一元二次函數(shù)、方程和不等式（壓軸題專練全題型壓軸）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)（人教版必修第一冊）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（壓軸題專練）

01單選壓軸題

1.（江西省新余市2023-2024學(xué)年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知x,y為正實數(shù),且無+y=2,則4…

的最小值為（）

A.12B.3+20C.MD.

22

【答案】C

【分析】借助“1”的活用將分式其次化后結(jié)合基本不等式計算即可得.

［詳解］由x+y=2,則x+6y+6_2x+12y+12_(x+y)x+6(尤+y)y+3(x+y)2

xy2xy2xy

13

4x2+9y2+13Ay2x,,>2/生之+"_生

2xyy2x2y2x22

當且僅當&■=莽，即尤=■|，>=±時，等號成立.

y2x55

故選：C.

/21

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,--------------1-----7-------=---1,則必的最大值為（）

a+2abb+ab

A.2-5/2B.2+>/2c.4+20D.4-2V2

【答案】D

21

【分析】首先變形仍=?！被喓髶Q元?=尤>0,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的式子，利用基本不

〃之+2abb1+abjb

等式求最值.

(2112abab

【詳解】ab7=ab7x\----------1---------=----------F-------,

(4+2abb1+ab)a2+2abb1+ab

設(shè)汁=x>0,

b

7212x21,

n.ab=------+-----=-------H-------=----------------+1

則x+2+1x+2x+1x+2x+1，

x

=-——三——-+1=--—+1<—F=—+1=4-2A/2

(x+2)(x+l)x+-+3-2V2+3，

X

當X=2,即.1=夜時等號成立，

xb

所以油的最大值為4-2加.

故選：D

3.(2024高一?全國)定義：(i)minx表示x的最小值；(ii)[x]表示不超過工的最大整數(shù).設(shè)b,c

d十以EI.「人+c[「c+a]'/、

為正數(shù)，則min----+----+1一=()

1cabX)

A.0B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意和基本不等式得出：士上,一,小三數(shù)中至少有一個不小于2,可判斷選項A；再

abc

利用反證法和不等式性質(zhì)即可判斷選項B、C；舉例驗證選項D.

【詳解】因為。，兒c為正數(shù)，

所以由基本不等式可知：^±￡+￡±￡+￡±^=^+￡+￡+￡+￡+^>6,當且僅當。=匕=。時等號成立.

abcabacbc

,.b+cC+Qa+b_,.乙,…i-A-人-z-r十-

從而----,---------二數(shù)中至少有一個不小于2.

abc

不妨設(shè)

a

則[處S]z2,故選項A錯誤；

a

對于選項B：

貝I」——二2,--=0,——=0,

aJ\_b\

Ec/b+cc八c+a、八b+a,

則2<---<3,0<-----<1,0<----<1,

abc

BP2a<b+c<3a,0<c+a<b；0<a-\-b<c.

由0<c+〃<Z?可得：0<c<b；

由0<a+/?<c可得：Q<b<c,兩者矛盾，

所以假設(shè)錯誤，故選項B錯誤；

對于選項C：假設(shè)min]竺￡+彳+"]]=3,

IabcJ

ecb+cctc+a-八b+a4

貝(J2W------<3,1<-------<2,0<-------<1

abc

BP2a<b+c<3a(1)；b<c+a<2b(2)；Q<a+b<c(3)；

結(jié)合不等式的性質(zhì)：

由(1)(2)^2a-2b<b-a<3a-b,a<b<2a,

由(1)(3)得b<a,兩者矛盾；

「人+c]?「c+a]C「6+。八

②若——=3,=0,——=0,

,b+c.?c+a,?b+a.

貝IJ3W----<4,0<-------<1,0<-------<1,

abc

BP3a<b+c<4a(4)；Q<c-va<b(5)；0<a+b<c(6).

由(4)(5)^3a-b<b-a<4a,即2〃<b<5〃，

3

由(4)(6)得b.a,兩者矛盾.

