蘇科版九年級數(shù)學上冊常見幾何模型解讀與提分訓練：圓中的重要模型-圓弧的中點模型（解析版）

專題02圓中的重要模型-圓弧的中點模型

當圓中出現(xiàn)弧的中點時，我們要注意考慮幾個方面：三角形的中位線，垂徑定理，圓周角定理，弦，

弧，圓心角，圓周角的關系等等。其關系復雜，在理解其做輔助線的方法和分析技巧的基礎之上，還要注

意各知識點之間的聯(lián)系，才是形成穩(wěn)固的解題思路以及推導模式的最佳選擇，以便于最后才能突破復雜的

綜合題型以及壓軸題型。

當圓中出現(xiàn)弦的中點或弧的中點時，我們聯(lián)想到的是利用垂徑定理以及圓周角定理進行思路的突破，

這樣的解決方式比較直接，而且能夠提高大家解題的效率

模型1、與垂徑定理相關的中點模型

圖1

1）如圖1,已知點尸是A8中點，連接OP,貝I]

2）如圖2,已知過點P作MN//AB,則是圓。的切線.

3）如圖3,變換條件：連接BP、AP,若NBPN=NA,則MN是圓。切線.

例1.（2023陜西中考數(shù)學試卷）陜西飲食文化源遠流長，"老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正

面看到的一個"老碗"（圖①）的形狀示意圖.42是。。的一部分，。是4B的中點，連接與弦交

于點C,連接OA,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,則0。的半徑Q4為（）

圖①

A.13cm17cmD.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出8,AB,AC=BC=^-AB=12cm,再設。。的半徑。1為Rem,則

2

OC=（7?-8）cm.在Rtz/MC中根據(jù)勾股定理列出方程玄=122+（R-8）2,求出R即可.

【詳解】解：：A8是。。的一部分，。是AB的中點，A5=24cm,:.OD±AB,ACBC=^AB=12cm.

設。。的半徑。4為Rem,則。C=OD-CE?=（R—8）cm.在Rt?Q4c中，NOCA=90。，

.-.OA1=AC2+OC2,.-./?2=122+（7?-8）2,.-.7?=13,即。。的半徑Q4為13cm.故選:A.

【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理的應用，設。。的半徑。4為Rem,列出關于R的方程是解題的關鍵.

例2.（2023,湖北十堰?九年級?？计谥校┤鐖D，是。。的直徑，C是。O上一點，。是AC的中點，BD交

AC于點E,過點。作O9〃AC交54的延長線于點E

⑴求證：DF是。。的切線；（2）若AF=2,FD=4,求ADFS的面積.

48

【答案】⑴見解析⑵了

【分析】（1）連接0D,由垂徑定理得AC,根據(jù)平行線的性質證明8,。尸，進而可得結論；

,12

（2）設。。的半徑為r,根據(jù)勾股定理列方程可得：/+不=（廠+2）一，解得：r=3,利用面積法求出DH=工,

然后利用三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）連接0。，回。是4c的中點，ZODIAC,

^\DF//AC,0Or>±r）F,回0D為。。的半徑，回直線￡）廠是。。的切線；

（2）連接AD,作于點H,

設0。的半徑為廠，則OD=Q4=r,OF=2+r,

EINOD尸=90°,Er+42=(r+2)\解得r=3,

EIAB=6,BF=8,0(9F=8-3=5.

El—FD-OD=—OF-DH,E4x3=5DH,EDH=—,

225

i][248

回△OFB的面積=—FB-O”=—x8x—=—.

2255

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理等知識，解答此題的關鍵是正確作出輔助線..

例3.（2023春?福建福州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點C在以A3為直徑的半圓。上（點C不與A,B兩點重

合），點。是4c的中點、DE2于點E，連接AC交DE于點尸，連接。尸，過點O作半圓。的切線DP

交54的延長線于點P.⑴求證：AC〃。尸；（2）求證：AC=2OE；（3）連接CE,CP,若AE回EO=1回2,

求II的值.

BOEAP

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶;

【分析】（1）連接由垂徑定理得出OD,AC,由切線的性質得出ODLDP,則可得出結論；

（2）證明AODE絲4M（AAS）,由全等三角形的性質得出DE=AM,則可得出結論；

（3）連接0。，OC,CE,CP,證明ADOESAPOD,由相似三角形的性質得出器=器，證出

CFOF

△COEs△尸oc,得出方=發(fā)，則可得出答案.

