高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修二同步講義第5章第五章統(tǒng)計(jì)與概率章末題型大總結(jié)(學(xué)生版+解析)

第五章統(tǒng)計(jì)與概率章末題型大總結(jié)題型01統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念解題錦囊解題錦囊（1）普查像人口普查這樣，對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查．（2）總體、個(gè)體在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體．組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為個(gè)體．為了強(qiáng)調(diào)調(diào)查目的，也可以把調(diào)查對(duì)象的某些指標(biāo)的全體作為總體，每一個(gè)調(diào)查對(duì)象的相應(yīng)指標(biāo)作為個(gè)體．（3）抽樣調(diào)查（1）總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．（2）個(gè)體：構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體．（3）樣本：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行考察，這若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量．【典例1】（24-25高一上·四川成都·開學(xué)考試）下列調(diào)查中，適合用普查的是（

）A．了解我省初中學(xué)生的家庭作業(yè)時(shí)間 B．了解“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星零部件的質(zhì)量C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對(duì)廢電池的處理情況【變式1】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）下列調(diào)查，比較適用普查而不適用抽樣調(diào)查方式的是（

）A．為了了解中央電視臺(tái)春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的收視率B．為了了解高一某班的每個(gè)學(xué)生星期六晚上的睡眠時(shí)間C．為了了解夏季冷飲市場上冰淇淋的質(zhì)量情況D．為了考查一片實(shí)驗(yàn)田某種水稻的穗長情況【變式2】（23-24高一下·新疆伊犁·階段練習(xí)）為了解某中學(xué)高一年級(jí)800名學(xué)生的身高情況，抽查了其中100名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．以上調(diào)查屬于全面調(diào)查B．每名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)個(gè)體C．100名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)樣本D．800名學(xué)生的身高是總體【變式3】（23-24高一下·廣西河池·期末）某市市場監(jiān)管局為了了解飲料的質(zhì)量，從該市區(qū)某超市在售的50種飲料中抽取了種飲料，對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行了檢查．在這個(gè)問題中，是（

）A．總體 B．個(gè)體 C．樣本 D．樣本量題型02抽樣方法解題錦囊解題錦囊隨機(jī)抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣兩種：【典例1】（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，某鄉(xiāng)政府采用分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研，已知甲村和乙村的人數(shù)之比是10：9，被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村比乙村多7人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是（

）A．133 B．170 C．70 D．63【變式1】（24-25高一上·全國·課堂例題）下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（

）A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．紅星中學(xué)共有學(xué)生1800名，其中男生840名，防疫站對(duì)此校學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，抽取一個(gè)容量為200的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量【變式2】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有12人的成績?cè)?00分以上，30人的成績?cè)?0～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況；②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員為參加接力賽的6支隊(duì)伍安排跑道．針對(duì)這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（

）A．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣 B．簡單隨機(jī)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣C．簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣 D．分層抽樣，分層抽樣【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·階段練習(xí)）某工廠用簡單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)法對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，.從中抽取70個(gè)樣本，下圖是利用軟件生成的隨機(jī)數(shù)，只需隨機(jī)選定一個(gè)初始位置和方向開始讀數(shù)，每次讀取一個(gè)3位數(shù)，只要讀取的號(hào)碼落在編號(hào)范圍內(nèi)，該號(hào)碼就是所抽到的樣本編號(hào)，這樣即可獲得70個(gè)樣本的編號(hào)，注意樣本號(hào)碼不能重復(fù).若從表中第2行第6列的數(shù)2開始向右讀取數(shù)據(jù)，取到的第一個(gè)樣本編號(hào)是253，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（

）A．007 B．328 C．253 D．623【變式4】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）某校高一年級(jí)有810名學(xué)生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為40，32，則該校高一年級(jí)的女生人數(shù)為（

）.A．470 B．380 C．400 D．320題型02數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與數(shù)據(jù)的直觀表示解題錦囊解題錦囊扇形圖體現(xiàn)各部分?jǐn)?shù)量關(guān)系,柱形圖和折線圖體現(xiàn)具體數(shù)量和變化趨勢(shì).解決此類問題的通用方法是根據(jù)圖像逐項(xiàng)分析.【典例2】（23-24高一下·四川樂山·期末）（多選）小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是（

）A．娛樂開支比通信開支多5元B．日常開支比食品中的肉類開支多100元C．娛樂開支金額為100元D．肉類開支占儲(chǔ)蓄開支的【變式1】（24-25高一上·廣西南寧·期中）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗升汽油行駛的里程．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（

）A．消耗升汽油，乙車最多可行駛千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以千米小時(shí)的速度行駛小時(shí)，消耗10升汽油D．某段道路機(jī)動(dòng)車最高限速40千米小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【變式2】（23-24高一下·重慶巫山·期末）（多選）某學(xué)校對(duì)高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（

）A．該校高一學(xué)生總數(shù)為B．該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為96C．該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多D．用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人【變式3】（多選）甲、乙兩個(gè)跑步愛好者利用微信運(yùn)動(dòng)記錄了去年下半年每個(gè)月的跑步里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A．甲跑步里程的極差等于110B．乙跑步里程的中位數(shù)是270C．分別記甲、乙下半年每月跑步里程的平均數(shù)為，，則D．分別記甲乙下半年每月跑步里程的標(biāo)準(zhǔn)差為，，則題型04用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征解題錦囊解題錦囊樣本的數(shù)字特征可分為兩大類:一類是反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的,包括平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);另一類是反映樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的,包括樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差.通常,在實(shí)際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究方差,方差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的離散程度,在平均數(shù)相同的情況下,方差越大,離散程度越大,數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大,穩(wěn)定性越差;方差越小,數(shù)據(jù)越集中,穩(wěn)定性越好.【典例4】（24-25高二上·四川成都·期中）2024年度最具幸福感城市調(diào)查推選活動(dòng)于9月16日正式啟動(dòng)，在100個(gè)地級(jí)及以上的候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為7.5 B．該組數(shù)據(jù)的極差為5C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5 D．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7【變式1】（24-25高二上·山東青島·期中）為了了解某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績，利用分層隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)10人的樣本，統(tǒng)計(jì)如下表：則可估計(jì)全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分和方差分別為（

）學(xué)生數(shù)平均分方差男生6804女生4752A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11【變式2】（24-25高二上·云南迪慶·期中）已知樣本數(shù)據(jù)90，100，95，110，105，則（

）A．極差為20 B．平均數(shù)為103 C．方差為70 D．分位數(shù)為97【變式3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期末）（多選）已知甲組數(shù)據(jù)為4，3，2，乙組數(shù)據(jù)為6，7，8，將甲、乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（

