《電磁場(chǎng)與電磁波》課件-第1章 矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)

1.1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)1.2矢量運(yùn)算1.3常用正交坐標(biāo)系1.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.5矢量場(chǎng)的通量與散度1.6矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度1.7拉普拉斯算符及其運(yùn)算1.8亥姆霍茲定理1.1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)1.1.1標(biāo)量和矢量電磁場(chǎng)中涉及的絕大多數(shù)物理量能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量或矢量。一個(gè)只有大小而沒(méi)有方向的物理量稱(chēng)為標(biāo)量；既有大小又有方向的物理量稱(chēng)為矢量。標(biāo)量可以用數(shù)字準(zhǔn)確描述，而矢量則用黑斜體或帶箭頭的符號(hào)來(lái)表示。模值為1的矢量稱(chēng)為單位矢量，常用來(lái)表示某矢量的方向。如矢量Ａ可寫(xiě)成A=ａＡＡ，其中ａＡ是與Ａ同方向的單位矢量，Ａ為矢量Ａ的模值。如果給定的矢量在３個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量都已知，那么這個(gè)矢量即可確定。在直角坐標(biāo)系中，如矢量Ａ的坐標(biāo)分量為（Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ），則Ａ可表示為其中，ｅｘ、ｅｙ、ｅｚ分別表示直角坐標(biāo)系中ｘ、ｙ、ｚ方向上的單位矢量。通過(guò)矢量的加減可得到它們的和差。設(shè)則1.1.２標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)場(chǎng)有空間占據(jù)的概念。設(shè)有一個(gè)確定的空間區(qū)域，若該區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定值，則認(rèn)為該空間區(qū)域確定了這個(gè)物理量的一個(gè)場(chǎng)。物理量是標(biāo)量的場(chǎng)稱(chēng)為標(biāo)量場(chǎng)，物理量是矢量的場(chǎng)稱(chēng)為矢量場(chǎng)。如果場(chǎng)中的物理量不隨時(shí)間而變化，只是空間和點(diǎn)的函數(shù)，那么稱(chēng)該場(chǎng)為穩(wěn)定場(chǎng)（或靜態(tài)場(chǎng)）；如果場(chǎng)中的物理量是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，那么稱(chēng)之為不穩(wěn)定場(chǎng)（或時(shí)變場(chǎng)）。由數(shù)學(xué)中函數(shù)的定義可知，給定了一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)就相當(dāng)于給定了一個(gè)數(shù)性函數(shù)ｕ（Ｍ），而給定了一個(gè)矢量場(chǎng)就相當(dāng)于給定了一個(gè)矢性函數(shù)Ａ（Ｍ），其中Ｍ為場(chǎng)對(duì)應(yīng)空間區(qū)域中的任意點(diǎn)。在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Ｍ由它的ｘ、ｙ、ｚ坐標(biāo)確定，因此一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可用數(shù)性函數(shù)表示為而矢量場(chǎng)則可用矢性函數(shù)表示為在標(biāo)量場(chǎng)中，為了直觀研究其分布情況，引入了等值面（或等量面）的概念。等值面是指場(chǎng)中使函數(shù)取值相同的點(diǎn)組成的曲面。標(biāo)量場(chǎng)的等值面方程為如溫度場(chǎng)中的等值面就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的等溫面；電位場(chǎng)中的等值面就是由電位相同的點(diǎn)所組成的等位面，如圖1.1.1所示。等值面在二維平面上就是等值線，如常見(jiàn)的等高線、等溫線等。在矢量場(chǎng)中，可以用矢量線來(lái)描繪矢量場(chǎng)的分布情況。如圖1.1.２所示，在矢量場(chǎng)的每一點(diǎn)Ｍ處的切線方向與對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量方向相重合。在流體力學(xué)中，矢量線就是流線。在電磁場(chǎng)中，矢量線就是電力線和磁力線。１．２矢量運(yùn)算１．２．１標(biāo)量積和矢量積矢量的乘積有兩種定義：標(biāo)量積（點(diǎn)積）和矢量積（叉積）。１．標(biāo)量積如圖１．２．１所示，有兩個(gè)矢量Ａ與Ｂ，它們之間的夾角為θ（０≤θ≤π）。兩個(gè)矢量Ａ與Ｂ的點(diǎn)積記為Ａ·Ｂ，它是一個(gè)標(biāo)量，定義為矢量Ａ與矢量Ｂ的大小和它們之間夾角的余弦之積，即Ａ·Ｂ＝ＡＢｃｏｓθ。在直角坐標(biāo)系中，各單位坐標(biāo)矢量的點(diǎn)積滿足如下關(guān)系：矢量Ａ與矢量Ｂ的點(diǎn)積可表示為矢量點(diǎn)積滿足交換律和分配律：２．矢量積兩個(gè)矢量的叉積記為Ａ×Ｂ，它是一個(gè)矢量，垂直于包含矢量Ａ和矢量Ｂ的平面，方向滿足右手螺旋法法則，即當(dāng)右手四指從矢量Ａ到Ｂ旋轉(zhuǎn)θ角時(shí)大拇指所指的方向，其大小為ＡＢｓｉｎθ，即在直角坐標(biāo)系中，各單位坐標(biāo)矢量的叉積滿足如下關(guān)系：矢量Ａ與矢量Ｂ的叉積可表示為叉積不滿足交換律，但滿足分配律：１．２．２三重積矢量Ａ與矢量（Ｂ×Ｃ）的點(diǎn)積稱(chēng)為標(biāo)量三重積。標(biāo)量三重積滿足：Ａ×Ｂ的模表示由Ａ與Ｂ為相鄰邊所形成的平行四邊形的面積，因此Ｃ·（Ａ×Ｂ）的模是平行六面體的體積。矢量Ａ與矢量（Ｂ×Ｃ）的叉積稱(chēng)為矢量三重積。矢量三重積滿足：1.3常用正交坐標(biāo)系1.3.1三種常用坐標(biāo)系在電磁場(chǎng)理論中,最常用的三種坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系?圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系?1.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系是最常用和最被人們熟知的坐標(biāo)系,這里只做簡(jiǎn)單介紹?直角坐標(biāo)系由x軸?y軸和z軸及其交點(diǎn)O(稱(chēng)為坐標(biāo)原點(diǎn))組成,3個(gè)坐標(biāo)變量的變化范圍均為負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮,如圖1.3.1所示?在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向點(diǎn)M(x,y,z)的矢量稱(chēng)為點(diǎn)M的位置矢量,可表示為R=xex+yey+zez

