蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常見(jiàn)幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型（解析版）

專(zhuān)題01圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型

知識(shí)儲(chǔ)備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。

圓中常見(jiàn)全等模型：切線(xiàn)長(zhǎng)模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、半角模型。

模型1、切線(xiàn)長(zhǎng)模型

圖1圖2

1）切線(xiàn)長(zhǎng)模型（標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)）

條件：如圖1,P為Q外一點(diǎn)，PA,PB是。的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B。

結(jié)論：①△OAP名△03P；@ZAOB+ZAPB=1SO°；③OP垂直平分A3；

2）切線(xiàn)長(zhǎng)模型（拓展類(lèi)）

條件：如圖2,AD,CD,BC是。的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,E,瓦

結(jié)論：①0△E。。；②△BOC絲△EOC；?AD+BC^DC；@ZDOC=90°；

例1.（2023?北京西城??？既＃┤鐖D，9切。于48,若44尸2=60,。的半徑為3,則線(xiàn)段P。的

長(zhǎng)度為（）

A.5A/3B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】連接P。，證明口14^0/氏2\尸30,得出/4尸。=/8尸。=<423=30。，求出「0=240=6即可.

【詳解】解：連接P。，如圖所示:

A.

0PA,PB切。。于AB,^\PA=PB,OA±PA,OB1.PB,

團(tuán)在RtAPAO和RtAPBO中jpo_po，回RtAPAO=RtAPBC?,

0ZAPO=ZBPO=-APB=30°,0P<9=2AO=6,故B正確.故選：B.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是求出NAP。=NBPO=-APB=30°.

2

例2.（2022?湖南湘西?中考模擬）如圖，PA.PB為回。的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B,尸。交A3于點(diǎn)C,PO

的延長(zhǎng)線(xiàn)交回0于點(diǎn)D.下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.△小為等腰三角形B.A2與PD相互垂直平分

C.點(diǎn)A、B都在以尸O為直徑的圓上D.PC為的邊A3上的中線(xiàn)

【答案】B

【分析】連接OB,0C,令M為0P中點(diǎn)，連接MA,MB,ijEURt0OPB0Rt0OPA,可得BP=AP,EOPB=0OPA,

EIBOC-EIAOC,可推出△8叢為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)EIOBP與回OAP為直角三角形，0P為斜邊，可得

PM=OM=BM=AM,可判斷C；證明EIOBCEBOAC,可得PCE1AB,根據(jù)回BPA為等腰三角形，可判斷D；無(wú)法證

明與PD相互垂直平分，即可得出答案.

【詳解】解：連接OB,0C,令M為0P中點(diǎn)，連接MA,MB,

EIB,C為切點(diǎn)，EBOBP=EIOAP=90°,0OA=OB,OP=OP,0Rt0OPB[3Rt0OPA,

BBP=AP,0OPB=0OPA,0BOC=0AOC,團(tuán)椀胡為等腰三角形，故A正確；

EBOBP與EIOAP為直角三角形，0P為斜邊，EPM=OM=BM=AM

團(tuán)點(diǎn)A、B都在以尸。為直徑的圓上，故C正確；

00BOC=0AOC,OB=OA,OC=OC,EBOBCEHOAC,fflOCB=SOCA=90°,EPCEAB,

03BPA為等腰三角形，回PC為的邊AB上的中線(xiàn)，故D正確；

無(wú)法證明與PD相互垂直平分，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)

用是解題關(guān)鍵.

例3.（2023?河南信陽(yáng)?二模）小倩用橡皮泥做了一個(gè)不倒翁如圖所示，小倩從正面看發(fā)現(xiàn)M4、MB分別切（O

于點(diǎn)A、B,直徑8所在的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)連接45.

（1）小倩發(fā)現(xiàn)加垂直平分請(qǐng)說(shuō)明理由；⑵若。的半徑為3cm,①當(dāng)MD=時(shí)，四邊形AC而0

為菱形；②當(dāng)物=時(shí)，四邊形AO3河為正方形.

【答案】⑴見(jiàn)解析（2）①3cm；（2）（3^-3）cm

【分析】⑴根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出/Q4M=/OBM=90。，利用HL證明回RJOBM,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可得解；（2）①根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)及含30。角的直角三角形性質(zhì)的逆定理推出

ZAMO=30°,根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)推出NO6=30。，AC=AM,根據(jù)線(xiàn)段垂

直平分線(xiàn)性質(zhì)推出MA=MB,AC=BC,則M4=M5=AC=3C,據(jù)此即可得解；②同理①推出四邊形

AQBM為菱形，結(jié)合NO4M=90。，即可得解.