）A．丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5B．甲組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是2C．甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差D．甲組數(shù)據(jù)的極差等于乙組數(shù)據(jù)的極差【變式4】（24-25高二上·浙江·期中）（多選）從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項(xiàng)正確的有（

）A． B．本組樣本的眾數(shù)為270C．本組樣本的第45百分位數(shù)是300 D．用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為82題型05用樣本的分布估計(jì)總體的分布解題錦囊解題錦囊1、頻率分布直方圖（1）各個(gè)小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小，各小長方形的面積的總和等于1．(2)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)值.(3)平均數(shù):平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(4)眾數(shù):最高的矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).2、由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況,這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù),沒有任何信息損失,第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示.其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時(shí),作圖較煩瑣.【典例5】某市甲、乙兩個(gè)監(jiān)測站在10日內(nèi)分別對(duì)空氣中某污染物實(shí)施監(jiān)測，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：g/m3）如圖所示，以下說法正確的是（

）A．這10日內(nèi)任何一天甲監(jiān)測站的大氣環(huán)境質(zhì)量均好于乙監(jiān)測站B．這10日內(nèi)甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的中位數(shù)小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的中位數(shù)C．這10日內(nèi)乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值是167D．這10日內(nèi)甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的平均值小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的平均值【變式1】（23-24高二下·上?！て谥校ǘ噙x）從某個(gè)品種的小麥中隨機(jī)選取14株，測量麥穗長度（單位：），所得的樣本數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，據(jù)此可估計(jì)該品種小麥麥穗長度情況，那么下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．小麥麥穗長度的極差是3.9 B．小麥麥穗長度的中位數(shù)等于眾數(shù)C．小麥麥穗長度的中位數(shù)小于平均數(shù) D．小麥麥穗長度的第75百分位數(shù)是10.6【變式2】（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）某校組織70名學(xué)生參加慶祝中華人民共和國不成立75周年知識(shí)競賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這70名學(xué)生的成績都在區(qū)間內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．成績?cè)谏系娜藬?shù)最少B．成績不低于80分的學(xué)生所占比例為C．70名學(xué)生成績的極差為70D．70名學(xué)生成績的平均分小于中位數(shù)【變式3】（23-24高一下·湖北咸寧·期末）（多選）某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識(shí)答題比賽，對(duì)參賽的2000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（

）A．考生參賽成績的平均分約為72.8分B．考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分C．分?jǐn)?shù)在區(qū)間60,70內(nèi)的頻率為0.2D．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則成績?cè)趨^(qū)間應(yīng)抽取30人題型05互斥事件與對(duì)立事件解題錦囊解題錦囊(1)不能同時(shí)發(fā)生的是互斥事件，反映在集合上就是兩事件的交集為空集．在互斥的基礎(chǔ)上必有一個(gè)發(fā)生的是對(duì)立事件，互為對(duì)立的兩個(gè)事件的概率之和為1.(2)求較復(fù)雜事件的概率一般可分為三步進(jìn)行：①列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；②理清各事件之間的關(guān)系，列出關(guān)系式；③根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．【典例5】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）現(xiàn)有8張卡片，有3張分別印有“一等獎(jiǎng)”，“二等獎(jiǎng)”，“三等獎(jiǎng)”，其余5張印有“謝謝惠顧”．甲從中任選1張，設(shè)事件A表示“甲沒有中獎(jiǎng)”，事件B表示“甲獲得一等獎(jiǎng)”，事件C表示“甲獲得二等獎(jiǎng)”，事件D表示“甲獲得三等獎(jiǎng)”，事件E表示“甲中獎(jiǎng)”，則下列說法正確的是（

）A．事件A和事件E是對(duì)立事件 B．事件B和事件C是互斥事件C． D．【變式1】（23-24高一下·西藏拉薩·期末）從裝有3只紅球，3只白球的袋中任意取出3只球，則下列每對(duì)事件，是互斥事件，但不是對(duì)立事件的是（

）A．“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”B．“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”C．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”D．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”【變式2】（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．B與D互斥B．A與D互為對(duì)立事件C．D．【變式3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知事件兩兩互斥，若，則（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高一下·山東棗莊·期末）一個(gè)盒子中裝有6個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)綠球，1個(gè)黃球.若從中任取2個(gè)小球，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．恰有一個(gè)紅球的概率為B．兩個(gè)球都是紅球的概率為C．“有黃球”和“兩個(gè)都是紅球”互斥D．“至少有一個(gè)綠球”和“至多有一個(gè)綠球”互為對(duì)立題型06事件的獨(dú)立性解題錦囊解題錦囊1、相互獨(dú)立事件的概念對(duì)任意兩個(gè)事件與，如果不不成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．2、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)（1）事件與是相互獨(dú)立的，那么與，與，與也是否相互獨(dú)立．（2）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：．．【典例6】（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點(diǎn)數(shù)大于2，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）（多選）已知事件，滿足：，，則（

）.A．若，互斥，則B．若，互斥，則C．若，互相獨(dú)立，則D．若，互相獨(dú)立，則【變式2】（23-24高一下·廣東湛江·期末）（多選）今年“五一”假期，各大商業(yè)綜合體、超市等紛紛抓住節(jié)日商機(jī)，積極開展各類促銷活動(dòng)．在某超市購買80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，若顧客小王中獎(jiǎng)的概率為0.4，顧客小張中獎(jiǎng)的概率為0.2，則（

）A．小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為0.1 B．小王和小張都沒有中獎(jiǎng)的概率為0.46C．小王和小張中只有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.44 D．小王和小張中至多有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.92【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）（多選）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“兩枚硬幣朝上的面相同”，事件“兩枚硬幣朝上的面不同”，則（

）A． B．B與C互斥C．C與D互為對(duì)立 D．A與C相互獨(dú)立題型07古典概型解題錦囊解題錦囊古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概率的基礎(chǔ)．在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概型的題目．用古典概型計(jì)算概率時(shí)，一定要驗(yàn)證所構(gòu)造的樣本空間的樣本點(diǎn)是否是等可能的，同時(shí)要弄清所求事件所包含的等可能出現(xiàn)的結(jié)果(樣本點(diǎn))的個(gè)數(shù)．【典例7】（23-24高一下·甘肅白銀·期末）（多選）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，則下列事件發(fā)生的概率為的是（

