2025屆河北省保定市十縣一中高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市十縣一中2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以不成立，，故CD錯(cuò)誤，則，，故A錯(cuò)誤，B正確，故選：B.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：C.3.已知，是兩個(gè)互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?又，，所以，，，平行或異面.故選：A4.某學(xué)校高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為1600，1200，2000，現(xiàn)按年級(jí)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中選取120人，若按照樣本比例分配，則高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為（）A.50 B.40 C.30 D.20【答案】C【解析】設(shè)高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為x，則.故選：.5.若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線不經(jīng)過(guò)第二象限，且該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】由，得，，則的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.將代入切線方程，得，將代入切線方程，得.因?yàn)樵撉芯€與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，符合題意；當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不符合題意.故.故選：D6.如圖，側(cè)面展開圖為扇形AOD的圓錐和側(cè)面展開圖為扇環(huán)ABCD的圓臺(tái)的體積相等，且，則（）A.2 B. C.4 D.8【答案】A【解析】設(shè)側(cè)面展開圖為扇形圓錐的底面半徑為r，高為h，則該圓錐的體積.側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的體積.由題可知，從而.故選：A.7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（）A.2 B.1012 C.2024 D.4048【答案】B【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，所以，所以，所以，所以.故選：B8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖像始終在的圖像的下方（部分重合）.當(dāng)時(shí)，由的圖像：可知，，解得;當(dāng)時(shí)，由的圖像：的圖像始終在的圖像的下方.故a的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，得，故A項(xiàng)不正確.對(duì)于B項(xiàng)，若，則，得，故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)，若，則，得，故C項(xiàng)不正確.對(duì)于D項(xiàng)，若，則，故D項(xiàng)正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.奇函數(shù)B.的最大值為C.的最小正周期為D.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AB【解析】的定義域?yàn)椋瑒t，所以為奇函數(shù)，A正確.，所以的最小正周期不是，C不正確.所以的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，D不正確.，顯然，且，當(dāng)時(shí)，，由，函數(shù)在上是減函數(shù)，因此，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，B正確.故選：AB．11.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”.如圖，曲線C：是雙紐線，關(guān)于曲線C，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C上存在點(diǎn)，使得C.C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為D.若直線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍為【答案】AC【解析】由圖可知，點(diǎn)在上，則，所以，正確；設(shè)曲線上任一點(diǎn)，由，可得，，即上不存在點(diǎn)，使得，不正確；方程可化為，令，得，由，可得，即，易知等號(hào)成立，故上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，正確；直線與均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線與除原點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)時(shí)，方程僅有一解，滿足題意，當(dāng)時(shí)，整理得，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，因?yàn)楹阌幸唤?，所以無(wú)解，即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，綜上，，解得或，不正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則________【答案】【解析】，則.故答案：13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P.若，則點(diǎn)O到直線的距離為________.【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，則由，得，，則.由，得，解得，則點(diǎn)O到直線的距離.故答案為：14.已知，，且，則的最小值為________【答案】【解析】由，得，則，則.因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而.又，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.（1）證明：由，得，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，從而.（2）解：由（1）可知，①則②①②得即，則.16.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，，（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OF.因△FCD為等腰直角三角形，且，所以.又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.又平面，平面，所以平面ADE，因?yàn)?，所以，又，所以四邊形ABOD為平行四邊形，則.因?yàn)槠矫鍭DE，平面ADE，所以平面ADE，又，平面，所以平面平面ADE.因?yàn)槠矫鍻BF，所以平面ADE.（2）解：由題可知AB，AD，AE兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則B1,0,0，，E0,0,1，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則由得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x則由得，令，得.，則平面與平面的夾角的余弦值為.17.如圖，、、、是圓上的四點(diǎn).（1）若，，，求圓的半徑；（2）若，且的面積是的面積的倍，求.解：（1）在中，由余弦定理得，則.設(shè)圓的半徑為，則.（2）的面積，的面積，因?yàn)?，所以，如圖，連接BD.在中，設(shè)，由余弦定理得，則，則.因?yàn)?，所以，所以，則.18.已知是橢圓上的一點(diǎn)，且的離心率為，斜率存在且不過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為（1）求的方程.（2）證明：的斜率為定值.（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與線段（不含端點(diǎn)）相交，且四邊形的面積為，求的方程.（1）解：由題可知，解得，，故的方程為.（2）證明：設(shè)的方程為，Px1,y1聯(lián)立方程組整理得，即，則，，，整理得，則或，若，則，則過(guò)點(diǎn)，不符合題意，故，即的斜率為定值.（3）解：由（2）可得直線，，，因?yàn)榕c線段（不含端點(diǎn)）相交，所以，，點(diǎn)到的距離，點(diǎn)到的距離，四邊形的面積，解得或（舍去），故的方程為：.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，若，，則稱是在上的不動(dòng)點(diǎn)，集合為在上的不動(dòng)點(diǎn)集.（1）求函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集；（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集為，求的取值范圍.解：（1）由，得，解得或，故在0,+∞上的不動(dòng)點(diǎn)集為.（2）方法一：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.