【詳解】（1）證明：連接0。，

為弧AC的中點，:.ODYAC,又為。。的切線，」.OD，。尸，.-.AC//DP-,

(2)證明：-.DELAB,:.NDEO=90°,

由(1)可知OD1.AC,設垂足為點M,:.ZOMA=9Q°,:.ZDEO=Z.OMA,AC=2AM,

又?.?ZDOE=ZAOM,OD=OA,:.^ODE^OAM(AAS),.-,DE=AM,AC=2AM=2DE；

(3)解：連接OO,OC,CE,CP,:NODP=NOED=90。,NDOE=NDOP,

:.ADOES&POD,OD2=OE-OP)

\-OC=OD,OC2=OE-OP,??.—=—

CEOE

又?：NCOE=NPOC,:.ACOESMOC,

CPOC

OE2CE_2

~OC~1,~CP~3

【點睛】本題是圓的綜合題，考查的是切線的性質，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，

全等三角形的判定和性質，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

例4.（2023?廣東佛山?校聯(lián)考一模）如圖，在。。中，A3為。。的直徑，點E在0。上，。為BE的中點，

連接AE,9并延長交于點C.連接。D,在OD的延長線上取一點R連接正，^ACBF=\ABAC.

2

BF

9

⑴求證：叱為。。的切線；（2）若AE=4,OF=~,求。。的直徑.

【答案】⑴證明見解析⑵6

【分析】（1）如圖所示，連接AD,由直徑所對的圓周角是直角得到/4切=90。，由。為BE的中點結合

NCBF」NBAC,得至=進而證明NABR=90。，由此即可證明8尸為。。的切線；（2）如

2

圖所示，連接BE,同理得NA￡B=90。，證明AOB尸s&z四,利用相似三角形的性質求出。3=3,則。。的

直徑為6.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接E1AB是。。的直徑，SZADB=90°,

AA

回。為BE的中點，國BD=ED，0ZBAD=ZCAD=2ZBAC,

SZCBF=-ZBAC,^\ZCBF=ZBAD,

2

0Z.BAD+ZABD=90°,0ZABF=ZABD+ZCBF=90°,BAB±BF,

團03是。。的半徑，國即是。。的切線；

（2）解：如圖所示，連接8E,團43是。。的直徑，BZAEB=90°,

0ZBOD=2ZBAD,ZBAC=2ZBAD,BZBOD=ZBAC,

又忸ZABF=ZAEB=90。,S^OBF^^AEB,^\OB:AE=OF:AB,

9

0OB:4=-:2OB,回。笈=9,即03=3,團。。的直徑為6.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的性質與判定，切線的判定，三角形內角和定理，正確

作出輔助線是解題的關鍵.

模型2、與圓周角定理相關的中點模型（母子型）

圖1圖3

1）如圖1,已知點尸是A8中點，點C是圓上一點，則NPCA=NPCB.

2）如圖2,已知點尸是半圓中點，則NPC4=/PC8=45°.

3）如圖3,已知點尸是中點，貝可得：△PD4S2\R1C；^PDB^^PBC.

可得：ACAPs^CDB；ACAD^ACPB.

例1.（2023?廣東九年級期中）如圖，四邊形ABCD內接于。O,A2為。。的直徑，點C為80的中點，若

ZDAB=40°,則/CBA的度數(shù)是（）

D

C

A.70°B.40°C.60°D.50°

【答案】A

【分析】連接AC,根據(jù)圓周角定理得到NC4B=20。，NACB=90。，根據(jù)直角三角形的性質計算即可.

【詳解】解：連接AC,

回點C為2。的中點，ZZMB=40°,0ZC4B=1zr）AB=2O°,

EIA2為。。的直徑，0ZACB=90°,0ZABC=90°-20°=70°,故選：A.

【點睛】本題考查的是圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵.

例2.（2023?廣東惠州,統(tǒng)考一模）如圖，在。。中，弦A5,8相交于點E,點B是劣弧CO中點，延長AC

到點色使AF=AD,連接KB,CB,BD.

⑴求證：FB=CB；（2）若￡B〃CD,求證：FB是。。的切線；（3）若AE=7,EB=2,求FB的長.