）A． B．C． D．方程有實(shí)數(shù)解【變式1】（23-24高一下·陜西寶雞·期末）（多選）某年級(jí)有12個(gè)班，現(xiàn)要從2班到12班中選1個(gè)班的學(xué)生參加一項(xiàng)活動(dòng)，有人提議：擲兩個(gè)骰子，把得到的點(diǎn)數(shù)之和是幾就選幾班，針對(duì)這種選法下面說法不正確的有（

）A．公平，每個(gè)班被選到的概率都為B．公平，每個(gè)班被選到的概率都為C．不公平，6班被選到的概率最大D．不公平，7班被選到的概率最大【變式2】（23-24高一下·山東臨沂·期末）（多選）不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球、3個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出2個(gè)小球，記事件“取出的兩個(gè)球是一個(gè)黑球、一個(gè)白球”，事件“兩個(gè)球中至多一個(gè)黑球”，事件“兩個(gè)球均為白球”，則（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中不放回地任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是.【變式4】（23-24高一下·陜西西安·期末）我國古代十進(jìn)制數(shù)的算籌記數(shù)法是世界數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌一般為小圓棍，算籌計(jì)數(shù)法的表示方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空．縱式和橫式對(duì)應(yīng)數(shù)字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“—”，62記為“”．現(xiàn)從由4根算籌表示的兩位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為．題型08頻率與概率的關(guān)系解題錦囊解題錦囊(1)求一個(gè)事件的概率的一種方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)．(2)只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才可看作該事件的概率．(3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值．(4)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．(5)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1.【典例8】（24-25高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為【變式1】（24-25高一上·廣西崇左·開學(xué)考試）下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗(yàn)的結(jié)果．種子個(gè)數(shù)n100400900170027004000發(fā)芽種子個(gè)數(shù)m92352818133622513801發(fā)芽種子頻率0.920.880.910.890.900.90根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)該植物的種子發(fā)芽的概率為（精確到0.1）．【變式2】（24-25高一上·江西撫州·開學(xué)考試）一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個(gè)紅球，3個(gè)白球，若干個(gè)綠球，每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中約有綠球個(gè).【變式3】（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表所示．賠付金額/元01000200030004700車輛數(shù)/輛8008011012090若每輛車的投保金額均為2700元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率為；在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占15%，在賠付金額為4700元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占30%，估計(jì)在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4700元的概率為．題型09概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題解題錦囊解題錦囊統(tǒng)計(jì)和古典概型、對(duì)立事件的綜合是高考解答題的一個(gè)命題趨勢(shì)和熱點(diǎn),此類題很好地結(jié)合了統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí),并且在實(shí)際生活中應(yīng)用也十分廣泛,能很好地考查綜合解題能力,在解決綜合問題時(shí),要求對(duì)圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉,挖掘出圖表所給予的有用信息,排除無關(guān)數(shù)據(jù)的干擾,進(jìn)而抓住問題的實(shí)質(zhì),達(dá)到求解的目的.【典例9】（24-25高二上·四川綿陽·期中）單項(xiàng)選擇與多項(xiàng)選擇題是數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，單項(xiàng)選擇一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)正確答案，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，選錯(cuò)的得0分；多項(xiàng)選擇題一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分（兩個(gè)答案的每個(gè)答案3分，三個(gè)答案的每個(gè)答案2分），有選錯(cuò)的得0分.(1)考生甲有一道單項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得5分的概率；(2)考生乙有一道答案為ABD多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得4分的概率；(3)現(xiàn)有2道兩個(gè)正確答案的多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對(duì)與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.【變式1】（24-25高二上·云南·期中）某社團(tuán)為統(tǒng)計(jì)居民運(yùn)動(dòng)時(shí)長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為，，，，，六個(gè)小組（所調(diào)查的居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出圖中m的值，并估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長的中位數(shù)；(2)按分組用分層隨機(jī)抽樣的方法從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長在，這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運(yùn)動(dòng)心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.【變式2】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）袋子中有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，編號(hào)分別為1，2；白球有個(gè)，編號(hào)分別為，不放回地隨機(jī)摸出兩個(gè)球.(1)寫出實(shí)驗(yàn)的樣本空間；(2)記事件為“摸出的兩個(gè)球中有紅球”，求事件A發(fā)生的概率；(3)記事件為“摸出的兩個(gè)球全是白球”，事件為“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)”，求和，判斷事件是否相互獨(dú)立.【變式3】（23-24高一下·甘肅甘南·期末）為進(jìn)一步加強(qiáng)高層住宅小區(qū)消防安全管理，有效保障高層建筑消防安全及設(shè)施完好有效，督促物業(yè)服務(wù)單位落實(shí)消防安全責(zé)任，全面提升小區(qū)火災(zāi)抗御能力，南京某消防救援大隊(duì)對(duì)轄區(qū)內(nèi)一小區(qū)進(jìn)行消防安全檢查并對(duì)物業(yè)人員進(jìn)行消防安全知識(shí)考核競賽，規(guī)則如下：在初賽中有兩輪答題：第一輪從A類的5個(gè)問題中任選兩題作答，若兩題都答對(duì)，則得20分，否則得0分；第二輪從B類的4個(gè)問題中任選兩題依次作答，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分．若兩輪總得分不低于40分，則晉級(jí)復(fù)賽．甲和乙同時(shí)參賽，已知在A類的5個(gè)問題中，甲只能答對(duì)4個(gè)問題，在B類的4個(gè)問題中，甲答對(duì)的概率都為0.4；乙答對(duì)每個(gè)問題的概率都為0.6．甲、乙回答任一問題正確與否互不影響．(1)求甲在第一輪比賽中得0分的概率；(2)以晉級(jí)復(fù)賽的概率大小為依據(jù)，甲和乙誰更容易晉級(jí)復(fù)賽？第五章統(tǒng)計(jì)與概率章末題型大總結(jié)題型01統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念解題錦囊解題錦囊（1）普查像人口普查這樣，對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查．（2）總體、個(gè)體在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體．組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為個(gè)體．為了強(qiáng)調(diào)調(diào)查目的，也可以把調(diào)查對(duì)象的某些指標(biāo)的全體作為總體，每一個(gè)調(diào)查對(duì)象的相應(yīng)指標(biāo)作為個(gè)體．（3）抽樣調(diào)查（1）總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．（2）個(gè)體：構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體．（3）樣本：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行考察，這若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量．【典例1】（24-25高一上·四川成都·開學(xué)考試）下列調(diào)查中，適合用普查的是（

