同濟(jì)高數(shù)上第五章定積分全答案

第五章定積分

第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

1.(中)利用定積分定義計算由拋物線y=f+i,兩直線X二a、X=b(b>a)及X軸所

圍成的圖形的面積.

解析：

由于函數(shù)/("=f+l在區(qū)間⑶w上連續(xù)，因此可積，為計算方便，不妨

i(h-a],、

把[a⑼分成n等份，則分點(diǎn)為守=〃+'〃，(i=04,2,./),每個小區(qū)間長度為

h—a

M=--------，取媒為小區(qū)間的右端點(diǎn)七，則

n

i二l

=\a+------+1----

/=i|_knJJ/?

=之刃/+])+2/空i+空

ni=l〃f=ln一

=(一幻.+1)+貼”)20+s-)3(〃羋"I)

')n6n'

當(dāng)〃―8時，上式極限為

b3-a3

(/?一〃)(/+1)+〃3-〃)2+—(/?-￡Z)3=+h-a,

3

即為所求圖形的面積.

2.(中下)利用定積分定義計算下列積分：

解析：

由于被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù),因此把積分區(qū)間分成n等份,并取。為小

區(qū)間的右端點(diǎn)，得到

,\「人」.?i(b—a)b—ci

(1)x<h=hmVa+----------------

Jais片Ln]n

..,,(h-a)2+

=hma(b-a)+-------------------

n~2

(b-a)2b2-a2

(\Y+,

.e;-1

(2)[eAdr=limV-Uw=lim---r-

Jon〃T81

“I'ne"-n11

\/

limeM-1

〃T8

=-----x=e-l.

limnew-1

〃一

3.(中下)利用定積分的幾何意義證明下列等式：

(1)f'2xdx=1;(2)[Vl-x2ck=—;

JoJo4

A￡￡

22

(3)jsinxdt=0;(4)JTcosi-dx=2jcosjxlr.

~2

解析：

⑴根據(jù)定積分的幾何意義定積分]:做?工表示由直線y=2x、x=l及x軸圍

成的圖形的面積，該圖形是三角形底邊長為L高為2,因此面積為1,即J；2xdv=l.

⑵根據(jù)定積分的幾何意義,定積分「仄與心:表示的是由曲線y=jn"以及x軸y軸圍

成的在第1象限內(nèi)的圖形面積，即單位圓的四分之一的圖形,因此有￡、仁/比=(.

⑶由于函數(shù)y=sinx在區(qū)間[Oji]上非負(fù)，在區(qū)間[-TTQ]上非正，根據(jù)定積分的幾何意義，定積

分Jsinxdx表示曲線y=sinX(XE[0,TT])與x軸所圍成的圖形R的面積減去曲線y=sin

x(xE[-i[Q])與x軸所圍成的圖形2的面積，顯然圖形R與2的面積是相等的,因此有

a

Isinxdx=0.

TC71

(4)由于函數(shù)y=cosx在區(qū)間-耳，5上非負(fù).根據(jù)定積分的幾何意義，定積分是

j\cosxdx表示曲線y=cosx(x￡0,^)與*軸和y軸所圍成的圖形。的面積加上曲線y

~2

=cosx(xE-y,0)與x軸和y軸所圍成的圖形2的面積，而圖形。的面積和圖形2的

cosxdx=2\2cosxdr.

Jo

4.(中上)利用定積分的幾何意義求下列積分：

(1)￡xdx(r>0);⑵卜;

⑶j>|dx;⑷1'9r2dx.

解析：

(1)根據(jù)定積分的幾何意義，［1也表示的是由直線尸X,X=t以及X軸所圍成的直角三

22

角形面積該直角三角形的兩條直角邊的長均為t,因此面積為一，故有「大山:二1?

2」。2

⑵根據(jù)定積分的幾何意義，+表示的是由直線y=|+3,x=-2,x=4以及x軸所

-24

圍成的梯形的面積，該梯形的兩底長分別為耳+3=2和萬+3=5,梯形的高為4-(-2)=6,

因此面積為21.故有匚(3+3卜=21.

