2023-2024學年河北省邢臺市部分重點高中高二上學期1月期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市部分重點高中2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由雙曲線可得，，所以漸近線方程為.故選：B.2.已知某數(shù)列為，按照這個規(guī)律，則該數(shù)列的第10項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，數(shù)列，可化為，所以數(shù)列一個通項公式為，所以該數(shù)列的第10項是.故選：D.3.等差數(shù)列的前項和為，公差，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，則.故選：D.4.已知拋物線：的焦點為，點在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，解得，則，，所以直線的斜率為．故選：D5.現(xiàn)有一根4米長的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時，共截掉了米，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】設第天截掉的木頭長度為，則是首項為2，公比為的等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的前項和.由，得，得.故選：B.6.已知為圓上一動點，為圓上一動點，則的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題意得圓的圓心為，得，圓與圓的半徑之差為，所以圓與圓的位置關系為內(nèi)含，所以PQ的最小值為.故選：C.7.在等比數(shù)列中，是方程的兩個實根，則（）A.-5 B.±5 C.5 D.25【答案】A【解析】由題意得，得，則.由，得.故選：A.8.已知是拋物線上的兩點，與關于軸對稱，，則的最小值為（）A.9 B. C. D.8【答案】B【解析】設，則，所以因為，所以當時，取得最小值，且最小值為.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得，故A、B正確；因為，所以公差.故C錯誤，D正確.故選：ABD10.已知直線與圓交于兩點，為優(yōu)弧上的一點（不包括），若，則的值可能為（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】由，得，取的中點，連接，如圖，則.由，得，則，所以圓心到直線的距離，得或，故C、D正確.故選：CD.11.已知數(shù)列的前項和為，則（）A.B.為等比數(shù)列C.D.【答案】ACD【解析】選項A，由題意得，A正確；選項B，將兩邊同時除以，得，即，則是首項為，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，錯誤；選項C，由，得，所以①，則②，①-②得，，，即，則，C正確；選項D，因為，所以，D正確.故選：ACD.12.已知橢圓C：，直線與C交于，兩點，若，則實數(shù)的取值可以為（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【解析】由，得．因為點Mx1,y1所以消去得，解得．因為直線斜率存在為，所以，所以，顯然，解得．故選：CD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的前項和為，且，則__________.【答案】4【解析】由題意得.故答案為：414.若點到拋物線的準線的距離為3，請寫出一個的標準方程：__________.【答案】（本題答案不唯一，任選一個即可）【解析】由題意得拋物線的準線可能為直線，所以的標準方程可能為.故答案為：（答案不唯一，中任選一個即可）.15.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】46【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知成等差數(shù)列，即1，8，成等差數(shù)列，且公差為，所以，得.故答案為：.16.已知正項等比數(shù)列的前項和為，則該數(shù)列的公比__________，的最大值為__________.【答案】；1024【解析】由題意得，則，得.因為，所以.易得，則，所以.當時，，當時，，所以.故答案為：；四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項和為，公比.（1）求；（2）若在與之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)組成一個等差數(shù)列，試問在這5個數(shù)中是否存在3個數(shù)可以構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，找出這3個數(shù)；若不存在，請說明理由.解：（1）由，得，所以.（2）設這5個數(shù)組成的等差數(shù)列為，則，，得該數(shù)列的公差，所以，，.因為，所以，，成等比數(shù)列，即這3個數(shù)為4，12，36.18.已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍.（1）求的方程；（2）若傾斜角為的直線與交于，兩點，線段的中點坐標為，求.解：（1）由題意可得，得，所以的方程為.（2）由題意得.設，，依題意可得，且，由得，則，解得.經(jīng)檢驗，點在橢圓內(nèi).所以為所求.19.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，當時，由，①得，②①-②得，即，經(jīng)檢驗，也符合，所以；（2）由題意得，所以.20.已知中心為坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線經(jīng)過兩點.（1）求的離心率；（2）若直線與交于兩點，且，求.解：（1）由題意，設，由雙曲線經(jīng)過兩點，得，得，即，則，所以的離心率為.（2）設，由，得，依題意可得，且，即.由韋達定理得，所以，整理得，解得或.21.已知點，，設，當時，線段的中點為，關于直線的對稱點為.例如，為線段的中點，則，.（1）設，證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項公式.解：（1）當時，線段的中點為，，則.由得，所以，即.因為，所以是以2為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，即，則，，…，，將以上各式相加得.因為，所以.當時，也符合上式，故.22.已知拋物線的焦點為F，且A，B，C三個不同的點均在上.（1）若直線AB的方程為，且點F為的重心，求p的值；（2）設，直線AB經(jīng)過點，直線BC的斜率為1，動點D在直線AC上，且，求點D的軌跡方程.解：（1）拋物線焦點，設，由消去x得，則，，由點F是的重心，得，則，而點C在上，于是，又，所以.（2）當時，的方程為，設，，，當AB,AC的斜率均存在時，直線的斜率，同理得直線的斜率，直線的斜率，直線AB的方程為，化簡得.