希望杯數(shù)學(xué)邀請賽（1－22屆）初二二試試題及答案

希望杯第一屆(1990)第二試試題

一、選擇題：(每題1分，共5分)

1.等腰三角形周長是24cm,一腰中線將周長分成5:3的兩部分，那么這個三角形的底邊長是

[]A.7.5B.12.C.4.D.12或4

2.已知P=988x1989x1990x1991+1+(-1989)2,那么P的值是[]

A.1987B.1988.C.1989D.1990

3.a>b>c,x>y>z,M=ax+by+cz,N=az+by+cx,P=ay+bz+cx,Q=az+bx+cy,則有[

A.M>P>N且M>Q>N.B.N>P>M且N>Q>M

C.P>M>Q且P>N>Q.D.Q>M>P且Q>N>P

4.凸四邊形ABCD中，ZDAB=ZBCD=90°,ZCDA:ZABC=2：1,AD：CB=1:石，則/BDA=[]

A.30°B.45°.C.60°.D.不能確定

5.把一個邊長為1的正方形分割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存在三個點(diǎn)，

以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個邊長大于1的正三角形，滿足上述性質(zhì)的分割[]

A.是不存在的.B.恰有一種.C.有有限多種，但不只是一種.D.有無窮多種

二、填空題：(每題1分，共5分)

1.ZSABC中，ZCABNB=90°,NC的平分線與AB交于L,NC的外角平分線與BA的延長線交

于N.已知CL=3,貝iJCN=.

,——，111

2.若JR+(ah-2)2=(),那么一;~~八"八+……;~~——的值是

ah(〃+1)(/?+!)(4+1990)(6+1990)

3.已知a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8,則c的取值范圍是.

4.AABC中，/B=30°,AB=右，BC=6,三個兩兩互相外切的圓全在aABC中，這三個圓面積

之和的最大值的整數(shù)部分是.

ahcahacbeabc

5-設(shè)a,"。是非零整數(shù),那么同+網(wǎng)+口+同+悶+網(wǎng)+網(wǎng)的值等于---------

三、解答題：(每題5分，共15分)

1.從自然數(shù)1,2,3…，354中任取178個數(shù)，試證：其中必有兩個數(shù)，它們的差是177.

2.平面上有兩個邊長相等的正方形ABCD和A'B'C'D',且正方形A'B'C，D'的頂點(diǎn)k

在正方形ABCD的中心.當(dāng)正方形A，B，CDz繞A，轉(zhuǎn)動時，兩個正方形的重合部分的面

積必然是一個定值.這個結(jié)論對嗎？證明你的判斷.

3.用1,9,9,0四個數(shù)碼組成的所有可能的四位數(shù)中，每一個這樣的四位數(shù)與自然數(shù)n之和

被7除余數(shù)都不為I,將所有滿足上述條件的自然數(shù)n由小到大排成一列m<n2<n3V

n.t...,

試求：n,?n?之值.

答案與提示

一、選擇題

題號12345

答案cBACD

提示：

1.若底邊長為12.則其他二邊之和也是12,矛盾.故不可能是(B)或(D).

又：底為4時，腰長是10.符合題意.故選(C).

2.,.,/>=)(1988?+3x1988)(1988?+3x1988+2)+1-1989s

=49882+3x1988+1)：,晚1

=19882+3X1988+1-19892

=(1988+1)-+1988-19892=1988

3.只需選a=l,b=0,c=T,x=l,y=0,z=T代入，由于這時M=2,N=-2,P=T,Q=-l.從而

選(A).

4.由圖6可知：當(dāng)NBDA=60°時，ZCDB

也是60。.從而滿足血：BC=1：75.故選⑹.

5.如圖7按同心圓分成面積相等的四部分.在最外面一部分中顯然可以找到三個點(diǎn)，組成邊

長大于1的正三角形.如果三個圓換成任意的封閉曲線，只要符合分成的四部分面積相等,

那么最外面部分中，仍然可以找到三個點(diǎn)，使得組成邊長大于1的正三角形.故選(D).

二、填空題

題號12345

答案31991。>0或，之2福0-1或7

1992

提示：

1.如圖8：ZNLC=ZB+Zl=ZCAB-90°+/l=NCAB-/3=/N.；.NC=LC=3.

2..a~1,b-2—+…H-----------------------------

tab(以+1990)?+1990)

11(1)(11)

1x21991x1992{2}\23)

1______1991

1991~1992)=1992'

_..,.8

3..a+d=-c,ab=—9

a,b是方程x?+cx+§=0的兩個實(shí)根.

A=c2-->0.

c

BPc<0或卜三,

[C3>32.

/.c<0或c>2旃.

