2023-2024學年山東省濰坊市高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無效.3.考試結束，考生必須將試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】由.故選：C.2.設空間向量，，若，則實數(shù)k的值為（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】由題意，解得．故選：A．3.已知兩直線的斜率分別為，且是方程的兩根，則與的位置關系為（）A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直【答案】B【解析】由題意，因此兩直線垂直．平面上的兩直線垂直時當然相交．故選：B．4.如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，因為，，，點在上，且，所以.故選：A5.月光石是由兩種長石混合組成的具有月光效應的長石族礦物.它的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的上焦點F0,1，半橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點A，與半橢圓交于點B，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，半圓的方程為，在半橢圓中，則，故半橢圓方程為，將代入半橢圓，解得，將代入半圓，解得，故，然，故選：D6.有6名大學生到甲、乙、丙3個學校支教，要求一個學校3人，一個學校2人，另一學校1人，則不同的分法種數(shù)為（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】B【解析】選按人數(shù)3，2，1分成3組再分配到三個學校，不同分法種數(shù)為．故選：B．7.若圓與圓相交，則實數(shù)m取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，兩圓半徑分別為，，而兩圓相交，則，解得．故選：D．8.如圖，已知二面角的度數(shù)大小為，在與的交線上取線段，且分別在平面和平面內，它們都垂直于交線，且，，則的長為（）A.6 B.10 C. D.【答案】C【解析】由圖得：，又由題意知：，所以，所以，所以的長為，故選：C.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，點，則（）A.過點A與l平行的直線的方程為B.點A關于對稱的點的坐標為C.點A到直線l的距離為D.過點A與l垂直的直線的方程為【答案】ACD【解析】與直線平行的直線方程可設為，代入點坐標得，即，即平行線方程為，A正確；關于的對稱點坐標為，B錯；到直線的距離為，C正確；與直線垂直的直線方程可設為，代入點坐標得，，直線方程即為，D正確．故選：ACD．10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，對于A，由，得，A正確；對于B，由，得，B錯誤；對于C，由，得，因此，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC11.一個盒子里裝有除顏色外完全相同的四個小球，其中黑球有兩個，編號為1，2；紅球有兩個，編號為3，4，從中不放回的依次取出兩個球，A表示事件“取出的兩球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的兩球同色”，則（）A.A與D相互獨立. B.A與B相互獨立C.B與D相互獨立 D.A與C相互獨立【答案】BCD【解析】不放回依次取出兩個，基本事件有，共種，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，則，，，，，，，所以，所以A與D不相互獨立；，所以A與B相互獨立；，所以B與D相互獨立；，所以A與C相互獨立；故選：BCD12.已知橢圓：的左右焦點分別為，，且點是直線上任意一點，過點作的兩條切線，，切點分別為，則（）A.的周長為6 B.A，，三點共線C.A，兩點間的最短距離為2 D.【答案】ABD【解析】設橢圓長軸長，短軸長，焦距，則由橢圓方程可知，如圖：因為A在橢圓上，所以，，所以的周長為，故A正確；對B：設點的坐標為，Ax1,y1由圖可知，過點作橢圓的切線，切線斜率必存在.所以過A點的切線方程可設為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，因為：，，所以：,即.所以過點A的切線為：.又切線過點，所以.同理：.故A，兩點都在直線上，而點1,0也在這條直線上，所以A，，三點共線，故B正確；對C：若直線無斜率，則,若直線有斜率，結合B項結論可設其方程為：y=kx-1,聯(lián)立方程組：y=kx-1x24+整理得：3+4k則，，所以，所以：.綜上：.故C錯誤；對D：設過點的切線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，不妨設，則，易知，且均為銳角，故，所以，故D正確.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡的相應位置.13.展開式中的常數(shù)項為______．