⑶根據(jù)定積分的幾何意義/陽山:表示的是由折線y二岡和直線x=?l,x=2以及x軸所

圍成的圖形的面積.該圖形由兩個等腰直角三角形組成，一個由直線y=-x,x=-1和x軸所圍

成,其直角邊長為L面積為一;另一個由直線y=x,x=2和x軸所圍成,其直角邊長為2,面積為

2.因此=

2

⑷根據(jù)定積分的幾何意義「J9T2dx表示的是由上半圓周=y/9-X以及X軸所圍成

J-3

的半圓的面積，因此有J：內(nèi)二/h=g乃.

5.（中下）設(shè)a<b,問a、b取什么值時，積分「卜一/班取得最大值？

解析：

根據(jù)定積分幾何意義,J：（x-x2）dx表示的是由y=x-/,x=a,x=b,以及x軸所圍成的圖

形在x軸上方部分的面積減去x軸下方部分面積.因此如果下方部分面積為0,上方部分面積

為最大時卜一/肘的值最大即當(dāng)a=o,t（=1時，積分J：（x-d2取得最大值.

6.已知In2=1廠Lx,試用拋物線法公式（1-6）求出In2的近似值（取口=10,計算時取4位小

數(shù)）.

解析：

計算上并列表

i012345678910

匕0.000()0.100()0.20000.30000.4(X)00.50000.60000.70000.8(X)00.90001.0000

y.1.00000.90910.83330.76920.71430.66670.62500.58820.55560.52630.5000

按拋物線法公式(1-6),求得

$=9[(%+%)+2(%+)+，6+%)+4(%+%+%+%+%)]

?0.6931.

7.(中下)設(shè)J：3/(x)dx=18,[j(x)dx=4j：g(x)dr=3^

(1)f'/Wdx;(2)^f(x)dx;

(3)￡'g(x)dx;(4)J：#4/(x)+3g(x)]改

解析：

l

(1)￡/(x)dx=1j|3/(x)dx=6.

⑵J：f(x)dx=￡/(x)dx-￡/(x)dx=-2.

(3)j：ga)dx=_J：g(x)dr=_3.

(4)￡|[4/(X)+3g(x)]dx=《￡/(x)dx+1J：g(x)dx=5.

9.（中）證明定積分性質(zhì):

(1)=(&為常數(shù))；⑵fldx=Cdx=b-a.

JaJaJ”Ja

解析：

根據(jù)定積分的定義，在區(qū)間［a,b］中插入n-1個點(diǎn)a=%<%</<…〈七=b,記

以=七一%，任取4€［Vi，xi］，則

(1)J：Z/(x)dx=J吧之女/(。)用=修吧￡/(。).=%J：/(x)cU.

i=\i=\

b?

(2)CJldx=lim^Ax,.=\m(b-d)=b-a.

10.(中上)估計下列各積分的值：

5

⑴「(x2I1版；(2)Jf(H-sin2%)cU;

4

p02_

(3)!xarctanxdx;(4)er~xdx.

」方力

解析：

(1)在區(qū)間［1,4］上，2<x2+1417,因此有

6='2±^,(/+］AJ：17dx=51.

⑵在區(qū)間,萬,2乃±,l=l+0^1+sin2x1+1=2,因此有

_44_

=jy(i^i1/T(l+sin2x)dA-『2dx=2i.

⑶在區(qū)間6上，函數(shù)/(x)=M"7mx是單調(diào)增加的，因此/［專)期(幻/(V3),

⑷設(shè)/(X)=Ae［0,2］,則/,(x)=2x-l,/(x)在［0,2］上的最大值、

最小值必為〃0)1(fJ(2)中的最大值和最小值，即最大值和最小值分別為"2)=2

和=_；，因此有

2e,=『4"可;j；e2dx=2e2,

而J：e2~xdx=-jjev2-xdx,故—2e?麴J：ex2-tdx-.