4..因?yàn)榈拿娣e5sin300

=坐＜1,所以ZXABC內(nèi)的三個圓面積之和肯定

比1小，因而整數(shù)部分為零.

5.當(dāng)a,b,c均為正時,值為7.

當(dāng)a,b,c不均為正時，值為-1.

三、解答題

1.證法一把1到354的自然數(shù)分成177個組：(1,178),(2,179),(3,180),(177,

354).這樣的組中，任一組內(nèi)的兩個數(shù)之差為177.從廣354中任取178個數(shù)，即是從這177

個組中取出178個數(shù)，因而至少有兩個數(shù)出自同一個組.也即至少有兩個數(shù)之差是177.從

而證明了任取的178個數(shù)中，必有兩個數(shù)，它們的差是177.

證法二從1到354的自然數(shù)中，任取178個數(shù).由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是0,1,2,…,

176這177種之一.

因而178個數(shù)中，至少有兩個數(shù)a,b的余數(shù)相同，也即至少有兩個數(shù)a,b之差是177的倍數(shù),

即ab=kX177.

又因1、354中，任兩數(shù)之差小于2X177=354.所以兩個不相等的數(shù)a,b之差必為177.即

ab=177.

...從自然數(shù)1,2,3,354中任取178個數(shù),其中必有兩個數(shù)，它們的差是177.

2.如圖9,重合部分面積Sr明是一個定值.

證明：連A'B,A'C,由A'為正方形ABCD的中心，知

A'C=A'B=—AB.NA'BE=ZA/CF=45°.

2

又，當(dāng)A'B'與A，B重合時，必有A'D'與A'C重合，故知NEA'B=NFA'C.

.在叢A'FC和AA'EB中,

A'C=A'B

NA'BE=NA'CF，=AA'FCgZ\A'EB.

ZEA'B=ZFA'C

?'?SA1EBF=SAA-BC-

而=gwaxac(正方形時角線互相垂直)

，兩個正方形的重合部分面積必然是一個定值.

3.可能的四位數(shù)有9種：

1990,1909,1099,9091,9109,9910,9901,9019,9190.

其中1990=7X284+2,1909=7X272+5.

1099=7X157,9091=7X1298+5,9109=7X1301+2,

9910=7X1415+5,9901=7X1414+3,

9019=7X1288+3,9190=7X1312+6.

即它們被7除的余數(shù)分別為2,5,0,5,2,5,3,3,6.

即余數(shù)只有0,2,3,5,6五種.

它們加1,2,3都可能有余1的情形出現(xiàn).如0+1三1,6+2=1,5+3=(mod7).

而加4之后成為：4,6,7,9,10,沒有?,個被7除余1,所以4是最小的n.

又：加5,6有：5+3=1,6+2=1.(mod7)而加7之后成為7,9,10,12,13.沒有一個被7

除余1.所以7是次小的n.

即m=4,n2=7

niXn2=4X7=28.

希望杯第二屆（1991年）初中二年級第二試試題

一、選擇題：（每題1分，共10分）

1.如圖29,已知B是線段AC上的…點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q為

MA的中點(diǎn)，則MN：PQ等于（）A員血）一

A.1;B.2;C.3;D.4圖29

2.兩個正數(shù)m,n的比是若m+n=s，則m,n中較小的數(shù)可以表示為（）

tS、S

A.ts;Bs-ts;C.----;D.----.

1+s1+t

3.y>0時，匚萬等于()

A.-xyfxy;B.xy/xy;C.-xy]-xy;D.xy]-xy.

4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，則a,b,c的關(guān)系可以寫成()

A.a<b<c.B.(a-b)2+(b-c)2=0.C.c<a<b.D.a=b#c

5.如圖30,AC=CD=DA二BC=DE.則NBAE是NBAC的()

A.4倍.B.3倍.C.2倍.D.1倍

6.D是等腰銳角三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，貝IJAD,BD,CD滿足關(guān)系式()

A.AD2=BD2+CD2.B.AD2>BD2+CD2.C.2AD2=BD2+CD2.D.2AD2>BD2+CD2

..iQ

7.方程N(yùn)-1|=—（%+—）的實(shí)根個數(shù)為（）

A.4B.3.C.2D.1

8.能使分式工一上的值為1126的x2、/的值是（）

yx

A.x2=l+V3.y-2+V3；B.x'2+6，y'2-百；

C.x2=7+4V3.y-7-473；D.x2=l+2V3./=2一百.