【詳解】（1）解：MA."8分別切于點(diǎn)A、B,:.ZOAM=ZOBM=90°,

[OM=OM

在RtZXQ4M和RtAOBM中，＜八.八方，

OA=OB

RtOAM^RtOBM{HL).ZAOM=ZBOM,

OA=OB,，。暇垂直半分AB；

(2)解：①當(dāng)MD=3aw時(shí)，四邊形AC&W為菱形，理由如下:

如圖，連接AC,BC,

的半徑為3cm,:.OA=OD=3cm,他4切＜。于點(diǎn)A,二/。4M=90。，

MD=3cm,OM=OD+MD=6cm,

:.OA^-OM,:.ZAMO=30°,ZAOM=90°-30°=60°,

2

OA=OC,:.ZOAC=ZOCA,.ZOAC+ZOCA=ZAOM=60°,

.-.ZOC4=30°,:.ZAMC=ZACM,:.AC^AM,

QQW垂直平分AB,=AC=BC,

:.MA=MB=AC=BC,二四邊形ACBM為菱形，故答案為：3cm；

②當(dāng)=@五-3卜機(jī)時(shí)，四邊形AOBM為正方形，理由如下：

)0的半徑為3cM1,:.OA=OD=3cm,他4切(。于點(diǎn)A,.?.NQ4M=90°,

MD={3也一％cm,：,OM=OD+MD=3也cm，：.AM=y]OM2-OA2=3(cm),

QQW垂直半分A3,:.MA=MB=3cm,:.OA=AM=BM=OB,四邊形AOEVf為菱形，

ZOAM=90°,；.四邊形4。3M為正方形，故答案為：(3夜-3kM.

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定

等知識(shí)，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定并作出合理的輔助

線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

模型2.燕尾模型

條0件：OA,02是。的半徑，0C=0D。結(jié)論：①△A0C0△B。。；②

例L（2023?重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以。為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的半徑0402分別交小圓于點(diǎn)C,

D,連結(jié)4民。,包）,3（7,下列選項(xiàng)中不一定正確的是（）

A.AC^BDB.AB//CDC.AB=2CDD.AD=BC

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：由圓的基本性質(zhì)可知：OA=OB,OC=OD,

^OA-OC=OB-OD,即：AC=BD,故A正確；回二OCD和一。13均為等腰三角形，

ELOCD和二OAB的頂角均為/AO3,

ElNOCD=NOQC=g（180O-NAOB）,ZOAB=AOBA=1（180°-ZAOB）,

^\ZOCD=ZOAB,SABCD,故B正確；

回當(dāng)CD是。山的中位線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足AB=2CD,由于C、。不一定為。4、03的中點(diǎn)，

EIAB不一定等于2CD,故C錯(cuò)誤；

AC=BD

在ZkACB和中，-=四△3ZM（S4S）,SAD=BC,故D正確；故選：C.

AB=BA

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解圓的基本

性質(zhì)，熟練運(yùn)用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解題關(guān)鍵.

例2.（2022?河南焦作?統(tǒng)考一模）歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家，被稱(chēng)為"幾何之父"，他最著名的著作《幾何原

本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書(shū).他在第團(tuán)卷中

提出這樣一個(gè)命題："由己知點(diǎn)作直線(xiàn)切于已知圓”.如圖，設(shè)A是已知點(diǎn)，小圓。為己知圓.具體作法是：

以。為圓心，為半徑作大圓O,連接交小圓。于點(diǎn)3,過(guò)8作8CLQ4,交大圓。于點(diǎn)C,連接OC,

交小圓。于點(diǎn)。，連接AD,則AD是小圓。的切線(xiàn).

為了說(shuō)明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的"已知"和"求證"，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)

出“證明”的過(guò)程.

已知：如圖，點(diǎn)A,C和點(diǎn)2,。分別在以。為圓心的同心圓上，.

求證：.

證明：

【答案】CB1.OA,AD是小圓。的切線(xiàn)，證明見(jiàn)解析

【分析】通過(guò)證明三角形全等即可得到=從而證明切線(xiàn).

【詳解】已知：如圖，點(diǎn)A,C和點(diǎn)。分別在以。為圓心的同心圓上，CBLOA

求證：AO是小圓。的切線(xiàn)

證明：回點(diǎn)A,C和點(diǎn)2,。分別在以。為圓心的同心圓上，S\OA=OC,OB=OD.

OA^OC

在△Q4Z）和」OCB中回名OCB,SZODA=ZOBC,

OD=OB

0CB1OA,0ZOBC=90°,0ZODA=90",I3AD是小圓。的切線(xiàn).

【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的證明，找準(zhǔn)判斷切線(xiàn)的三個(gè)因素是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知圓。的直徑AB垂直于弦C。于點(diǎn)E,連接C。并延長(zhǎng)交

于點(diǎn)尸，且CR3A。，連結(jié)AC.