【答案】⑴見解析（2）見解析⑶3后

【分析】（1）根據(jù)同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等，等弧所對的弦相等可得ZBAF=ZBAD,CB=DB,

然后結合已知條件，利用SAS證得△及F三則q=DB,結合CB=DB等量代換即可證得結論；

（2）連接OB,由根據(jù)垂徑定理的推論可得08，?！?gt;,再結合人8〃8證得08，尸8,然后根據(jù)切

線的定義即可證得結論（3）由同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等可得/由比=44。,再結合

ZDBE=NABD證得讓BDE?ABAD,由相似三角形的性質求得DB的長度，再由FB=DB即可求得答案

【詳解】（1）團點8是劣弧CO的中點，.?.BC=B。，==

AF=AD

在△3A尸和ASAD中，\^BAF=ABAD,.-^BAF^BAD,:.FB=DB,

AB=AB

?;CB=DB,:.FB=CB-,

（2）連接OB,如圖，

???BC=BD，OB_LCD,?：FB//CD,OBLFB,

QQB是。。的半徑，二用是。。的切線;

（3）?.?BC=BD，:.NBDE=/BAD,

BDBE

XDBE=Z.ABD,回^ABDE?ABAD,—-=----

BABD

?;AE=7,EB=2,:.BA=AE+EB=l+2=9,

BD=y/BAEB=V9x2=372,-：FB=DB,FB=372

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及切線的判定，正確識別圖形是解題關鍵.

例3.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）如圖，8C是。。的直徑，P為CB延長線上一點，叢切。。于A,D

是8c的中點，AD交BC于E,

D

⑴求證：PA=PE；(2}^OE=1,BE=2,求AE1的長.

【答案】(1)證明見解析⑵生，

【分析】(1)如圖1，連接。4,0D,由題意知，ZOAP=ZCAB=90°,則NC4O=ZBAP,由。1=OC,

可得/C4O=/ACO,即Na4P=NACO,由。是BC的中點，可得ZDOB=NDOC=90°,由圓周角定理可

^ZDAB^-ZDOB=45°,ZDAC=-ZDOC=45°,即/ZMB=/ZMC,由三角形外角的性質可得

22

ZEAP=ZDAB+ZBAP,ZAEP=ZACO+ZDAC,則NE4P=NAEP,進而可證上4=PE；

(2)由題意知，OB=OE+BE=3,3c=6,設=貝lj9=PE=2+x,CP=6+x,證明AAPBs^c",

定理得8。2=4；2+4笈，即62=AC2+：AC2,求得滿足要求的解AC=*好，如圖2,連接CD,BD,

45

由題意知△%￡＞是等腰直角三角形，即/3CD=45。，則CD=CHcos/BCD=3后，證明AEWSAOD,

AFFR__A_E__=___2_

貝1IF==7，即12君3y/2,計算求解即可?

ACCD

【詳解】（1）證明：如圖1,連接Q4,0D,

DD

圖1圖2

由題意知，ZOAP=ZCAB=90°,SZCAO=ZBAP,

SOA^OC,SZCAO=ZACO,SZBAP=ZACO,

團。是BC的中點，0ZDOB=ZDOC=90°,

0ZDAB=-ZDOB=45°,ZDAC=-ZDOC=45°,即"AB=/ZMC,

ZEAP=ZDAB+ZBAP,ZAEP=ZACO+ZDAC,

l?l/E4P=/AFP*EPA=PE；

(2)解：由題意知，OB=OE+BE=3,BC=6,

設8P=x,貝|R4=PE=2+x,CP=6+x,

^\ZBAP=ZACO,ZAPB=ZCPA,^AAPB^ACPA,

ABAPBPAB2+xx“口AB1

回一二一=一，BRnP一=----解得％=2,0——=—,即AB=-AC,

ACCPAPAC6+x2+x21Z2

在Rt^ABC中，由勾股定理得3c2=AC?+A&,即6=AC?+J人。？,

4

解得AC=^^或=（舍去），

55

如圖2,連接CO,BD,由題意知△BCD是等腰直角三角形，即N3CD=45。,

&CD=CB-cosNBCD=3我,^AC=AC^^BE=ZADC,

又回NE4B=NC4D=45°,^^EAB^CAD,

AE2

回柒=黑，即小￡一3應，解得AE=勺叵，I3AE的長為土叵.

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，切線的性質，同弧或等弧所對的圓周角相等，圓周角定理，

等腰三角形的判定與性質，三角形外角的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，余弦等知識.解題

的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

例4.（2023?江蘇南京?校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCE）中，連接AC,作AABC的外接圓。O交CO于點

E,連接BE,交AC于點P,AB=AC=10.（1）若AD/8C,求證：AO是。。的切線；（2）若3c=12,求

。。的半徑；⑶若CE=6,E為AC的中點，則BE的長為.