(1.3.1)位置矢量的微分元可表示為dR=exdx+eydy+ezdz

(1.3.2)與單位坐標(biāo)矢量相垂直的3個(gè)面積元分別為dSx=exdydz

(1.3.3a)dSy=eydxdz

(1.3.3b)dSz=ezdxdy(1.3.3c)體積元可表示為dV=dxdydz

(1.3.4)2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)變量是ρ??和z,它們的變化范圍分別是0≤ρ<∞,0≤?≤2π,-∞<z<∞?如圖1.3.2所示,圓柱坐標(biāo)系的3個(gè)單位坐標(biāo)矢量分別是eρ?e??ez,它們之間符合右手螺旋法則,除ez是常矢量外,eρ?e?都是變矢量,方向均隨點(diǎn)M的位置而改變?

在圓柱坐標(biāo)系中,矢量R可表示為R=ρeρ+zez

(1.3.5)位置矢量的微分元可表示為dR=d(ρeρ)+d(zez)=eρdρ+e?ρd?+ezdz

(1.3.6)其中,dρ?ρd?和dz分別表示位置矢量在ρ??和z增加方向的微分元,如圖1.3.3所示?與單位坐標(biāo)矢量相垂直的3個(gè)面積元分別為dSρ=eρd?dz (1.3.7a) dS?=e?dρdz (1.3.7b)dSz=ezρdρd? (1.3.7c)體積元可表示為dV=ρdρd?dz (1.3.8)

3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)變量是r?θ和?,它們的變化范圍分別是0≤r<∞，0≤θ≤π，0≤?≤2π?如圖1.3.4所示,在球坐標(biāo)系中,過(guò)空間中任意一點(diǎn)M的單位坐標(biāo)矢量是er?eθ和e?,它們分別是r?θ和?增加的方向,且符合右手螺旋法則,都是變矢量?在球坐標(biāo)系中,矢量A可表示為A=Arer+Aθθθ+A?e? (1.3.9)其中,Ar?Aθ和A?分別是矢量A在3個(gè)坐標(biāo)方向上的投影?球坐標(biāo)系中的位置矢量為

R=rer (1.3.10)它的微分元可表示為dR=d(rer)=erdr+eθrdθ+e?rsinθd? (1.3.11)其中,dr?rdθ和rsinθd?表示位置矢量沿球坐標(biāo)方向的3個(gè)長(zhǎng)度微分元,如圖1.3.5所示?與單位坐標(biāo)矢量相垂直的3個(gè)面積元分別為dSr=err2sinθdθd? (1.3.12a) dSθ=eθrsinθdrd? (1.3.12b)dS?=e?rdrdθ (1.3.12c)體積元可表示為dV=r2sinθdrdθd? (1.3.13)1.3.2三種坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)換如圖1.3.6所示,在空間中有任意一點(diǎn)M,它的直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(x,y,z),圓柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(ρ,?,z),球坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(r,θ,?),則各坐標(biāo)之間的關(guān)系如下:(1)直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的關(guān)系為

