北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-3備課及課時練習(xí)（附解析）

北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-3備課及課時練習(xí)（附解析）

第一章計數(shù)原理

§1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

——教學(xué)建議——

1.本節(jié)內(nèi)容在高考中主要考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的簡單應(yīng)用，并與實際

生活相聯(lián)系，以選擇、填空題的形式出現(xiàn).

2.本節(jié)重點是理解兩個計數(shù)原理，難點是在處理具體問題時如何分清是“分類”還是“分步”,

以及如何確定“分類”或“分步”的具體標準.

3.運用分類計數(shù)原理時，要恰當選擇標準;運用分步計數(shù)原理時，要確定好次序,并且每一步都

是獨立、互不干擾的,還要注意元素是否可以重復(fù)選取.

一備選習(xí)題一

1.某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B,C,D中選擇，其

他四個號碼可以從0~9這十個數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），某車主第一個號碼（從左到右）只想在

數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有

（）

A.180種B.360種C.720種D.960種

解析:由于數(shù)字可以重復(fù)，故該車主的車牌號碼共有A9AVA%A*A：=960種可選情況.

答案:D

2.形如34021這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字、千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰

的數(shù)字大，則由0,123,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)是“波浪數(shù)”的所有可能情況有（）

A.66種B.69種C.61種D.71種

解析:由題意得波浪數(shù)有5類,分別為十位、千位上為5,4;5,3;5,2;4,3;4,2;所有情況總數(shù)為

A1（A1+CM專）+A專禺A5+A專+禺禺+4-C雞+A犯叢芻+A弓+\=71.故選D.

答案:D

課后作業(yè)

/.一個三層書架，分別放置語文書12本,數(shù)學(xué)書14本,英語書11本,從中任取一本，則不同的取

法共有（）

A.37種B.1848種C.3種D.6種

答案:A

2.已知集合4={4力9,刈,8=*‘/},則從集合4到集合B的映射個數(shù)為（）

A.4x3x2B.4x3C.34D.43

解析:因為集合A中的每一個元素都要找到集合B中的一個元素作為自己的像，且只有當集合

A中的每一個元素都在B中找到自己的像后,才能建立起從A到B的映射，因此，從A到B的映射

有3x3x3x3=34個.

3.從集合｛1,2,3,…,11｝中任選兩個元素作為橢圓方程5+3=1中的相和〃，則能組成落在矩形

區(qū)域8=｛（x,y）||x|<ll且|y|<9｝內(nèi)的橢圓個數(shù)為（）

A.43B.72

C.86D.90

解析:

加可以取的數(shù)字為1,2,3,...,10這10個數(shù)字.

n可以取的數(shù)字為1,2,3,...,8這8個數(shù)字.

由分步乘法計數(shù)原理，得所有方程的個數(shù)為M=10x8=80個，

其中圓的個數(shù)M=8個.

故適合題意的橢圓的個數(shù)為N=M-N2=80-8=72個.

答案:B

4.某種彩票規(guī)定:從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元，某人想從01至10中

選3個連續(xù)的號，從11到20中選2個連續(xù)的號，從21至3（）中選1個號，從31至36中選1個號

組成一注，則這人把這種特殊要求的號買全，至少要花（）

A.3360元B.6720元

C.4320元D.8640元

解析:這種特殊要求的號共有8x9x10x6=4320注，因此至少需花4320x2=8640元.

答案:D

5.商店里有15種上衣,18種褲子，某人要買一件上衣或一條褲子，共有種不同的選法;

要買上衣、褲子各一件，共有種不同的選法.

解析:買一件上衣或一條褲子應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，有15+18=33種；

買上衣、褲子各一件應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，有15x18=270種.

答案：33270

6.如圖，從A玲3fC,有種不同的走法;從AfC,有種不同的走法.

解析:A玲3玲C分兩步：

第一步:A）民有2種走法；

第二步：81C,有2種走法.

所以A玲8fC共有2x2=4種走法.

AfC分兩類：

第一類:A18fC共有4種走法；

第二類:A玲C(不經(jīng)過8)有2種走法.

所以A玲C共有4+2=6種走法.

答案：46

7.從甲地到乙地，如果翻過一座山,上山有2條路,下山有3條路.如果不走山路,由山北繞道有2

條路,由山南繞道有3條路.