11.(中)2設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)證明［：/(幻口.(￡/“)口/

解析：

記。=￡/2(x)dx，則由定積分性質(zhì)5得

⑶一a］dxN0,

即

￡［/2U)-a—=￡f2Mdx-2aJ：f(x)dx+a2

22

=Jo7Wdx-［{/(x)dx］>O,

由此結(jié)論成立.

12.(中)設(shè)f(x)及g(x)在［〃向上連續(xù)，證明

(1)若在［4勿上,f(x)20,且f(x),0,則>0;

⑵若在［〃,用上1僅)20,且//(不世=0,則在［々,力上力僅)三0;

⑶若在［〃,句上,f(x)Wg(x),且，f{x}dx=￡g(x)代則在勿上，f(x)三g(x).

解析：

⑴根據(jù)條件必定存在不?4司,使得/(小)>0.由函數(shù)/(外在不連續(xù)可知，存在awav

PWb,使得當(dāng)XE[a,例時/(x)>與」因此有

￡f(x)dx=J：f(x)dx+rf(x)dx+J；/(x)dr,

由定積分性質(zhì)得到：

［"(x)cUK),「f(x)dx/，(；。)&=^1^0(工。)>。,J；/(x)dA?O,

故得到結(jié)論f/(xg>0.

⑵用反證法.如果f(x),O,則由⑴得到，“碎勿>0,與假設(shè)條件矛盾，因此結(jié)論成立.

(3)因?yàn)閔［x)=g(x)-.0,且

J：h(x)dx=J：g(x)dx-J：f(x)dx=0,

由⑵可得在［a,切上

力*)三0,

從而結(jié)論成立.

13.(中下)根據(jù)定積分的性質(zhì)及第12題的結(jié)論，說明下列各對積分哪一個的值較大:

(1)(Ydr還是113dx?

(2)J：x2dx還是［/心？

(3)］*：111杜還是］：。11%)2?

(4)心還是jjn(l+x)dr?

⑸心也還是￡(1+)比？

解析：

(1)在區(qū)間01］上/Nd因此，/心比J*3dx大

⑵在區(qū)間［1,2］上/<X3,因此￡?ch-比￡x2dx大.

⑶在區(qū)間［1,2］上由于0W祇WL得仇￥N(伉￥)2,因此，pln^dr比j；(Inx)2大.

⑷由教材第三章第一節(jié)例1可知，當(dāng)x>0時,ln(l+x)<x,因此(xdx比J；ln(l+x)dx

大.

⑸由于當(dāng)x>0時ln（l+x）<x,故此時有l(wèi)+xve\因此比￡（l+/）dr大.

第二節(jié)微積分基本公式

rxJT

L（易）試求函數(shù)>=[sinfdf當(dāng)x=0及x=二時的導(dǎo)數(shù).

JO4

解析：

蟲=sinx,因此蟲=0,—=—2.

drdrx=0dx.三2

4

2.（易）求由參數(shù)表達(dá)式x=fsin〃d〃,y=[coswd〃所確定的函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù)2.

JOJOdx

解析：

dydy,drcost

—=—/——=----=cotr

dxdrdrsint

3（易）求由1>+￡。皿=°所決定的隱函數(shù)對X的導(dǎo)數(shù)詈

解析;

方程兩端分別對X求導(dǎo)彳導(dǎo)ey電■+cosX=0,故攵=-e--vcosx.

axax

4.（易）當(dāng)X為何值時，函數(shù)/。）=￡化1山有極值?

解析:

容易知道/（X）可導(dǎo)，而/'（x）=為夕/=0只有惟一解><=0.當(dāng)x<0時

/1（x）<0,3x>0時/'（X）>0,故x=0為函數(shù)/（x）的惟一的極值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）.

5.（中下）計算下列各導(dǎo)數(shù):

⑴就帥一⑵覬卷;

⑶—ftoscos(^r2)dr.

dj^Jsinx\'

解析:

2

(1)—\/l+ldl=2LJ1十人".

dxJo

=-sinxcos(7：cos2x)-cosxcos(4sin2x).