綜上所述，假設(shè)錯誤，即min[[竺^]+[半]+[3,故選項C錯誤;

[QbC

若取a=100,8=103,0=104,

b+cc+aa+b

---=2,---=1,-----=1,

.b+cc+aa+b

從而min<------+――+------}=4A,故選項D正確.

[abcJ

故選：D.

4.（23-24高三上?浙江寧波?期末）設(shè)實數(shù)x,y滿足x>：,y>3,不等式左（2彳—3）（y—3）W8/+y3-12x2-3y2

恒成立，則實數(shù)上的最大值為（）

A.12B.24C.2石D.

【答案】B

4Y2V24元2v2

【分析】令。=2x-3>0,b=y-3>0,不等式變形為三+盧^乂，求出號+盧^的最小值，從而

y-32x-3y-32x-3

得到實數(shù)上的最大值.

3

【詳解】x>-,y〉3,變形為2x-3〉0,y-3〉0,

令a=2x—3>0,b=y—3>0,

貝U^(2x-3)(y-3)<8?+/-12x2-3/轉(zhuǎn)化為

人[3；二；'即號出"，

其中出1+y2_(a+3?+僅+3)2>(2炳2+僅炳2

y-32x-3baba

。=3,

b=3

當且僅當，即％=3,y=6時取等號，可知”24.

ba

、ab

故選：B

【點睛】思路點睛：不等式恒成立問題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

5.（23-24高一上?福建?期中）若至少存在一個x<0,使得關(guān)于x的不等式3-|3X-4>/+2%成立，則實

數(shù)。的取值范圍是（）

37133713

A.---<a<3B.—3<。<—C.----<a<—D.-3vav3

4444

【答案】A

【分析】

化簡不等式3T3x-a|>d+2x,根據(jù)二次函數(shù)的圖象、含有絕對值函數(shù)的圖象進行分析，從而求得。的取

值范圍.

【詳解】依題意，至少存在一個無<0,使得關(guān)于x的不等式3-|3%-4>/+2%成立，

即至少存在一個尤<0,使得關(guān)于x的不等式-^2-2X+3>|3x-a|成立，

畫出丁=一好一2》+3（彳<0）以及丫=段-司的圖象如下圖所示，其中—爐-2彳+3>0.

當y=3x-a與y=-/-2x+3（x<0）相切時，

[y=3x—a

由2c。消去y并化簡得f+5x-a-3=o,

[y=—x—2x+3

37

A=25+4Q+12=0,Q=------,

當y=—3x+a與y———2x+3(x<0)相切時,

由kIy=3-3x-+2ax+3消去'并化簡得x-+"3=?！伲?/p>

由A=l—4“+12=0解得。=與，代入①得/一%+工=，彳一l1=0,

4412）

解得x=1,不符合題意.

2

當y=~3x+a過（0,3）時，a=3.

結(jié)合圖象可知.的取值范圍是「子,31

故選:A

【點睛】對于含有參數(shù)的不等式問題的求解，可考慮直接研究法，也可以考慮分離參數(shù)，也可以合理轉(zhuǎn)化

法.如本題中的不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為一邊是含有絕對值的式子，另一邊是二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)以

及含有絕對值的函數(shù)的圖象來對問題進行分析和求解.

6.（23-24高一上?福建廈門?階段練習(xí)）記max{a,6}為a,兩數(shù)的最大值，當正數(shù)了，>（x>2y）變化

-4

時，Z=max^—x——卜的最小值為（）

〔2y（x-2y）］

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合基本不等式進行求解.

2

YA24

【詳解】由"max,可得此二，

2y(x-2y)\2

x24

2tN----1—--------------r,

2，(尤-2y)

當正數(shù)x,y(尤>2y)時，

4_8>8_32

2

y(x-2y)2y(x-2y)~2y+(x-2y)2x,

,2

當且僅當2y=x_2y,即x=4y時等號成立,

故2f吟+(工z三+當"三老二8,貝”出4‘

2y{x-2y)2x2V2%2

當且僅當工=當，即尤=2/,丫=變時等號成立，

2x22

所以f的最小值為4.