(l)AACO為等邊三角形；(2)請(qǐng)證明：E是08的中點(diǎn)；(3)若A8=8,求的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析⑶4有

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)證明AC=AO=C￡＞即可

(2)要證明：E是。8的中點(diǎn)，只要求證0E=302=3。。，即證明團(tuán)OCE=30。即可;

(3)在直角A0CE中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出C。的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：連接AC,如圖

團(tuán)直徑A8垂直于弦CD于點(diǎn)E,回AC=A。，AC=AD,

El過(guò)圓心。的線(xiàn)CRBA。，她尸=。尸，即CF是的中垂線(xiàn)，

SAC=CD,SAC=AD^CD.即：及4CD是等邊三角形，

(2)a4co是等邊三角形，CF是A。的中垂線(xiàn)，

FA=FDZACF=ZDCF=30°,

在Rtl3coE中，0E=30C,SOE^^OB,0點(diǎn)E為08的中點(diǎn)；

(3)解：在RtlBOCE中，AB=8IBOC=；AB=4,

y.SBE=0E,00￡=2,0CE=y/oC2-OE2=A/42-22=25/3-ECD=2C￡=4A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、中垂線(xiàn)性質(zhì)、30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，等邊三角形的判

定和性質(zhì).解此類(lèi)題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解.

模型3.蝴蝶模型

E

\D/

條件：OA,OE是。的半徑，ADLOE,EB±OAo

結(jié)論：①△AO。四△EOB；②LABD汜AEDB；

例1.（2023秋?江蘇南京?九年級(jí)校聯(lián)考期末）在以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦A3交小圓于C,D

兩點(diǎn).

EX

A

⑴如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7,AB=24,則CO的長(zhǎng)為.

（2）如圖②，大圓的另一條弦所交小圓于G,8兩點(diǎn)，若AB=EF,求證CE>=G/f.

【答案］⑴4岫2）見(jiàn)解析

【分析】（1）連接。4,OC,過(guò)。點(diǎn)作則H為A3,8的中點(diǎn)，得出A"=^AB,CH=gcD,

根據(jù)勾股定理即可求出co的長(zhǎng)；（2）過(guò)。作作ONJLEF,垂足分別為M、N,得出DM=；CD,

1I1

HN=-GH,AM=-AB,EN=—EF,連接。4、OE、OD、OH,通過(guò)證明RtOAM=RtO￡7V和

222

Rt^ODM=RtOHN,即可得證C￡）=G/f.

【詳解】（1）連接Q4,OC,過(guò)。點(diǎn)作則H為A3,8的中點(diǎn)，

Q

EIAB=24,0AH=-AB=-x24=12,CH=-CD,

222

SOH±AB,HOW2=(9A2-AH2,OH2=OC2-CH2,

0OA2~AH2=OC2-CH2,0132-122=72-CH2,

?CH=2巫,0C￡>=2CH=4A/6,故答案為：4#

(2)過(guò)。作作ON工EF,垂足分別為M、N,

SDM=-CD,HN=-GH,AM=-AB,EN=-EF,

2222

又I3AB=￡F,^\AM=EN,連接3、OE、OD、OH,

OA=OE

在RtAOAM和RtOEN中,,

[AM=EN

0RtOAM=RtOEN,SiOM=ON,

[OD=OH

在RtODM和RtOHN中,〈八“八”，

[OM=ON

13RtODM=RtOHN,?OM=HN,SCD=GH.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解此類(lèi)題

的關(guān)鍵.

例2.（2023?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A3和。分別是回。上的兩條弦，圓心。到它們的距離分別

是（W和QV.如果他=CD,求證：OM=ON.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】連接04、OC,根據(jù)垂徑定理求出CD=2CN,AB=2AM,求出CN=AM,根據(jù)HL證Rt^ONCSRt^OMA,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可.

【詳解】證明：如圖，連接OC、0A,貝IJOC=OA.

團(tuán)圓心。到它們的距離分別是和ON,

EHONC=囪OM4=90°,CD=2CN,AB=2AM,0AB=C。，SCN=AM,

itRt^ONCRt^OMArf,0OC=(9A,CN=AM,

0Z?/AONC^RtAOMA(HL),^OM=ON.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.

例3.（2022?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【定義】圓心到弦的距離叫做弦心距.

【探究】等弧所對(duì)弦的弦心距相等.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證并證明.

【應(yīng)用】

（2）如圖2,。的弦AB,。的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P,且AB=CD,連接。尸.求證：O尸平分NAPC.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【分析】（1）在圓上取相等的兩段弧，使AB=C。，則有四=CD,然后過(guò)圓心分別作弦AB、C。的垂線(xiàn)，

垂足分別為E,F,然后通過(guò)三角形全等證明弦心距OE=O尸；

（2）過(guò)點(diǎn)。作OELAB,OFLCD,垂足分別為E、F,結(jié)合（1）的結(jié)論證明府,利

用全等三角形的性質(zhì)得到NOPE=NOPF.

【詳解】（1）已知：AB=CD，小，46于點(diǎn)￡,NLCD于點(diǎn)尸.

求證：OE=OF.

證明：^AB=CD>SAB=CD.

田OE_LAB,OFLCD,^\BE=-AB,CF=-CD,^\BE=CF.

22

OB=OC,

在RtOBE和RtQC尸中,NOEB=NOFC=90°,<

BE=CF.

田RtAOBE%Rfz\OCF(HL),SOE=OF.