【答案】⑴證明見解析⑵?、强?/p>

【分析】（1）如圖所示，連接03、OC,連接。4并延長交BC于H,先證明△AO2四△AOC,得到

ZOAB=ZOAC,進而利用三線合一定理得到A"L3C,再由平行線的性質可證明AHLAD,由此即可證

明AD是。。的切線；（2）先由三線合一定理得到3"=CH=6,再利用勾股定理求出=8,設。4=03=尤,

則O"=8-x,由勾股定理得f=（8-x『+62,解方程即可得到答案；

（3）如圖所示，連接AE,先證明AE=CE，得到AE=CE=6,再證明,得到

—=-=—=設EF=3后AF=5k,則Cb=AC—詼=10—5左，即可推出

CFCEEF3

BE=BF+EF=3k+^l0-5k）；證明△4￡冰心陶，推出3片衣=毋，則34+才10-5左）-34=36,

解得左=苫或左=2（舍去），貝IJ3E=3左+：（10-5左）=芋.

o33

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接03、OC,連接。4并延長交8C于H,

SOA=OB=OC,AB=AC,0AAOB^AAOC（SSS）,SZOAB=ZOAC,

SAB=AC,SAH±BC,SAD^BC,SAH±AD,

B1BH=CH=；BC=6,^AH^^AB2-BH2=8>

設。4=03=無，則?！?8—x,在RSB。"中，由勾股定理得032=0爐+8斤，

眈=（8一域+6"解得a也回。A嚀，回°。的半徑為名

（3）解：如圖所示，連接AE,回E為AC的中點，^AE=CE，回AE=CE=6,

團NABE=NECF,NBAF=NCEF,HAABF^AECF,

0-=-=—=-,設EF=3k,AF=5k,貝ljCF=AC—Ab=10—5左，

CFCEEF3

0BF=|CF=|(1O-A:)0BE=BF+￡F=3JI+|(1O-5^)；

I3AE=CE，^ZABE=ZFAE,又回NAEB=NFE4，SAAEB^AFEA

0-=—,SBEEF=AE2，回3^+1(10-5A?)-3k=36,

BEAE[_3_

回9左2+5左(10—5左)=36,即8公—25左+18=0,解得左=”或左=2(舍去),

O

S95，9、32

0BE=3^+-(lO-5A:)=3x-+-10-5x-=y.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質與判定，勾股定理，三線還合一定

理，全等三角形的性質與判定等等，正確作出輔助線構造相似三角形和全等三角形是解題的關鍵.

模型3、垂徑定理與圓周角定理結合的中點模型

如圖，AB是直徑，點P是AC中點，過點尸作交于點”，貝U△AOPs△人尸心

以下作圖可證明：ZPAC=ZAPH,即可得是等腰三角形.

例1.（2023?河北滄州,模擬預測）如圖，AB,8是。。的直徑，過點。作垂足為點G,與。。

交于點F，連接AF,AC,AC交。產于點E.甲、乙給出了如下說法：

甲：若添加條件跖=AE,則AF〃CD；乙：若添加條件/是劣弧AC的中點，則

下列說法正確的是（）

A.甲對，乙不對B.甲不對，乙對C.甲、乙兩人都對D.甲、乙兩人都不對

【答案】C

【分析】甲：由等腰三角形的性質可得㈤F=NEE4,由圓周角定理得NEM=ACD,等量代換得

NEAF=ZACD,可證Ab〃CD；

乙：連接AD.由垂徑定理可證NATO=NAZ）廣，由圓周角定理可證NAZ*=NC",等量代換得

ZAFD=ZCDF,可證A尸〃CD.

【詳解】甲：^EF=AE,^ZEAF=ZEFA.

0AD=AD-SZEFA=ZACD,^\ZEAF=ZACD,^\AF//CD.故甲的說法正確；

乙：連接AD.EDF±AB,^AD=AF-SZAFD^ZADF.

團尸是劣弧AC的中點，SAF=CF，SZADF=ZCDF,

SZAFD=ZCDF,SAF//CD.故乙的說法正確.故選C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，垂徑定理，以及圓周角定理等知識，熟練掌握垂徑定理和圓周角

定理是解答本題的關鍵.

例2.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考二模）如圖，AB是半圓。的直徑，AC是弦，點。是AC的中點，點E是AD的

中點,連接OD、3。分別交AC于點2和點P,連接OE,則下列結論中錯誤的是（）

-BDC.OE//BDD.CD1=DPBD

2

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理可證A選項；根據(jù)垂徑地理，中位線的性質可證BC選項；根據(jù)圓周角的性質可證

ACDPS^BDC,由此即可求解.