【答案】160【解析】二項式的展開式的通項公式，令，可得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：160.14.針對某種突發(fā)性的流感病毒，各國的醫(yī)療科研機構都在研制疫苗.已知甲、乙兩個機構各自研制成功的概率為，，而且兩個機構互不影響，則甲、乙兩個機構中，至少有一個研制成功的概率為______.【答案】【解析】由于兩個機構互不影響，故甲、乙兩個機構中，至少有一個研制成功的對立事件為甲、乙兩個機構一個也沒有研制成功，所以甲、乙兩個機構中，至少有一個研制成功的概率為：.故答案為：15.已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，且P是該拋物線上一點，點，則的最小值為______.【答案】8【解析】由題意拋物線的準線的方程是，過作于，則，所以當且僅當三點共線時，取得最小值，所以的最小值是8.故答案為：8.16.在直三棱柱中，，，平面經(jīng)過點A，且直線與平面所成的角為30°，過點作平面的垂線，垂足為H，則點到平面的距離為______，直線與BH所成角的范圍為______.【答案】2；【解析】如圖，連接，因為，，所以，所以在以為直徑的球面上，又直線與平面所成角為，而即為直線與平面所成的角，因此，因此在以為軸，頂角為的圓錐面上，過作于點，則，其中的長即為到平面的距離．所以在圓錐的底面圓上，為圓心，半徑為，以為軸，為軸，過與垂直的直線的為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，，取的一個方向向量為，，又，所以，所以直線與所成角的范圍是，即，故答案為：；．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.17.如圖，在棱長為1的正方體中，點E是的中點（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）在正方體中，四邊形是其對角面，則，平面，平面，于是平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，又平面，所以平面.（2）以D為原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，顯然平面的法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.如圖,已知拋物線的焦點為F,點M在其準線上，，直線MF的傾斜角為，且與C交于A，B兩點，O為坐標原點（1）求C的方程；（2）求的面積.解：（1）因為直線的傾斜角為，記準線與x軸交點為K，易知為等腰直角三角形，且，所以焦點到準線的距離為2，即，所以拋物線的方程為.（2）由（1）可得，F(xiàn)1,0，因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即的方程為，聯(lián)立可得，所以所以，又點到直線AB的距離，所以的面積.19.現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件，第1臺車床加工的零件次品率為6%，第2臺車床加工的零件次品率為5%，加工出來的零件混放在一起已知第1臺車床加工的零件數(shù)與第2臺車床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個.（1）求這個零件是次品概率；（2）已知這個零件是次品，求它是第一臺車床加工的概率.解：（1）記事件：第一臺車床加工的零件，記事件：第二臺車床加工的零件，記事件：這個零件是次品，由題意可得，，，，由全概率公式可得：.（2）由（1）知，已知這個零件是次品，它是第一臺車床加工的概率為.20.已知雙曲線，點，都在雙曲線上，且的右焦點為.（1）求的離心率及其漸近線方程；（2）設點是雙曲線C右支上的任意一點，記直線和的斜率分別為，證明：.解：（1）由題意，把，代入雙曲線得：，解得，，，所以雙曲線的方程為，故離心率，漸近線方程為；（2）由題意得，一定存在且，，，，，則，又點的坐標滿足，則，故，所以.21.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，,M是棱PC上的點，且,.（1）求證：平面PAD；（2）設二面角的大小為，若，求的值.解：（1）因為，，所以，，在中，，，由余弦定理得，，所以，即，，取的中點，連結，因為是等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面PAD，所以平面，又因為平面，所以.又因為，，平面，所以平面.（2）取的中點N，連結，則，所以，以為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，又，設平面MBD的一個法向量為n=x,y,z則即，當時，平面平面，不合題意；當時，令，得平面的法向量為，易知平面的一個法向量為，由于平面與平面所成角的余弦值為，故有，解得或.22.如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為，線段GH的垂直平分線交線段TG于點R，記動點R的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點,與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；（3）過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點,使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.