三角形四心及奔馳定理（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第37講三角形四心及奔馳定理

知識(shí)梳理

技巧一.四心的概念介紹:

(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相

等.

(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理一解決面積比例問(wèn)題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知ZWC的頂點(diǎn)，%),B(X2,y2),C(w，%)，則4ABC的重心坐標(biāo)為

(盧+W+W乂+%+%)

133'

注意：(1)在AIBC中，若。為重心，則函+礪+反

(2)三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA-￥SBOB-^-SCOC=(),則"。臺(tái)、身。。的面積

之比等于4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令4示=兩，4麗=0瓦，4反？=西，即滿足

OAi+OBt+OCt=0

技巧三.三角形四心與推論:

(1)O是AWC的重心：SABOC:SACOA:SAAOB=1:1A^>OA+OB+OC=6.

(2)。是△ABC的內(nèi)心：SABOC-.SACOA-.S^OB=a:b:coaOA+bOB+cOC=0.

（3）O是八鉆。的外心:

S::SMCR-sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6.

ZAARoUnCrZACCZALXAOD

(4)O是△ABC的垂心：

SARnr:S=tanA:tan5:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見(jiàn)結(jié)論

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量普所在的直線上.

網(wǎng)M

|AB|-PC+|BC|-PC+|C4|-PB=()O尸為△ABC的內(nèi)心.

(2)外心：|西口麗|=|叫=P為△ABC的外心.

(3)垂心：耳?麗=麗?我=宓?衣oP為八45。的垂心.

(4)重心：西+方+定=(5oP為△ABC的重心.

必考題型全歸納

題型一：奔馳定理

例1.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知。是AASC內(nèi)部的一點(diǎn)，/A,ZB,NC所對(duì)的邊

分別為。=3,b=2,c=4,若sinA?礪+sinB.9+sinC?配=0，則AAQB與AABC的面

積之比為（）

例2.（2024?安徽六安.高一六安一中?？计谀┮阎?。是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

OA+2OB+OC=6^則AAOB的面積與AABC的面積之比為（）

A—B.—C.—D.—

八?2345

例3.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若點(diǎn)A/是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊AC靠近

A的三等分點(diǎn)，且滿足5痂=荏+而，貝!JAABM與的面積比為（）

239

AB.—C.—D.—

-15525

變式1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）平面上有AABC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形,

若將ACMS,AOBC,△筋的面積分別記作邑，Sa,Sb,則有關(guān)系式

ULILIL1ULILUU1

SaOA+SbOB+ScOC=0.因圖形和奔馳車的bg。很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定

理”.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足

a-OA+bOB+cOC^O>則。為）

C.重心D.垂心

變式2.（2024.上海奉賢?高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一

個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地

稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是△A8C內(nèi)的一點(diǎn)，△80C,△AOC,AAOB的面

積分別為梟、SB、則有邑函+%礪+SC元=G,設(shè)。是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，Z

BAC,ZABC,/ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（）

A.^OA+OB+OC=Q,則。為△ABC的重心

B.^OA+2OB+3OC=6,則%：%：品=1⑵3

C.則。為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則

tanABAC-OA+tanAABC-OB+tanZACB-OC=6

D.若網(wǎng)=|國(guó)=2,ZAOB=^,2次+3礪+41=6,貝電

變式3.（多選題）（2024?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面

向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbewz）的logo

很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ABOC,

AAOC,?。3的面積分別為臬,與，7，則叢?次+SB?礪+Sc?無(wú)="。是出。內(nèi)的

一點(diǎn)，ZBAC,ZABC,/ACB分別是“LBC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.^2OA+3OB+4OC=6>則％:SB:Sc=4:3:2