【詳解】解：?點。是弧AC的中點，是半徑，.?.a>_LAC,團A正確；連接AD交OE于

,?,點E是弧AD的中點，，OE_LA￡>,二4欣=。暇，

vAO^OB,.?.OM是△ABD的中位線，

:.OM//BD,即OE〃即，S.OM=-BD<OE,EIB錯誤，C正確；

2

??,連接BC,點。是弧AC的中點，:.ZACD=ZDBC,:.^CDP^^BDC,

CDDP

,:.CD?=DPBD,I3D正確.故選：B.

【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握圓的基礎知識，相似三角形的判定和性質，垂徑定理，中

位線的性質等知識是解題的關鍵.

例3.（2023?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB,。為。。的直徑，C為。。上一點，過點C的切線與A2

的延長線交于點P,/AfiC=2/BCP,點E是80的中點，肱CE,3。相交于點E.

⑴求/0C3的度數(shù)；（2）若4=3,求。。直徑的長.

【答案】⑴60。（2）6內

【分析】（1）根據(jù)切線的性質，得出OCL尸C,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出NOGB+/3CP=90。，

再根據(jù)等邊對等角，得出NOCB=NO3C,再根據(jù)等量代換，得出/OCB=2/BCP,再根據(jù)

ZOCS+ZBCP=90°,得出2NBCP+NBCP=90。，即3/3CP=90。，得出N3CP=30。，進而計算即可得出

答案；（2）連接DE,根據(jù)圓周角定理，得出ZDEC=90。，再根據(jù)中點的定義，得出￡>E=EB，再根據(jù)同弧

或同弦所對的圓周角相等，得出NDCE=/ECB="DE=-DCB=30。,再根據(jù)正切的定義，得出

DE=3拒,再根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出CD=2DE=64,進而即可得出答案.

【詳解】（1）解：回PC與。。相切于點C,0OC1PC,0ZOCB+ZBCP=9O°,

SOB=OC,SZOCB=ZOBC,EZABC=2ZBCP,^\ZOCB=2ZBCP,

02ZBCP+Z.BCP=90°,即3NBCP=90°,EIN3cp=30°,0ZOCB=2ZBCP=60°；

（2）解：如圖，連接DE,

團CD是。。直徑，團ND￡C=90。，回點￡是50的中點，回DE=EB，

團ZDCE=ZECB=ZFDE=-NDCB=30°,

2

EFI-

在中，回跖=3,/FDE=3。。,^DE=---------=343,

tan30°

在RtZkDEC中，^ZDCE=30°f回。。=2。石=6月，團的直徑的長為6G.

【點睛】本題考查了切線的性質、直角三角形兩銳角互余、等邊對等角、圓周角定理及其推論、銳角三角

函數(shù)、含30。角的直角三角形的性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理.

例4.（2023?浙江舟山?統(tǒng)考三模）如圖1,在。。中，直徑A3LCD于點R點E為。。上一點，點C為弧

AE的中點，連接AE,交8于點G.

⑴求證：AE=CD；（2）如圖2,過點C作。。的切線交8A的延長線于點。，若AF=2,AE=8,求。。的

PF

長度；⑶在（2）的基礎上，點尸為。。上任一點，連接尸八PQ,而的比值是否發(fā)生改變？若不變，求

出比值；若變化，說明變化規(guī)律.

25PFPF3

【答案】（1）證明見解析（2）。。=彳⑶記的比值不會發(fā)生改變，—=-

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出AC=A￡）=CE，推出AE=C￡＞，即可證明AE=CD：

（2）連接OC交4E于點設。。的半徑為人利用勾股定理求出r=5,再證明CQ〃AM,利用平行線

分線段成比例得出黑=黑，計算即可得出結論；（3）分三種情況：當點P與點A重合時，當點尸與點2

PF

重合時，當點尸與點A、B不重合時，分別求出所的比值即可.

【詳解】（1）團直徑ABLCD于點足0AC=AD.

回點C為弧AK的中點，0AC=C￡.^AE=CD-^AE=CD.

（2）如圖2,連接OC交AE于點M,設。。的半徑為,，則。尸=r—2,

圖2

由(1)知CD=AE=8回直徑AB_LCD于點RBCF=FD=^CD4.

在RSCPO中，SCO2=CF2+OF2,0r=42+(r-2)\解得：r=5,

回點C為弧AE的中點，回OC_LAE,AM=EM=^AE=4.SQM=yjo^-AM2=3-

團C。是。。的切線，ISOC1CQ.ISCQ//AM.

OAOM53

團--------,Bp--——.團OQ=g.