9.在整數(shù)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個數(shù)為x,偶數(shù)的個數(shù)為y,完全平方數(shù)

的個數(shù)為Z,合數(shù)的個數(shù)為U.貝ljx+y+z+u的值為（）

A.17B.15.C.13D.11

恰好是X的整系數(shù)方程x?-21x+t=o的兩個根,則2+f等于（）

10.兩個質(zhì)數(shù)a,b,

ab

582402365

A.2213;B.—;C.,D..

214938

二、填空題（每題1分，共10分）

1.1989X19911991-1991X19891988=

2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=.

3.（a2+ba+bc+ac）:[（b2+bc+ca+ab）:（c2+ca+ab+bc）]的平方根是一.

4.邊數(shù)為a,b,c的三個正多邊形，若在每個正多邊形中取一個內(nèi)角，其和為180°,那么

111

—+—十一=________.

ahc

尤+ay=5

5.方程組〈,?有正整數(shù)解，則正整數(shù)"_____.

y-x=1

6.從一升酒精中倒出;升,再加上等量的水,液體中還有酒精升二攪勻后,再倒

出!升混合液,并加入等量的水，攪勻后,再倒出-升混合液，并加入等量的水,這時,所得混

33

合液中還有升酒精.

7.如圖31,在四邊形ABCD中.AB=6厘米，BC=8厘米,CD=24厘米,DA=26厘米.且

ZABC=90°,則四邊形ABCD的面積是____

8.如圖32,Z1+Z2+Z3Z4+Z5+Z6=.

9.|x+V2|+|2x+4Gl的最小值的整數(shù)部分是

10.已知兩數(shù)積abWL且

2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,則3=_____,圖32

h

三、解答題：（每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計算過程，語言力求簡明，字跡與繪

圖力求清晰、工整）

1.已知兩個正數(shù)的立方和是最小的質(zhì)數(shù).求證：這兩個數(shù)之和不大于2.

2.一塊四邊形的地（如圖33）（E0〃FK,0H〃KG）內(nèi)有一段曲折的水渠，現(xiàn)在要把這段水渠E0HGKF

改成直的.（即兩邊都是直線）但進(jìn)水口EF的寬度不能改變，新渠占地面積與原水渠面積相等,

且要盡可能利用原水渠，以節(jié)省工時.那么新渠的兩條邊應(yīng)當(dāng)怎么作？寫出作法，并加以證明.

c

DEF

0))K

HG

圖33

答案與提示

一、選擇題

題號12345678910

答案BDCBADCCAD

提示：

1.VMN=AN-AM.改=等-竽.，選(B).

2.設(shè)m=3,n=1,則t=3,s=4.

只有J—=7^=1=n.故選(D).

1+t1+3

3.由y>0,可知x<0.故選(C).

4.容易看到a=b=c時,原式成為3(x+a”,是完全平方式.故選(B).

5.ZXACD是等邊三角形,Z\BCA和AADE均為等腰三角形.故知NBAC=30°,而NBAE=120°,所以選

(A).

6.以等邊三角形為例，當(dāng)D為BC邊上的中點(diǎn)時，有AD2>BD2+CD2,當(dāng)D為BC邊的端點(diǎn)時，有

AD2=BD2+CD2,故有2AD2>BD2+CD2.故選(D).

7.當(dāng)|R〉1時,有方程--1=\(x+3,

由根與系數(shù)關(guān)系可知，方程有一正根一負(fù)根，且

正根符合要求，當(dāng)國〈1時，有方程

(x+得)，同理可知也是一正根一負(fù)根，正根符

合要求，所以共有2個根.故選(C).

故選(C).

o??x3y3X4-y4(x2-y2)(x3+y3)

o.?----------------------=------------------------.

yxxyxy

從Y=7+4、反y2=7-473,代入，是1125.

.?.選(C).

9.Vx=4,y=5,z=4,u=4.???選(A).

10.由a+b=21,a,b質(zhì)數(shù)可知a,b必為2與19兩數(shù).

2222

_b_i__a__a__+__b___2___+_1_9__要.故選①).

abab2x19

二、填空題

題號12345

答案1991(a+b+c)(a+2b+3c)±(a+c)11或2

題號678910

答案8236003

77144(cm)27

提示：

1.1989X19911991-1991X19891988=1989

(1991X104+1991)-1991(1989X104+1988)

=1989X1991-1991X1988=1991.

2.原式

二@2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc

=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)

二(a+b+c”+(b+2c)(a+b+c)

=(a+b+c)(a+2b+3c).

3.原式二(a+c)(a+b)：[(b+a)(b+c)I(c+a)(c+b)]

_(a+c)(a+b)2

(b+a).

...平方根為土(a+c).

4.正多邊形中，最小內(nèi)角為60°,只有a,b,c均為3時，所取的內(nèi)角和才可能為180。.