）A．了解我省初中學(xué)生的家庭作業(yè)時(shí)間 B．了解“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星零部件的質(zhì)量C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對(duì)廢電池的處理情況【答案】C【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果沒有普查準(zhǔn)確，但相對(duì)節(jié)約人力，物力和時(shí)間．【詳解】A、了解我省初中學(xué)生的家庭作業(yè)時(shí)間，適合抽樣調(diào)查，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、了解“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星零部件的狀況，適合用普查，符合題意；C、華為公司一批某型號(hào)手機(jī)電池的使用壽命，適合抽樣調(diào)查，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、了解某市居民對(duì)廢電池的處理情況，適合抽樣調(diào)查，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；．【變式1】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）下列調(diào)查，比較適用普查而不適用抽樣調(diào)查方式的是（

）A．為了了解中央電視臺(tái)春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的收視率B．為了了解高一某班的每個(gè)學(xué)生星期六晚上的睡眠時(shí)間C．為了了解夏季冷飲市場上冰淇淋的質(zhì)量情況D．為了考查一片實(shí)驗(yàn)田某種水稻的穗長情況【答案】C【分析】根據(jù)普查和抽樣調(diào)查的適用特征即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】A選項(xiàng)中做普查時(shí)數(shù)量太大，且該調(diào)查對(duì)調(diào)查結(jié)果準(zhǔn)確性的要求不高，適合采用抽樣調(diào)查的方式；B選項(xiàng)中班級(jí)人數(shù)有限，比較容易調(diào)查，因而適合普查；C選項(xiàng)中數(shù)量大并且時(shí)間長，不適合普查；D選項(xiàng)中普查時(shí)數(shù)量太大，要費(fèi)太大的人力物力，得不償失，不適合普查．故選:B.【變式2】（23-24高一下·新疆伊犁·階段練習(xí)）為了解某中學(xué)高一年級(jí)800名學(xué)生的身高情況，抽查了其中100名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．以上調(diào)查屬于全面調(diào)查B．每名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)個(gè)體C．100名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)樣本D．800名學(xué)生的身高是總體【答案】A【分析】總體是指考查的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目．我們?cè)趨^(qū)分總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，這四個(gè)概念時(shí)，首先找出考查的對(duì)象．從而找出總體、個(gè)體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對(duì)象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．【詳解】A．以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故符合題意；B．每名學(xué)生的身高情況是總體的一個(gè)個(gè)體，故不符合題意；C．100名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)樣本，故不符合題意；D．800名學(xué)生的身高情況是總體，故不符合題意；．【變式3】（23-24高一下·廣西河池·期末）某市市場監(jiān)管局為了了解飲料的質(zhì)量，從該市區(qū)某超市在售的50種飲料中抽取了種飲料，對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行了檢查．在這個(gè)問題中，是（

）A．總體 B．個(gè)體 C．樣本 D．樣本量【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)抽樣概念求解即可.【詳解】總體：我們把與所研究問題有關(guān)的全體對(duì)象稱為總體；個(gè)體：把組成總體的每個(gè)對(duì)象稱為個(gè)體；樣本：從總體中，抽取的一部分個(gè)體組成了一個(gè)樣本；樣本量：樣本中個(gè)體的個(gè)數(shù)叫樣本量，其不帶單位；在售的70種飲料中抽取了30種飲料，對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行了檢查，在這個(gè)問題中，70種飲料是總體，每一種飲料是個(gè)體，30種飲料是樣本，30是樣本量．．題型02抽樣方法解題錦囊解題錦囊隨機(jī)抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣兩種：【典例1】（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，某鄉(xiāng)政府采用分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研，已知甲村和乙村的人數(shù)之比是10：9，被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村比乙村多7人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是（

）A．133 B．170 C．70 D．63【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.【詳解】已知甲村和乙村的人數(shù)之比是10：9，根據(jù)分層抽樣，可設(shè)甲村被抽取參與調(diào)研的村民有10a人，則乙村被抽取參與調(diào)研的村民有9a人，則，解得.所以參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)為.【變式1】（24-25高一上·全國·課堂例題）下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（

）A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．紅星中學(xué)共有學(xué)生1800名，其中男生840名，防疫站對(duì)此校學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，抽取一個(gè)容量為200的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量【答案】C【分析】由分層抽樣的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】A中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較多，不適合分層抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣．.【變式2】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有12人的成績?cè)?00分以上，30人的成績?cè)?0～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況；②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員為參加接力賽的6支隊(duì)伍安排跑道．針對(duì)這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（

）A．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣 B．簡單隨機(jī)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣C．簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣 D．分層抽樣，分層抽樣【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣和簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)判斷即可.【詳解】對(duì)于①：考試成績?cè)诓煌謹(jǐn)?shù)段之間的同學(xué)有明顯的差異，用分層隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng)；對(duì)于②：總體包含的個(gè)體較少，用簡單隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng)．【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·階段練習(xí)）某工廠用簡單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)法對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，.從中抽取70個(gè)樣本，下圖是利用軟件生成的隨機(jī)數(shù)，只需隨機(jī)選定一個(gè)初始位置和方向開始讀數(shù)，每次讀取一個(gè)3位數(shù)，只要讀取的號(hào)碼落在編號(hào)范圍內(nèi)，該號(hào)碼就是所抽到的樣本編號(hào)，這樣即可獲得70個(gè)樣本的編號(hào)，注意樣本號(hào)碼不能重復(fù).若從表中第2行第6列的數(shù)2開始向右讀取數(shù)據(jù)，取到的第一個(gè)樣本編號(hào)是253，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（

）A．007 B．328 C．253 D．623【答案】A【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣規(guī)則列舉出前幾個(gè)，即可得解.【詳解】依題意可得抽取的樣本編號(hào)依次為：，，，，，，，所以第個(gè)樣本編號(hào)是.【變式4】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）某校高一年級(jí)有810名學(xué)生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為40，32，則該校高一年級(jí)的女生人數(shù)為（

）.A．470 B．380 C．400 D．320【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣定義計(jì)算即可.【詳解】由分層抽樣可得高一年級(jí)的女生人數(shù)為..題型02數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與數(shù)據(jù)的直觀表示解題錦囊解題錦囊扇形圖體現(xiàn)各部分?jǐn)?shù)量關(guān)系,柱形圖和折線圖體現(xiàn)具體數(shù)量和變化趨勢(shì).解決此類問題的通用方法是根據(jù)圖像逐項(xiàng)分析.【典例2】（23-24高一下·四川樂山·期末）（多選）小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是（