故選：A

12

7.(23-24高二上?陜西西安?期末)已知x>l,y>0,且一—=1,貝!J%+2y—1的最小值為()

x-1y

A.9B.10C.11D.7+2-76

【答案】A

【分析】利用“乘1法”將問題轉(zhuǎn)化為求［。-1)+2習(xí)［。+；］的最小值，然后展開利用基本不等式求解.

12

【詳解】Qx>l,又y>0,且一?+-=1,

x-ly

c+2y-1=［。-1)+2$々+2］=5+?+衛(wèi)25+2；1^^=9,

(x-ly)x-ly\x-ly

當且僅當用7=3=2,解得x=4,y=3時等號成立，

x-ly

故無+2y-l的最小值為9.

故選：A.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

8.(23-24高一下?內(nèi)蒙古赤峰?期末)己知x>0,丫>。滿足2尤、+孫2-、-8X=0,貝ljy+2x的最小值為()

A.20B.4C.372D.血

【答案】C

【解析】由題意可得y+2》=工+§,結(jié)合目標式即可構(gòu)造出(y+2x)2=(y+2x)d+鄉(xiāng))，進而利用基本不等

尤yxy

式求y+2x的最小值

【詳解】由2%2丁+孫2一,一8%=。知：孫(2x+y)=y+8x,而％>0,y>0

j+2.r=-+-,貝iJ(y+2無A=(〉+2幻(4+§)=2+&+1022］？?西+10=18

xyxyxy

y+2x>35/2

故選：C

【點睛】本題考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目標式的等價形式，應(yīng)用等價代換構(gòu)造出基

本不等式的形式求最值

9.（23-24高二上?江蘇無錫?期末）若正數(shù)。、b滿足a6=2（a+6）+5,設(shè)y=（a+b—4）（12—°—6）,則y的

最大值是

A.12B.-12C.16D.-16

【答案】A

【分析】根據(jù)必=2（a+b）+5則。+6=與9，將式子換元成關(guān)于油的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求

最值，值得注意油的取值范圍.

【詳解】解：;而=2（a+1）+5

,.,々>0、Z?>0

:.a+b=——->2y[ab

2

解得ab>25

y=(〃+/?-4)(12—a—b)

――13]29—,

y=

ab-1329-ab\Th-21)2+16

2A2r

*/ab>25

??.Nmax=12當且僅當ab=25時取得最大值

故選：A

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，重要不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

14%2y2

10-⑵-24高三上?河南關(guān)洲?階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)滿足不等式齊+上"恒成立,

則加的最大值為（）

A.8B.16c.2V2D.40

【答案】A

【分析】設(shè)=求出x，y的值，代入色7+盧；中化簡，利用基本不等式求出結(jié)果.

y-12x-l

【詳解】設(shè)'一1=）,2%—1=々，貝！Jy=b+l僅>0）,%=g（Q+l）（Q>0）

所以y2_（。+1）2（"I）?（。+1）優(yōu)+1）必+（。+勾+1

//II-I4N/一乙/

y-12x-lbay/ab-Jab

=2（而2212+=2.（2+2）=8

Iyjabyjab）I\Nabyjab,

當且僅當a=b=l即％=2,y=1時取等號

4r2v2

所以三十」的最小值是8,則加的最大值為8.

y-12x-l

故選A

【點睛】本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)、一1="2X一1=。，得出y=6+l（6>0）,x=g（a+l）（a>0）進

行代換，屬于偏難題目.

02多選壓軸題

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知x>0,y>0,且無+y+盯-3=。，則（）

A.孫的取值范圍是14孫49

B.》的取值范圍是24元+y<3

C.尤+4y的最小值是3

D.尤+2y的最小值是40-3

E.x+4y>3

【答案】BDE

【分析】對于A項，運用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于而的不等式求解即得；對于B項，直接運用基本不

等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于x+y的不等式，再結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得；對于CDE項，通過題設(shè)求出X,代入所

求式消元，湊項運用基本不等式即得.