.111111,

abc333

5.兩式相加有

(l+a)y=6,因?yàn)閍,y均為正整數(shù)，故a的可能值為5,這時產(chǎn)1,這與y-x=l矛盾，舍去；可能值

還有a=2,a=l,這時y=2,y=3與y-x=l無矛盾.

@=1或2.

6.倒一次后，剩下3盛升酒精，倒第二次后剩

下的是《2尸升，倒第三次后，剩下的是(202升酒精.

所以應(yīng)答方.

7.在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm,在AADC中，三邊長分別是10,24,26,由勾

股定理的逆定理可AADC為直角三角形.從而有面積為

11,

^x6x8+^xl0x24=144(cm2).

8.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6,正好是以N2,Z3,N5為3個內(nèi)角的四邊形的4個內(nèi)角之和.

二和為360°.

9.根據(jù)絕對值的幾何意義，可知，當(dāng)x取-/或

-26時，可能是最小值，比較

x=-應(yīng)時，原式=卜2射+4的=平布-閡.

x=-2用時，原式=卜2花+闋=|2布-闋.

最小值是-72,其整數(shù)部分為2.

10.由已知條件可知

a是方程2x2+1234567890x+3=0的一個根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一個根，后者還可以

看成：

:是3(1)2+1234567890-+2=0的根，或者說

byy

:是2y2+1234567890^+3=0的一個根，從而可以

O

認(rèn)為a和!是方程2x?+1234567890x+3=。的兩個根.

b

1?3

?"?廠廠儲

(注意：ab1,保證了a,1是方程2,+

b

1234567890x+3=0的兩個不等的根

三、解答題

1.設(shè)這兩個正數(shù)為a,b.則原題成為已知a3+b3=2,求證a+bW2.

證明(反證法)：

若a+b>2由于a3+b3=2,必有一數(shù)小于或等于1,設(shè)為bWl,-a>2b,這個不等式兩邊均

為正數(shù)，fa3>(2-b)3.

—"a3>8T2b+6b2-b3.

-a3+b3>8-12b+6b2.

f6b2-12b+6Vo.

-b2-2b+l<0.

—(b-l)2<0.矛盾.

.?.a+bW2.即本題的結(jié)論是正確的.

2.本題以圖33為準(zhǔn).

由圖34知OK〃AB,延長EO和FK,即得所求新渠.這時，HG=GM(都等于OK),且OK〃AB,故4

OHG的面積和的面積相同.即新渠占地面積與原渠面積相等.而且只挖了這么大的

一塊地.

我們再看另一種方法，如圖35.

作法:①連結(jié)EH,FG.

②過。作EH平行線交AB于N,過K作FG平行線交于AB于M.

③連結(jié)EN和FM,則EN,FM就是新渠的兩條邊界線.

又：EH77ON

面積=Z\FNH面積.

從而可知左半部分挖去和填出的地一樣多，同理，右半部分挖去和填出的地也一樣多.即新

渠面積與原渠的面積相等.

由圖35可知，第二種作法用工較多（?.?要挖的面積較大）.

故應(yīng)選第一種方法。

希望杯第三屆（1992年）初中二年級第二試試題

一、選擇題（：每題1分，共io分）

1.73282-73252=[]

A.47249B.45829.C.43959D.44969

2.長方形如圖43.已知AB=2,BC=1,則長方形的內(nèi)

接三角形的面積總比數(shù)（）小或相等.[]-

41

--

7B.D.3

3.當(dāng)x=6,y=8時，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是[]圖43

A.1200000-254000.B.1020000-250400

C.1200000-250400.D.1020000-254000

4.等腰三角形的周長為a(cm).一腰的中線將周長分成5：3,則三角形的底邊長為[]

a3a384

A.—;B.—a;C.一或一a;D.—a.

65655

5.適合方程J?-2xy+丁+3x2+6xz+2y+y2+3z2+l=0的x、y^z的值適合[]

x+2y+3z=0x+3y-2z=-6x+3y-2z=-6x-y+z=0

A.，2x-y+z=0；B.<x+y+z=0；C.2x-y+z=0；D.v-x+y+z=0

x+y+z=02x-y+3z=22x-y+3z=22x-y+3z=2

圖44

6.四邊形如圖44,AB=",BC=1,NA=NB=NC=3O°,則D點(diǎn)到AB的距離是[]

2

111

A.1;B.一;C.一;D.一.