B.若網(wǎng)=|詞=2,ZAOB=y,且2西+3麗+40=0,貝應(yīng)樹(shù)=竽

C.若礪.無(wú)=礪.滅.南，則。為AABC的垂心

TT

D.若。為AABC的內(nèi)心，且5區(qū)+12礪+13元=0,貝IZACB=-

變式4.（多選題）（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的10go很相似，故形象地稱其

為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ABOC.AAOC、AAQB的面積分別為

梟、SB、SC,則以方+品?/+Sc?玄=6.設(shè)。是銳角"1BC內(nèi)的一點(diǎn)，/BAC、

ZABC,/ACB分別是AABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若麗+2而+3元=6,則梟應(yīng)￡=1：2:3

B.網(wǎng)=|網(wǎng)=2,^AOB=y,2OA+3OB+4OC=6>貝電MC=|

IT

C.若。為AABC的內(nèi)心，3OA+4OB+5OC=6，則NC=m

D.若。為AABC的重心，貝!]OA+OB+OC=0

題型二：重心定理

例4.（2024?福建泉州?高一校考期中）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、

重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線

被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知的外心為。，重心為G,

垂心為X,M為中點(diǎn)，且AB=5,AC=4,則下列各式正確的有.

?AG-BC=-3?AOBC=-6

?OH=OA+OB+OC?AB+AC=4OM+2HM

例5.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上AASC的三個(gè)

頂點(diǎn)，NB、NC分別是邊AC、A8的對(duì)角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正確

的序號(hào)全部寫上）.

①動(dòng)點(diǎn)尸滿足赤=兩+而+無(wú)，則AABC的重心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合中；

②動(dòng)點(diǎn)P滿足而=加+入溫+備XX>0）,則AABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合

中；

___?___k40

③動(dòng)點(diǎn)尸滿足中=西+陽(yáng)-—+/）（%>0），則AABC的重心一定在滿足條件的尸

|AB|smBD|AC\sinC

點(diǎn)集合中；

—.—.~ABAC

④動(dòng)點(diǎn)尸滿足。尸=。4+〃予--+--）U>0）,則AABC的垂心一定在滿足條件的P

|AB|cosB|AC\cosC

點(diǎn)集合中；

⑤動(dòng)點(diǎn)P滿足55="空+陽(yáng)」80+）（.>0）,則^ABC的外心一定在滿足條

2|AB\cosB|AC|cosC

件的尸點(diǎn)集合中.

例6.（2024.河南.高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤簟锳ABC的重心（重心為三條中線

交點(diǎn)），S.OA+OB+AOC=6,貝1JX=一.

變式5.（2024.全國(guó)?高一專題練習(xí)）（1）已知△ABC的外心為。，且AB=5,AC=3,則

AOBC^.

(2)已知△ABC的重心為0,且A8=5,AC=3,則布?就=

（3）已知AABC的重心為。，且A8=5,AC=3,A=1,。為BC中點(diǎn)，則歷.歷=

變式6.（2024?江蘇無(wú)錫.高一江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在AASC中，AB=2,

ZABC=60°,ACAB=-1,若。是JSC的重心，則前.就=.

變式7.（2024.江西南昌.高三校聯(lián)考期中）銳角AABC中，a,b,。為角A,B,C所對(duì)

的邊，點(diǎn)G為”WC的重心，若AGLBG,貝UcosC的取值范圍為.

變式8.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）過(guò)△ABC重心。的直線PQ交AC于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)

__,3__?

Q,PC=-AC,QC=nBC,則w的值為_(kāi)_______.

4

變式9.（2024.上海虹口.高三上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考期中）在AABC中，過(guò)重心G的直

線交邊A8于點(diǎn)P,交邊AC于點(diǎn)Q,設(shè)△APQ的面積為H，&4BC的面積為S?，且

AP=AAB,AQ=pAC,則春的取值范圍為.

題型三：內(nèi)心定理

例7.（2024?湖北.模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，ABAC=16>,BC=3,且

AB>AC,若。為AABC的內(nèi)心，則;^.阮=.

例8.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知RSABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/是“IBC

的內(nèi)心，P是AZBC內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn).若&*=4向+〃4"（2，〃eR）,貝！M+〃

的取值范圍是.