COS

⑶■￡IZ(/)d，=卻1rCOS(/)df-J:8S(/)d/

=(sinx-cosx)cos(^sin2x).

6.（中下）證明在［-L+8）上是單調(diào)增加函數(shù)，并求（/_iy（o）.

解析：

顯然/（力在［口+8）上可導(dǎo)，且當(dāng)X>-1時，f"（x）=Jl+1>0,因此

/（力在［-L+8）是單調(diào)增加函數(shù).

注意到了⑴=0,故（尸）（0）=2=與

JV/乙

7.設(shè)/（"具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),y=/（x）的圖形如圖5-1所示.問下列積分中的哪一個積分值

為負(fù)?

圖5-1

(A)￡/(x)(h-(B)￡/wck

(C)J/'(x)dx(D)￡/'(x)dx

解析：

根據(jù)y=〃x）的圖形可知，在區(qū)間［-1,3］上/（x）>0,且/（-1）=/（3）=0,

/(-1)>0,/(-1)<0,八3)<0/(3)>0.因此

f/U)dx>0,￡/(x)dLr=〃3)-/(-1)=0,

[=/(3)-/(-I)<0,￡/'(x)dx=/"(3)-/(-D>0.故選(C).

8.（中）計算下列積分：

二(3/7+1"⑵『,1

⑴門7

⑶J：&l+G)dx;(4)

耳

dr

⑸(2-;⑹廣舟

271-X

3X4+3X2+1

⑺1號dx;

x"+1

2

⑼——;(10)ptan<9d<9;

J-i1+%Jo

(11)

『Isinxg;

J+1,X,1,

(⑵f

f(x)dx,其中f(x)=?12

x>1.

解析：

⑴「(3/7+1粒x3--x2+x

2

⑶J：五(1+4)&丫=J：(4+X班=+~~

(4)

dr

⑸=[arcsinxpj=—.

4Vl-x2f3

-|\/3a

產(chǎn)dx1x冗

(6)arctan—

a2+x2

a03a

ridr.x71

⑺

arcsin—o=6

J。7^72

rQ3X4+3X2+1

(8)Lx2+1dr

|0,幾

JC+arctanx=1+—

4

(9)仁鼻=口川+刈已

(10)J；tan2(9d<9=JJ(sec20-\^0=[tan夕一夕雙=1一?

(IDJ。|sinx|dx=Jsinxdx+j(-sinx)dx

=[-cosX]Q+[cos=4.

2

(12)J：/(x)心=￡(x+l)dx+J；冗&

Xx8

一+x十

2T3

9.（中）設(shè)ZwN+，試證下列各題：

(1)cosbrdx=0;⑵sinAirdr=0;

J-開J-尤

121

(3)cos~kxdx=7t;(4)|sin2%Edx=7r.

J-/TJ-4

解析：

⑴JcosAxdx=—sinAx=0.

J-開k

sin^rdx=--coskx=0.

⑵J「一若

2

(3)fcosZirck=-f(1+cos2Ax)ck=—fd.x=/r,其中由(1)得到fcosAxdx=0.

Jrr2Jr2)一開J

（4）『siY左心r=（l-cos2履）dx=g『dx=7r,其中由（1）得至ijJ

cosAxdx=0.

10.（中）設(shè)k,/￡N+，且&工/,證明：

(1)cosAxsinArt￡v=0;⑵[cosAxcoshrdr=0;

J-開Jr

1■

(3)sin履sin/xdr=0.

J-不

解析：

11

⑴「cosAxsin￡r<Zr=—[sin(氏+/)x-sin(左一/)x]dx

J-萬2J-一廳月

=sin(A+/)xdx-；J*sin(女_/)Adx

0.

其中由上一題「sin(A+/)xdx=0,Vsin(k-l)xdx=0.

J-nJ-JT

11

⑵JcosAxcos氏dx=一[8s(Z+l)x+cos(k-/)x]dx

J-K2，T二

=-cos(Z+/)xdx+」J”cos(^-l)xdx

242*

=0.