(2)證明：過(guò)點(diǎn)。作OELAB,OFLCD,垂足分別為E、F,連接OP.

由(1)可知，當(dāng)AB=CD時(shí)，OE=OF.

在RtOPE和Rt^OPF中，NOEP=ZOFP=90°,

[OE=OF

1310Rt/\OPE^RtZ\OPF(HL),

[OP^OP

團(tuán)NOPE=NOPF,即O尸平分/APC.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的弦、弦心距等相關(guān)問(wèn)題，解答時(shí)，垂徑定理、直角三角形全等的證明等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)

用是關(guān)鍵.

模型4.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型

注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線(xiàn)構(gòu)造出來(lái)的（常用旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短法）。

條件：。是△A3。的外接圓，且ZADB=a,C為圓。上一點(diǎn)。

結(jié)論：①△ADCHBDC，；②△OCO是等腰三角形；

特別地，當(dāng)a=60°時(shí)，CD=CA+CB；當(dāng)a=90°時(shí)，72CD=CA+CB；

例1.（2023?貴州遵義?統(tǒng)考三模）問(wèn)題背景：如圖1,A2是。的直徑，點(diǎn)C,點(diǎn)。在圓上（在直徑的

異側(cè)），且。為弧A3的中點(diǎn)，連接AD,BD,CD,AC,BC.

探究思路：如圖2,將"DC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到證明C,B,E三點(diǎn)共線(xiàn)，從而得到△￡>（?￡

為等腰直角三角形，BC+BE=yf2CD,從而得出AC+8C=&CQ.

⑴請(qǐng)你根據(jù)探究思路，寫(xiě)出完整的推理過(guò)程；

問(wèn)題解決：（2）若點(diǎn)C,點(diǎn)。在直徑A3的同側(cè)，如圖3所示，且點(diǎn)。為弧A3的中點(diǎn)，連接。，BC=m,

AC=n（m>n）,直接寫(xiě)出線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為（用含有加，〃的式子表示）；

拓展探究：⑶將沿8。翻折得到一.MBD,如圖4所示，試探究：MA,MB,AZD之間的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

【答案】⑴推理過(guò)程如下⑵C。=等（w-⑼⑶AM?=2ME>2+MB?

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得“ADC=BDE,可得：CD=DE,AD=DB,AC=BE,根據(jù)勾股定理，

即可；

⑵將△BCD繞點(diǎn)。點(diǎn)順時(shí)針90。得到△AED,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得aAED三BCD,得到

NBDC=ZADE,推出NADB=/CDE=90。，得aCDE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理，等量代換，即可.

(3)將△BCD繞點(diǎn)C點(diǎn)順時(shí)針90°得至IJNACD,△CBD沿BD翻折得到MBD,則AC'Z)^CDBmMDB,

得CD=CD=DM,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，即可.

【詳解】(1)回ZV1DC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△3DE,

0ADC三BDE,ZCDE=90°,

SCD=DE,AD=DB,AC^BE,

^CD-+DE-=CE2,

0亞CD=CE，

團(tuán)CE=BC+BE,

⑦血CD=BC+BE,

⑦AC=BE,

跳血CD=BC+AC.

(2)△以?繞點(diǎn)。點(diǎn)順時(shí)針90。得到△A￡D,

團(tuán)AED=.BCD,

團(tuán)BC=AE,CD=DE,/BDC=ZADE,

團(tuán)ZBDC-ZADC=ZADE-ZADC,

^\ZADB=ZCDF=90°f

團(tuán)一CDE是等腰直角三角形，

中6CD=CE，

團(tuán)AC=m,BC=AE=n,

^\CE-AE-AC=n-m,

0CD=——(n-m).

(3)回△及?繞點(diǎn)。點(diǎn)逆時(shí)針90。得到VAC。，點(diǎn)A在CC上,

0ACD=CDB,

ElZkCBD沿8。翻折得到.MBD,

0_CDB三MDB,

0_AC'D=_CDB=..MDB,

^CD=C'D=DM,BC=AC'=MB,ZCBD=ZMBD=ZC'AD,

EINC'DC=90°,

SCC'2=CD2+CD2,

0CC'=?CD，

0AB是圓的直徑，

0ZACB=90°,

^C'B2=CC'2+BC2,

'SiC'B2=2DM-+MB2,

0ZADB=9O°,AD=BD,

0ZZMB=ZDB4=45°,

0ZMBD+45°=ACAD+45°,

QZC'AB=ZABM,

在，區(qū)4。'和_48加中，

'AC=MB

■NC'AB=ZMBA,

AB=AB

0BAC'^ABM,

^BC'=AM,

^AM2=2DM-+MB1.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形，旋轉(zhuǎn)和折疊的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)和折疊的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用.

例2.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1所示，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓。，點(diǎn)尸是劣弧

上任意一點(diǎn)（不與C重合），連接上4、PB、PC,求證：PB+PC^PA.