248

7.在式子|x+l+|x+2|+|x+3|+x+4|中，用不同的x值代入，得到對應(yīng)的值，在這些對應(yīng)值

中，最小的值是[]

A.1B.2.C.3D.4

8.一個等腰三角形如圖45.頂角為A,作/A的三等三分線AD,AE（即N1=/2=N3）,若BD=x,

DE=y,EC=z,則有[]

A.x>y>zB.x=z>y.C.x=z<yD.x=y=z

9.已知方程6+1卜2+（1+2]-瓜-10|及+2=5有兩個不同的實(shí)根，則a可以是[]

A.5B.9.C.10D.11

10.正方形如圖46,AB=1,BQ和AC都是以1為半徑的圓弧,

則無陰影的兩部分的面積的差是[]

71,7171，兀

A.-----1;B.1-----;C.------1;D.1-----.

2436

二、填空題（每題1分，共10分）

1.方程也的所有根的和的值是.

2.已知a+b=J7t^+J1991，a-b=Jjl992-J1991，那么ab=

3.如圖47,在AABC中，ZACB=60°,ZBAC=75°,AD_LBC于D,BE_LAC于E,AD與BE交于H,

則NCHD=.

1355

4.已知x=-y=,那么一x3H—x~—x+1的值是____.

V2+1424

5.如圖48,已知邊長為a的正方形ABCD,E為AD的中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，那么4BPD的面積的

值是.

x3+y3

6.已知x+y=4,xy=-4,那么.

%.7

7.在正AABC中（如圖49）,D為AC上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，

BD,CE相交于P,若四邊形ADPE與ABPC的面積相等，那么NBPE=

8.已知方程x2-19x-150=0的一個正根為a,那么

1111

yfu++1Ja+1+Ja+2Ja+2+Ja+3Ja+1999+Ja+2000

9.某校男生若干名住校，若每間宿舍住4名，則還剩20名未住下；若每間宿舍住8名，則一

部分宿舍未住滿，且無空房，該校共有住校男生___名.

10.n是自然數(shù)，19n+14與10n+3都是某個不等于1的自然數(shù)d的倍數(shù)，則￡1=.

三、解答題(寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果，每題5分，共10分)

1.若a,b,c,d>0,證明：在方程

—x2+y/2a+dx+y[cd=0,—x2+yj2b+cx+y[da=0,—x2+>j2a+bx+-Jab=0

222

，4+124+如+癡=0中,至少有兩個方程有不相等的實(shí)數(shù)根.

2

2.(1)能否把1,2,…，1992這1992個數(shù)分成八組，使得第二組各數(shù)之和比第一組各數(shù)之和

多10,第三組各數(shù)之和比第二組各數(shù)之和多10,…，最后第八組各數(shù)之和比第七組各數(shù)之

和也多10?請加以說明.

⑵把上題中的“分成八組”改為“分成四組”，結(jié)論如何？請加以說明.如果能夠，請給出

一種分組法.

B

C

圖49

答案與提示

一、選擇題

題號12345678910

答案DCBBBABDDB

提示：

1.Va<0,.,.7?-+7(1-a)2=-a+(l-a)=l-2a.

應(yīng)選(D).

2.設(shè)X，=5-2施則x=±(并-72).x3

=X?X2=+(73-72)?(5-2、用)=±(973-1172).

應(yīng)選?.

3.設(shè)八483中/Q邊上的高為九則S~回

=%?2?4=1.：.h=1.%B=1,

：.AB=h,即為4D邊上的高.故△HBD

為及△.同理，由孔￡8=*，BC=y/2,

CD=?可知△BCD為凡△.

.*.N/BC+NCD/=180。.應(yīng)選(B).

4.原方程為(2|x-2|-l)z=0,可得值-2|=最

二與=11,.=2：.若a=g,則2+1]=3k4,

故2,4,1；不能是三角形的三邊長.又若a=2；,

貝ll2+2；=41〉4,故2,4,2T是三角形的三邊

長，周長為8；....應(yīng)選(8).

5.等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化簡為(x+l)2+(xy+l)2=()..”+1=0,xy+l=0.解之得x=T,y=l.則

x+y=0.應(yīng)選(B).

6.由題設(shè)得：xy=l,x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993,得2(x+y)2+193xy=1993.將xy=l,

x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900,即4n+2=30.n=7.應(yīng)選(A).

7.由NA=36°,AB=AC,可得NB=NC=72°.AZABD=ZCBD=36°,ZBDC=72°.，

AD=BD=BC.由題意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD.，應(yīng)選(B).

8.原方程化為(X2-2X+1)-5|XT|+6=0.即XT|2-5X-1|+6=0.|X-1=2,或|xT|=3.

X2=3,X3=-2,X4=4.則X]+X2+X3+X4=4..,.應(yīng)選(D).

9.連結(jié)CB',...ABuBB',.一△BB，(^△甌=1,又CC'=2BC.?.Sm，CC'=2S/\BB'C=2.二

SABBZC=3.