例9.（2024.黑龍江黑河?高三嫩江市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)/為AABC的內(nèi)心，

AB=AC=5,BC=6,AI=mAB+nBC>貝!Jm+a為.

變式10.（2024?福建福州?高三福建省福州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)。是AABC的內(nèi)

—.3—■1―-

心，^AO=-AB+-AC,貝|cos/3AC=_____.

77

變式11.（2024?甘肅蘭州?高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┰诿嫔嫌蠥A5c及內(nèi)一點(diǎn)。滿足

關(guān)系式：SA.。?礪+SMC?歷?詼即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若AABC的三邊

為a,b,c,現(xiàn)有a.OX+6.32+c.反=0，則。為AABC的一心.

變式12.（2024.貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知。是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，人員C是平面上不

/__kk\

___.AjiAC

共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+2『+一（AeR）,則點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過(guò)zs/RC

IMMJ

的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

22

變式13.（2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓乙+乙=1的左右焦點(diǎn)分別為F-F2,P

1612

為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，G,/分別為鳥(niǎo)的重心和內(nèi)心，則可.前=（）

416

A.—B.C.2D.—

33

變式14.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知AABC,/是其內(nèi)心，內(nèi)角A3,C所對(duì)的邊分別

a,b,c,則()

A.AI=^(AB+AC)D—ycA.BbAC

aa

廠—bABcAC「—cABbAC

C.AI=-------+-------D.AI=----+----

a+b+ca+b+ca+ba+c

3

變式15.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在△ABC中，cosA=-,。為△ABC的內(nèi)心，若

4

Ad=xAB+yAC（x,yeR）,則x+y的最大值為（）

R6—^607—A/7八8-2A/2

AD.-----c.--------u.----------

-t567

變式16.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）點(diǎn)。在AABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式:

⑴OA+OB+OC=6；

(2)OAOB=OBOC=OCOA；

(4)(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0.

則點(diǎn)0依次為AABC的（）

A.內(nèi)心、外心、重心、垂心;B.重心、外心、內(nèi)心、垂心;

C.重心、垂心、內(nèi)心、外心;D.外心、內(nèi)心、垂心、重心

變式17.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為b、

c,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足下列四個(gè)條件：

@aOA+bOB+cOC=Q;

②tanAOA+tan8?08+tanCOC=0;

③sin24DA+sin2B.麗+sin2c.配=6;

@OA+OB+OC=D;

則點(diǎn)0分別為AASC的（）

A.外心、內(nèi)心、垂心、重心B.內(nèi)心、外心、垂心、重心

C.垂心、內(nèi)心、重心、外心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心

題型四：外心定理

例10.（2024.山西呂梁.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)。為AABC的外心，且滿足

20A+30B+40C=0,|^|=1,下列結(jié)論中正確的序號(hào)為.

@OB-OC=-^；②網(wǎng)=2；③?A2?C.

例11.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知。為“LBC的外心，AC=3,BC=4,則覺(jué).通=

例12.（2024.黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知。是AABC的外

uumuun

ACuunuumAB

uumuumuum2

心，若■uun-ABAO+umn-AC-AO=2mAO,且sinB+sinC=百，則實(shí)數(shù)加的最大值為

ABAC

變式18.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)。為△ABC的外心，若ABH,BC=2。則

BOAC=.

變式19.（2024?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)。是△ABC的外心，

a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，A=g,且岑?:W+日.〃=24兩，則2的值為

3sinCsinB

變式20.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）在“1SC中，AB=6,AC=30點(diǎn)M滿足

AM=-AB+-AC.過(guò)點(diǎn)/的直線/分別與邊4民4。交于點(diǎn)"后且4。==48,

542

---------*]---------->ULIHULAUUUL1I__,\

AE^-AC.已知點(diǎn)G為AABC的外心，AG=AAB+JuAC,則|AG|為.

變式21.（2024?全國(guó)?高