（2）［初步探索］小明同學(xué)思考如下：將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到,AQB，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，可得尸、

8、Q三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，進(jìn)而可以證明△APQ為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問(wèn)題：根據(jù)小明的思

路，請(qǐng)你完成證明.若圓的半徑為4,則依+PC的最大值為.

（3）類(lèi)比遷移：如圖2所示，等腰內(nèi)接于圓。，/BAC=90。，點(diǎn)尸是弧8C上任一點(diǎn)（不與8、

C重合），連接m、PB、PC,若圓的半徑為4,試求PBC周長(zhǎng)的最大值.

（4）拓展延伸：如圖3所示，等腰Rt^ABC,點(diǎn)A、B在圓。上，/54C=90。，圓。的半徑為4.連接OC,

試求OC的最小值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）8；（3）8應(yīng)+8;（4）40-4

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)得AQ=AP,QB=PC,ZABQ=ZACP,貝1］乙48Q+NA8P=NACP+NABP=180°,

所以尸、B、。三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，再證明△APQ是等邊三角形，則PB+PC=PB+Q3=PQ=尸A；

(2)當(dāng)上4是(O的直徑時(shí)，PA=8,此時(shí)上4的值最大，所以P3+PC的最大值是8；

(3)先由/B4C=90°證明BC是(。的直徑，且圓心。在BC上，則O3=OC=4,BC=8,再證明尸、B、

。三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則P3+PC=P3+Q8=PQ=應(yīng)尸A,當(dāng)9是1。的直徑時(shí)，PA=8,此時(shí)叢的

值最大，貝(1P3+PC=8&，即可求得PBC周長(zhǎng)的最大值是8點(diǎn)+8;

(4)連接Q4,將線(xiàn)段4。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到AE,連接OE,先求得OE=4近，再連接EC、OB,

證明EAC^^OAB,得EC=OB=4,所以O(shè)C+424夜，則OC24后一4,所以O(shè)C的最小值為4加一4.

【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得AQ=4P,QB=PC,ZQ=ZAPC,ZABQ=ZACP,

ZACP+ZABP=180°,ZABQ+ZABP=1SO°,

:.P,B、。三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，...PB+PC=P8+Q3=P。，

ABC是等邊三角形，:.ZAPC=ZABC=6O°,

..NQ=60。，.?.△APQ是等邊三角形，.［PQ=PA,：.PB+PC=PA；

(2)可是O的弦，且tO的半徑為4,

，當(dāng)上4經(jīng)過(guò)圓心O,即上4是。的直徑時(shí)，PA=8,此時(shí)R4的值最大，

.?.PF+PC的最大值是8,故答案為：8.

(3)［類(lèi)比遷移］解：如圖2,AB=AC,/區(qū)4c=90。，

二8。是。的直徑，且圓心。在BC上，；.OB=OC=4,8c=8,

將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到“AQB,使點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，則0A=PA,QB=PC,ZABQ=ZACP,

ZACP+ZABP=180°,:.ZABQ+ZABP=1?,QO,

:.P、B、。三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，

2

NPAQ=90°,PB+pc=PB+QB=PQ=4PH+QA=d2P解=垃PA,

當(dāng)P4經(jīng)過(guò)圓心。，即P4是。的直徑時(shí)，PA=8,此時(shí)上4的值最大，

:.PB+PC=8亞,，尸3+PC的最大值是80，

PB+PC+BC=842+8.,?△P3C周長(zhǎng)的最大值是80+8.

（4）［拓展延伸］解：如圖3,連接。4,將線(xiàn)段A0繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到AE,連接OE,

E

￡4=04=4，Zft4￡=90°,二OE=〈3?+￡4,="?+4?=4夜,

連接EC、OB,ZBAC=90°,ZEAC=ZOAB=90°-ZOAC,

AC=AB,：.E4C之“O4B（SAS）,:,EC=OB=4,

OC+EC2OE,.?.OC+424&'，.?.OC24&'-4,.：OC的最小值為40-4.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、

勾股定理、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?浙江紹興?九年級(jí)校考期中）如圖1,在（。中，弦AD平分圓周角-54C,我們將圓中以A

為公共點(diǎn)的三條弦34CA,DA構(gòu)成的圖形稱(chēng)為圓中"爪形A”,如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB=BC,

（1）證明：圓中存在“爪形。。⑵若/ADG=120。，求證：AD+CD=BD

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)等弦所對(duì)弧相等可得AB=BC，即NADB=/CD3,進(jìn)而得到平分圓周角NADC,最

后根據(jù)"爪"的定義即可證明結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)。C至點(diǎn)E,使得CE=AD,連接BE；先證明△BAD三△3CE可得NE=NAD3,進(jìn)而證得△5DE

為等邊三角形，即。后=比＞；最后根據(jù)線(xiàn)段的和差即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：EAB=BC,^AB=BC

SZADB=ZCDB,回平分圓周角NADC,團(tuán)圓中存在"爪形D".