(D如果翻山而過，有多少種不同的走法？

(2)如果繞道而行，有多少種不同的走法？

(3)從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

解:(1)分兩步：

第一步，選一條上山路有2種方法；

第二步，選一條下山路有3種方法.

所以翻山而過，有2x3=6種不同的走法.

(2)分兩類：

第一類:由山北繞道，有2種走法；

第二類:由山南繞道，有3種走法.

所以繞道而行，有2+3=5種不同的走法.

(3)分兩類：

第一類:翻山而過，有6種走法；

第二類:繞道而行，有5種走法.

所以從甲地到乙地共有6+5=11種不同的走法.

8.用紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都

不相同，則有多少種不同的涂色方法？

分析:設(shè)五個區(qū)域分別為A,B,C,Q￡如圖，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法方區(qū)域有3種,C區(qū)

域有2種Q區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B與。涂的顏色，如果8與。顏色相同有2種,

如果不相同,則只有1種.因此應(yīng)先分類后分步.

解:當B與。同色時，有4x3x2x1x2=48種涂色方法.

當B與。不同色時，有4x3x2x1x1=24種涂色方法.

故共有48+24=72種不同的涂色方法.

§2排列

——教學(xué)建議——

1.排列在生產(chǎn)和生活中有著較為廣泛的應(yīng)用，也是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查學(xué)生的邏

輯思維能力，以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合兩個原理、組合成為能力型題目.

2.本節(jié)重點是排列的定義、排列數(shù)公式及其應(yīng)用，難點是應(yīng)用排列的定義、排列數(shù)公式解決

一些簡單的實際問題.

3.排列數(shù)公式的推導(dǎo)可借助表格,直接列出所有排列是解決排列元素較少的問題的有效方

法.

一備選習(xí)題一

1甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的五天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一

天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種C.40種D.60種

解析:若甲安排在周一，則乙、丙有A"中安排方法，若甲安排在周二，則乙、丙有A專種安排方法,

若甲安排在周三,則乙、丙有A,種安排方法，因此共有A：+A專+A,=12+6+2=20種安排方法.

答案:A

2四棱錐的8條棱分別代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點的兩條棱所代表的化工產(chǎn)品放在

同一倉庫是危險的,沒有公共點的兩條棱所代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編

號為①②③④的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（）

A.96B.48

C.24D.0

解析:相交兩棱所代表的物品不同在一個倉庫，如圖（1）,現(xiàn)設(shè)側(cè)棱為1,2,3,4底面上的邊為

5,6,7,8,由圖分析知，不可能有3種物質(zhì)放在同一個倉庫,故每個倉庫放2種，由圖（2）可求解.

5

（1）（2）

不妨設(shè)先將編號為1、2,3、4的物品入倉，則有Aa種放法，然后從有1的開始.

①若有1的倉庫放5,則有2的倉庫放6且8只能放在含4的倉庫中，那么7只能放在含3的

倉庫中.

②若有1的倉庫放8,同理可知也只有一種放法，故放法有2種..,.總放法數(shù)為

2A々=2x24=48（種）.

答案:B

課后作業(yè)

/.已知A猊=2A*+i廁log“25的值為（）

A.1B.2C.4D.不確定

解析:由A短=2A*+i得

（2"）!=2.（"+1）!

（2n-3）!（n-3）!'

解得n=5,

所以log?25=logs25=2.

答案:B

2.某班從8名運動員中選取4名參加4x10（）米接力賽，有（）種不同的參賽方案.

A.1680B.24C.1681D.25

解析:由題意得，共有Ag=8x7x6x5=1680種不同的參賽方案.

答案:A

3.3位老師和5位同學(xué)排成一排照相，老師不能坐在最左端，任何2位老師不能相鄰，則不同坐

法種數(shù)是（）

A.A|B.A|A1C.A|A1D.A|A|

解析:先將5位同學(xué)全排列，再從5人排好后除去最左端的5個空當（包括最右面的）中選3個

排進3位老師，故有AgAg種坐法.

答案:C

4.用123,4,5這五個數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）

A.24個B.30個C.40個D.60個

解析:將符合條件的偶數(shù)分為兩類,一類是2作個位數(shù)，共有A2個，另一類是4作個位數(shù)，也有A：

個，因此符合條件的偶數(shù)共有鑿+能=24個.

