明：BDICC

⑵若M是棱BC上的點，且滿足等=I，求二面角M—A%—D的余弦值.

【變式3-2](2024?黑龍江大慶?三模)如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD//

BQBAD=90。/。=2BC=4,48=2,PA=2?乙PAO=45°,且。是2。的中點.

⑴求證：平面POC1平面ABC；

(2)若二面角P—AD—B的大小為120。，求直線PB與平面PAD所成角的余弦值.

【變式3-3](2024?河南濮陽?模擬預測)如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=AB=BC=2,

CD=4,E為CD中點，/E與2。相交于點O,將△4DE沿NE折起，使點。到達點尸的位置(P學平面

ABCE).

(1)求證：平面P081平面P8C；

(2)若PB=V^,試判斷線段依上是否存在一點。(不含端點)，使得直線尸C與平面4EQ所成角的正弦值

為等若存在，求。在線段網(wǎng)上的位置；若不存在，說明理由.

【題型4空間點、線、面的距離問題】

【例4】(2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺48。一4道1射中，△4BC為等邊三角形，AB=2A1B1=4,

4%1平面/2C,點N,。分別為AC,8c的中點，&B14cl.

⑴證明："ill平面&MN；

(2)求直線與平面4MN所成角的正弦值;

(3)求點D到平面&MN的距離.

【變式4-1](2024?廣東?三模)如圖，邊長為4的兩個正三角形力BC,BCD所在平面互相垂直，E,F分別

為BC,CD的中點，點G在棱4。上，AG=2GD,直線48與平面EFG相交于點H.

⑴證明：BD//GH；

(2)求直線BD與平面EFG的距離.

【變式4-2](2024?上海?三模)如圖，在直三棱柱ABC—ZiBiCi中，AAr^AB=2,AC1,

乙4c8=90。，。是棱N8上的一點.

(1)若=DB,求異面直線BiD與41射所成的角的大小;

(2)若CDlBrD,求點8到平面aCD的距離.

【變式4-3](2024?海南?模擬預測)如圖，在直四棱柱ABC?！?B1C1D1中，底面四邊形4BCC為梯形,

(1)證明：

(2)若直線4B與平面BiCOi所成角的正弦值為半，點M為線段BD上一點，求點M到平面⑶道小的距離.

【題型5立體幾何中的作圖問題】

[例5](2024?貴州貴陽?模擬預測)如圖，正三棱柱4BC—力道10中，AB=4,44】=遮.設點D為

上的一點，過。，N作平面BCC1%的垂面a,

B

(1)畫出平面a與正三棱柱ABC—41B1G表面的交線(保留作圖痕跡，不需證明)；

⑵若占到平面a的距離為孚，求AC與平面a所成角的正弦值.

【變式5-1](2024?廣東廣州?模擬預測)在四棱錐P-4BCD中,底面4BCD為直角梯形,CD〃4B,

乙48。=9(T,4B=2CD,三棱錐8-PCD的體積為竽，平面P2D與平面PBC的交線為Z.

(1)求四棱錐P—48C。的體積，并在答卷上畫出交線I(注意保留作圖痕跡)；

(2)若4B=28C=4,PA=PD,且平面24。1平面&BCD,在I上是否存在點N,使平面PDC與平面DCN所成

角的余弦值為半？若存在，求PN的長度；若不存在，請說明理由.

【變式5-2](2023?廣西?模擬預測)已知四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為直角梯形，P41平面4BCD,

AD||BC,AB1AD,PA=AD4,BA=BC=2,M為P4中點，過C,D,M的平面截四棱錐P—4BCD

所得的截面為a.

(1)若a與棱PB交于點尸，畫出截面a,保留作圖痕跡(不用說明理由)，求點尸的位置;

(2)求平面CDM與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

【變式5-3](2024?廣西河池?模擬預測)已知四棱錐P—ABCD中，底面2BCD為直角梯形，P41平面

ABCD,ADWBC,ABLAD,PA=AD4,BA=BC=2,M為P4中點，過C,D,M的平面截四棱錐P—ABC。

所得的截面為a.

B"-------------r

(1)若a與棱交于點尸，畫出截面a,保留作圖痕跡(不用說明理由)，并證明黑=3.

(2)求多面體4BCDMF的體積.