OQOC1OQ5

PFPF3

(3)方^的比值不會發(fā)生改變，-z-T=-,理由如下:

由(2)知AF=2,OF—3,OQ=—,AQ=—,

?PFAF23

①當點尸與點A重合時，而=而=.=M；

PFBFOB+OF_5+3_3

②當點尸與點B重合時,

PQ~BQ~OB+OQ~5+f-5；

③當點尸與點A3不重合時，如圖3,連接PF、PQ,

OP=5'OQ~^~5'&~OP=~OQ-

又團ZFOP=ZPOQ,0AFOP^APOQ.

PFOF3PF

回萬萬=加=不回訪的比值不會發(fā)生改變.

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，垂徑定理，勾股定理，切線的性質等

知識，熟練掌握垂徑定理和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

模型4、與托勒密定理相關的中點模型

1）同側型：

條件：如圖5,A為弧BC中點，。為圓上等腰三角形底邊下方一點，結論：BD+CD=2ADxcose；

特別地：1）當三角形為等邊三角形時（即。=60°）；結論：BD+CD=AD

2）當三角形為等腰直角三角形時（即0=90°）；結論：BD+CD=42AD

3）當三角形為120°的等腰直角三角形時（即0=120°）；結論：BD+CD=?AD

2）異側型：

條件：如圖5,A為弧BC中點，。為圓上等腰三角形底邊下方一點，結論：BD-CD=2ADxCosd；

特別地：1）當三角形為等邊三角形時（即。=60°）；結論：BD-CD=AD

2）當三角形為等腰直角三角形時（即6=90°）；結論：BD-CDfAD

3）當三角形為120°的等腰直角三角形時（即敘120°）；結論：BD-CD=gAD

例L（2023?浙江?九年級期中）如圖，AC、3D為圓內接四邊形ABCD的對角線，且點。為8OC的中點;

⑴如圖1,若NCD3=60。、直接寫出AD,AB與AC的數(shù)量關系；

（2）如圖2、若NCDB=90。、AC平分NBC￡>,BC=4,求AD的長度.

【答案】(1)AD+AB=AC(2)78-472

【分析】（1）如圖：54繞8逆時針旋轉交AC于瓦即=BE,先說明△MB是等邊三角形可得

ZABE=6Q°,AE=AB；再說明△￡>BC是等邊三角形可得，進而證明

△CBE=AD5A（SAS）可得CE=AD,最后根據(jù)AC=CE+E4即可證明結論；

（2）如圖：連接交3D于E,先說明3C為。。直徑，即。4=6?=OC=2,再運用圓周角定理和勾

股定理可得8D=CD=2&，進而求得￡>￡=應、AD=j8-4及，最后運用勾股定理即可解答

【詳解】（1）解：如圖：54繞8逆時針旋轉交AC于E,即AB=3E,

EINCDB=60°,0ZG4B=ZCDB=6O°,

回A4￡B是等邊三角形，回ZABE^60°,AE=AB,

回點D為BOC的中點回CD=3。，

0NCDB=60。，0ADBC是等邊三角形,

S\ZDBC=60°,BC=BD,EZABE=ZCBD,BPZCBE=ZABD,

IBACBE三ADR4（SAS）,SCE=AD,

^AC=CE+EA=AD+AB,^AD+AB=AC.

(2)解：如圖：連接0。，OA交BD于E,

0ZCDB=90°,EIBC為。。直徑，即。4=03=OC=2

回點。為BOC的中點，B1BD=CD,

團BC=JBD2+CD2，即4=也即2，解得:BD=CD=272,

I3AC平分N3CD,^AD=AB,

又E1OZ)=03,回AE垂直平分BD,即DE=,SCD//OA,

S\OC=OB.回OE是AOBD的中位線，0O￡=-CD=A/2,

2

^AE=OA-OE^2-y/2>^AD=\lAE2+DE2+^2=^8-442.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判

定與性質等知識點，靈活運用相關定理是解答本題的關鍵.

例2.（2023?云南紅河?統(tǒng)考二模）如圖，在。。中，CO為。。的直徑，過點C作射線CE,ZAOC=120°,

點B為弧AC的中點，連接A3,OB,BC.點尸為弧BC上的一個動點（不與8,C重合），連接申，PB,

PC,PD.⑴若NECP=NPDC,判斷射線CE與0。的位置關系；（2）求證：PA=^3PB+PC.