其中由上一題「cos伏+/)xdx=0,「cos伏一/)xdx=0.

J-工

r廳1t"

(3)sin履sin/xdx=—[cos(R+/)x-cos(2-/)x]dx

JF2J-a

=-gj：cos(%+/)xdx+gjncos(k-/)Adx

=0.

其中由上一題Jcos(Z+/)xdx=0,一cos(k-l)xdx=0.

JF

11.(中下)求下列極限：

2

fcos/2d/

(1)lim如-------;(2)lim好z)

XTOxx->01X%

解析:

fcosr2dr

..COSX2.

(1)limJo=lim--------=1.

XTOXx->0]

12.(中上)設(shè)?

xefOJ),

XG[1,2J.

求①(x)=J：/")山在［0,2］上的表達(dá)式，并討論中中(x)在(0,2)內(nèi)的連續(xù)性.

解析：

32[

22v

當(dāng)XE[0,1)時，<P(x)=￡rdrJ；SXG[1,2]0t①(幻=￡/d/+j/d/=y-11gp

.V

XG[0,1),

~3

①⑺=?

X1-7

-^■一:，xe[l,2J

26

x31fX2111

由于lim①(x)=lim—=-,limO(x)=lim-----=一.且①⑴=一,故函數(shù)①")在x=

Il—33e7(26)33

1處連續(xù)而在其他點(diǎn)處顯然連續(xù)，因此函數(shù)①“)在區(qū)間。2)內(nèi)連續(xù).

13.(中)設(shè)

?、—sinx,0物k7t

f(x)=<2

0,x<0orx>7T

求(D(x)=￡r/(r)dr在(YO,-KO)內(nèi)的表達(dá)式.

解析：

當(dāng)Xv()時，①(幻=r=0.

JO

當(dāng)0<x<乃時，①(x)=，/(z)dr=￡—sinrd/=--.

當(dāng)X>)時，①(x)=ry(/)d/=r

JOJO

rn1

=(—sinzdr=1.

Jo2

即

0,x<0

①(x)=

1,X>71

14.iS/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f\x)<0,

1f.X

F(x)=——J/(r)dr

x-aJa

證明在(a,b)內(nèi)有U(x)W0.

解析：

F\x)=(x-a)f(x)-

、人~~C€JL.—

=/i.?-a)/。)-(x-e￡(〃,?u［。向)

(x-a)

=f'(7)(［e記，x)<=S，力)

x-a

由條件可知結(jié)論成立.

cvcirit

15.(易)設(shè)F(x)=Jo丁1九求尸(°),

解析：

F，(O)=hm-二limZi

x->0xx->0x

sinx

x->01

16.(中上)設(shè)，(力在0+8)內(nèi)連續(xù)，且lim,f(x)=l證明函數(shù)

y=e]b'/(f)df

滿足微分方程?+>=/(幻,并求limy(x).

drx->+oo

解析：

?=Y-'1"(f)ck+e-x,e"(x)

axJo

=-y+f(x)

因此y(x)滿足微分方程祟+y=/(X).

由條件lim/(x)=1,從而存在X。>0,當(dāng)x>X。時，有

X->-W0

因此，

￡ey(/)d/=f°e7(z)d/+J；eV(/)dr

.J：—)dr+舄一

Xox

=￡e7(f)dz+|e0(x-X0),

故，當(dāng)x->8時，￡veV(/)dr^+oo,從而利用洛必達(dá)法則，有

,、「y(x)

lrimy(x)=hm---------=lim—e——=11.

x->+xe'X->-MOe、

第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法

1.(中)計算下列定積分：

(1)Lsmx+—dx;(2)--------r;

號I3jJ-?(11+5X)3

(3)gsinQcos?網(wǎng)。;(4)￡(l-sin3^)d^:

(5),cos'd”;(6)『,2-c2dx;

6

⑺囂3-2vdy；⑻4丹戛；；

(9)1ax2yja2-x2dx(a>0);(10)「'-；

x2y/\+x2

r*xdx,、r4dx

/；(12)

(IDLJ5-4x斯i+4'

r>ck,、

(13);(14)

/4皿

rl—pe2(Lt

(15)fre2dr;(16)f/

JoJixVl+Inx

fp(x+2)dx；(18)J；xdx

(17)J-2%2+2x4-2

(x2-2X+2)2

(19)J：/sinxdx;(20)R4cos，例6;

~2

(arcsinx)2,,、代^sin2x.

