浙江省寧波市九校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市九校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由拋物線，可得拋物線的開(kāi)口向上，且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2.直線的橫截距為（）A.1 B. C. D.3【答案】B【解析】由直線，令，則.故選：B.3.已知是可導(dǎo)函數(shù)，如圖所示，直線是曲線在處的切線，令，是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】由圖可知：過(guò)，所以，又過(guò)，所以，即．而，所以故選：A．4.下列說(shuō)法正確的是（）A.事件A與事件B互斥，則它們的對(duì)立事件也互斥．B.若，且，則事件A與事件B不是獨(dú)立事件．C.若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則．D.從2個(gè)紅球和2個(gè)白球中任取兩個(gè)球，記事件{取出的兩個(gè)球均為紅色}，{取出的兩個(gè)球顏色不同}，則A與B互斥而不對(duì)立．【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，投擲兩枚骰子，出現(xiàn)的數(shù)字之和為10為事件，出現(xiàn)的數(shù)字之和為11為事件，則事件A與事件B互斥，事件的對(duì)立事件為出現(xiàn)的數(shù)字之和不為10，事件的對(duì)立事件為出現(xiàn)的數(shù)字之和不為11，則不互斥，比如出現(xiàn)數(shù)字之和均為9，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由題意得，，則事件A與事件B不是獨(dú)立事件，故B正確；C選項(xiàng)，假設(shè)有一個(gè)均勻的正四面體，一面涂有紅色，一面涂有黃色，一面涂有藍(lán)色，另一面涂有紅、黃、藍(lán)色，隨機(jī)取一面觀察其中的顏色.事件“出現(xiàn)紅色”，；事件“出現(xiàn)黃色”，；事件“出現(xiàn)藍(lán)色”，；我們很容易得到，，，但是，，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，2個(gè)紅球分別為紅1、紅2；2個(gè)白球分別為白1、白2.則包含以下基本事件，（紅1，紅2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，白1），（紅2，白2），（白1，白2）.事件包含以下基本事件：（紅1，紅2）；事件包含以下基本事件：（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，白1），（紅2，白2），顯然A與B互斥而不對(duì)立，故D正確.故選：.5.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線（斜率大于0）與圓交于M，N兩點(diǎn)，且則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】雙曲線離心率為，得，解得：于是雙曲線的漸近線方程為，即，圓的圓心，半徑，當(dāng)漸近線（斜率大于0）時(shí)，即為時(shí)，點(diǎn)到此直線的距離為，又因?yàn)橄议L(zhǎng)，解得：.故選：C.6.電信網(wǎng)絡(luò)詐騙作為一種新型犯罪手段，已成為社會(huì)穩(wěn)定和人民安全的重大威脅．2023年11月17日外交部發(fā)言人毛寧表示，一段時(shí)間以來(lái)，中緬持續(xù)加強(qiáng)打擊電信詐騙等跨境違法犯罪合作，取得顯著成效．此前公安部通過(guò)技術(shù)手段分析電信詐騙嚴(yán)重的地區(qū)，在排查過(guò)程，若某地區(qū)有10人接到詐騙電話，則對(duì)這10人隨機(jī)進(jìn)行核查，只要有一人被騙取錢(qián)財(cái)，則將該地區(qū)確定為“詐騙高發(fā)區(qū)”．假設(shè)每人被騙取錢(qián)財(cái)?shù)母怕蕿榍蚁嗷オ?dú)立，若當(dāng)時(shí)，至少排查了9人才確定該地區(qū)為“詐騙高發(fā)區(qū)”的概率取得最大值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)至少排查了9人才確定該地區(qū)為“詐騙高發(fā)區(qū)”的概率為，則.因?yàn)椋?由，得：.所以在上遞增，在上遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.即.故選：B7.已知A，B，C是拋物線上的三點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)A到直線BC的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將代入中得，，解得，故，設(shè)，由題意得，其中，，故，即，故，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，，則，故，解得，所以直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，故點(diǎn)A到直線BC的距離最大值.為取等號(hào)，，因?yàn)?，以，滿足,故選：C8.若存在正實(shí)數(shù)，使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意存在正實(shí)數(shù)x，y，使得等式成立，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以令，，，構(gòu)造函數(shù)，，其中對(duì)數(shù)函數(shù)在上遞增，反比例函數(shù)在上遞增，所以在上遞增，且，所以在區(qū)間，，單調(diào)遞減；在區(qū)間，，單調(diào)遞增.所以的最小值為.要使有解，則，①，當(dāng)時(shí)，①成立；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面．B.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底．C.若直線l的方向向量，平面的法向量為，則直線．D.設(shè)為平面與平面的法向量，若，則平面與平面所成角的大小為．【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，三個(gè)向量共面，根據(jù)向量可以任意平移，可知它們所在的直線可能共面，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，假設(shè)共面，則存在使得，則有，解得不存在這樣的值，則不共面，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，直線l的方向向量，平面的法向量為，則，則，若，則，但選項(xiàng)中沒(méi)有條件，有可能會(huì)出現(xiàn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，為平面與平面的法向量，若，根據(jù)平面與平面夾角范圍為，所以平面與平面所成角的大小為，故D正確，故選：BD.10.已知兩組樣本數(shù)據(jù)和的均值和方差分別為，和，若且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，，所以，即，故A正確；由，所以，B選項(xiàng)正確；由，，又，，所以所以，故D選項(xiàng)正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A. B.在單調(diào)遞增C.有最小值 D.的最大值為【答案】ABD【解析】已知函數(shù)，對(duì)于A選項(xiàng)：，正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以，所以在單調(diào)遞增，正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不正確；對(duì)于D選項(xiàng)：的最小正周期為，是偶函數(shù)，定義域?yàn)椋手恍柩芯考纯桑葿選項(xiàng)知：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，正確．故選：ABD．12.