【題型6立體幾何中的折疊問題】

【例6】(2024?四川南充?三模)已知如圖，在矩形48CD中，AB=2,AD=25將△4BD沿8。折起,

得到三棱錐M—BCD,其中△MBD是折疊前的△ABD,過加作BD的垂線，垂足為X,MC=V10.

(1)求證：MH1CD-,

(2)過發(fā)■作MB的垂線，垂足為N,求點N到平面MCD的距離.

【變式6-1](202式甘肅?一模)如圖甲所示的正方形4441&中，AAi=12,AB=A1B1=3,BC=

=4,對角線44'i分別交BBi，CCi于點P,Q,將正方形4471/1沿BBRCi折疊使得力4與44、重合，構(gòu)成如

圖乙所示的三棱柱4BC—公名的.點M在棱"上，且4M=31R.

⑴證明：BM||平面APQ；

(2)求三棱錐M—4PQ的體積.

【變式6-2](2024?全國?模擬預測)如圖，在梯形力BCD中，AB||CD,/.BAD=90°,CD=2AD=2,AB=3.E

為線段AB上靠近點力的三等分點，將△ADE沿著OE折疊，得到四棱錐A—BCDE,使平面ADE1平面BCDE,P

為線段CE上的點.

⑴求證：AD1AP；

(2)是否存在點P,使得直線2P與平面4BE所成角的正弦值為平?若存在，求出線段EP的長；若不存在，請說

明理由.

【變式6-3]（2024?安徽合肥?三模）如圖一：等腰直角448。中力（7143且47=2,分別沿三角形三邊向

夕卜作等腰梯形4BB242,BCC2B3,CA43c3使得4^2=BB2=CC2=1,^CAA3=z.BAA2=p沿三邊48,BC,C4折

疊,使得C2c3,重合于Ai,Bi,Ci，如圖二

圖二

(1)求證：AAr1B1C1.

（2）求直線CCi與平面44/18所成角8的正弦值.

【題型7立體幾何中的軌跡問題】

【例7】（2024?安徽蕪湖?二模）在三棱錐P—48C中，PB1平面ABC,A8=8C=BP=2,點E在平面4BC

內(nèi)，且滿足平面P4E1平面PBE,B4垂直于BC.

⑴當乙4BEC《,1時，求點E的軌跡長度;

（2）當二面角E-PA-B的余弦值為苧時，求三棱錐E-PCB的體積.

【變式7-1］（2024?全國?模擬預測）如圖，在直三棱柱2BC—4&C1中，AB=4C=441=3,BC=3近萬

是側(cè)面441g（?內(nèi)的動點（包括邊界），。為BCi的中點，BiEl&D.

（1）求證：點E的軌跡為線段4Ci；

（2）求平面4DE與平面ABC夾角的大小.

【變式7-2］（2024?全國?模擬預測）如圖，四邊形4BDC為圓臺。1。2的軸截面，AC=2BD,圓臺的母線與

底面所成的角為45。，母線長為VLE是麗的中點.

（1）已知圓。2內(nèi)存在點G,使得DE1平面BEG,作出點G的軌跡（寫出解題過程）；

（2）點K是圓。2上的一點（不同于力，C）,2CK=AC,求平面2BK與平面CDK所成角的正弦值.

【變式7-3](2024?云南曲靖?模擬預測)如圖，四面體2BCD的每條棱長都等于2,M,G,N分別是棱4B,

BC,CD的中點，。，E,F分別為面BCD,面4BC,面4CD的重心.

A

(1)求證：面。￡77/面AB。；

(2)求平面OEF與平面4BN的夾角的余弦值；

(3)保持點E,F位置不變，在△BCD內(nèi)(包括邊界)拖動點0,使直線MN與平面OEF平行，求點。軌跡長度;

【題型8立體幾何中的探索性問題】

【例8】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)如圖，已知4B1平面BCE,CDWAB,△8CE是等腰直角三角形，其

中NEBC=且AB=BC=2CD=4.

(1)設線段BE中點為F,證明：CFII平面4DE；

(2)在線段上是否存在點M,使得點B到平面CEM的距離等于苧，如果存在，求MB的長.

【變式8-1](2024?貴州黔西一模)如圖所示為直四棱柱4BC。一4再也1。1/8=力。=2vleB=CD=4,A

必=4,ABCD=60°,M,Mi分別是線段的中點.