答案:A

5.乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽,3名主力隊員安排在第一、三、

五位置，其余7名隊員中選2名安排在第二、四位置上，那么不同的出場安排有種.

解析:分兩步完成:第一步安排三名主力隊員有Ag種，第二步安排2名非主力隊員，有種，所以

共有Ag-A"252種出場安排.

答案：252

6.有10幅畫展出，其中1幅水彩畫,4幅油畫,5幅國畫排成一排，要求同一品種的畫必須連在一

起，并且水彩畫不放在兩端,則不同的陳列方式有種.

解析:分三步:第一步:水彩畫可以在中間,油畫、國畫放在兩端，有A5種放法；

第二步:油畫內(nèi)部排列，有A￡種；

第三步:國畫內(nèi)部排列，有A&種.

由分步乘法計數(shù)原理，得共有A5-A|-At=5760種不同的陳列方式.

答案：5760

7.某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目，其中2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節(jié)目，求分別滿足下列

條件的排節(jié)目單的方法：

（1）1個唱歌節(jié)目開頭，另1個壓臺（即安排在最后）；

(2)2個唱歌節(jié)目不相鄰；

(3)2個唱歌節(jié)目相鄰且3個舞蹈節(jié)目不相鄰.

解:⑴先排唱歌節(jié)目有A芻種排法，再排其他節(jié)目有A&種排法，所以共有A5?A3=1440種排法.

(2)先排3個舞蹈,3個曲藝節(jié)目有A?種排法，再從其中7個空當(包括兩端)中選2個排唱歌節(jié)

目，有A5種插入方法，所以共有AS-A5=30240種排法.

(3)把2個相鄰的唱歌節(jié)目看作一個元素，與3個曲藝節(jié)目排列共A%種排法，再將3個舞蹈節(jié)

目插入，共有Ag種插入法,最后將2個唱歌節(jié)目進行排列，有A,種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符

合要求的排法共有抬=2880種.

8.如圖，某傘廠生產(chǎn)的“太陽”牌太陽傘蓬是由太陽光的七種顏色組成的,七種顏色分別涂在傘

蓬的八個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同的顏色圖案的此類太陽傘至多有多少

種？

解:如圖，對8個區(qū)域進行編號，任選一組對稱區(qū)域(如1與5)同色，用7種顏色涂8個區(qū)域的不

同涂法有AZ種,又由于1與5,2與6,3與7,4與8是對稱的，通過旋轉(zhuǎn)后5,6,7,8」,2,3,4與

123,4,5,6,7,8是同一種涂色，即重復(fù)染色2次,故此種圖案至多有與=2520種.

§3組合

——教學(xué)建議——

1.組合在生產(chǎn)、生活和科學(xué)探究活動中有著廣泛的應(yīng)用，也是高考考查的重要內(nèi)容之一，重點

仍是考查學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新意識，常與兩個原理、排列綜合，以選擇題、填空題形式出現(xiàn).

2.本節(jié)重點是組合的定義、組合數(shù)公式和性質(zhì);難點是組合和組合數(shù)公式在解決實際問題中

的恰當運用.

3.在教學(xué)中,通過實例來理解概念，并通過樹狀圖、列表列舉進一步理解組合數(shù);在利用組合

數(shù)公式和組合數(shù)性質(zhì)時,要注意階乘的運算和技巧.

一備選習(xí)題一

1.設(shè)正n邊形內(nèi)接于圓。，正n邊形的n個頂點及圓心點0,共(”+1)個點，從這(〃+1)個點考慮.

(1)過任意兩點作直線，能作多少條直線？

(2)以任意三點為頂點,能作多少個三角形？

解：(1)〃為奇數(shù)時，各頂點的連線均不過圓心，共有鬣+i=竺羅條.

n為偶數(shù)時，圓心與頂點的連線一定與某兩個頂點的連線重合,故一共可以連成的直線的條

數(shù)為鬃=手條.

(2)“為奇數(shù)時，有夠+i==吟個.

66

n為偶數(shù)時，有鬣+i—?=妁包—2=3出個.

2626

2.計算:嚼。+C球.

解:C溫+禺霏=第°。+禺。。=^^+200=4950+200=5150.

課后作業(yè)

1.用0』,...,9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()

A.243B.252C.261D.279

解析:構(gòu)成所有的三位數(shù)的個數(shù)為禺禺0禺()=900,而無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為

G禺禺=648,故所求個數(shù)為900-648=252,應(yīng)選B.