(2)證明：如圖：延長(zhǎng)OC至點(diǎn)E,使得CE=AD,連接8E,

EIZA+ZDCB=180o,NECB+NDCB=180。SiZA=ZECB

B1CE=AD,AB=BCSiABAD^ABCESZE=ZADB

0ZADC=12O°,SZE=ZADB=60°,

回△BDE為等邊三角形，SDE^BD,即AD+CD=3。.

【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓的弦、弧、圓周角的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊

三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵.

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023春?陜西銅川?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知半圓。與四邊形ABCD的邊AD、AB、5c相切,

切點(diǎn)分別為。，E,C,設(shè)半圓的半徑為2,AB=5,則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A.7B.9C.12D.14

【答案】D

【分析】由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知：AE=AD,BE=BC,因此四邊形A3CD的周長(zhǎng)=2Afi+CD,已知了AB和圓

的半徑，由此可求出四邊形43CD的周長(zhǎng).

【詳解】解：團(tuán)半圓。與四邊形ABCD的邊4）、AB,3C相切，切點(diǎn)分別為。，E,C,

SAE=AD,BE=BC,SAB+AD+BC=2,AB=10,

ElCD=2+2=4,13四邊形ABCD是周長(zhǎng)=AB+2W+3C+CD=10+4=14.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)長(zhǎng)定理，四邊形的周長(zhǎng)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

2.（2023秋?青海西寧?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，PA,PB為。的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,連接OP交

。于點(diǎn)C,交弦A3于點(diǎn)D.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PA=PBB.OP1ABC.AC=BCD.AAPB是等邊三角形

【答案】D

【分析】利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理、等腰三角形的性質(zhì)以及垂徑定理即可判斷.

【詳解】解：由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得：PA=PB,ZAPO=ZBPO,

SAB1OP,AD=BD,

^AC=BC，

故A,B,C正確，而zMPB中只滿(mǎn)足上無(wú)其他條件證明ZW?是等邊三角形，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理、等腰三角形的性質(zhì)以及垂徑定理，關(guān)鍵是利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到垂徑定理

的前提條件.

3.(2022,江蘇?九年級(jí)假期作業(yè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知8(2,0),四邊形ABC。和AEFG都是正

方形，點(diǎn)A、D、E共線(xiàn)，點(diǎn)G、A、B在x軸上，點(diǎn)C,E,尸在以。為圓心0c為半徑的圓上，則尸C的長(zhǎng)

【答案】A

【分析】設(shè)正方形AEFG的邊長(zhǎng)為“，用。表示出3c和OC,在及08c中，根據(jù)勾股定理建立方程求出a,

可得正方形AEFG的邊長(zhǎng)為2,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,和圓的半徑r,再證出力GO=O5C(S4S)得出

NFOC=90,進(jìn)而求出弧長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)正方形AMG的邊長(zhǎng)為a,

OE=OF,EF_Lx軸，

AO=-AG=-,

22

:.AB=OB—OA=2-巴,

2

在曲△Q4E中，

AE=a,AO=—,

2

EO=VA￡2+OA2=—a,

2

?nr-石

..C/C——af

2

在HQBC中,

OB2+BC2=OC2

BC=AB=2--,

2

，22+（2--|）2=（坐a）2,

解得a=2或-4（舍去），

二?正方形AE/G的邊長(zhǎng)為2,

正方形A8CO的邊長(zhǎng)為1,

.\OG=BC=lfFG=OB=2

又?ZFGO=ZCBO=90

:jGO=OBC（SAS）

:.ZGFO=ZBOC

NG尸O+ZFOG=90

:.NBOC+NFOG=90,

ZFOC=90，

r=OC=a=A/5

2

二.FC=—?2jir=—?ITI-4S二也-兀.

442

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定和弧長(zhǎng)的求法，牢固掌握以

上知識(shí)點(diǎn)并靈活應(yīng)用是做出本題的關(guān)鍵.

4.（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，ZACB=70°,AABC的內(nèi)切圓。與AB,3C分別相切

于點(diǎn)。，E,連接DEAO的延長(zhǎng)線(xiàn)交。石于點(diǎn)尸，則NAFD=.

【答案】35。/35度

【分析】如圖所示，連接O￡,OD,OB,設(shè)。5、DE交于H,由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出

ZAOB=125°,再由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到進(jìn)而推出是的垂直平分線(xiàn)，即NO5=90。，貝lj

/AFD=NAOH—NOHF=35。.

【詳解】解：如圖所示，連接OE,OD,OB,設(shè)03、DE交于H,

固：。是43C的內(nèi)切圓，

回。4、03分別是NC4B、/Ca4的角平分線(xiàn),

^\ZOAB=-ZCAB,ZOBA=-ZCBA,

22

?ZACB=70°,

0ZC4B+ZCBA=180°-ZACB=110°,

^ZOAB+ZOBA^-ZCBA+-ZCAB^55°,

22

0ZAOB=180°-ZOAB—/OBA=125°,

0。與AB,3c分別相切于點(diǎn)。，E,

aBD=BE,

X0OD=OE,

回03是DE的垂直平分線(xiàn)，

0(9B±DE,即/0依=90°,

國(guó)ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°,

故答案為：35°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，三角

形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?天津和平?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形在A3CD中，弦=ZC=120°,連

接對(duì)角線(xiàn)8。，E、尸分別是3。和AD上的兩點(diǎn)，S.BE=DF,連接AE、成相交于點(diǎn)G,已知AE=6,

EG=2,則4AB歹的面積為.