解：（1）因為，所以，所以，半徑，因為線段的中垂線交線段于點，所以，所以，所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，所以，，，故曲線E的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，其方程為，與y軸不相交，不合題意，舍去，當直線的斜率存在時，設所在直線方程為，設，，由消去y整理得，恒成立，所以，又因為直線與y軸的交點為C，所以，所以，，，，又因為，所以，同理，所以，且，所以，整理后得，所以為定值，原題得證.（3）設，顯然的斜率存在，，，設的方程是，由消去y得，則，即，由韋達定理得，根據(jù)已知，可得，即，又，，代入上式整理得，則或，當時，直線的方程為，所以直線經(jīng)過定點，當時，直線的方程為，所以直線經(jīng)過定點2,1與M重合，舍去，故直線經(jīng)過定點，又因為，所以D在以線段MK為直徑的圓上.所以F為線段MK的中點，即，所以為定值.山東省濰坊市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無效.3.考試結束，考生必須將試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】由.故選：C.2.設空間向量，，若，則實數(shù)k的值為（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】由題意，解得．故選：A．3.已知兩直線的斜率分別為，且是方程的兩根，則與的位置關系為（）A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直【答案】B【解析】由題意，因此兩直線垂直．平面上的兩直線垂直時當然相交．故選：B．4.如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，因為，，，點在上，且，所以.故選：A5.月光石是由兩種長石混合組成的具有月光效應的長石族礦物.它的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的上焦點F0,1，半橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點A，與半橢圓交于點B，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，半圓的方程為，在半橢圓中，則，故半橢圓方程為，將代入半橢圓，解得，將代入半圓，解得，故，然，故選：D6.有6名大學生到甲、乙、丙3個學校支教，要求一個學校3人，一個學校2人，另一學校1人，則不同的分法種數(shù)為（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】B【解析】選按人數(shù)3，2，1分成3組再分配到三個學校，不同分法種數(shù)為．故選：B．7.若圓與圓相交，則實數(shù)m取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，兩圓半徑分別為，，而兩圓相交，則，解得．故選：D．8.如圖，已知二面角的度數(shù)大小為，在與的交線上取線段，且分別在平面和平面內，它們都垂直于交線，且，，則的長為（）A.6 B.10 C. D.【答案】C【解析】由圖得：，又由題意知：，所以，所以，所以的長為，故選：C.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，點，則（）A.過點A與l平行的直線的方程為B.點A關于對稱的點的坐標為C.點A到直線l的距離為D.過點A與l垂直的直線的方程為【答案】ACD【解析】與直線平行的直線方程可設為，代入點坐標得，即，即平行線方程為，A正確；關于的對稱點坐標為，B錯；到直線的距離為，C正確；與直線垂直的直線方程可設為，代入點坐標得，，直線方程即為，D正確．故選：ACD．10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，對于A，由，得，A正確；對于B，由，得，B錯誤；對于C，由，得，因此，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC11.一個盒子里裝有除顏色外完全相同的四個小球，其中黑球有兩個，編號為1，2；紅球有兩個，編號為3，4，從中不放回的依次取出兩個球，A表示事件“取出的兩球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的兩球同色”，則（）A.A與D相互獨立. B.A與B相互獨立C.B與D相互獨立 D.A與C相互獨立【答案】BCD【解析】不放回依次取出兩個，基本事件有，共種，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，則，，，，，，，所以，所以A與D不相互獨立；，所以A與B相互獨立；，所以B與D相互獨立；，所以A與C相互獨立；故選：BCD12.