）A．娛樂開支比通信開支多5元B．日常開支比食品中的肉類開支多100元C．娛樂開支金額為100元D．肉類開支占儲(chǔ)蓄開支的【答案】CCD【分析】先由圖2計(jì)算出食品的開支，再由圖1計(jì)算出總開支，從而對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得解.【詳解】對(duì)于C，由圖2可知食品的開支為元，由圖1可知食品開支為，所以總開支為元，則娛樂開支為元，故C正確；對(duì)于A，通信開支為元，娛樂開支比通信開支多元，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，日常開支為元，肉類為元，日常開支比肉類開支多元，故B正確；對(duì)于D，儲(chǔ)蓄開支為元，肉類開支占儲(chǔ)蓄開支的，故D正確.CD.【變式1】（24-25高一上·廣西南寧·期中）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗升汽油行駛的里程．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（

）A．消耗升汽油，乙車最多可行駛千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以千米小時(shí)的速度行駛小時(shí)，消耗10升汽油D．某段道路機(jī)動(dòng)車最高限速40千米小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】A【分析】根據(jù)汽車的“燃油效率”的定義結(jié)合圖象依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可；【詳解】對(duì)于A，由圖象可知當(dāng)速度大于時(shí)，乙車的燃油效率大于，當(dāng)速度大于時(shí)，消耗升汽油，乙車的行駛距離大于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，由圖象可知當(dāng)速度相同時(shí)，甲車的燃油效率最高，即當(dāng)速度相同時(shí)，消耗升汽油，甲車的行駛路程最遠(yuǎn)，以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)速度為時(shí)，甲車的燃油效率為，即甲車行駛時(shí)，耗油升，故甲車行駛小時(shí)，路程為，耗油為升，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)速度小于時(shí)，丙車燃油效率大于乙車的燃油效率，用丙車比用乙車更省油，故D正確.【變式2】（23-24高一下·重慶巫山·期末）（多選）某學(xué)校對(duì)高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（

）A．該校高一學(xué)生總數(shù)為B．該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為96C．該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多D．用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人【答案】ACD【分析】根據(jù)政史地的人數(shù)和占比求出高一學(xué)生總數(shù)判斷A，根據(jù)選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等和圖表中的信息求出各選科的人數(shù)判斷BC，利用分層抽樣的特點(diǎn)判斷D.【詳解】由扇形圖和條形圖可知，選政史地的人數(shù)為人，占比，所以該校高一學(xué)生總數(shù)為人，A說法正確；由扇形圖可知選擇物化生的人數(shù)為人，所以選擇物化地和物化政的人數(shù)為人，又因?yàn)檫x考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，所以選考物化地和物化政組合的人數(shù)均為人，B說法錯(cuò)誤；該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)有人，選考?xì)v史的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多，C說法正確；因?yàn)檫x考生史地的學(xué)生人數(shù)占比為，所以用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人，D說法正確；CD【變式3】（多選）甲、乙兩個(gè)跑步愛好者利用微信運(yùn)動(dòng)記錄了去年下半年每個(gè)月的跑步里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A．甲跑步里程的極差等于110B．乙跑步里程的中位數(shù)是270C．分別記甲、乙下半年每月跑步里程的平均數(shù)為，，則D．分別記甲乙下半年每月跑步里程的標(biāo)準(zhǔn)差為，，則【答案】AD【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，甲跑步里程的極差為，A正確；對(duì)于B，乙跑步里程的中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲跑步里程的平均數(shù)，乙跑步里程的平均數(shù)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)折線圖知，甲的波動(dòng)大，乙的波動(dòng)小，，D正確.D題型04用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征解題錦囊解題錦囊樣本的數(shù)字特征可分為兩大類:一類是反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的,包括平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);另一類是反映樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的,包括樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差.通常,在實(shí)際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究方差,方差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的離散程度,在平均數(shù)相同的情況下,方差越大,離散程度越大,數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大,穩(wěn)定性越差;方差越小,數(shù)據(jù)越集中,穩(wěn)定性越好.【典例4】（24-25高二上·四川成都·期中）2024年度最具幸福感城市調(diào)查推選活動(dòng)于9月16日正式啟動(dòng)，在100個(gè)地級(jí)及以上的候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為7.5 B．該組數(shù)據(jù)的極差為5C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5 D．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7【答案】D【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可判斷A，根據(jù)極差的定義即可求解B，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算即可求解C，根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算即可求解D.【詳解】A選項(xiàng)：，因此該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故A正確；B選項(xiàng)：該組數(shù)據(jù)最大為9，最小為4，因此極差為，故B正確；C選項(xiàng)：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第五個(gè)和第六個(gè)數(shù)據(jù)的平均值7，故D正確，.【變式1】（24-25高二上·山東青島·期中）為了了解某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績，利用分層隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)10人的樣本，統(tǒng)計(jì)如下表：則可估計(jì)全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分和方差分別為（

）學(xué)生數(shù)平均分方差男生6804女生4752A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11【答案】D【分析】由平均數(shù)及方差計(jì)算公式即可求解.【詳解】由均值和方差公式直接計(jì)算.可估計(jì)全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分為，方差為..【變式2】（24-25高二上·云南迪慶·期中）已知樣本數(shù)據(jù)90，100，95，110，105，則（

）A．極差為20 B．平均數(shù)為103 C．方差為70 D．分位數(shù)為97【答案】AC【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的極差，平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的定義依次求解即可.【詳解】由題意可得樣本數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；方差為，故C正確；將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為90，95，100，105，110，因?yàn)?，所以分位?shù)為，故D錯(cuò).C【變式3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期末）（多選）已知甲組數(shù)據(jù)為4，3，2，乙組數(shù)據(jù)為6，7，8，將甲、乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（

）A．丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5B．甲組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是2C．甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差D．甲組數(shù)據(jù)的極差等于乙組數(shù)據(jù)的極差【答案】ACD【分析】根據(jù)中位數(shù)，百分位數(shù)，方差以及極差的計(jì)算和定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】將丙組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，6，7，8，可得丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確.將甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，因?yàn)?，所以甲組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是4，B錯(cuò)誤.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差等于，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差等于，故方差相等，C正確.甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，D正確.CD【變式4】（24-25高二上·浙江·期中）（多選）從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項(xiàng)正確的有（

）A． B．本組樣本的眾數(shù)為270C．本組樣本的第45百分位數(shù)是300 D．用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為82【答案】ACD【分析】由頻率分布直方圖中矩形面積之和為1計(jì)算可得A正確；根據(jù)眾數(shù)以及百分位數(shù)定義計(jì)算可得B錯(cuò)誤，C正確；由頻率估計(jì)對(duì)應(yīng)頻數(shù)計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，解得，故A正確；對(duì)于B，樣本的眾數(shù)位于內(nèi)，但不一定是270，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，故第45百分位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，故C正確；對(duì)于D，的頻率為，故用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為，故D正確.CD題型05用樣本的分布估計(jì)總體的分布解題錦囊解題錦囊1、頻率分布直方圖（1）各個(gè)小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小，各小長方形的面積的總和等于1．(2)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)值.(3)平均數(shù):平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(4)眾數(shù):最高的矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).2、由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況,這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù),沒有任何信息損失,第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示.其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時(shí),作圖較煩瑣.【典例5】某市甲、乙兩個(gè)監(jiān)測站在10日內(nèi)分別對(duì)空氣中某污染物實(shí)施監(jiān)測，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：g/m3）如圖所示，以下說法正確的是（