答案:B

2.若C"i-以=C*貝！J”=()

A.12B.13C.14D.15

解析:；C"]-以=C?,

即鬃+i='+時=C如，

=7+8,.e.n=14.

答案:C

3.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為

()

A.24B.18C.12D.6

解析:先分成兩類:（一）從0,2中選數(shù)字2,從1,3,5中任選兩個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)為鬣x4=12;

（二）從0,2中選數(shù)字（）,從1,3,5中任選兩個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)

為鬣x2=6.

故滿足條件的奇數(shù)的總數(shù)為12+6=18.

答案:B

4.在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表

示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個

數(shù)為（）

A.10B.llC.12D.15

解析:與信息0110至多有兩個位置上的數(shù)字對應(yīng)相同的信息包括三類：

第一類:與信息0110只有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有第=6個；

第二類:與信息011（）只有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有心=4個；

第三類:與信息0110沒有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C：=I個.

與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6+4+1=11個.

答案:B

5.從7名志愿者中選6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動.若每天安排3人，則不同的安

排方案共有種.（用數(shù)字作答）

解析?髭=140種.

答案：140

6.從10名男同學(xué),6名女同學(xué)中選3名參加體能測試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女

同學(xué)的不同選法共有種.（用數(shù)字作答）

解析:從1（）名男同學(xué),6名女同學(xué)中選3名參加體能測試，選出的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有

女同學(xué)包括兩種情況:1男2女和2男1女，因此共有C；o?髭+C賓,廢=420種.

答案：4案

7.某車間有11名工人，其中有5名鉗工,4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)要在這

11名工人中選派4名鉗工,4名車工修理一臺機床，有多少種選派方法？

解:第1類:選派的4名鉗工中無“多面手”，此時有選派方法哈第=75種.

第2類:選派的4名鉗工中有1名“多面手”，此時有選派方法瑪?髭?第=100種.

第3類:選派的4名鉗工中有2名“多面手”,此時有選派方法鬣第=10種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選派方法共有75+100+10=185種.

8.如圖所示，某市（A）有四個郊縣（B,CQ,E）,現(xiàn)備有5種顏色，問有多少種不同的涂色方式，使每

相鄰兩塊不同色,每塊只涂一種顏色？

B

8

解:完成這件事分三類:第一類:用五種顏色涂，共有A&=120種不同方法.第二類:用四種顏色涂,

選四種顏色的方法有Cg種，其中選一種顏色涂A有黑種方法，剩余四塊涂3種顏色.有且僅有一組

不相鄰區(qū)域涂同一種顏色,選一組不相鄰區(qū)域的方法有2種.在余下的三種顏色中選一種顏色涂

這不相鄰區(qū)域有禺種方法,最后剩下兩種顏色涂2個區(qū)域有Ag種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得

Cg&2瑪-A；=240種.第三類:用三種顏色涂，選色方法有Cg種.8,。和C,E和A各涂一種顏色有

種方法，故得CgA；60種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有涂色方法120+240+60=420種.

§4簡單計數(shù)問題

一教學(xué)建議一

1.排列與組合的綜合應(yīng)用題的背景豐富，情景與生產(chǎn)、生活實際相結(jié)合，因此成為高考的熱點,

常以選擇、填空題形式出現(xiàn).

2.本節(jié)重點是解決排列與組合的綜合應(yīng)用題及分組分配問題;難點是如何用好兩個計數(shù)原

理及排列組合定義進行合理分類、恰當分步.

3.在解題過程中,要發(fā)揮學(xué)生的主動探究過程，從多種角度思考，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、

深刻性、靈活性.

一備選習(xí)題一

1把4名男乒乓球選手與4名女乒乓球選手同時平均分成兩組進行混合雙打表演，不同的比

賽分配方案有種.

解析:混合雙打比賽要求每隊必須是一名男隊員和一名女隊員.可以分以下幾步：

第1步:羽14名男選手平均分成兩組,有冬蟲=3種不同分法；

第2步:將4名女選手平均分成兩組，有或］4=3種不同的分法；

A2

第3步:每組的兩名男隊員中選1名,有禺種不同的選法;每組的兩名女隊員中選1名,也有最

種不同的選法，男隊和女隊都各有2個小組，應(yīng)有種不同的搭配方式.

