浙江省A9協(xié)作體2025屆高三上學(xué)期8月暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省A9協(xié)作體2025屆高三上學(xué)期8月暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫(xiě)在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解，得，所以，所以，故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，，所以，，故C正確.故選：C.3.已知平面向量，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，則，所以，故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則，故選：B5.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，即.故選：A6.方程在的根的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出和圖象，因?yàn)?，，，，所以與圖象在區(qū)間上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的根，故選：B．7.一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內(nèi)，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作出其軸截面，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由，則，所以，因?yàn)椋?，則，易知時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，所以.故選：C.8.已知函數(shù)，且若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由逆推得，所以，.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)分別記0分、2分、4分或0分、3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則以下選項(xiàng)正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由正態(tài)分布密度曲線知其關(guān)于對(duì)稱(chēng)，利用對(duì)稱(chēng)性知，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.三次函數(shù)敘述正確的是（）A.函數(shù)可能只有一個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的切線可能有一條或者兩條D.當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：，令，即，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同根，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：，又是奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)切點(diǎn)x1,fx1因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)x0,fx即，整理得，所以，或，由于，則兩根相等，即只有一個(gè)切點(diǎn)，即只有一條切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：在點(diǎn)x0,fx與曲線聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得，，所以，或，由于，則方程組有兩個(gè)不同解，即有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故D正確.故選：BD.11.數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了很多曲線，傳說(shuō)笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式：，克里斯蒂娜用極坐標(biāo)知識(shí)畫(huà)出了該曲線圖象“心形線”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關(guān)系式和可將信中表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A.B.曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，D.當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，利用關(guān)系式得，…（*）A選項(xiàng)：因曲線圖象過(guò)點(diǎn)，所以此時(shí)，代入（*）得，所以，故A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?）化為，所以直角坐標(biāo)系下的曲線方程為，代入點(diǎn)滿足，故B正確；C選項(xiàng)：，設(shè)，則，令，得或，時(shí)，，所以，時(shí)，，則有極值，由對(duì)稱(chēng)性，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：方法1：由兩邊平方整理得:，令，則（*），由判別式，得.令，由于方程（*）在有解，（1）當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸，即或時(shí)，由得，所以；（2）當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸，即時(shí)，由，得，所以，綜上，.故D正確.方法2：，所以.故D正確.故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.雙曲線的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為13.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】對(duì)于，易知，切線斜率為，切點(diǎn)為0,1；則曲線在處的切線為，顯然，設(shè)切點(diǎn)，由，解得.故答案為：214.嵊（shèng）州是歷史文化名城，早在秦朝已設(shè)郡縣，古稱(chēng)剡（shàn）縣，贍縣、嵊縣，古往今來(lái)無(wú)數(shù)文人墨客都醉心于嵊州的山水風(fēng)景之中，李白曾夢(mèng)到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有詩(shī)曰：剡溪蘊(yùn)秀異，欲罷不能忘，其中萬(wàn)年小黃山，千年唐詩(shī)路，百年越劇是三張重要?dú)v史文化名片，現(xiàn)有甲、乙兩人到達(dá)高鐵嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬(wàn)年小黃山、千年唐詩(shī)路之謝靈運(yùn)垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個(gè)景點(diǎn)，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是和，則甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】甲乙打卡相同景點(diǎn)的概率為，所以甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)該寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）證明：；（2）若，求邊上中線的長(zhǎng).（1）證明：因?yàn)?，由正弦定理得，，所以，因?yàn)?，由余弦定理，，代入得，，化?jiǎn)得，所以，即證；（2）解：因?yàn)?，所以，所以，，在中，由余弦定理，?16.已知三棱錐平面，為的中點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)二面角余弦值大小為時(shí)，求的長(zhǎng).（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又，，平面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）解：如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取平面的法向量，設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋?，則，令，解得，所以，由，得，解得或，故或.17.已知橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于另一點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí)，求.解：（1）因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，所以，則橢圓方程為，因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）如圖，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立消去并整理得，由，得，則，到直線的距離，則，解得或.18.設(shè)函數(shù).（1）求的最大值；（2）若函數(shù)的極小值點(diǎn)為，證明：；（3）若恒成立，證明：.（1）解：令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以f'x在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，f'x的最大值為（2）證明：由（1）知，f'x在又由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得必然存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)滿足.（3）證明：由，得，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，必然存在使得，故不符合題意；②當(dāng)時(shí)，F(xiàn)x在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則，即，所以，令，則，所以上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，，即19.設(shè)為大于3的正整數(shù)，數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，從中選取項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，記為，如果對(duì)于任意的，均有，那么我們稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的一個(gè)數(shù)列．（1）若數(shù)列為，寫(xiě)出所有的數(shù)列；（2）如果數(shù)列公差為，證明：；（3）記“從數(shù)列中選取項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列為數(shù)列的數(shù)列”的概率為，證明：．（1）解：由數(shù)列的定義知，的數(shù)列為：2，3，1，4；3，2，4，1．（2）證明：對(duì)于項(xiàng)的數(shù)列一個(gè)數(shù)列，因?yàn)閷?duì)于，均有，所以，所以不是所有項(xiàng)中的最大值或最小值，所以為的最