已知橢圓：的左右焦點分別為，，且點是直線上任意一點，過點作的兩條切線，，切點分別為，則（）A.的周長為6 B.A，，三點共線C.A，兩點間的最短距離為2 D.【答案】ABD【解析】設橢圓長軸長，短軸長，焦距，則由橢圓方程可知，如圖：因為A在橢圓上，所以，，所以的周長為，故A正確；對B：設點的坐標為，Ax1,y1由圖可知，過點作橢圓的切線，切線斜率必存在.所以過A點的切線方程可設為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，因為：，，所以：,即.所以過點A的切線為：.又切線過點，所以.同理：.故A，兩點都在直線上，而點1,0也在這條直線上，所以A，，三點共線，故B正確；對C：若直線無斜率，則,若直線有斜率，結合B項結論可設其方程為：y=kx-1,聯(lián)立方程組：y=kx-1x24+整理得：3+4k則，，所以，所以：.綜上：.故C錯誤；對D：設過點的切線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：，由得：，整理得：，不妨設，則，易知，且均為銳角，故，所以，故D正確.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡的相應位置.13.展開式中的常數(shù)項為______．【答案】160【解析】二項式的展開式的通項公式，令，可得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：160.14.針對某種突發(fā)性的流感病毒，各國的醫(yī)療科研機構都在研制疫苗.已知甲、乙兩個機構各自研制成功的概率為，，而且兩個機構互不影響，則甲、乙兩個機構中，至少有一個研制成功的概率為______.【答案】【解析】由于兩個機構互不影響，故甲、乙兩個機構中，至少有一個研制成功的對立事件為甲、乙兩個機構一個也沒有研制成功，所以甲、乙兩個機構中，至少有一個研制成功的概率為：.故答案為：15.已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，且P是該拋物線上一點，點，則的最小值為______.【答案】8【解析】由題意拋物線的準線的方程是，過作于，則，所以當且僅當三點共線時，取得最小值，所以的最小值是8.故答案為：8.16.在直三棱柱中，，，平面經(jīng)過點A，且直線與平面所成的角為30°，過點作平面的垂線，垂足為H，則點到平面的距離為______，直線與BH所成角的范圍為______.【答案】2；【解析】如圖，連接，因為，，所以，所以在以為直徑的球面上，又直線與平面所成角為，而即為直線與平面所成的角，因此，因此在以為軸，頂角為的圓錐面上，過作于點，則，其中的長即為到平面的距離．所以在圓錐的底面圓上，為圓心，半徑為，以為軸，為軸，過與垂直的直線的為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，，取的一個方向向量為，，又，所以，所以直線與所成角的范圍是，即，故答案為：；．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.17.如圖，在棱長為1的正方體中，點E是的中點（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）在正方體中，四邊形是其對角面，則，平面，平面，于是平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，又平面，所以平面.（2）以D為原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，顯然平面的法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.如圖,已知拋物線的焦點為F,點M在其準線上，，直線MF的傾斜角為，且與C交于A，B兩點，O為坐標原點（1）求C的方程；（2）求的面積.解：（1）因為直線的傾斜角為，記準線與x軸交點為K，易知為等腰直角三角形，且，所以焦點到準線的距離為2，即，所以拋物線的方程為.（2）由（1）可得，F(xiàn)1,0，因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即的方程為，聯(lián)立可得，所以所以，又點到直線AB的距離，所以的面積.19.現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件，第1臺車床加工的零件次品率為6%，第2臺車床加工的零件次品率為5%，加工出來的零件混放在一起已知第1臺車床加工的零件數(shù)與第2臺車床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個.（1）求這個零件是次品概率；（2）已知這個零件是次品，求它是第一臺車床加工的概率.解：（1）記事件：第一臺車床加工的零件，記事件：第二臺車床加工的零件，記事件：這個零件是次品，由題意可得，，，，由全概率公式可得：.（2）由（1）知，已知這個零件是次品，它是第一臺車床加工的概率為.20.已知雙曲線，點，都在雙曲線上，且的右焦點為.（1）求的離心率及其漸近線方程；（2）設點是雙曲線C右支上的任意一點，記直線和的斜率分別為，證明：.解：（1）由題意，把，代入雙曲線得：，解得，，，所以雙曲線的方