菱形內(nèi)接于橢圓，其周長(zhǎng)的值可以取到（）A. B. C. D.10【答案】BC【解析】如圖，將菱形內(nèi)接于橢圓，設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)重合，此時(shí)顯然周長(zhǎng)為；當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)的方程為，的方程為，設(shè)菱形周長(zhǎng)為，聯(lián)立方程組，，可得，顯然，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，B在第二象限，解得，代入橢圓中得到，即，同理可求，則由兩點(diǎn)間距離公式得，令，則，可得，因?yàn)?，則，可得，即，綜上所述：，易得，10，不在此范圍內(nèi)，故排除A,D，，，在此范圍內(nèi)，得到B,C正確.故選：BC第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線l的一個(gè)方向向量是，則直線l的傾斜角是________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€l的方向向量為，所以直線的斜率為，即直線的傾斜角的大小是.故答案為：.14.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與的斜率之積為，則點(diǎn)P的軌跡方程___________．【答案】【解析】設(shè)Px,y，則，，，所以，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，.故答案為：，.15.已知正方體邊長(zhǎng)為1，，平面BED，平面，平面交于一點(diǎn)M，則點(diǎn)M到平面的距離為_(kāi)______．【答案】【解析】令，連接，顯然平面平面，平面平面，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，在平面內(nèi)，直線方程為，直線方程為，聯(lián)立解得，在平面內(nèi)，直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，令，則，，由，得，解得，即點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，于是點(diǎn)M到平面的距離，而正方體的棱長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)M到平面的距離為.故答案為：.16.對(duì)任意，函數(shù)恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】由題意得，因?yàn)?，所以，即，令，則恒成立，因?yàn)椋畹?，，單調(diào)遞增，令得，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以恒成立，故，?dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足恒成立，當(dāng)，即時(shí)，由于在上單調(diào)遞增，由得，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也最大值，，故，即，所以，a的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知圓及圓內(nèi)一點(diǎn)，P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA為半徑的圓P．（1）當(dāng)且P在第一象限時(shí)，求圓P的方程；（2）若圓P與圓恒有公共點(diǎn)，求r的取值范圍．解：（1）由圓，可得圓心，半徑，又由且時(shí)，，可得軸，所以，則，因?yàn)镻在第一象限，所以，所以圓P的方程為.（2）由圓，可得圓心坐標(biāo)，因?yàn)?，所以，要使得圓P與圓恒有公共點(diǎn)，且圓心距為，所以對(duì)任意的恒成立，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.用分層隨機(jī)抽樣從某校高二年級(jí)800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分為100分，成績(jī)都是整數(shù)）中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績(jī)數(shù)據(jù)40個(gè),女生成績(jī)數(shù)據(jù)60個(gè)．再將40個(gè)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)；（2）若成績(jī)不低于80分的為“優(yōu)秀”成績(jī)，用樣本的頻率分布估計(jì)總體，估計(jì)高一年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)；（3）已知男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為73.5和119，求總樣本的平均數(shù)和方差．解：（1）在內(nèi)的成績(jī)占比為，在內(nèi)的成績(jī)占比為，因此第80百分位數(shù)一定位內(nèi)．因?yàn)?，所以估?jì)第80百分位數(shù)約是84．（2）成績(jī)不低于80分頻率為，所以高二年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)估計(jì)為：，所以估計(jì)高二年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為96人；（3）設(shè)男生成績(jī)樣本平均數(shù)為，方差為，女生成績(jī)樣本平均數(shù)，方差為，總樣本的平均數(shù)為，方差為，．．所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為72.5和148．19.如圖所示,在三棱錐中,側(cè)棱底面ABC,，M為棱PC的中點(diǎn)，N為棱BC的上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：．（2）若二面角的余弦值為，求的值．解：（1）取PB中點(diǎn)D，連接AD，DM．因?yàn)椋?，因?yàn)榈酌鍭BC，所以，由，所以平面PAB，所以因?yàn)镸為棱PC的中點(diǎn)，所以//，所以，面ADM，所以平面ADM，所以．（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，設(shè)，得，取平面AMC的法向量，令是平面AMN的一個(gè)法向量，則，即，令，則，由解得或（舍）．得，所以．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且使得恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?,+∞，由題意得，令，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在0,+∞存在，使得，在0,m單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得極大值，此時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，（i）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，在0,+∞無(wú)單調(diào)增區(qū)間，所以此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在存在，使得，在存在，使得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在處取得極小值，在處取得極大值，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn).（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，存在極大值點(diǎn)，記為，且，則，即，則，令，，即，，所以在單調(diào)遞增，由得，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.如圖所示，設(shè)拋物線，過(guò)拋物線E內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線交于A，C和B，D，且滿足，其中，當(dāng)軸時(shí)，．（1）求拋物線E的方程；（2）當(dāng)變化時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）當(dāng)軸時(shí)，，可得，則，可得，所以，所以拋物線E的方程為.（2）設(shè)由，可得，因?yàn)锳，C在拋物線，可得，將