12tdx;22f——；—dr;

(21)J4Vzi=？J"+2/+i

(23)j^cosxcos2xdx;(24)Vcosx-cos^dx;

~2~2

(25)V1+cos2xdx;(26)|j^|sin(x+l)|dx.

解析：

Hdxrid(ll+5x)_1_51

L(11+5x)3-L5(u+5x)3-[-10(11+5x)2L-市

2_1

(3)f2sin^cos3^d^=-f2cosVd(cosft>)=——cos,。

JoJo4,~4

(4)JJ(l-sin36)de=乃+「(1一cos?eg(cose)

u=cm0.f-'(oX.4

、、萬+[^s-u-]du=7T--.

(5)cos2Md?=—j,(1+cos2u)du

627

715/3

w+-sin2w

22n~6~~S

6

(6)『JZ-xd、'Sm.'E2cos2udu=2-=y.

(7)Js；_^-2y2dy.v=2sin，/4x/2cos2wdw

￡

=20J，l+cos2u)du.

=2收[〃+gsi

n2u=6(1+2).

￡

￡

⑻J：-du=J-(esc2u-ijdz/

J&x~J4Sinu

兀

=[-cotw-w];=1-

44,

fa、=---Tx=Qsin"￡4X

(9)￡x2\Ja~-x~dx=￡2?4sin~ucos2udu=""(sin2w)2'd(2〃)

4斤

Z=W—f^siirrdr=—Psiirzdz

8J。4Jo

a4717C

=-----=—a

4416

-mr后丹=/內(nèi)『

-2

(11)令〃="5—4x,即x----得

4

2「〃35T1

pxdx_riU-5A

L君—4元上-----dw=-----u=—.

8[248J36

(12)令11=?,即x=〃2得

廣dx_^2udu=[2w-21n(l+w)]?=2+21n1.

L1+4Il+〃

(13)令〃=Jl-x,即x=l-〃2,得

r>dxro-2udu?,八、、o,…人

13-]—=L-----=-2[u+ln(l—M)]?=1_21n2.

J4vl-x-1u-\§

o

=gh^x2+2x+2)+arclan(x+l)

-2

71

2

(18)令％=1+tan”,貝ijdx=sec?“du,因此

2xdx_Jxdx_(?j(14-tanu)du

°(X2-2X+2)2J°[(X-1)2-1]24sec%

K衣

=22cos2?dw=JJ(1+cos2w)dw

7t1

=F—.

42

(19)由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，因此J：x4sinxch=0.

(20)由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，因此

343

L48s4例，=2儼8s4比。=8彳?二一兀.

442

(21)由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，因此有

r|(arcsinx)2.

Ji—r==2「空型/

Jo

2Vl-X

=2jJ(arcsinx)2d(arcsinx)

=-F(arcsinx)3下=且-

3L」。324

(22)由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，因此

x3sin2X

fcU=O.

42

LX+2X+1

2

(23)j^cosxcos2xd￥=j^cosx(l-2sinx)dx

2

=J,(l-2sin2xjd(sinx)

~2

2

=sinA--sin3x

33

或者

￡|￡

J弓cosxcos2xdx=一「(cos3x+cosx)dr

K

12

--sin3x+sinx

233

~2

(24)[\yjcosx-cos3xdx=2pyjcosxsinxdx

J—*0

2

(25)J：Vl+cos2xdx=J；>/2sinxdx=V2［-cos蹴=2五

iljt2^+l

|sin(x+l)|dfr=］|sin〃|d〃，

由于|sinx|是以乃為周期的周期函數(shù)，因此

上式=2j；|sin〃|d〃=4.

pidrr-dz

2.(中下)證明：［「r=f-U>0).