A

C

【答案】6A/3

【分析】過(guò)點(diǎn)A作交所于點(diǎn)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，得到N"4T>=60。，推出△ABD

是等邊三角形，證明△ABEgABDR，得到加'=AE,推出/AG"=60。，進(jìn)而求出AN,利用三角形面積

公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作交BF于點(diǎn)、H,

C

回在圓內(nèi)接四邊形在ABC。中，ZC=120°,

0ZBAD=60°,

團(tuán)AB=AD,

團(tuán)△川￡）是等邊三角形，

^AB=BD,ZABD=ZADB=60°,

又國(guó)BE=DF,

團(tuán)ABE空BDF（SAS）,

BBF=AE=6,/DBF=/BAE,

⑦ZAG*ZABG+ZBAE=ZABG+/DBF=ZABD=60°,

回NG4H=30。，

團(tuán)AE=6,EG=2,

國(guó)AG=AE—EG=4,

^\GH=-AG=2,AH=VAG2-GH2=A/42-22=2石,

2

EIS=1BFAH=1X6X2A/3=6A/5;

故答案為：6\/3-

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.熟練

掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?江西贛州?統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為3cm的（。中，有A,B,C三點(diǎn)在圓上，/區(qū)4c=75。，

TT

NAO3=90。，點(diǎn)尸從點(diǎn)8開(kāi)始以《cm/s的速度在劣弧BC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,以尸，B,A,C四點(diǎn)

中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形（非等邊三角形）時(shí)，/的值為.

A

【答案】7.5s1125s或6.25s

【分析】分別討論①尸、2、A三點(diǎn)；②P、B、C三點(diǎn)；③尸、A、C三點(diǎn)；A、B、C三點(diǎn)；利用全等三角

形的判定和性質(zhì)求出弧2尸的圓心角，再由弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)，進(jìn)而解答；

【詳解】解：EEBAC=75°,H3BOC=150°,

00BOA=9O°,00AOC=12O°,

①尸、B、A三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，區(qū)4=2尸時(shí)如圖，

900331

團(tuán)05A團(tuán)回0尸8(SSS),團(tuán)30尸二團(tuán)80A=90°,弧8P的長(zhǎng)二----x2?x3=—萬(wàn)，片一乃?=7.5(s)；

3600225

尸慶B4時(shí)如圖,

p

A

i135°Q91

^OPB^OPA(SSS),^\BOP=-(360°-90°)=135°,弧BP的長(zhǎng)二----x2萬(wàn)x3=一?,七一萬(wàn)?一乃=11.25(s)；

23600445

②尸、B、。三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，尸3二尸。時(shí)如圖，

A

?750551

EIPOBHSPOC(SSS),0BOP=^-0BOC=75",弧BP的長(zhǎng)=---x2萬(wàn)X3=-7,/=-7十—%=6.25(s)；

23600445

③P、A、C三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，如圖，

A

EBAPC=；a40c=60。，釀以(7是等邊三角形，不符合題意；

④0AB,AC,BC三邊互不相等，0A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成等腰三角形；

綜上所述，的值為：6.25(s),7.5(s),11.25(s)；故答案為：6.25(s)7.5(s)11.25(s)

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)；根據(jù)

題意作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵.

7.(2023?江蘇泰州?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，43是(。的直徑，點(diǎn)？是(。外一點(diǎn)，以切。于點(diǎn)A,連

接OP,過(guò)點(diǎn)5作交:)。于點(diǎn)C,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=10,5C=6.

E

⑴PC與C。有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(2)求CE的長(zhǎng).

【答案】(1)尸。為。的切線(xiàn)，原因見(jiàn)解答過(guò)程(2)7后

【分析】(1)連接OC,證明JYQ四一尸Q4,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NOC?=N04/\根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)

得到。4LAP,根據(jù)切線(xiàn)的判定定理證明結(jié)論；

(2)連接A￡、BE、AC,過(guò)點(diǎn)B作創(chuàng)/工石。于M,根據(jù)圓周角定理得到/石。5=/石。4=45。，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【詳解】(1)解：PC為一。的切線(xiàn).

理由如下：連接0C,如圖所示：

BC//OP,

:.ZPOC=ZOCB,ZPOA=ZOBC,

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

,\ZPOC=ZPOA.