【答案】（1）CE與。O相切，理由見解析⑵證明見解析

【分析】（1）根據(jù)CD為。。的直徑，得出NCPD=90。，根據(jù)/ECP=/PDC,得出NECD=90。，即可證

明結論；（2）在"上截取4。=尸C,連接BQ,證明ABAQ逐ABCP（SAS）,得出80=8尸，求出

NBQP=NQPB=30。,過點8作班/，尸。于點H,根據(jù)三角函數(shù)求出/W=也8尸，得出

2

PQ=2PH=2義與BP=6BP,即可證明結論.

【詳解】（1）解：CE與。。相切，理由如下：

國。為。。的直徑，ElZCPD=90°,

0NECP=ZPDC,0ZPDC+NPCD=NECP+NPCD=90°,

0ZECD=90°,0CE±CD,

EICE_LCD且OC為。。半徑，EICE為。。的切線.

（2）證明：在AP上截取AQ=PC,連接BQ,如圖3,

回點B為弧AC的中點，ZAOC=120°,13AB=BC>

iaZAOB=ZBOC=60°,AB=BC,

團/BCP與Nfi4P同對弧SZBCP^ZBAP,

AB=BC

在ABAQ和AJSCP中，■ZBAQ=ZBCP,0AW=ASCP（SAS）,S\BQ=BP,

AQ^PC

又回=0ZBPe=3O°,回ZBQP=NQPB=30°,

2一''~

過點B作BHLP。于點H,^QH=PH,SPQ=2PH,

在RUPaB中，cos30°=—=—,^\PH=—BP,0PQ=2PH=2x昱BP=&P,

一BP222

又E|AP=AQ+PQ,AQ=PC,BPA=y/3BP+PC.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，全等三角形的判斷和性質，圓周角定理，解題的關

鍵是理解題意，作出輔助線，熟練掌握相關的性質和判定.

例3.（2023?山西陽泉?九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

托勒密定理

托勒密（Ptolemy）（公元90年一公元168年），希臘著名的天文家、地理學家、數(shù)學

家和光學家.在數(shù)學方面，他論證了四邊形的特性，即著名的托勒密定理.

托勒密定理

圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

已知：如圖（1）中，四邊形ABCD內接于0。，

求證：ACBD=ABCD+BCAD

下面是該結論的證明過程：

證明：如圖（2）過C作C尸交班）于尸，使Nl=/2,

又/3=N4,（依據(jù)1）

ArAn

:.AACDSABCP..?.分=牝BPAC?BP=AD?BC①

BCBP

又NACB=NDCP,N5=N6,：.^ACB<^^DCP.（依據(jù)2）

...2即AC.DP=AB.DC②

DCDP

①+②得AC（BP+DP）=AB?CD+A1）?BC.

即AC?BD=AB?CD+AD?BC.

任務：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1"和"依據(jù)2”分別指什么？

依據(jù)1：依據(jù)2：

（2）當圓內接四邊形A8CO是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：一（請寫出定理名稱）.

（3）如圖（3）,四邊形ABC。內接于回。，AB=3,AD=5,回氏4。=60。，點C是弧3。的中點，求AC的長.

【答案】（1）同弧所對的圓周角相等；兩角分別對應相等的兩個三角形相似（2）勾股定理（3）AC=￡I

3

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理的推論以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；

（2）根據(jù)矩形的性質和托勒密定理，即可得到答案；

（3）連接2D,過點C作于點E.由四邊形ABC。內接于回。，點C是弧瓦）的中點，可得ABCD是

底角為30。的等腰三角形，進而得BD=2DE=gCD,結合托勒密定理，列出方程，即可求解.

【詳解】（1）依據(jù)1指的是：同弧所對的圓周角相等；

依據(jù)2指的是：兩角分別對應相等的兩個三角形相似.

故答案是：同弧所對的圓周角相等；兩角分別對應相等的兩個三角形相似；

（2）國當圓內接四邊形ABC。是矩形時，0AC=BD,BC=AD,AB=CD,

團由托勒密定理得：AC-BD=AB-CD+BC-AD,BlAC2=AB2+BC2.故答案是：勾股定理；

(3)如圖，連接8。，過點C作CBBBO于點E.

團四邊形ABC。內接于回。，^BAD^BCD=180°,fflBAD=60°,0380=120°,

團點C是弧8。的中點，ElMBC=^CD,0BC=CD,0ECBD=30°.

在RtElCOE中，DE=CDcos30a,@DE=@CD,0BD=2DE=^>CD.

2

由托勒密定理得：ACBD=ABCD+BCAD.CD=3CD+5CD.a4C=盛.