(1)證明:8C_L平面MMi。；

(2)求直線2C與平面BZMi所成角的正弦值，并判斷線段2C上是否存在點P,使得PBi〃平面BD&,若存在,

求出8P的值，若不存在，請說明理由.

【變式8-2](2024?黑龍江哈爾濱?一模)如圖1,在平行四邊形ABCD中，。=60。,。。=24。=2,將△力DC

沿4C折起，使點。到達點P位置，S.PCA.BC,連接PB得三棱錐P—4BC,如圖2.

P

(1)證明：平面PA81平面A8C；

(2)在線段PC上是否存在點使平面4MB與平面M8C的夾角的余弦值為[若存在，求出器的值，若不存

o

在，請說明理由.

【變式8-3](2024?天津?一模)已知底面4BCD是正方形，PA1平面4BCD,PA//DQ,

PA^AD=3DQ=3,點E、尸分別為線段PB、CQ的中點.

B"-----------------------C

(1)求證：EF〃平面PADQ；

(2)求平面PCQ與平面CDQ夾角的余弦值；

(3)線段PC上是否存在點M,使得直線4M與平面PCQ所成角的正弦值是券，若存在求出螺的值，若不存在,

說明理由.

【題型9立體幾何建系繁瑣問題(幾何法)】

【例9】(2024?山東?二模)如圖所示，直三棱柱4BC—A/iG，各棱長均相等刀，E,尸分別為棱4B,BC,

&Ci的中點

(1)證明：平面AiCD1平面414BB1；

(2)求直線EF與所成角的正弦值.

【變式9-1](2024?陜西銅川?模擬預測)如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD是平行四邊形,

^ABC=120°,AB=1,BC=4,PB=2?PDVCD,點￡是BC的中點，且PEIED.

AB

⑴求證：PELAD；

(2)求點E到平面P2D的距離.

【變式9-2](2024?全國?模擬預測)如圖，在四棱錐P—4BCD中，AB||CD,且2B14P,CD1DP.

(1)證明：平面PCD_L平面PAD；

(2)若P4=PD=AB,PA1PD,求P8與平面28CD所成角的大小.

【變式9-3](2024?浙江?模擬預測).如圖，底面公當?shù)男」潭ㄔ诘酌鎍上的盛水容器口為正方形力BCD,

側(cè)棱力公，BBi，CCi，ODi相互平行.

D

A/T

/a4B、/

(1)證明：底面四邊形A/iCiDi是平行四邊形；

(2)若已知四條側(cè)棱垂直于面4BCD,且44i=DD]=4,BBi=CC1-AB=2.現(xiàn)往該容器中注水，求該容器

最大盛水體積U及此時側(cè)面BBiQC與底面a所成角。的余弦值(水面平行于底面a).

【題型10新情景、新定義下的立體幾何問題】

【例10】(23-24高一下?四川成都?期末)類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理;

如圖1,由射線P4PB,PC構(gòu)成的三面角P—ABC,乙4PC=a,乙BPC=8,乙4P8=y,二面角2—PC—B

的大小為仇則cosy=cosacos/?+sinasin8cos6.

(1)當a、。€(0,以時，證明以上三面角余弦定理；

(2)如圖2,平行六面體ABCD—AiBiCiDi中，平面AAiQC1平面ABCD,NA遇C=60。，ABAC=45°,

①求乙41aB的余弦值；

②在直線CCi上是否存在點P,使BP〃平面。4母1?若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由.

【變式10-1](24-25高三上?浙江?開學考試)已知。是棱長為四的正四面體4BCD,設。的四個頂點到平面

a的距離所構(gòu)成的集合為M,若M中元素的個數(shù)為m則稱a為。的k階等距平面，M為。的k階等距集.

(1)若a為。的1階等距平面且1階等距集為｛研，求a的所有可能值以及相應的a的個數(shù)；

(2)已知/?為。的4階等距平面，且點4與點BCD分別位于夕的兩側(cè).若。的4階等距集為｛b,2b,3瓦4打，其中點2

到￡的距離為6,求平面BCD與0夾角的余弦值.