由分步乘法計數(shù)原理，不同的分配方案共有3x3G&a&=144種.

答案：144

2某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如圖所示的6個點A,氏上

各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法

共有多少種？

解:可分兩步完成.

第一步安裝下底面，顯然4處4種,8處3種,C處2種,則下底面共有4x3x2=24(種).

第二步安裝上底面，選取與下底面所用燈泡顏色不同的燈泡裝在上底面的一個位置上，有3

種方法，剩余兩個位置有(1+2)種方法.由分步計數(shù)原理，共有24x3x(1+2)=216種安裝方法.

3從6雙不同的鞋子中任取4只,其中至少有一雙的選法有多少種？

分析:取鞋子問題屬于組合問題，根據(jù)任取的4只中至少有一雙可分為兩類，一類是恰好一雙，

一類是恰好兩雙，再根據(jù)具體的取法加以分析.

解:4只鞋子最多可以組成兩雙，

(1)若4只鞋子恰好組成兩雙，相當于從6雙鞋子中取出兩雙，有髭=15種選法；

(2)若4只鞋子恰好組成一雙，先選一雙完整的，再從剩下的5雙中選兩雙，然后在這兩雙中各

抽取一只，共有禺髭禺禺=240種選法.

所以至少有一雙的選法有15+240=255種.

課后作業(yè)

16.個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法有()

A.40種B.50種C.60種D.70種

解析:先分組再排列，一組2人一組4人有髭=15種不同的分法;兩組各3人共有冬=10種不同

A2

的分法，所以共有(15+10)x2=50種不同的乘車方法.

答案:B

2.從長度分別為123,4,5的五條線段中，任取三條的不同取法共有〃種.在這些取法中,以取出

的三條線段為邊可組成的鈍角三角形的個數(shù)為“，則;等于()

解析:”=髭=10,由余弦定理知可組成鈍角三角形的有“2,3,4”和“2,4,5”,故加=2.故:=^=|.

答案:B

3.有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就座，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()

A.36種B.48種C.72種D.96種

解析:恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排3個人，然后插空，從而

共A§A372種不同的坐法.

答案:c

4.如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，

要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()

A.50種B.60種

C.120種D.210種

解析:先安排甲學(xué)校的參觀時間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6

種:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),甲任選一種為最,然后在剩下的5天中任選兩天有序地安排其

余兩校參觀，安排方法有Ag種，按照分步乘法計數(shù)原理可知共有瑪-Ag=120種不同的安排方法.

答案:C

5.將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球

的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有種.

解析:有兩種滿足題意的放法：

(1)1號盒子里放2個球,2號盒子里放2個球，有鬣?最種放法；

(2)1號盒子里放1個球,2號盒子里放3個球，有心?噌種放法.

綜上可得,不同的放球方法共有CfC；+C：C”10種.

答案：10

6.某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A,8,C三門由于上課時間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定，

每位同學(xué)選修4門，共有種不同的選修方案.(用數(shù)字作答)

解析:①不選A,8,C的選法有鬣=15種，②選中一門課的選法有髭?瑪=60種，所以共有

15+60=75種選修方案.

答案：75

7.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加

團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1,2號中至少有1名新隊員的排法有多少種?

解:分兩種情況：

(1)當有1名老隊員時，應(yīng)從3名新隊員中選出2名，其排法種數(shù):禺-C7A』=36種；

⑵當有2名老隊員時，應(yīng)從3名新隊員中選出1名，其排法種數(shù):C』C4=12種.

由分類加法計數(shù)原理，得所求排法有36+12=48種.

8.用0,1,2,3,4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

(1)有多少個四位偶數(shù)？

(2)若按從小到大排列,3204是第幾個數(shù)？

解：(1)方法一:先排個位數(shù)字，分兩類:①。在個位時有A%種;②2或4在個位時按個位、千位、

十位和百位的順序排，有的人叢專種，故共有怨+人必必專=60個四位偶數(shù).

方法二:間接法.若無限制條件，總排列數(shù)為A々，其中不符合條件的有兩類:①0在千位，有A1

種;②1或3在個位，有的A,A專種，則四位偶數(shù)有Ag-A%-A/A』A專=60個.

(2)方法一:(分類法)由高位到低位逐級分為:①千位是1或2時，有A3A寵個;②千位是3時，百位

可排0,1或2.⑴當百位排0,1時，有A》A2個,(ii)當百位排2時，比3204小的僅有3201一個，故比3

204小的四位數(shù)共有A/A*+A1A4+1=61個,3204是第62個數(shù).

