押浙江杭州卷第23題（一）（圓的綜合問(wèn)題：與三角形、相似、三角函數(shù)相結(jié)合）-備戰(zhàn)2023年中考臨考題號(hào)押題【浙江杭州專(zhuān)用】（原卷版）

備戰(zhàn)2023年中考臨考題號(hào)押題【浙江杭州專(zhuān)用】押浙江杭州卷第23題（圓的綜合問(wèn)題：與三角形、相似、三角函數(shù)相結(jié)合）關(guān)于圓的綜合性問(wèn)題，往往是杭州中考試題中的壓軸題，特別是圓與三角形的綜合問(wèn)題近兩年出現(xiàn)頻率較高。其考查容涉及到了方程、三角形全等與相似、特殊四邊形性質(zhì)及其圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題要求學(xué)生必須穩(wěn)固各方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，熟練把握有關(guān)推理證明、計(jì)算分析、動(dòng)態(tài)變化、分類(lèi)討論等多方面的類(lèi)型題。1.有關(guān)切線(xiàn)問(wèn)題解題技巧為：抓“相切”，連接圓心與切點(diǎn)。常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的：①判定切線(xiàn)時(shí)“連圓心和直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”；②有切線(xiàn)時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．切線(xiàn)的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線(xiàn)符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿(mǎn)足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線(xiàn)過(guò)圓心；②直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)；③直線(xiàn)與圓的切線(xiàn)垂直．求線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題解題技巧為：若題干中出現(xiàn)三角函數(shù)時(shí)，一般考慮用三角函數(shù)解題；若題于中不含三角函數(shù),一般考慮用相似三角形或勾股定理解題。證明兩線(xiàn)段相等問(wèn)題解題技巧為：若所證兩線(xiàn)段相連不共線(xiàn)，則可以考慮將兩條線(xiàn)段放到一個(gè)三角形中，利用等腰或等邊三角形等角對(duì)等邊來(lái)證明；若所證兩線(xiàn)段相連共線(xiàn)，則可以考慮等腰三角形三線(xiàn)合一或直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的半來(lái)證明；若所證兩線(xiàn)段平行，則可以考慮特殊四邊形對(duì)邊相等來(lái)證明。三角形外接圓解題技巧為：一般我們會(huì)先構(gòu)造一條直徑，然后再根據(jù)題目的一些已知條件構(gòu)造特殊的三角形和邊角關(guān)系，從而求解。1．（2021?杭州）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）已知，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)（用含，的代數(shù)式表示）．（3）已知點(diǎn)在線(xiàn)段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），點(diǎn)在線(xiàn)段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），，求證：．2．（2020?杭州）如圖，已知，為的兩條直徑，連接，，于點(diǎn)，點(diǎn)是半徑的中點(diǎn)，連接．（1）設(shè)的半徑為1，若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．（2）連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，①求證：．②若，求的度數(shù)．3．（2019?杭州）如圖，已知銳角三角形內(nèi)接于圓，于點(diǎn)，連接．（1）若，①求證：．②當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．（2）點(diǎn)在線(xiàn)段上，，連接，設(shè)，，是正數(shù)），若，求證：．4．（2017?杭州）如圖，已知內(nèi)接于，點(diǎn)在劣弧上（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，射線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，，（1）點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫(huà)圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù)：猜想：關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明；（2）若，，的面積為的面積的4倍，求半徑的長(zhǎng)．一．解答題（共20小題）1．（2023?西湖區(qū)模擬）如圖，已知CE是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，且BD＝BC，過(guò)點(diǎn)B作弦CD的平行線(xiàn)與CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)A．（1）若圓O的半徑為2，且點(diǎn)D為弧EC的中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度；（2）在（1）的條件下，當(dāng)∠CBD＝45°，DF＝a時(shí)，求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)度；（答案用含a的代數(shù)式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面積．2．（2023?杭州一模）如圖，點(diǎn)A，B，C分別是⊙O上的三等分點(diǎn)，連接AB，BC，CA．點(diǎn)D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，且BE＝CD．過(guò)點(diǎn)D作EO的垂線(xiàn)，垂足為H，與⊙O分別交于N、M，與邊AB交于F點(diǎn)．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）探索FN與MD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）點(diǎn)E從點(diǎn)B沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)，若⊙O的半徑為2，則點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？3．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是弧AC上一點(diǎn)，AG，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，連結(jié)AD，已知AE＝CD，BE＝2．（1）求⊙O的半徑長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，連結(jié)DG，求AG的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，連結(jié)GC，求△CDG與△ADG的面積之比．4．（2022秋?西湖區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC，DB交AC于點(diǎn)F．（1）求證：△DBC是等腰三角形．（2）若DA＝DF．①求證：BC2＝DC?BF．②若⊙O的半徑為5，BC＝6，求S△BCF5．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知線(xiàn)段AB＝8，點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)D作DC⊥AB，且CD＝4，過(guò)A，C，D三點(diǎn)作⊙O交BC于點(diǎn)P，連接AP交CD于點(diǎn)E．