同理可得SAA，CC'=8,5與，B'A=6.

?3△A'B'C'=3+8+6+1=17.應(yīng)選(D).

10.原方程為|3x|=ax+l.

⑴若a=3,則|3x|=3x+L

當(dāng)x<0時，-3x=3x+l..'.x=-—；

6

當(dāng)x20時,3x=3x+l,不成立.

.,.當(dāng)a=3時，原方程的根為x=-\

0

(2)若a>3.

當(dāng)x<0時，-3XH“+1,「?X=-----<0；

a+3

當(dāng)時，3x=ax+l,..x=,<0,矛盾.

3-a

當(dāng)a〉3時，原方程的解為彳=-一二<0.

a+3

(3)若a<3.當(dāng)x>0時，3x=ax+1f

.?.x=￡〉0,原方程有正根，與題設(shè)矛盾.

綜上所或a23時，原方程的根是負(fù)數(shù).

二應(yīng)選(B).

另解：(圖象解法)

設(shè)yi=|3x|,y2=ax+l。分別畫出它們的圖象.從圖87中看出，當(dāng)心3時，yf|3x|的圖象直

線y2=ax+l的交點(diǎn)在第二象限.

二、填空題

題號12345

答案14,211993—5—340

19932

題號678910

答案410014X2-53X+14=04225

提示：

1.丁49二7乂7,???所求兩數(shù)的最大公約數(shù)為7,最小公倍數(shù)為42.設(shè)a=7m,b=7n,(m<n),

其中(m,n)=l.由ab=(a,b)?[a,b]./.7m?7n=7,42,故mn=6.又(m,n)=l,/.m=2,

n=3,故a=14,b=21.經(jīng)檢驗(yàn)，142+212=637..二這兩個數(shù)為14,21.

2./.1993=1X1993=(-1)X(-1993),(1993為質(zhì)數(shù)).而?X2=1993,且x?x2為負(fù)整數(shù)

根,X2--1993.或X]=-1993,X2__l.貝U

二9+9=，+1993=1993-1-.

X]x219931993

1

---=o2Vx-1=----

3.原方程等價于卜-1或x-1

12.x〉2.

3

解之得x

4.設(shè)S/\B()C=S,貝■△A()B=6-S,S4co『l°—S,S^^()p=S-l.由于S?(S-l)=(6-S)(10-S),

解之得S=4.

5.由于方程兩根為區(qū)卜町,則渥+際+c=0,

ax1+占々+C=0.所以^S]83+'31992+,,1991=

。(W明+1993五產(chǎn)與+8(x；切+1993石敏)+

c(x；"i+1993入產(chǎn))=五產(chǎn)(渥+M+c)+

1993x產(chǎn)3君+bx2+c)=0.

6.V432=1849<1900<1936=442,又1936<1993<2025=452.

/.[71900]+h/190T]+[71902]+-+h/1992]+

[71993]=43X36+44X58=4100.

g

7.原方程化為(ax-a)("-4)=0....五1=一，

a

叼=：?而不超過1。的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7.因

O

a〉b.故a=3時，b=2；a=5時，b=2,3；

a=7時，b=2,3,5.

._223235

…=F5*弓I97*T

3一小355777

相應(yīng)的馬=-,—,~,三，-.

2223235

o7

只有當(dāng)a=7,3=2時，xx=-,x2=-,

這時々+X2=1+|=3^->3

其他都不合適.此時所求方程為14X2-53X+14=0.

8.過E作EH_LBC于H.VAD1BC.；.EH〃AD.又/ACE=NBCE,EA1AC,EH1BC..\EA=EH,

ZAEC=ZHEC.；EH〃AD,AZHEC=ZAFE,/.ZAEF=ZAFE.；.AE=AF,/.EH=AF.即可推出

△AGF^AEHB..-.AG=EB=AB-AE=14-4=10..*.BG=AB-AG=14-10=4.

9.原方程化為：[()t+l)x-6][(^-l)x-3]=0.

.'.%1=y---,x2=—^―.因方程的根為正整數(shù)，

兀+14一1

故當(dāng)江=2時，々=2,x2=3.

10.設(shè)初一獲獎人數(shù)為n+1人，初二獲獎人數(shù)為m+1人(nWm).依題意有

3+7n=4+9m,即7n=9m+l①

由于50V3+7nW100,50<4+9m^l00.得

出《衛(wèi)，竺<?<堂.故

7799

n=7,8,9,10,11,12,13.m=6，7,8,9,10.

但滿足①式的解為唯一解：n=13,m=10.

An+l=14,m+l=ll.獲獎人數(shù)共有14+11=25(人).