【詳解】對于A項，x>0,y>0,由孫=3-（x+y）W3-21y可得（向^+3）（丙^-1）4。，

因而>0,故得0<而41,則0(孫41,當且僅當尤=y=l時等號成立，錯誤；

對于B項，由尤+,=3_孫23_(^1^)可得(x+y+6)(x+y_2)20,

因x+y>0,故得：尤+”2,當且僅當x=y=l時等號成立，又無+y=3-孫<3,

所以％+>的取值范圍是[2,3),正確；

,3—y

對于C和E項，由x+y+盯一3=。得九=-,

i+y

所以x+4y=1--+4y=[4+4(1+y)-5>Z[Jx4(]+y)—5=3,

4

當且僅當用;=4(l+y)即y=。時，等號成立，所以x+4y>3,故C項錯誤，E正確；

,3—y

對于D項，由尤+y+Aj-3=0得％=-,

i+y

所以x+2y=|^+2y=^+2(l+y)_322jj1-x2(l+y)_3=4Q3,

當且僅當O=2(l+y)即丁=0一1時，等號成立，正確.

故選：BD.

2.(23-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知a>0,6>0,a+2b=2,則下列結(jié)論正確的有()

14

A.必的最大值為不B.的最小值為二

/5

1O1OQ

C.上+楙的最小值為9D.1的最小值為2

ab2a+ba+3b5

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式、結(jié)合力”的妙用計算判斷ACD；利用二次函數(shù)求出最小值判斷D.

【詳解】對于A,2=a+2b>2y/2ab,即〃當且僅當a=2Z?=l時取等號，A正確；

對于B,由〃+2Z?=2,得a=2—2Z?(0<Z?<l),

4444

a2+b2=(2-2b)2+b2=5b2-Sb+4=5(b--)2,當且僅當6=不時取等號，B正確；

121ci、/2、1lb2a、、1-0

對于C,-+-=-(ztz+2Z?)(-+-)=-(5+—+-)>-(z5+2

ab2ab2ab2\ab2

2

當且僅當。=力=§時取等號，C錯誤;

對于D,2=a+2b=g(5。+106)=g[(2。+6)+3(。+3b)],

131113

貝lj-~~-+--=---[(2a+&)+3(a+3b)](-------------1------------)

2a+ba+3b252a+ba+3b

1[10+3(。+36)?3(2a+b)]>1[10-^

102a+ba+3b10V2a+ba+3b5

當且僅當3，+%=3(2。；?,即。=26=1時取等號，D正確.

2a+ba+3b

故選：ABD

3.(2024?海南.模擬預(yù)測)若正實數(shù)a,b滿足a+2匕=1,則()

A.夕+；的最小值為1+20B.36(2。+6)的最大值為1

ab

C./+2》2的最小值為:D.(a+DS+l)的取值范圍為l<(a+l)S+l)<2

【答案】BC

【分析】利用配湊法，結(jié)合基本不等式求解最值判斷AB；利用二次函數(shù)求解判斷CD.

【詳解】正實數(shù)a,b滿足a+抄=1,a=l-26(0<6<；),

對于A,2+工=2+"殳=2+0+222、H?+2=4,當且僅當。=6==時取等號，A錯誤；

ababab\ab3

對于B,36(2a+6)W(空箸^)2=(a+26)2=i,當且僅當。=。=；時取等號，B正確；

對于C,a2+2b2=(1-2&)2+2b2=6&2-4/7+1=6(fe-1)2+1>|,當且僅當6=:時取等號，C正確；

3

對于D,(?+l)(fo+1)=(2-2^)(1+fe)=2(1-Z)2)e(-,2),D錯誤.

故選：BC

4.(23-24高二下.浙江?期中)已知。>0力>。，且a+1=l,則下列結(jié)論正確的是()

b

11

A.了一。的最小值為0B.?的最小值為不

4b2

C.f的最大值為1D.工+46的最大值為4

b4a

【答案】ABC

【分析】由基本不等式可得AB正確，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得C正確，由乘“1”法可判斷D錯誤.