【變式10-2](23-24高一下?福建三明?期末)閱讀數(shù)學材料：“設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M

1

在點P處的離散曲率為1—五(NQlPQ2+NQ2PQ3+NQ3PQ4+-“+NQk_lPQk+NQkPQD，其中Qt

(i=l,2,k,kN3)為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…,平面

QjiPQk和平面QkPQi為多面體M的所有以P為公共點的面.”已知在直四棱柱力BCD—41%的。1中，底面

ABCD為菱形.441=AB.(角的運算均采用弧度制)

(1)若AC=BD,求四棱柱ABC。一公8停1。1在頂點4處的離散曲率；

⑵若四棱柱ABCD—公歷的￡?1在頂點4處的離散曲率為g,求8的與平面ACQ的夾角的正弦值；

(3)截取四面體&-48。，若該四面體在點4處的離散曲率為卷7，4Ci與平面&BD交于點G,證明：—A(T1

【變式10-3](23-24高一下?湖南長沙?期末)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎

曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2n與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面

體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為去故其各個頂點的曲率均

為如一3*m=正如圖，在直三棱柱4BC—&8心中，點4的曲率為g,N,M分別為4B,的中點，且

AB=AC.

(1)證明：CN1平面4BB遇1；

⑵若441=V2AB,求二面角%-AM-Q的余弦值；

(3)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設簡單多面

體的頂點數(shù)為D，棱數(shù)為3面數(shù)為M,則有：D—L+M=2.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率(多

面體有頂點的曲率之和)是常數(shù).

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）如圖，已知正方形ABCD為圓柱的軸截面，AB=BC=2,E,尸為上底面圓

周上的兩個動點，且E尸過上底面的圓心G,若則三棱錐2—8EF的體積為（）

2.（2024?全國?模擬預測）已知正方體A8CD—4/傳1。1的棱長為4,點MC平面4/CD1，且翳=,則

點〃的軌跡的長度為（）

A.V341IB.V17TTC.等D.學

3.（2024?山東濟南?三模）如圖所示，正方體2BCD—4/1射。1的棱長為1,點E,F,G分別為BC,CCi,8Bi的

中點，則下列說法正確的是（）

A.直線。道與直線力/垂直B.直線4第與平面4EF平行

C.三棱錐F—4BE的體積為!D.直線3c與平面4EF所成的角為45°

O

4.（2024?全國?模擬預測）已知△4BC中，AC=1,AB=2,SC=V3,在線段AB上取一點M,連接CM,如

圖①所示.將△ACM沿直線CM折起，使得點4到達4的位置，止匕時△BCM內(nèi)部存在一點N,使得4N1平

面BCM,NC=字，如圖②所示，則4M的值可能為（）

A

D.1

5.（2024?湖北?模擬預測）如圖所示的多面體是由底面為ABC。的長方體被截面AECiF所截得到的，其中

48=4,BC=2,CCr=3,BE=1,則點C到平面AECF的距離為（）

C4后D.等

6.（2024?廣西南寧?一模）在邊長為4的菱形4BCD中，^ABC=120°.將菱形沿對角線AC折疊成大小為30。

的二面角夕一2C—0.若點E為3￡的中點，F(xiàn)為三棱錐所一4CD表面上的動點，且總滿足2C1EF,則點F軌

跡的長度為（）

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

7.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知四棱錐P—4BCD的底面為正方形，PD，底面&BCDPD=4。，點E是

線段PB上的動點，則直線OE與平面PBC所成角的最大值為（）

nnHn

A.NB.aC.1D.5

8.（2024?青海?模擬預測）如圖，在正方體48。。一4再停1。1中，E,F,M,N,G,"分別為棱48,BC,

AD,CD,&Bi，Ci外的中點，P為的中點，連接E”，F(xiàn)G.對于空間任意兩點/,/,若線段〃上不存在

也在線段E”，F(xiàn)G上的點，則稱/,/兩點“可視”，則與點為“可視”的點為（）

二、多選題

9.（2024?湖北襄陽?模擬預測）如圖，已知正方體4BCD—4i&CiDi的棱長為2,E,F,G分別為2D,

AB,無品的中點，以下說法正確的是（）

A.三棱錐J—EFG的體積為!B.4C1平面EFG

C.BCil呼面EFGD.二面角G—EF—C的余弦值為哼

10.（2024?廣東佛山?模擬預測）如圖，在三棱錐P—48C中，平面P4C1平面力BC,且和△4BC土勻

是邊長為2的等邊三角形，2&F分別為A8/aBC的中點，G為PB上的動點（不含端點）,平面EFG交直線P4

于H,則下列說法正確的是（）

P

A.當G運動時，總有HG〃2B

B.當G運動時，點G到直線4