三、解答題

1.解：若不考慮順序，所跑的路線有三條:

OABCO(或OCBAO),OACBO(或OBCAO),OBACO(或OCABO).其中OABCO的距離最短.

記d(OABCO),d(OACBO),d(OBACO)分別為三條路線的距離.在AC上截取AB'=AB,連結(jié)OB'.則

△ABO^AAB70..\BO=B,0.

d(OABCO)-d(OACBO)

=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)

=AB+CO-AC-BO

=AB+CO-AB/B'CBZ0

=CO-(B,C+B,0)<0

同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)<0.

所以路線OABCO的距離最短._______

2.解一：因?yàn)?a+升=J16期+2.

平方得：64a2+16a虛+2=16五+2

由此4a泛=0

設(shè)x=Ja4+a+l+a2,

y=Va44-a+l-a2.

得xy=a+1.

024a*V2—a^/21rl、

X-y=2a=—=^—=—(l-a)

因此x與y是關(guān)于t的方程

,1

t2--^(l-a)t-(a+l)=O

的兩個根.

有八,=豆1?二.,/a士2—2a+二1^.

(l-a)±(a+3)

272

則、=y/2,t3=

因?yàn)閤〉y且a<l,則*〈企.

因此x=即a3+Ja，+a+1=質(zhì)..

解二：由已知條件得

21L1

3+=彳(應(yīng)+§).

收.-.1211八

??0=a2+—a--=0

44，244

.1點(diǎn)2a+1八

..——-①

22『0

這表明當(dāng)是關(guān)于，的方程

。+1

-=0②

4

的正實(shí)根，因此

-y-=((a?++以+1)

.,.a2+-Ja，+a+1=-J2.

說明：解法二巧妙地利用常量與變量的相互

/O

轉(zhuǎn)化，把①式中的與看成變量，a看成常量，則

a+1

①式轉(zhuǎn)化為②式，即得關(guān)于￡的方程：t2-a2t

~1~

=0,其中遙變量，a是常量，從而得解.

a+-V2=AJ./2+-.

解三，由己知得:

82V8

兩邊平方，得"+(缶+親=萍+9

移項，得：a2=^^(1-a)①

a*=g(l-a)，

則②

________歷[La)?

1.a，+Ja4+a+1=4(1-a)+--------Fa+1

8

(l-a)+jl(l-2a4-a2+8a+8)

3/______

=—(1-a)+—7(a+3)2

=-^-(1—a+a+3)=V2.

解四：由己知條件得：a+"毛5I

兩邊平方，得：a?+；0a+3=；虛+《.

.V22'反

??—a=—a+—?

44

兩邊乘以2、反得a=-2、后'I.

兩邊加上a4+l,得

a，+a+1=a，-2+2

即a，+a+1=(%/2—a')\

顯然OVaVLOVa2VL

/.V2-a2>0.

Ja，+a+1=-a2.

a2+Ja，+a+1=V2.

希望杯第四屆（1993年）初中二年級第二試試題

一、選擇題：（每題1分，共10分）

1.若a〈0,則化簡77+7（1-?）2得[]

A.1B.1C.2a1D.12a

2.若一個數(shù)的平方是5-2#，則這個數(shù)的立方是[]

A.96+11播或11夜一9?；B.973-1172或11a+96；

C.973-1172或11貶—96；D.9百+11夜或-11&—9百.

3.在四邊形ABCD中,AB=1,BC=V2,CD=V3,DA=2,S、順=1,SM亞貝lj

2

NABC+NCDA等于[]

A.150°B.180°.C.200°D.210°.

4.一個三角形的三邊長分別為2,4,a,如果a的數(shù)值恰是方程41x-212-4x-2|+l=0的根,那么

三角形的周長為[]

11

A.7—;B.8—;C.9;D.10.

22

5.如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式2x+x?+x2y2+2=-2xy,那么x+y的值是[]

A.1.B.0.C.1.D.2.

6.設(shè)n為正整數(shù)，如果2x?+197xy+2yJ19g_

y/n+\+\ny/n+\-y/n

成立，那么n的值為[]

A.7.B.8.C.9.D.10

7.如圖81,在△ABC中,NA=36°,AB=AC、BD平分NABC.若△ABI）的周長比ABCD的周長多1

厘米，則BD的長是[]r,

A.0.5厘米.B.1厘米.C.1.5厘米.D.2厘米

8.方程xZ-2x-5|x-l|+7=0的所有根的和是[]

A.2.B.0.C.-2.D.4.

9.如圖82,將aABC的三邊AB,BC,CA分別延長至B',C',A',圖82

且使BB'=AB,CC=2BC,AA'=3AC.若SAMC=1,那么S?，）＞,c，是[]

A.15.B.16.C.17.D.18.