【詳解】A：因為。+5=1=>。=1一?>0,結(jié)合匕>0,則6>1,

bb

所以2一4=。一[1一1]=。+，-122,區(qū)1一1=0,當且僅當9=：?b2時取等號，此時a=1,故A正確;

44b)4b\4b4b2

i(iY

—a+~11i11

2

=l^a+4>-L,當且僅當。=7時，即a=—,6=2時取等號，故B正確；

4b22b2

b-1

C：a~b~b—l(11丫31,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當;=：?62時，此時“=最大值為，，

廠工一丁一〔廠可+[6224

故C正確；

D：|—+4Z?||<7+—|=1+—+4^+4>5+2j—x4?Z?=9,當且僅當=即〃=，，力二。時取等號，故

yab)abVabab54

D錯誤；

故選：ABC.

5.(23-24高一下?山東濟寧?階段練習(xí))已知正實數(shù)工，>滿足2%+'=D，貝!J()

18。

A.xy>16B.x+2y29C.x+y>6D-he

【答案】BD

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式及“1”的妙用逐項計算判斷即得.

【詳解】正實數(shù)x，y滿足2x+y=q,則」+2=1,

%y

對于A,xy=2x+y>2yj2xy,貝！J孫28,

y=2x

當且僅當1,2「即％=2,y=4時，取等號，故A錯誤;

對于B,%+2'=。+2］（%+2丁）=5+包+在25+2叵互=9,

2y_2x

尤y

當且僅當即無=y=3時取等號，故B正確;

L2=i

xy

對于C,由選項A知，當x=2,y=4時，2》+y=孫成立，止匕時x+y=6,故C錯誤;

對于D,由工+2=1,得2=土，，尤>1,則

xyyx

14一尤4(1)、/尤4(1)

x—1yx—1xNx—1x

當且僅當一匚=4。一1),即尤=2時，取等號，故D正確.

x-1X

故選：BD.

03填空題壓軸

21

1.（2024高二下?浙江紹興?學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a,b,c滿足c<l,a+b=4,則益+及百J的最小值

為.

【答案】2

【分析】使用不等式將放縮，使用“1”的代換及基本不等式求得目標最小值.

【詳解】由題意知c（l-c）W［出］j=；,當c=g時取等號，

,21、24a+b419ifl9>|1<19\,、

故---1；------>----1—=-------1—=-----1=——I—=——I—\（a+b］

ab6c（1-c）abblabb2a2b21abJ81ab）

=1flO+-+^>|flO+2當b=3a=3時取等號，

8vabJ8^Vab

I21

綜上，當”=l，6=3,c=*,晟+EJ的最小值為Z

故答案為：2

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題求最小值關(guān)鍵是第一步用放縮法將c放掉，第二步是將彳+：中的2代換為a+6,

abb

將整式處理為,再用T”的代換求最小值.

2\ab）

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正實數(shù)x,y滿足4y2+4盯+1=2,貝+3y的最小值為.

XX

【答案】2拒

【分析】配湊出（無+y）d-4y）=2,再利用基本不等式求最值.

X

【詳解】由4y2+4q+1=工

X

得2+1一4V2-4孫=2,

X

即一—4y（尤+y）=2,得（尤+>）（工-4y）=2,

XX

\-x>0,y>0,

x+y>0,—4y〉0,/.xy<一,

x4

-+x-3y=4y+x+y

xx

22l

--------vx+y>2\------x(x+y)=2j2,

當且僅當％+y=3,即%=5.-庖3加+后時取等號,

8

A/17-11

此時xy-------<一

164

.?」+x_3y的最小值為2①

X

故答案為：20.

3.（23-24高一上?安徽合肥?期中）已知正實數(shù)無，丁滿足尤+2y+肛-7=。，且3/-2f2沖-尤恒成立，則

t的取值范圍是.

【答案】，〈一§或，之1,

【分析】先求得個一1的最大值，由此列不等式來求得方的取值范圍.