或(2)直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系為或(3)圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系為或同理可得3種坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量間的關(guān)系,如直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量的關(guān)系為1.4

標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4.1方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)的等值面只描述了場(chǎng)量u的分布狀況,而場(chǎng)中某點(diǎn)的標(biāo)量沿著各個(gè)方向的變化率可能不同,為此,引入方向?qū)?shù)來(lái)描述標(biāo)量場(chǎng)的這種變化特性?標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率?如圖1.4.1所示,標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處沿l方向上的方向?qū)?shù)定義為在直角坐標(biāo)系中,設(shè)l方向的單位矢量為el=excosα+eycosβ+ezcosγ,cosα?cosβ?cosγ為l的方向余弦,則方向?qū)?shù)可表示為1.4.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度在標(biāo)量場(chǎng)中,從一個(gè)給定點(diǎn)出發(fā)有無(wú)窮多個(gè)方向?一般而言,標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)沿不同方向的變化率是不同的?引入標(biāo)量場(chǎng)梯度的概念來(lái)描述標(biāo)量場(chǎng)在哪個(gè)方向變化率最大?標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處的梯度是一個(gè)矢量,它的方向是沿場(chǎng)量u變化率最大的方向,大小等于其最大的變化率,并記為gradu,即在直角坐標(biāo)系中,標(biāo)量場(chǎng)u沿l方向的方向?qū)?shù)可以寫(xiě)為根據(jù)梯度的定義,可得直角坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為圓柱坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為在矢量分析中,經(jīng)常用到哈密頓算符(算子)“

”(讀作Del),在直角坐標(biāo)系中有可見(jiàn)，算符“

”兼有矢量和微分的雙重作用。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)的梯度可用算符“

”表示為梯度運(yùn)算符合下列運(yùn)算規(guī)則(C為常數(shù),u?v分別為標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)):1.5

矢量場(chǎng)的通量與散度1.5.1矢量場(chǎng)的通量描述矢量場(chǎng)時(shí),矢量線可以形象描繪出場(chǎng)的分布,但它不能定量描述矢量場(chǎng)的大小?在分析矢量場(chǎng)性質(zhì)的時(shí)候,往往引入矢量場(chǎng)穿過(guò)曲面的通量這一重要概念?假設(shè)S是一個(gè)空間曲面,dS為曲面S上的面元,取一個(gè)與此面元相垂直的法向單位矢量en,則稱(chēng)矢量dS=endS為面元矢量?單位矢量en的取法有兩種:對(duì)開(kāi)曲面上的面元,要求圍成開(kāi)曲面的邊界走向與en之間滿足右手螺旋法則,如圖1.5.1所示;對(duì)閉合面上的面元,en一般取外法線方向?在矢量場(chǎng)F中,任取一個(gè)面元矢量dS,因?yàn)槊嬖苄?可認(rèn)為其上各點(diǎn)的F值相同,則F與dS的點(diǎn)積為矢量F穿過(guò)面元矢量dS的通量?通量是一個(gè)標(biāo)量?對(duì)于空間開(kāi)曲面S,矢量F穿過(guò)開(kāi)曲面S的通量定義為對(duì)于空間閉合曲面S,矢量F穿過(guò)閉合曲面S的通量定義為由通量的定義可知,若矢量與面元矢量成銳角,則通過(guò)面積元的通量為正值;若成鈍角,則通過(guò)面積元的通量為負(fù)值?閉合曲面的通量是穿出閉合曲面S的正通量與進(jìn)入閉合曲面S的負(fù)通量的代數(shù)和,即穿出閉合曲面S的凈通量?矢量場(chǎng)F的通量說(shuō)明了在一個(gè)區(qū)域中場(chǎng)與源的一種關(guān)系?當(dāng)通量大于0時(shí),表示穿出閉合曲面S的通量多于進(jìn)入的通量,此時(shí)閉合曲面S內(nèi)必有發(fā)出矢量線的源,稱(chēng)為有正源;當(dāng)通量小于0時(shí),表示穿出閉合曲面S的通量少于進(jìn)入的通量,此時(shí)閉合曲面S內(nèi)必有匯集矢量線的源,稱(chēng)為有負(fù)源;當(dāng)通量為零時(shí),表示穿出閉合曲面S的通量等于進(jìn)入的通量,此時(shí)閉合曲面S內(nèi)正通量源和負(fù)通量源的代數(shù)和為0,稱(chēng)為無(wú)源?1.5.2矢量場(chǎng)的散度通量是矢量場(chǎng)在一個(gè)大范圍面積上的積分量,只能說(shuō)明場(chǎng)在一個(gè)區(qū)域中總的情況,而不能說(shuō)明區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)場(chǎng)的性質(zhì)?為了研究場(chǎng)中任一點(diǎn)矢量場(chǎng)F與源的關(guān)系,縮小閉合面,使包含這個(gè)點(diǎn)在內(nèi)的體積元趨于零,并定義如下的極限為矢量場(chǎng)在某點(diǎn)處的散度,記為divF,即矢量場(chǎng)的散度可表示為哈密頓算子與矢量F的標(biāo)量積,即在直角坐標(biāo)系中類(lèi)似地,可推出圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的散度計(jì)算式:矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量,它表示在矢量場(chǎng)中給定點(diǎn)單位體積內(nèi)散發(fā)出來(lái)的矢量的通量,反映了矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的通量源強(qiáng)度?在矢量場(chǎng)某點(diǎn)處,若散度為正,則該點(diǎn)存在發(fā)出通量線的正源;若散度為負(fù),則該點(diǎn)存在發(fā)出通量線的負(fù)源;若散度為零,則該點(diǎn)無(wú)源?1.5.3散度定理由散度的定義可知,矢量的散度是矢量場(chǎng)中任意點(diǎn)處單位體積內(nèi)向外散發(fā)出來(lái)的通量,將它在某一個(gè)體積上作體積分就是該體積內(nèi)向外散發(fā)出來(lái)的通量總和,而這個(gè)通量顯然和從該限定體積V的閉合曲面S向外散發(fā)的凈通量是相同的,于是可得這就是散度定理,也稱(chēng)高斯定理?1.6