10.如果方程|3x|-axT=0的根是負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是[]

A.a>3.B.a5=3.C.a<3.D.a<3.

二、填空題（每題1分，共10分）

1.若兩個數(shù)的平方和為637,最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為49,則這兩個數(shù)是

X；+X；

2.設(shè)x“X?是方程x2+px+1993=0的兩個負(fù)整數(shù)根，則

「

3.方程|47二1一1|+|我=1+1]=占的解是.A

4.如圖83,四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于0點(diǎn)，

如果SZXABD=5,S/XABC二6,SABCD=10?那么S/SOBC___________.C

BDC

5.設(shè)二次方程ax'+bx+c=O的兩根為Xi,x2,記S[=xi+1993x2,圖網(wǎng)

S2=X1~+1993x2,,Sn=x「+1993x2,；貝l|aSi993+bSi992+cS1991=.

6.

6.設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，（例如[3]=3,[3.14=3]）,那么

[Vi^]+[V19m]+[V1902]+---+[Vi992]+[719931=.

7.已知以x為未知數(shù)的二次方程abx2-3+b2）x+ab=0,其中a,b是不超過10的質(zhì)數(shù)，且a>b,那

么兩根之和超過3的方程是.

8.如圖84,在AABC中，NBAC=90°,AD_LBC于D,/BCA的平分線交AD于F,交AB于E,FG/7BC

交AB于G.AE=4,AB=14,貝ljBG=.

9.已知k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程（kJl）x2-3（3kT）x+18=0有兩個不相等的正整數(shù)根，則

k=.

10.某校獎勵學(xué)生，初一獲獎學(xué)生中，有一人獲獎品3件，其余每人獲獎品7件；初二獲獎學(xué)生

中，有一人獲獎品4件，其余每人獲獎品9件.如果兩個年級獲獎人數(shù)不等，但獎品數(shù)目相等,

且每個年級獎品數(shù)大于50而不超過100,那么兩個年級獲獎學(xué)生共有——人.

三、解答題：（寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果.每題5分，共10分）

1.如圖85,三所學(xué)校分別記作A,B,C.體育場記作0,它是AABC的三條角平分線的交點(diǎn).0,

A,B,C每兩地之間有直線道路相連.一支長跑隊伍從體育場0點(diǎn)出發(fā)，跑遍各校再回到0點(diǎn).指

出哪條路線跑的距離最短（已知AOBOAB）,并說明理由.

A

限

BC

圖85

2.如果a=，—V2,求a"+J44+a+］的值.

28

答案與提示

一、選擇題

題號12345678910

答案DCBBBABDDB

提示：

1.Va＜0,?.7?+7(l-a)2=-a+(l-a)=l-2a.

二應(yīng)選(D).

2.設(shè)/=5-2灰，貝Ux=±(-j3-VS).x3

=x?x2=士(布-、泛”(5-2、后)=±(90-11也).

應(yīng)選(C).

3.設(shè)△48。中AD邊上的高為九則以.

=h=?2?A=l.：.h=1.力8=1,

：.AB=h,即WB為上的高.故ZL4BD

為鼻△.同理，由SAB8=*，BC=j2,

CD=、區(qū)可知△BCD為出△.

：.ZABC+ACDA=180°.應(yīng)選(8).

4.原方程為(2|x-2卜1尸=0,可得卜-2卜，.

.,.Xj=11,x3=2p若a=4則2+弓=3：＜4,

故2,4,1g不能是三角形的三邊長.又若a=2(,

則2+21=4；＞4,故2,4,是三角形的三邊

長,周長為畛.?.應(yīng)選(8).

5.等式Zx+x'xV+ZEZxy化簡為(x+l)2+(xy+l)2=0.x+l=0,xy+l=0.解之得x=T,y=l.則

x+y=0.???應(yīng)選(B).

6.由題設(shè)得：xy=l,x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993,得2(x+y)?+193xy=1993.將xy=l,x+y=4n+2

代入上式得：(4n+2)2=900,即4n+2=30.，n=7....應(yīng)選(A).

7.由/A=36°,AB=AC,可得NB=NC=72°.AZABD=ZCBD=36°,ZBDC=72°.AAD=BD=BC.由

題意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD..?.應(yīng)選(B).

8.原方程化為(x?-2x+l)-51x-11+6=0.BP|x_l|"_5x_l|+6=0.|x_l|=2?或|x-l|=3.

X2=3,X3=-2,X?=4.則XI+XZ+X3+X4=4.應(yīng)選(D).

f==

9.連結(jié)CB'