7—r

【詳角軍】依題意，x>0,y>0,x+2y+xy-7=0,y(x+2)=7-x,y=—^->0,

7—x—2x2+5x—2%(%+2)+9(%+2)—18

解得0<x<7,貝汁孫一％=x--------x=------------=----------------------------------

尤+2x+2x+2

-2x--—+9=-2(x+2)--—+13

x+2'7x+2

Q+13<-2x2^(x+2)--1^+13=l,

=-2(x+2)+——

v7x+2

9

當且僅當x+2=',i=l時等號成立.

x+2

所以3/一2,21,3/—2,一1=（1—1）（3%+1）20,

解得Y-；或此1,即方的取值范圍是區(qū)-；或d1,

故答案為：/工一；或，之1,

【點睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是說利用a+b22癡時，。）必須是正

數(shù)，定是指定值，相等指的是等號成立的條件，三者缺一不可.另外，如果X是負數(shù)，求x+工的最值，可轉(zhuǎn)

X

化為-+再結(jié)合基本不等式來進行求解.

4.（22-23高一上?上海長寧?期中）關(guān)于尤的不等式（3%+h＜分2的整數(shù)解恰有3個，則實數(shù)。的取值范圍

是.

■公士.64121

【答案】-

【分析】根據(jù)不等式（一〃+9）工2+6x+l<0的整數(shù)解恰有3個，先確定A=4a>0且有9一。>0得出。<々<9,

再用〃表示出不等式解集為｛工1-、廠<x<_1廠｝，可以確定一；<—1廠<J，故三個整數(shù)解為

-l-2,-3,從而可列出另一個端點—-尸的取值范圍為-44—-尸<-3,從而解得。的范圍.

3-yJa37a

【詳解】關(guān)于元的不等式（3%+1）2〈以2等價于（_。+9）%2+6%+]<。，

此不等式整數(shù)解恰有3個，則有A=4〃>0且有9-〃>0,故有0<a<9,

911

令（-Q+9）X?+6x+l=0即（3%+1）=辦2得，x1=---,x2=----j=

故不等式（一。+9）%2+6x+l<0的解集為｛劃-1廠<x<一1廣｝，

37a3+yJa

因為0v.v9,所以一；<-

33+7a6

所以解集中一定恰有T，-2,-3三個整數(shù)，可得-44-/<-3,解得黑與.

37a916

.小士t、i64121

故答案為：——<a<——.

916

5.（23-24高二上.江西上饒.期末）研究問題：“已知關(guān)于工的不等式初2—公+。>0的解集為（1,2）,解關(guān)

9>0.令>=：,則y￡[』）

于x的不等式cN一疚+。>0”,有如下解法：由ax2—bx+c>0^a~+c（—；

所以不等式cN—bx+a〉。的解集為&j.類比上述解法，已知關(guān)于x的不等式」一十*<0的解集為（一

x+ax+c

2,-1）U（2,3）,則關(guān)于x的不等式--+—；<0的解集為______

ax-1cx-1

【答案】｛x|—L<x<—,或工<X<1｝

232

【分析】根據(jù)題意，將替換x可得所求的方程，并且可知-』G（-2

，-1）U（2,3）,從而求出工的解集.

XX

【詳解】關(guān)于X的不等式上+土a<0的解集為（一2,-1）U（2,3）,

x+ax+c

k

用一工替換x,不等式可以化為（1工〃+='十曠〈：0,

'[\片L）l：<V辦-i”-1

因為一上￡（—2,—1）U（2,3）,所以｛犬|<X<或一<%<1｝

X232

kxAr—1111

即不等式「十竺一<0的解集為{x|——<x<——或一<x<l}

ax-1ex-1232

故答案為：{%?—5<%<一耳或5<%<i}

【點睛】本題考查整體代換的思想，理解題意，將方程問題和不等式問題進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，本題屬

于中檔題.

04解答題壓軸

1.(23-24高一上.云南曲靖?期末)己知a>0,b>0,且a+6=2,證明：

⑴以之+a"<2；

⑵j+

a+1。+1

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用基本不等式，求得?！炊鳺1,進而證得66+^242.

(2)化簡+然后利用不等式的性質(zhì)以及(1)的結(jié)論證得G±^+￡±￡N2.