方法二:(間接法)A：A%(A%+A專+A,A4)=62個.

§5二項式定理

一教學(xué)建議一

1.高考對二項式定理的考查，主要涉及利用二項式通項求展開式的特定項，利用二項展開式

性質(zhì)求系數(shù)或與系數(shù)有關(guān)的問題，利用二項式定理進行近似計算.題型以選擇、填空題為主，少有

綜合性的大題.

2.本節(jié)重點是二項式定理、二項式系數(shù)的性質(zhì),及它們的簡單應(yīng)用;難點是用計數(shù)原理分析二

項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律.

一備選習(xí)題一

1.(1+2x/(l-x)4展開式中f的系數(shù)為.

解析：(1+2x)3(1.)4展開式中f的系數(shù)有以下幾種情況:(1+2x)3中出現(xiàn)常數(shù)項，則展開式中X2

的系數(shù)即為(l-x)4中f的系數(shù)第=6；(1+2x)3中出現(xiàn)X項，則(1.)4中應(yīng)出現(xiàn)X項，因此

禺2?禺(-1)=-24;(1+2x)3中出現(xiàn)X2項,(l-x)4中出現(xiàn)常數(shù)項，此時第-22-l=12.

(1+2X)3.(I㈤4展開式中式的系數(shù)為6-24+12=6

答案：-6

2.已知(7/y的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為卷其中j2=_i,則展開式中常數(shù)項

的值是多少？

解:設(shè)評《y的展開式的第r+1項為Ti,

則「*1=&5用(京丫

=加?（孫興吟.

由已知第三項與第五項的系數(shù)比為

14

解得n=10.

由2〃子二0得『8,則展開式中的常數(shù)項為C%（-i）8=C：o=Ci0=45.

3.已知（1-2X+3X2）7=YZO+Q]R+Q2A2+…+413x13+04x14.

⑴求處+。1+〃2+...+。14；

（2）求+。3+。5+,?.+。13.

解：（1）令X=l,則。0+。1+他+…+414=27=128.①

⑵令X=-l,則〃0-0+。2-。3+...-413+04=67.②

①■②得2（0+s+…+々13）=27?67=?279808.

?！?〃3+〃5+…+。13=?139904.

課后作業(yè)

的展開式中含X的正整數(shù)指數(shù)基的項數(shù)是（）

A.OB.2C.4D.6

解析:?：小產(chǎn)/（?嚴（/）'

=4%等?廣

=%（彳）x5-2r,

由（5-|r）GN+,知r=0或2.

故展開式中第1、第3項x的指數(shù)為正整數(shù).

答案:B

2.若（3石-白）”的展開式中各項系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為（）

A.-540B.-162

C.162D.540

解析冷x=l得2"=64,則“=6.

77+尸昭34嚴(_蘇

=(-l)r36rC^?r,

令3-廠=0,得r=3.

故常數(shù)項為-27/=-540.

答案:A

3.已知(l+or)(l+x)5的展開式中％2的系數(shù)為5,則a=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

解析:因為(1+x)5的二項展開式的通項為C^r(0</<5,rGZ),則含*的項為

CsX2+?x-C5X=(10+5a)x2,^r以10+5a=5,a=-l.

答案:D

4.(l+x)8(l+y)4的展開式中xY的系數(shù)是()

A.56B.84C.112D.168

解析:因為(1+4的展開式中％2的系數(shù)為第,(1+?的展開式中丁的系數(shù)為鬣，所以xY的系數(shù)

為髭鬣=168.故選D.

答案:D

5.(%2+J，的展開式中丁的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

解析:「+1=墨<%2產(chǎn)?(》”=C2-x,2-3r,

要求展開式中V的系數(shù)，

即12-3r=3,

r=3,即

.■.V的系數(shù)為20.

答案：20

9

6.若[《)的展開式中?的系數(shù)是-84,則a=-----.

解析：卜-?9的展開式的通項為

7；+]=期9-(y=(-1)'C財產(chǎn)2r

令9-2r=3,得r=3.

所以％3的系數(shù)為(-INC初3=一84.

所以〃=1.所以“=].

答案：1

7.求卜代/）6的展開式中，

（1）第3項的二項式系數(shù)及系數(shù)；

⑵含d的項.