3

【點睛】本題主要考查圓的內接四邊形的性質與相似三角形的綜合，添加輔助線，構造底角為30。的等腰三

角形，是解題的關鍵.

課后專項訓練

1.（2023?山西晉中??？寄M預測）如圖，是。。的直徑，點C、。在。。上，點。為弧A3的中點，若

ZBDC=20°,則NOCD的大小為（）

A.20°B.22.5°C.25°D.30°

【答案】C

【分析】根據(jù)A3是。。的直徑，點。為弧A3的中點，求出ZD3O的度數(shù)，圓周角定理，得到

ZBOC=2ZBDC,再利用4）+/￡）3O=ZBOC+NOCD,進行求解即可.

【詳解】解：回A3是。。的直徑，點。為弧AB的中點，

團的度數(shù)為180。，的度數(shù)為90。，0ZJDBO=1x9O°=45°,

0ZBDC=20°,回ZBOC=2NBDC=40°,

0ZD+ADBO=ZBOC+ZOCD（8字型圖），EZOCD=ZD+ZDBO-ZBOC=25°；故選C.

【點睛】本題考查圓周角定理.熟練掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半，是解題的關鍵.

2.（2022秋?安徽?九年級校聯(lián)考開學考試）如圖，已知點AB,C,。均在。。上，AB為。。的直徑，弦AD

的延長線與弦8C的延長線交于點E,連接OC,OD,AC,CD,BD.則下列命題為假命題的是（）

A.若點。是AB的中點，則&。=瓦＞B.若ODLAC,則NAQD=NABC

C.若=則CB=CED.若半徑OD平分弦AC,則四邊形AOC￡＞是平行四邊形

【答案】D

【分析】由圓的性質逐項判斷即可得到答案.

【詳解】解：,.,點。是A8的中點，AD=BD'

:.AD=BD,故選項A是真命題，不符合題意;

,JAB為。。的直徑，:.ZACB=90°,即AC1BC,

若OD_LAC,則3C〃O￡>,.?.NAOD=NABC,故選項B是真命題，不符合題意；

若=貝以ABE是等腰三角形，

QAC1BC,:.BC=CE,故選項C是真命題，不符合題意；

由半徑0。平分弦AC,不能證明四邊形A0CD是平行四邊形，故選項D是假命題，符合題意；故選：D.

【點睛】本題考查了判斷命題的真假、圓的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握圓的性質、等腰三角形的

性質是解題的關鍵.

3.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，AABC的頂點A、B、C均在。。上，點A是CB中點，則下列結論

正確的是（）

A.AB=OCB.ZBAC+ZAOC=180°C.BC=2ACD.ZBAC+-ZAOC=180°

2

【答案】B

【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關系得出各線段、角的關系即可解答.

【詳解】解：A、回點A是中點，

回注B=）fC，^AB=AC,無法得出AB=OC,故選項A錯誤；

B、如圖：連接20,回斗B=^ZBOA^ZAOC,

SBO=AO=CO,0ZOAC=ABAO=ZACO,

0ZOAC+ZACO+ZAOC=ABAC+ZAOC=180°,故此選項正確；

C、SAB^AC,AB+AC>BC,回3cw2AC,故選項C錯誤；

D、無法得出乙8AC+；NAOC=180。，故選項D錯誤.故選：B.

【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，正確把握相關定理是解題關鍵.

4.（2023春?廣東深圳?九年級?？计谥校┤鐖D，點E是AABC的內心，AE的延長線和AABC的外接圓相交

于點。，與BC相交于點G,則下列結論：①NA4D=NC4D；②若N&1C=5O。，則N3￡C=130。；③若

點G為8C的中點，則N8GD=90。；④BD=DE.其中一定正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用三角形內心的性質得到=則可對①進行判斷；直接利用三角形內心的性質對

②進行判斷；根據(jù)圓周角定理，等弧和等弦的關系及等腰三角形的性質可對③進行判斷；通過證明

ZDEB=NDBE■得到BD=DE,則可對④進行判斷.

【詳解】解：回點E是的內心，回4D平分NBAC,^ZBAD=ZCAD,故①正確；

如圖，連接BE,CE,回點E是44BC的內心，SZEBC=-ZABC,ZECB=-ZACB,

22

BZBAC=50°,0ZABC+ZACB=130°,0ZEBC+ZECB=1（ZABC+ZACB）=1x130°=65°,

0NBEC=180°-(ZEBC+ZECB)=180°-65°=115°,故②不正確;

A

D

0ZBAD=ZCAD,^BD=DC<^BD=CD,

團點G為BC的中點，^DG±BC,0ZBGD=