〃+1Z?+1〃+1Z7+1

【詳解】(1)(^b+ab1-ab^a+b)=2ab,

因為。>0,b>0,2=a+b>2y[^b,則0<而41,當且僅當。=b=l時等號成立，

所以01b+ab2<2；

(2)/+人3+〃_〃3+(2〃)+人3+(23_(〃3〃)+2+僅3人)+2

a+1b+1a+1b+1a+1b+1

:M+l)"l)+2+刈+1)°一1)+2"匕2

〃+lZ?+1a+1Z?+1

=/+/+2p-+-L]-2=(a+小2"+3a^4-2

(a+1b+l)')(O+1)(/J+1)

QQ

-------------------2clb+2=----------2clb+2,

ab+a+b+lab+3

由(1)W0<aZ?<l,有ab+3W4,-ab>-l,-2ab>-2.

ab+34

Q1

有------2^+2>8x—-2+2=2,當且僅當4=匕=1時等號成立,

ab+34

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)y=V-2ax+3.

（1）若關(guān)于x的不等式y(tǒng)>0的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍；

⑵解關(guān)于X的不等式y(tǒng)<。.

【答案】⑴4百

（2）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得AW0,代入計算，即可求解；

（2）根據(jù)題意，分AV0與A>0討論，即可求解.

【詳解】（1）若不等式/一26+320的解集為R,

貝i]A=（-2a）2-12W0,

解得一百VaV退，

即實數(shù)。的取值范圍退；

（2）不等式Y(jié)-2（zv+3<0,

①當AW0時，即一石VavG時，不等式的解集為0,

②當A>0時，即a<-6或a>也時，

由x?—lax+3=0,解得x=a—yla2—3或x=a+4a2-3，

所以不等式的解集為｛XIO-A/L-3<x<a+-Ja2-3）,

綜上所述，當-有VaW退時，不等式的解集為0；

當a<-有或a>6時，不等式的解集為｛x\a-\ja2-3<x<a+-Ja2-3｝.

3.（23-24高一上?云南曲靖?期中）若方程痛+〃=0（加，"CR）有兩個不相等的實數(shù)根0飛，且

（%+X2）_一4玉尤2=4.

⑴求證：nr=4n+4；

2

v4尤2

（2）若mVT,求二------+二的最小值.

x2X,+x2玉

【答案】（1）證明見解析

（2）8

【分析】（1）根據(jù)韋達定理，即可證明結(jié)論；

（2）首先，將原式通分，變形，再將韋達定理代入；然后，利用（1）的結(jié)論消去“，得到關(guān)于一個機的式

子；再對式子變形，利用基本不等式求出最小值.

【詳解】（1）證明：根據(jù)韋達定理得，xi+x2=-m,g=n,

2

所以（再+x2）—4Xi/=匚機）？-4n=4,

所以加2=4〃+4.

4+%；_d4

x%十%

X2石+々i%工2

4

西十々

n-m

m3_44m3_4

=-------F3mH——=------F3mH——

nmm-4m

4m3-16m+16m_4

=------------------------F3mH——

m-4m

,16m_4416

=-4m------F3mH——=—mH1----------

m-4mm,4,

-mH——

m

因為用《Y,

4

所以一加+—>0,

m

416

-m-\------F

所以m4

—mH——

m

416

—TT1_|_____-.............

當且僅當m~,4即加=一2-2后時，等號成立,

m

x4x

所以,-------+上的最小值為8.

X2玉+々玉

4.(23-24高一上.云南昆明?期中)基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，我們可以應(yīng)用其解決數(shù)學(xué)中的

最值問題.

(1)已知兀，證明冗2+,222孫；

(2)已知X,y,a,bcR,證明(x2+y2)(Q2+z?2”3+z?y)2,并指出等號成立的條件;

(3)已知x,y,a,b>0,證明：^+Z>(￡±2￡,并指出等號成立的條件.

aba+b

(4)應(yīng)用(2)(3)兩個結(jié)論解決以下兩個問題:

①已知4+4/?2=2,證明：-2<a+2b<2；

②已知a,b>0,a+b—1(求---F----的最小值.

2ab+1

【答案】(D證明見解析

⑵證明見解析，當且僅當砂=方無時取“=”

(3)證明見解析，當且僅當e=法時取“=”

(4)①證明見解析；②

【分析】(1)由(x-yAzO展