（1）若AP平分∠BAC．①求∠ACD的度數(shù)：②求CE的長(zhǎng)：（2）作直徑垂直AB交AB于M，AP于點(diǎn)N．記AM＝x，MN＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明當(dāng)MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，直線(xiàn)BC與⊙O相切．6．（2022?西湖區(qū)模擬）（1）如圖1，扇形AOB的半徑為2，∠AOB＝90°，點(diǎn)C，D，E分別是線(xiàn)段OA，弧AB，線(xiàn)段OB上的點(diǎn)，若四邊形COED為正方形，求CD的長(zhǎng)；（2）如圖2，扇形AOB的半徑為2，∠AOB＝120°，點(diǎn)C為線(xiàn)段OA的中點(diǎn)，CD∥OB交弧AB于點(diǎn)D，連接BD，求CD的長(zhǎng)；（3）如圖3，扇形AOB的半徑為2，將其沿AB折疊，弧AB與射線(xiàn)BO交于點(diǎn)E，連接AE，若AE=3求BE的長(zhǎng)．7．（2022?下城區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，已知BC是⊙O的直徑，A、D是⊙O上的兩點(diǎn)，連結(jié)AD、AC，CD，線(xiàn)段AD與直徑BC相交于點(diǎn)E．（1）若∠ACB＝60°，求sin∠ADC的值．（2）當(dāng)CD=①若CE=2，BC?CEAB=②若CD＝1，CB＝4，求線(xiàn)段CE的長(zhǎng)．8．（2022?上城區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，AC＝BC，D，E是⊙O上的兩點(diǎn)，連結(jié)DE交AB于G，交BC于H．（1）如圖1，連結(jié)AD，AE，DB，若∠CAD＝10°，求∠AED的度數(shù)．（2）如圖2，若DE⊥AB，求證：DG2﹣HG2＝CH?HB．（3）若2BE=AE且AB＝10，作DP⊥AE交AE于P，交CE于N，過(guò)D點(diǎn)作MD⊥DP交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，當(dāng)PD9．（2022?杭州模擬）如圖1所示，已知AB，CD是⊙O的直徑，T是CD延長(zhǎng)線(xiàn)的一點(diǎn)，⊙O的弦AF交CD于點(diǎn)E，且AE＝EF，OA2＝OE?OT．（1）如圖1，求證：BT是⊙O的切線(xiàn)；（2）在圖1中連結(jié)CB，DB，若DBCB=1（3）如圖2，連結(jié)DF交AB于點(diǎn)G，過(guò)G作GP⊥CD于點(diǎn)P，若OA＝3，BT＝62．求DG的長(zhǎng)．10．（2023?淳安縣一模）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)A，B在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O外，邊AC與⊙O相交于點(diǎn)D，∠BAC＝45°，連接OB、OD，已知OD∥BC．（1）求證：直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若線(xiàn)段OD與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)E，連接BD．①求證：△ABD∽△DBE；②若AB?BE＝6，求⊙O的半徑的長(zhǎng)度．11．（2022?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC=35，AD⊥BC于點(diǎn)D，P是邊AC上（與點(diǎn)A，C不重合）的動(dòng)點(diǎn)，連接PB交AD于點(diǎn)M，過(guò)C，P，M三點(diǎn)作⊙O交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，連接CN，（1）①線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為；②求證：CN＝PN；（2）如圖2，連接BN，若BN與⊙O相切，求此時(shí)⊙O的半徑r；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究線(xiàn)段MN與半徑r之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．12．（2022?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，已知BC是⊙O的直徑，A、D是⊙O上的兩點(diǎn)．（1）若∠ACB＝56°，求∠ADC的度數(shù)；（2）當(dāng)CD=12AC時(shí)，連接CD、AD，其中AD與直徑BC相交于點(diǎn)E，求證：2CD2＝（3）在（2）的條件下，若∠COD＝45°，CB=2，求BC?CE13．（2022?蕭山區(qū)一模）如圖，已知半徑為r的⊙O中，弦AB，CD交于點(diǎn)E，連結(jié)BC，BD．設(shè)k=DECE（（1）若AB＝DC．①求證：CE＝BE；②若k＝1，且BC＝BD＝4，求r的值；（2）若AD=BD=90°，且AE14．（2022?錢(qián)塘區(qū)二模）已知，線(xiàn)段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)M是優(yōu)弧CBD上的任意一點(diǎn)，AH＝2，CH＝4．（1）如圖1，①求⊙O的半徑；②求sin∠CMD的值．（2）如圖2，直線(xiàn)BM交直線(xiàn)CD于點(diǎn)E，直線(xiàn)MH交⊙O于點(diǎn)N，連結(jié)BN交CD于點(diǎn)F，求HE?FH的值．15．（2022?西湖區(qū)一模）如圖，已知扇形AOB的半徑OA＝8，∠AOB＝90°，點(diǎn)C，D分別在半徑OA，OB上（點(diǎn)C不與點(diǎn)A重合），連結(jié)CD．（1）當(dāng)sin∠ODC=45，BD＝CD時(shí)，求（2）點(diǎn)P是弧AB上一點(diǎn)，PC＝PD．①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：PC⊥PD．②當(dāng)OC＝4，∠PDO＝90°時(shí)，求S△PCD16．（2022?拱墅區(qū)一模）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝BC，以BC為直徑作⊙O，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接BE，CF交于點(diǎn)G．（1）求證：CE=（2）若∠ABC＝45°，BO＝r，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)（用含r的代數(shù)式表示）．（3）若BC＝3AD，探索CG與FG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖1，在⊙O中，AB為弦，CD為直徑，且AB⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．連接AC，BO．（1）求證：∠CAE＝∠ADC．（2）若DE＝2OE，求DFDE（3）如圖2，若BO的延長(zhǎng)線(xiàn)與AC的交點(diǎn)G恰好為AC的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為r．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含r的代數(shù)式表示）．18．（2022秋?杭州期末）如圖，⊙O的半徑為1，直徑AB，CD的夾角∠AOD＝60°，點(diǎn)P是BD上一點(diǎn)，連接PA，PC分別交CD，AB于點(diǎn)M，N．（1）若PC⊥AB，求證：PA⊥CD．（2）當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①猜想：線(xiàn)段AM與CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．②求證：PA+PC=319．（2020秋?富陽(yáng)區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為直徑的⊙M交AC于點(diǎn)E，連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，交⊙M于點(diǎn)G，連接BE．（1）如