即方程在只有一解.因?yàn)槭欠匠痰慕?，所以方程在上無(wú)解.作函數(shù)和，的圖像，如下圖：由，，所以.當(dāng)或即或時(shí)，與，的圖像只有一個(gè)交點(diǎn).所以的取值范圍是：.方法二：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，則.若，則上恒成立，φx在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若，易知是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使得，則當(dāng)和時(shí)，φ'x>0，φ當(dāng)時(shí)，φ'x<0，φ因?yàn)椋砸沟忙誼在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則解得.綜上所述，的取值范圍為.（3）由題可知，方程在R上存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則，從而令，則，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，解得.因?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀?河北省保定市十縣一中2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以不成立，，故CD錯(cuò)誤，則，，故A錯(cuò)誤，B正確，故選：B.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：C.3.已知，是兩個(gè)互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?又，，所以，，，平行或異面.故選：A4.某學(xué)校高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為1600，1200，2000，現(xiàn)按年級(jí)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中選取120人，若按照樣本比例分配，則高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為（）A.50 B.40 C.30 D.20【答案】C【解析】設(shè)高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為x，則.故選：.5.若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線不經(jīng)過(guò)第二象限，且該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】由，得，，則的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.將代入切線方程，得，將代入切線方程，得.因?yàn)樵撉芯€與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，符合題意；當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不符合題意.故.故選：D6.如圖，側(cè)面展開圖為扇形AOD的圓錐和側(cè)面展開圖為扇環(huán)ABCD的圓臺(tái)的體積相等，且，則（）A.2 B. C.4 D.8【答案】A【解析】設(shè)側(cè)面展開圖為扇形圓錐的底面半徑為r，高為h，則該圓錐的體積.側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的體積.由題可知，從而.故選：A.7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（）A.2 B.1012 C.2024 D.4048【答案】B【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，所以，所以，所以，所以.故選：B8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖像始終在的圖像的下方（部分重合）.當(dāng)時(shí)，由的圖像：可知，，解得;當(dāng)時(shí)，由的圖像：的圖像始終在的圖像的下方.故a的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，得，故A項(xiàng)不正確.對(duì)于B項(xiàng)，若，則，得，故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)，若，則，得，故C項(xiàng)不正確.對(duì)于D項(xiàng)，若，則，故D項(xiàng)正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.奇函數(shù)B.的最大值為C.的最小正周期為D.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AB【解析】的定義域?yàn)?，，則，所以為奇函數(shù)，A正確.，所以的最小正周期不是，C不正確.所以的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，D不正確.，顯然，且，當(dāng)時(shí)，，由，函數(shù)在上是減函數(shù)，因此，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，B正確.故選：AB．11.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”.如圖，曲線C：是雙紐線，關(guān)于曲線C，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C上存在點(diǎn)，使得C.C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為D.若直線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍為【答案】AC【解析】由圖可知，點(diǎn)在上，則，所以，正確；設(shè)曲線上任一點(diǎn)，由，可得，，即上不存在點(diǎn)，使得，不正確；方程可化為，令，得，由，可得，即，易知等號(hào)成立，故上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，正確；直線與均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線與除原點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)時(shí)，方程僅有一解，滿足題意，當(dāng)時(shí)，整理得，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，因?yàn)楹阌幸唤?，所以無(wú)解，即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，綜上，，解得或，不正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則________【答案】【解析】，則.故答案：13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P.若，則點(diǎn)O到直線的距離為________.【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，則由，得，，則.由，得，解得，則點(diǎn)O到直線的距離.故答案為：14.已知，，且，則的最小值為________【答案】【解析】由，得，則，則.因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而.又，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.（1）證明：由，得，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，從而.（2）解：由（1）可知，①則②①②得即，則.16.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，，（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OF.因△FCD為等腰直角三角形，且，所以.又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.又平面，平面，所以平面ADE，因?yàn)?，所以，又，所以四邊形ABOD為平行四邊形，則.因?yàn)槠矫鍭DE，平面ADE，所以平面ADE，又，平面，所以平面平面ADE.因?yàn)槠矫鍻BF，所以平面ADE.（2）解：由題可知AB，AD，AE兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則B1,0,0，，E0,0,1，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則由得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x則由得，令，得.，則平面與平面的夾角的余弦值為.17.如圖，、、、是圓上的四點(diǎn).（1）若，，，求圓的半徑；（2）若，且的面積是的面積的倍，求.解：（1）在中，由余弦定理得，則.設(shè)圓的半徑為，則.（2）的面積，的面積，因?yàn)?，所以，如圖，連接BD.在中，設(shè)，由余弦定理得，則，則.因?yàn)椋?，所以，則.18.已知是橢圓上的一點(diǎn)，且的離心率為，斜率存在且不過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為（1）求的方程.（2）證明：的斜率為定值.（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若