解:⑴第3項的二項式系數(shù)為髭=15,

又八=髭（2五），2）2=24QX,

所以第3項的系數(shù)為24Cl=240.

⑵A+產(chǎn)鷹（2正產(chǎn)（_—"=（一1郎”（4力

令3/=2,得左=1.

所以含％2的項為第2項，且T2=-192X2.

8.已知+濘）的展開式中的倒數(shù)第三項的系數(shù)為45.求:

（1）含?的項;

（2）系數(shù)最大的項.

解:已知展開式中倒數(shù)第三項的系數(shù)為45,則C：2=45,即鬣=45,〃2-〃-90=0.

解得”=-9（舍去）或“=10.

1210-k,2k

⑴7M產(chǎn)（娟）*=/9'+亍，

令-出+生=3,解得k=6.

43

故含有V的項是第7項，且T7=Cfo?=21OZ

⑵??,(1+的展開式共11項，系數(shù)最大的項是第6項,

1225

55

76=CI0(X-4)-(%3)=252x12.

第二章概率

§1離散型隨機變量及其分布列

一教學(xué)建議一

1.本節(jié)是高考的熱點，常與后面將要學(xué)到的隨機變量的期望與方差結(jié)合在一起進行考查.

2.本節(jié)的重點是離散型隨機變量的意義及其分布列，難點是準確求出隨機變量自取相應(yīng)值時

的概率.

3.本節(jié)通過實例引入隨機變量的概念，并由此給出了隨機變量描述性的定義及分布列的概念

和性質(zhì)，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把隨機變量和函數(shù)進行類比，使他們了解隨機變量的概念，實際上也可

以看作是函數(shù)概念的推廣.并對比函數(shù)的幾種表示方法引入離散型隨機變量的分布列的幾種表

示方法，與函數(shù)的研究一樣，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生比較不同的分布列表示方法的優(yōu)缺點，體會具體問

題選擇適當?shù)谋硎痉椒?另外，在求隨機變量的分布列時，要引導(dǎo)學(xué)生注意回顧排列、組合、古典

概型的知識，只有在知識上相互聯(lián)系，才能在解決此類問題中正確處理好等可能事件的概率、互斥

事件概率間的關(guān)系,并結(jié)合分布列的有關(guān)知識把相應(yīng)問題細化，從而使問題順利解決.

一備選習(xí)題一

1.袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球

為止，求取球次數(shù)X的分布列.

分析:要求取球次數(shù)X的分布列，需先寫出X的可能取值，然后再求出X中每一個可能值的概

率.

解:X的可能取值為1,2,3,4,5,則第1次取到白球的概率為P(X=1)=/

第2次取到白球的概率為P(X=2)=fX-=~.

545

第3次取到白球的概率為P(X=3)Jx-xi=-.

5435

第4次取到白球的概率為P(X=4)=±x-x-x-=~.

54325

第5次取到白球的概率為P(X=5)=fx-x-xixi=\

543215

所以X的分布列是

X12345

11111

P

55555

2.設(shè)隨機變量X的分布列為「d=，)=兼=1,2,3,4).求:

(1)P(X=1或X=2);

⑵喔<x<)

解:⑴P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=1+5=器

⑵嗯<X<%P(X=1)+P(X=2)+尸(X=3)4+卷+、號=-

課后作業(yè)

1.一串鑰匙有5把，只有一把能打開鎖，依次試驗,打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，

則試驗次數(shù)1的最大值為（）

A.5B.2C.3D.4

解析:當?shù)?把鑰匙仍打不開這把鎖時，第5把一定會打開，所以試驗次數(shù)自最大取到4.

答案:D

2.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為則國>4"

表示試驗的結(jié)果為（）

A.第一枚為5點，第二枚為1點

B.第一枚大于4點,第二枚也大于4點

C.第一枚為6點，第二枚為1點

D.第一枚為4點，第二枚為1點

解析:每一枚骰子擲出的點數(shù)最大為6,最小為1,則g可能的取值為0,1,2,3,4,5,則*>4”即

箋=5”.故第一枚為6點，第二枚為1點.

答案:C

3.某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量&描述1次試驗的成功次數(shù)，則P化=1）等于

（）

117

A.OB-C-D.-

233

解析:設(shè)失敗率為則成功率為2a,

a+2a=l.

i2

a=-,P^-1）=2a--.