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度

1.6.1矢量場(chǎng)的環(huán)量矢量F沿閉合路徑l的曲線積分稱(chēng)為矢量場(chǎng)F沿閉合路徑l的環(huán)量(旋渦量)?環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量,它的大小和正負(fù)不僅與矢量場(chǎng)的分布有關(guān),而且與所取的積分環(huán)繞方向有關(guān)?矢量的環(huán)量與矢量穿過(guò)閉合曲面的通量一樣,都是描述矢量場(chǎng)性質(zhì)的重要物理量?根據(jù)前面的內(nèi)容,如果矢量穿過(guò)閉合曲面的通量不為零,則表示該閉合曲面內(nèi)有通量源?同樣,如果矢量沿閉合曲線的環(huán)量不為零,則表示閉合曲線內(nèi)有另一種源,即旋渦源?磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)強(qiáng)度在環(huán)繞電流的閉合曲線上的環(huán)量不為零,其電流就是產(chǎn)生該磁場(chǎng)的旋渦源?1.6.2矢量場(chǎng)的旋度從式(1.6.1)可以看出,環(huán)量是矢量F在大范圍閉合曲線上的線積分,反映了閉合曲線內(nèi)旋渦源的分布情況?而在矢量分析中,常常希望知道在每個(gè)點(diǎn)附近的旋渦源分布情況,因此可以將閉合曲線收縮,使它包圍的面積ΔS趨于0,取極限此極限的意義是環(huán)量的面密度(或稱(chēng)環(huán)量強(qiáng)度)?由于面積元是有方向的,它與閉合曲線的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點(diǎn)上,上述極限對(duì)不同的面積元是不同的,在某一確定的方向上,環(huán)量面密度取得最大值?為此,引入旋度的定義,即旋度的大小是矢量F在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度,其方向是當(dāng)面積元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí)該面積元的法線方向?矢量場(chǎng)的旋度可用哈密頓算子與矢量F的矢量積來(lái)表示,即在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)成行列式形式為類(lèi)似地,可推出圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度計(jì)算式:旋度運(yùn)算符合下列運(yùn)算規(guī)則:其中,u為標(biāo)量函數(shù)?式(1.6.7d)和式(1.6.7e)分別稱(chēng)為“梯無(wú)旋”和“旋無(wú)散”?1.6.3斯托克斯定理在矢量場(chǎng)Ｆ所在的空間中，對(duì)于任意一個(gè)以閉合曲線ｌ所包圍的曲面Ｓ，有關(guān)系式：式（1.6.8）稱(chēng)為斯托克斯定理。式（1.6.8）說(shuō)明：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的面積分等于矢量場(chǎng)在限定曲面的閉合曲線上的線積分，它是矢量旋度的面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，也是電磁場(chǎng)理論中重要的恒等式。1.7拉普拉斯算符及其運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)u的梯度

是一個(gè)矢量，如果再對(duì)它求散度，即

，則稱(chēng)為標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算，記為式中，

稱(chēng)為拉普拉斯算符。在直角坐標(biāo)系中類(lèi)似地，標(biāo)量場(chǎng)在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的拉普拉斯運(yùn)算分別為矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算定義為在直角坐標(biāo)系中1.8亥姆霍茲定理1.8.1散度、旋度的比較散度和旋度之間具有如下區(qū)別：（１）矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，而矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)。（２）