）A．這10日內(nèi)任何一天甲監(jiān)測站的大氣環(huán)境質(zhì)量均好于乙監(jiān)測站B．這10日內(nèi)甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的中位數(shù)小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的中位數(shù)C．這10日內(nèi)乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值是167D．這10日內(nèi)甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的平均值小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的平均值【答案】D【分析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由莖葉圖易知A錯(cuò)誤；甲監(jiān)測站污染物濃度的中位數(shù)是，乙監(jiān)測站污染物濃度的中位數(shù)是167，B錯(cuò)誤；這10日內(nèi)乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值，即眾數(shù)是167，C正確；甲監(jiān)測站該污染物濃度的平均值，，D錯(cuò)誤;故選:C．【變式1】（23-24高二下·上?！て谥校ǘ噙x）從某個(gè)品種的小麥中隨機(jī)選取14株，測量麥穗長度（單位：），所得的樣本數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，據(jù)此可估計(jì)該品種小麥麥穗長度情況，那么下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．小麥麥穗長度的極差是3.9 B．小麥麥穗長度的中位數(shù)等于眾數(shù)C．小麥麥穗長度的中位數(shù)小于平均數(shù) D．小麥麥穗長度的第75百分位數(shù)是10.6【答案】ACD【分析】根據(jù)莖葉圖可得這14組數(shù)據(jù)，然后求極差，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)即可求解.【詳解】由題可知最大的數(shù)是11.7，最小的數(shù)是7.8，故極差為3.9，A正確；中位數(shù)為：；眾數(shù)為：9.7；平均數(shù)為：

，，故第75百分位數(shù)為：10.6，由以上數(shù)據(jù)可知：ACD正確，CD.【變式2】（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）某校組織70名學(xué)生參加慶祝中華人民共和國不成立75周年知識(shí)競賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這70名學(xué)生的成績都在區(qū)間內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．成績?cè)谏系娜藬?shù)最少B．成績不低于80分的學(xué)生所占比例為C．70名學(xué)生成績的極差為70D．70名學(xué)生成績的平均分小于中位數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出的頻率，再結(jié)合各組頻率及統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)這一組的頻率為，則由各組頻率之和為1，得，解得，各組頻率依次為：，對(duì)于A，這一組頻率最小，即成績?cè)谏系娜藬?shù)最少，A正確；對(duì)于B，成績不低于80分的學(xué)生頻率為，成績不低于80分的學(xué)生所占比例為，B正確；對(duì)于C，極差為數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，而70名學(xué)生的成績都在區(qū)間內(nèi)，但成績的最大值不一定是100，最小值也不一定是，則極差小于等于，但不一定等于70，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)頻率分布直方圖，得70名學(xué)生成績的平均數(shù)是，而70名學(xué)生成績的中位數(shù)為80，因此70名學(xué)生成績的平均分小于中位數(shù)，D正確.【變式3】（23-24高一下·湖北咸寧·期末）（多選）某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識(shí)答題比賽，對(duì)參賽的2000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（

）A．考生參賽成績的平均分約為72.8分B．考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分C．分?jǐn)?shù)在區(qū)間60,70內(nèi)的頻率為0.2D．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則成績?cè)趨^(qū)間應(yīng)抽取30人【答案】CC【分析】對(duì)A，確定每組數(shù)據(jù)中間值，以及每組數(shù)據(jù)的頻率代入到求平均數(shù)的公式即可求得；對(duì)B，第75百分位數(shù)得到位于內(nèi)，代入公式可計(jì)算第75百分位數(shù)值；對(duì)C，分?jǐn)?shù)在區(qū)間60,70內(nèi)的頻率為0.2可判斷；對(duì)D，用分層隨機(jī)抽樣可得區(qū)間應(yīng)抽取80人，即得到答案.【詳解】對(duì)A，平均成績?yōu)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于內(nèi)，則第75百分位數(shù)為，故B正確；對(duì)C，分?jǐn)?shù)在區(qū)間60,70內(nèi)的頻率為，故C正確；對(duì)D，區(qū)間應(yīng)抽取人，故D錯(cuò)誤.C題型05互斥事件與對(duì)立事件解題錦囊解題錦囊(1)不能同時(shí)發(fā)生的是互斥事件，反映在集合上就是兩事件的交集為空集．在互斥的基礎(chǔ)上必有一個(gè)發(fā)生的是對(duì)立事件，互為對(duì)立的兩個(gè)事件的概率之和為1.(2)求較復(fù)雜事件的概率一般可分為三步進(jìn)行：①列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；②理清各事件之間的關(guān)系，列出關(guān)系式；③根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．【典例5】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）現(xiàn)有8張卡片，有3張分別印有“一等獎(jiǎng)”，“二等獎(jiǎng)”，“三等獎(jiǎng)”，其余5張印有“謝謝惠顧”．甲從中任選1張，設(shè)事件A表示“甲沒有中獎(jiǎng)”，事件B表示“甲獲得一等獎(jiǎng)”，事件C表示“甲獲得二等獎(jiǎng)”，事件D表示“甲獲得三等獎(jiǎng)”，事件E表示“甲中獎(jiǎng)”，則下列說法正確的是（

）A．事件A和事件E是對(duì)立事件 B．事件B和事件C是互斥事件C． D．【答案】ABC【分析】用1,2.3分別表示印有“一等獎(jiǎng)”，“二等獎(jiǎng)”，“三等獎(jiǎng)”的三張卡片；用表示印有“謝謝惠顧”的五張卡片，寫出樣本空間，及事件，根據(jù)對(duì)立事件的定義驗(yàn)證選項(xiàng)A；根據(jù)互斥事件的定義驗(yàn)證選項(xiàng)B；根據(jù)并、交事件的定義寫出事件，，再根據(jù)古典概型的概率公式檢驗(yàn)選項(xiàng)C，D即可.【詳解】用1,2.3分別表示印有“一等獎(jiǎng)”，“二等獎(jiǎng)”，“三等獎(jiǎng)”的三張卡片；用表示印有“謝謝惠顧”的五張卡片，則樣本空間為，由題意知，因?yàn)?，所以事件A和事件E是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以事件B和事件C是互斥事件，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；BC.【變式1】（23-24高一下·西藏拉薩·期末）從裝有3只紅球，3只白球的袋中任意取出3只球，則下列每對(duì)事件，是互斥事件，但不是對(duì)立事件的是（