答案:D

4.已知隨機變量X的分布列為：

X-2-i0i23

p134i2i

n12nnn12

若尸（X2<x）=!|,則實數(shù)%的取值范圍是（）

A.4<r<9B.4<x<9

C.4<r<9D.4<x<9

解析:若尸(X2<x)=￡,則X要取遍0,±1,±2各個值.

當x<4時,X243,X取不到垃;

當x>9時,建可以等于9,即X取到3.

均與已知矛盾4<x<9.

答案:B

5.設(shè)隨機變量X的分布列為：

X-101

1

P\-2q爐

2

則q的值為.

解析:由題意可知g+(1為)+或=1,

(l-2q>0,

解■得q=l當.

答案：1等

6.隨機變量X的分布列為P(X=A)=￡~,Zr=l,2,3,C為常數(shù)，則P(().5<X<2.5)=

k(k+l)

解析:由尸(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,得

￡+￡+上=1,解得c=上

1x22x33x43

故隨機變量X的分布列為

X\23

221

P

399

因此,P(0.5<X<2.5)=P(X=l)+P(X=2)=|+|=5

答案微

7.若離散型隨機變量&的分布列為:

q01

P3-8〃

，求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列.

f9a2-a+3-8a=1,

解油離散型隨機變量的性質(zhì)得I0<9a2-a<1,解得“W，或a=［（舍）.

I0<3-8a<1,

所以隨機變量&的分布列為：

401

21

p

33

8.A,B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員/隊隊員是A,A2,A3,B隊隊員是

按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：

對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率

21

Ai對以

33

23

A2對治

55

23

A3對以

55

現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分,負隊得0分，設(shè)A隊,8隊最后所得總分分別為X,K

求x,y的分布列.

解:X,y的可能取值分別為3,2,1,0.

P(X=3)=|X|X|=￡

、

P(X=c2)=2-x-2x-3+,-1x-2x-2+,-2x-3x-2=-28,

',3553553557s

、

P(X=1i)=2-x-3x-3+,-1x-2x-3+,-1x-3x-2="2.

\,355355355s

P2(7X=0C)\=-1X-3X-33.

'735525

故X的分布列為

X0123

32288

P

2557575

根據(jù)題意知x+y=3,

所以p（y=o）=p（x=3）=￡,P（y=i）=p（x=2）=|1,p（y=2）=p（x=i）=|,

p（y=3）=p（x=o）=套3

故y的分布列為

Y0123

82823

P

7575525

§2超幾何分布

——教學(xué)建議——

1.本課時是新課標的新增內(nèi)容之一，是高考的熱點.

2.本節(jié)的重點是超幾何分布列,難點是超幾何分布的應(yīng)用.

3.超幾何分布是一種重要的分布，在生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中應(yīng)借助于實例，引導(dǎo)

學(xué)生觀察其中的規(guī)律，再啟發(fā)他們把這規(guī)律推廣到一般形式,即超幾何分布.要讓學(xué)生明確解決此

類問題的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足超幾何分布.另外，教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生思考這種情形下變

量的取值范圍是什么，以及掌握分布列的解析表達式.

一備選習(xí)題一

1.設(shè)某10件產(chǎn)品中含有a件次品，從中任取7件產(chǎn)品，其中含有的次品數(shù)為X,若X的可能取

值中的最小值為2,貝a=.

解析:取出的7件產(chǎn)品中，要使所含的次品數(shù)最小,只需將（10迫）件正品都取出，然后再取2件次

品即可，故（100+2=7,解得4=5.

答案：5

2.在一次購物抽獎活動中,假設(shè)某10張券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品;有二等

獎獎券3張,每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎.某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：

（1）該顧客中獎的概率；

（2）該顧客獲得的獎品總價值盤元）的分布列，并求P（5*425）的值.

解:（1）尸=1白=1關(guān)=|,

即該顧客中獎的概率為李

（2尤的所有可能值為0,10,20,50,60.

產(chǎn)化=。）=3

L10J

「6=10)=警=|;

L105

3)我氣;

艇=5。）=警建

尸（白60）=皆=上

5。15

.*.自的分布列為

1010205060

12121

p

35?51515

P(5*$25)=P6=10)+于仁=20)

2.17

——_L.——.....

課后作業(yè)

1.一批產(chǎn)品共