在△POC和iPQ4中，

OC=OA

<NPOC=NPOA,

OP=OP

△尸OC0△尸QA(SAS),

:.AOCP=AOAP,

切。。于點(diǎn)A,

:.OArAP,

:.OCVCP,

oc是。的半徑，

:.PC為。的切線(xiàn)；

:.NBME=NBMC=90。,

AB是（。的直徑，

ZAEB=ZACB=90°,

,點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，

:./ECB=NECA=45。，EA=EB=—AB=5y/2,

2

BM=CM=—BC=342,

2

由勾股定理得：EM=JBE。-BM。=J（5揚(yáng)2-（3折2=40,

:.CE=EM+CM=4亞+3丘=10.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理,掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切

點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇南京?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題情境】

學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問(wèn)題：如圖①，ABC中,若筋=12,AC=8,求邊上

中線(xiàn)AD的取值范圍.通過(guò)分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路.

思路1:將AADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180。,使得。和3。重合，得到AEDB；

思路2：延長(zhǎng)AD到E,使得DE=AD,連接BE,根據(jù)SAS可證得△AOCgAEDB；

⑴根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到AO的取值范圍為

⑵【類(lèi)比探究】

如圖②，DB=DE,DC=DA,ZBDC+ZADE=1SO°,￡>尸是△ADE的邊AE上的中線(xiàn)，試探索￡)尸與BC

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑶【遷移應(yīng)用】

【應(yīng)用1】如圖③，已知，。的半徑為6,四邊形ABCD是：。的圓內(nèi)接四邊形.AD=8,

ZAOD+ZBOC=180°,求8C的長(zhǎng).

【應(yīng)用2】如圖④，DB=DE,DC=DA,ZBDC+ZADE=180。，BD±DE,AE=a,BC=b(a>b),

AB.CE相交于點(diǎn)G,連接DG,若/3DC的度數(shù)發(fā)生改變，請(qǐng)問(wèn)OG是否存在最小值？如果存在，則直

接寫(xiě)出其最小值(用含。和b的式子表示)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴2<AD<10

(2)BC=2DF,見(jiàn)解析

(3)4石；存在最小值，其最小值為ga-g。

【問(wèn)題情境】延長(zhǎng)AC到E,使得連接BE,利用全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系

解答即可；

【類(lèi)比探究】延長(zhǎng)。尸至點(diǎn)G,使FG=DF,連接AG,利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

【應(yīng)用11

過(guò)點(diǎn)。作OEL3C于點(diǎn)E,O尸，AD于點(diǎn)片利用全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理解答即可；

【應(yīng)用2]

取AE的中點(diǎn)R連接FG,延長(zhǎng)DF至點(diǎn)、H,使FH=DF,連接EH,AH,利用全等三角形的判定與性質(zhì),

平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)AD到￡,使得?！?AD,連接班，如圖①,

:.AE=2AD,

在△ADC和△EDB中,

AD=ED

<ZADC=ZEDB,

CD=BD

:.AADCAE?B（SAS）,

AC=EB=8.

AB-BE<AE<AB+BE,

/.12-8<2AD<12+8,

/.2<AD<10.

故答案為：2<AZ><10；

(2)解：。尸與BC的數(shù)量關(guān)系為：BC=2DF.

理由如下：

延長(zhǎng)D尸至點(diǎn)G,使尸G=OP,連接AG,如圖,

則DG=2DF.

DF是△ADE的邊AE上的中線(xiàn),

:.EF=AF,

在△DEP和GA/中，

EF=AF

<NEFD=NAFG,

DF=GF

:.ADEF^AG4F（SAS）,

:.DE=GA,NE=NGAF,

:.DE//AG,

,\ZADE+ZGAD=180°.

ZBDC+ZADE=1SQ0,

.\ZBDC=ZGAD.

DB=DE,

:.DB=AG.

在，皮>。和△G4D中，

DB=AG

<ZBDC=ZGAD,

DC=AD

.-.△BDC^AG4Z>(SAS),

:.BC=GD.

:.BC=2DF.

(3)解：應(yīng)用L過(guò)點(diǎn)。作OEL5C于點(diǎn)E,于點(diǎn)憶如圖,

OB=OC,OE1BC,

ZBOE=-ZBOC,

2

OA=OD,OF1AD,

:.ZAOF=-ZAOD.

2

ZAOD+ZBOC=180°,

/.ZAOF+ZBOE=90。.

NOBE+NBOE=90。,

.\ZOBE=ZAOF.

在」BO石和△Q4F中,

NOBE=ZAOF

<ZOEB=ZAFO=90°,

OB=AO

.△BQE四△GAF(AAS),

,-.OE=AF=4,

BE=\/OB2-OE2=V62-42=2A/5?

BC=2BE=4A/5：

應(yīng)用2：DG存在最小值，其最小值為1

22

理由如下：

取AE的中點(diǎn)尸，連接尸G,延長(zhǎng)至點(diǎn)又使FH=DF,連接團(tuán)，AH,如圖,

EH

------------K

HC

.BD工DE,

:.ZBDE=90°.

ZBDC+Z/4Z)E=180o,

ZADCZBDE=18Q°,

.\ZBDE=ZADC=90°,

ZBDE+NBDC=ZADC+Z.BDC,

即N￡DC=