而直線AB過點，即，顯然，則，又，即，于是，整理得，直線AC的方程為，化簡得，將代入，得，令，得，直線AC過定點，設線段ME的中點為G，則G的坐標為，因為D在直線AC上，且，因此D在以G為圓心，EM為直徑的圓上運動，因為，所以D的軌跡方程為（且）；當直線的斜率不存在時，，，，解得，不合題意；當直線AB的斜率不存在時，，則或，經(jīng)檢驗直線AC過定點；所以D軌跡方程為（且）河北省邢臺市部分重點高中2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由雙曲線可得，，所以漸近線方程為.故選：B.2.已知某數(shù)列為，按照這個規(guī)律，則該數(shù)列的第10項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，數(shù)列，可化為，所以數(shù)列一個通項公式為，所以該數(shù)列的第10項是.故選：D.3.等差數(shù)列的前項和為，公差，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，則.故選：D.4.已知拋物線：的焦點為，點在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，解得，則，，所以直線的斜率為．故選：D5.現(xiàn)有一根4米長的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時，共截掉了米，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】設第天截掉的木頭長度為，則是首項為2，公比為的等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的前項和.由，得，得.故選：B.6.已知為圓上一動點，為圓上一動點，則的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題意得圓的圓心為，得，圓與圓的半徑之差為，所以圓與圓的位置關系為內(nèi)含，所以PQ的最小值為.故選：C.7.在等比數(shù)列中，是方程的兩個實根，則（）A.-5 B.±5 C.5 D.25【答案】A【解析】由題意得，得，則.由，得.故選：A.8.已知是拋物線上的兩點，與關于軸對稱，，則的最小值為（）A.9 B. C. D.8【答案】B【解析】設，則，所以因為，所以當時，取得最小值，且最小值為.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得，故A、B正確；因為，所以公差.故C錯誤，D正確.故選：ABD10.已知直線與圓交于兩點，為優(yōu)弧上的一點（不包括），若，則的值可能為（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】由，得，取的中點，連接，如圖，則.由，得，則，所以圓心到直線的距離，得或，故C、D正確.故選：CD.11.已知數(shù)列的前項和為，則（）A.B.為等比數(shù)列C.D.【答案】ACD【解析】選項A，由題意得，A正確；選項B，將兩邊同時除以，得，即，則是首項為，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，錯誤；選項C，由，得，所以①，則②，①-②得，，，即，則，C正確；選項D，因為，所以，D正確.故選：ACD.12.已知橢圓C：，直線與C交于，兩點，若，則實數(shù)的取值可以為（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【解析】由，得．因為點Mx1,y1所以消去得，解得．因為直線斜率存在為，所以，所以，顯然，解得．故選：CD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的前項和為，且，則__________.【答案】4【解析】由題意得.故答案為：414.若點到拋物線的準線的距離為3，請寫出一個的標準方程：__________.【答案】（本題答案不唯一，任選一個即可）【解析】由題意得拋物線的準線可能為直線，所以的標準方程可能為.故答案為：（答案不唯一，中任選一個即可）.15.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】46【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知成等差數(shù)列，即1，8，成等差數(shù)列，且公差為，所以，得.故答案為：.16.已知正項等比數(shù)列的前項和為，則該數(shù)列的公比__________，的最大值為__________.【答案】；1024【解析】由題意得，則，得.因為，所以.易得，則，所以.當時，，當時，，所以.故答案為：；四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項和為，公比.（1）求；（2）若在與之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)組成一個等差數(shù)列，試問在這5個數(shù)中是否存在3個數(shù)可以構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，找出這3個數(shù)；若不存在，請說明理由.解：（1）由，得，所以.（2）設這5個數(shù)組成的等差數(shù)列為，則，，得該數(shù)列的公差，所以，，.因為，所以，，成等比數(shù)列，即這3個數(shù)為4，12，36.18.已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍.（1）求的方程；（2）若傾斜角為的直線與交于，兩點，線段的中點坐標為，求.解：（1）由題意可得，得，所以的方程為.（2）由題意得.設，，依題意可得，且，由得，則，解得.經(jīng)檢驗，點在橢圓內(nèi).所以為所求.19.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，當時，由，①得，②①-②得，即，經(jīng)檢驗，也符合，所以；（2）由題意得，所以.20.已知中心為坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線經(jīng)過兩點.（1）求的離心率；（2）若直線與交于兩點，且，求.解：（1）由題意，設，由雙曲線經(jīng)過兩點，得，得，即，則，所以的離心率為.（2）設，由，得，依題意可得，且，即.由韋達定理得，所以，整理得，解得或.21.已知點，，設，當時，線段的中點為，關于直線的對稱點為.例如，為線段的中點，則，.（1）設，證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項公式.解：（1）當時，線段的中點為，，則.由得，所以，即.因為，所以是以2為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，即，則，，…，，將以上各式相加得.因為，所以.當時，也符合上式，故.22.已知拋物線的焦點為F，且A，B，C三個不同的點均在上.（1）若直線AB的方程為，且點F為的重心，求p的值；（2）設，直線AB經(jīng)過點，直線BC的斜率為1，動點D在直線AC上，且，求點D的軌跡方程.解：（1）拋物線焦點，設，