）A．“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”B．“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”C．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”D．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”【答案】AB【分析】對(duì)于A，判斷兩個(gè)事件是否可以同時(shí)發(fā)生，從而判斷是否為互斥事件，接下來判斷是否為對(duì)立事件；對(duì)于BCD，利用與A相同的方法進(jìn)行分析，從而解答題目.【詳解】從袋中任意取出3個(gè)球，可能的情況有：“3個(gè)紅球”“2個(gè)紅球、1個(gè)白球”“1個(gè)紅球、2個(gè)白球”“3個(gè)白球”.對(duì)于A：“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個(gè)都不發(fā)生，故不是對(duì)立事件，故A正確；對(duì)于B：“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，但有可能同時(shí)不發(fā)生，故不是對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C：“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，其中必有一事件發(fā)生，故是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同事發(fā)生，故不是互斥事件，不可能是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤.B.【變式2】（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．B與D互斥B．A與D互為對(duì)立事件C．D．【答案】ABD【分析】寫出以及樣本空間所包含的基本事件，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由題意，樣本空間為，對(duì)于A，，這意味著不可能同時(shí)發(fā)生，故A正確；對(duì)于B，，這意味著中有且僅有一個(gè)事情發(fā)生，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.BD.【變式3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知事件兩兩互斥，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，故D正確；，則，故A正確；，則，故B錯(cuò)誤；，故C正確.CD【變式4】（23-24高一下·山東棗莊·期末）一個(gè)盒子中裝有6個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)綠球，1個(gè)黃球.若從中任取2個(gè)小球，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．恰有一個(gè)紅球的概率為B．兩個(gè)球都是紅球的概率為C．“有黃球”和“兩個(gè)都是紅球”互斥D．“至少有一個(gè)綠球”和“至多有一個(gè)綠球”互為對(duì)立【答案】ABD【分析】根據(jù)古典概型，分別計(jì)算樣本空間和事件空間，可得相應(yīng)概率，判斷A、B，再根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件定義判斷C、D，可得答案.【詳解】從6個(gè)球中任取2個(gè)球共有種取法，設(shè)三個(gè)紅球記為1，2，3，兩個(gè)綠球記為，，一個(gè)黃球記為，記事件A為恰有一個(gè)紅球，，即恰有一個(gè)紅球共18種取法，所以，故A錯(cuò)誤；記事件B為兩個(gè)球都是紅球，則，所以，故B錯(cuò)誤；記事件為有黃球，表示2個(gè)球中至少有1個(gè)是黃球，而兩個(gè)球都是紅球，不可能包含黃球，即C和B不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故C正確；記事件為至少有一個(gè)綠球，則D包含恰有1個(gè)綠球，記事件為至多一個(gè)綠球，則E也包含恰有1個(gè)綠球，所以，所以“至少一個(gè)綠球”和“至多一個(gè)綠球”不是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤.BD．題型06事件的獨(dú)立性解題錦囊解題錦囊1、相互獨(dú)立事件的概念對(duì)任意兩個(gè)事件與，如果不不成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．2、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)（1）事件與是相互獨(dú)立的，那么與，與，與也是否相互獨(dú)立．（2）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：．．【典例6】（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點(diǎn)數(shù)大于2，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】ABD【分析】先利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出基本事件數(shù)，再求出符合條件的事件數(shù)，進(jìn)而求解概率判斷A，B，利用獨(dú)立事件的乘法公式判斷C，D即可.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理得基本事件的總數(shù)為個(gè)，事件包含的基本事件為，，共18個(gè)，所以，事件包含的基本事件為，共9個(gè)，所以，故A正確;事件包含的基本事件為，，，共有24個(gè)，所以，故B正確，而包含的基本事件為共有9個(gè)，所以，而，故，所以與不是相互獨(dú)立事件，故C錯(cuò)誤;而包含的基本事件為，共有6個(gè)，所以，而，故，所以與是相互獨(dú)立事件，故D正確.BD.【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）（多選）已知事件，滿足：，，則（

）.A．若，互斥，則B．若，互斥，則C．若，互相獨(dú)立，則D．若，互相獨(dú)立，則【答案】AD【分析】根據(jù)概率加法公式判斷A，根據(jù)互斥事件定義判斷B，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式判斷D，根據(jù)概率加法公式判斷C.【詳解】當(dāng)，互斥時(shí)，，又，，所以，A正確；當(dāng)，互斥時(shí)，事件，不可能同時(shí)發(fā)生，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)，互相獨(dú)立，則，又，，所以，D正確；當(dāng)，互相獨(dú)立時(shí)，，C錯(cuò)誤.D.【變式2】（23-24高一下·廣東湛江·期末）（多選）今年“五一”假期，各大商業(yè)綜合體、超市等紛紛抓住節(jié)日商機(jī)，積極開展各類促銷活動(dòng)．在某超市購買80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，若顧客小王中獎(jiǎng)的概率為0.4，顧客小張中獎(jiǎng)的概率為0.2，則（

）A．小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為0.1 B．小王和小張都沒有中獎(jiǎng)的概率為0.46C．小王和小張中只有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.44 D．小王和小張中至多有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.92【答案】DD【分析】對(duì)于A和B，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得；對(duì)于C，利用互斥事件的概率加法公式即得；對(duì)于D，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】對(duì)于A，因小王和小張中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，小王和小張都沒有中獎(jiǎng)的概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，小王和小張中只有一個(gè)人中獎(jiǎng)包括兩種情況：①小王中獎(jiǎng)但小張沒中獎(jiǎng)；②小張中獎(jiǎng)但小王沒中獎(jiǎng).兩者互斥，故只有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為：，故C正確；對(duì)于D，因“小王和小張中至多有一個(gè)人中獎(jiǎng)”的對(duì)立事件為“小王和小張都中獎(jiǎng)”，故小王和小張中至多有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為，故D正確.D.【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）（多選）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“兩枚硬幣朝上的面相同”，事件“兩枚硬幣朝上的面不同”，則（