Jx\+tl+r

解析：

rid/f1|4d._r；dt

產(chǎn)，J;1+M2-J'1+M2-J'T+7'

3.(中下)證明：［丁(1一x)"dx=1x"(l-幻"'dx(m,〃wN)

解析：

令X=1-〃，貝IJ

￡x/M(l-x)Mcb:=1一(1一〃)"3加=j\M(l-xr(Lv.

4.(中)設(shè)/*)在［0,1］上連續(xù)，〃￡Z,證明：

4+1M+I至

JJ"為sinx|)dx=”/(|cosx|)dr=￡2/(sinx)dx

解析：

令1=〃+"4，則dx=d〃，因此

2

■+1fsin^w+^^dw

Jj'f(|sinx|)dx=J；

12/(sinu)du,〃為偶數(shù),

=?

￡

f.27(cosw)dw,〃為奇數(shù).

￡2/(cosw)dw,〃為偶數(shù)，

=

|*27(sin〃)d〃，〃為奇數(shù).

Jo

由于《1?/。缶工)%=1/(cosxXlx,因此結(jié)論成立.

6.若/(/)是連續(xù)的奇函數(shù)，證明「/⑴山是偶函數(shù);若/(力是連續(xù)的偶函數(shù)，證明

￡/")山是奇函數(shù).

解析：

記F(x)=J°"⑺出,則有

F(r)=rfWt=-￡'/(-w)dw,

當(dāng)/(x)為奇函數(shù)時，F(xiàn)(-x)=￡7(/)d/=F(x)，故［：/⑺山是偶函數(shù).

當(dāng)/(x)為偶函數(shù)時，F(xiàn)(-x)=一j；/(/)dz=-F(x)，故￡7(r)dr是奇函數(shù).

7.(中上)計算下列定積分:

x

⑴￡xe~dx;(2)jxlnxck;

2-￡

1'8/sinGRk(o為常數(shù))；(4)b.dx;

⑶2

Josin"x

⑸;(6)arctanxdx;

￡2e2vcosxdx;

⑺(8)Jixlog2xdx;

⑼(xsinx)2dr;(10)J；sin(lnx)dx;

.m

(11)Jjlnxldx;(12)J。。一「尸dx(mwN+);

e

w

(13)J?,=JJxsinxdx[meN+).

解析:

⑴J。比一也=-1M6-')=-"1+卜,dr

=-e-1+F-e-Xt=1-i

jxinxdx9px.e*+1

⑵X-ax=-----

24

2網(wǎng)[2x]2x]

ta

⑶\tsincotdt=-----rd(cosart)=-----------[/coscot]^+一I3COS69d

J()69JoCDCO0

2乃1r.產(chǎn)2乃

“標(biāo)+Rdl一版

￡笈

(4)￡導(dǎo)二胄Ad(cotx)=[-xcotx]|+pcotxdr

74

?帚+pnsi噌

萬+"

4922

⑸2In.rd

=81n2-[4Vx]f=4(21n2-l).

2

(6)Jxarctanxdx=—￡arctanxd(x)

—xarctanx

2

=[xarctanxl=1

f"^"^72

lx=gCcosxd(/，)

=-Fe2rcosx-|2e2xsinxdx

2LJO2J0

=一；+；[：sinxd(e2A)

_l,lr2.,2A

=24Lesin坪一一pecosxdx,

」o4Jo

因此有

￡2e2rcosxdx=i(e,T-2)

(8)jjxlog2xdr=^Jjog2M，)

=標(biāo)log

-」|2J1ln2

[打=2-二-

=2———

41n2L54In2

(9)J：(xsinx)2(ir=gl乃2

)x-(l-cos2x)dx

1”、

=x2d(sin2x)

6

上

--[x1sin2x