）A． B．B與C互斥C．C與D互為對(duì)立 D．A與C相互獨(dú)立【答案】ACD【分析】利用古典概型公式即可判斷A，根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件以及對(duì)立事件的定義即可判斷BCD.【詳解】分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)的情況有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四種情況，事件包含（正，正），（正，反）種，事件包含（反，正），（正，正）種，事件包含（正，正），（反，反）種，事件包含（正，反），（反，正）種，對(duì)于A，事件，故A正確；對(duì)于B，事件B和C可能同時(shí)發(fā)生，即（正，正），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上面列舉知，事件C與D為互斥事件，且其并集構(gòu)成了整個(gè)樣本空間，即C與D互為對(duì)立，故C正確；對(duì)于D，由上面列舉知：，，所以事件A與C相互獨(dú)立，故D正確.CD.題型07古典概型解題錦囊解題錦囊古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概率的基礎(chǔ)．在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概型的題目．用古典概型計(jì)算概率時(shí)，一定要驗(yàn)證所構(gòu)造的樣本空間的樣本點(diǎn)是否是等可能的，同時(shí)要弄清所求事件所包含的等可能出現(xiàn)的結(jié)果(樣本點(diǎn))的個(gè)數(shù)．【典例7】（23-24高一下·甘肅白銀·期末）（多選）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，則下列事件發(fā)生的概率為的是（

）A． B．C． D．方程有實(shí)數(shù)解【答案】CCD【分析】利用列舉法及古典概型概率公式逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】先后拋擲一枚骰子兩次，得到基本事件總數(shù)有36種.對(duì)于選項(xiàng)A，滿足的有，，，，，共5種，故概率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，滿足的有，，，，，，共6種，故概率為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，滿足，即的有，，，，，，共6種，故概率為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，方程有實(shí)數(shù)解，則，即，符合題意的有1,4，，，，，，共6種，故概率為，故D正確.CD.【變式1】（23-24高一下·陜西寶雞·期末）（多選）某年級(jí)有12個(gè)班，現(xiàn)要從2班到12班中選1個(gè)班的學(xué)生參加一項(xiàng)活動(dòng)，有人提議：擲兩個(gè)骰子，把得到的點(diǎn)數(shù)之和是幾就選幾班，針對(duì)這種選法下面說法不正確的有（

）A．公平，每個(gè)班被選到的概率都為B．公平，每個(gè)班被選到的概率都為C．不公平，6班被選到的概率最大D．不公平，7班被選到的概率最大【答案】ABC【分析】求出每個(gè)班被選到的概率，如果概率不相等，則不公平.【詳解】列表如下：和123456123456723456783456789456789105678910116789101112點(diǎn)數(shù)之和為，點(diǎn)數(shù)之和為點(diǎn)數(shù)之和為，點(diǎn)數(shù)之和為點(diǎn)數(shù)之和為，點(diǎn)數(shù)之和為點(diǎn)數(shù)之和為，點(diǎn)數(shù)之和為點(diǎn)數(shù)之和為，點(diǎn)數(shù)之和為點(diǎn)數(shù)之和為，點(diǎn)數(shù)之和為，所以不公平，7班被選到的概率最大.故選：【變式2】（23-24高一下·山東臨沂·期末）（多選）不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球、3個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出2個(gè)小球，記事件“取出的兩個(gè)球是一個(gè)黑球、一個(gè)白球”，事件“兩個(gè)球中至多一個(gè)黑球”，事件“兩個(gè)球均為白球”，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】利用列舉法寫出隨機(jī)取出個(gè)小球的基本事件，根據(jù)題設(shè)描述列舉對(duì)應(yīng)事件，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】記個(gè)白球?yàn)?，個(gè)黑球?yàn)?，隨機(jī)取出個(gè)小球的事件如下，，事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故A正確；事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，又，故D錯(cuò)誤；其中對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故B正確；對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故C錯(cuò)誤.B【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中不放回地任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是.【答案】/【分析】列舉所有可能的情況求解即可.【詳解】由題意，任取兩個(gè)數(shù)所有可能的情況有，，1,4，，2,3，，，，，共10種情況，其中兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的情況有，，共3種情況，故兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是.故答案為：【變式4】（23-24高一下·陜西西安·期末）我國古代十進(jìn)制數(shù)的算籌記數(shù)法是世界數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌一般為小圓棍，算籌計(jì)數(shù)法的表示方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空．縱式和橫式對(duì)應(yīng)數(shù)字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“—”，62記為“”．現(xiàn)從由4根算籌表示的兩位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為．【答案】/【分析】分類討論，利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題意可知，共有4根算籌，當(dāng)十位1根，個(gè)位3根，共有2個(gè)兩位數(shù)13、17；當(dāng)十位2根，個(gè)位2根，共有4個(gè)兩位數(shù)22，26，62，66；當(dāng)十位3根，個(gè)位1根，共有2個(gè)兩位數(shù)31，71；當(dāng)十位4根，個(gè)位0根，共有2個(gè)兩位數(shù)40，80；其中質(zhì)數(shù)有13、17、31、71，所以取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為，故答案為：題型08頻率與概率的關(guān)系解題錦囊解題錦囊(1)求一個(gè)事件的概率的一種方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)．(2)只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才可看作該事件的概率．(3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值．(4)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?5)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1.【典例8】（24-25高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為【答案】；/；.【分析】根據(jù)頻率的計(jì)算方法求頻率，根據(jù)概率的概念得概率.【詳解】正面向上的頻率為：；因?yàn)橛矌刨|(zhì)地均勻，所以正面向上的概率為：.故答案為：；.【變式1】（24-25高一上·廣西崇左·開學(xué)考試）下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗(yàn)的結(jié)果．種子個(gè)數(shù)n100400900170027004000發(fā)芽種子個(gè)數(shù)m92352818133622513801發(fā)芽種子頻率0.920.880.910.890.900.90根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)該植物的種子發(fā)芽的概率為（精確到0.1）．【答案】【分析】根據(jù)頻率與概率之間的關(guān)系即可求得；【詳解】在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率；觀察表格得到某種植物發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在附近，進(jìn)而求解即可.故答案為：【變式2】（24-25高一上·江西撫州·開學(xué)考試）一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個(gè)紅球，3個(gè)白球，若干個(gè)綠球，每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中約有綠球個(gè).【答案】8【分析】根據(jù)綠球個(gè)數(shù)除以總個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)橥ㄟ^大量重復(fù)的摸球?qū)嶒?yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在，所以摸到綠球的概率為，設(shè)不透明的袋中有個(gè)綠球，因?yàn)榭沾杏?個(gè)紅個(gè)球，3個(gè)白球，所以，解得：;故答案為：8【變式3】（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表所示．賠付金額/元01000200030004700車輛數(shù)/輛8008011012090若每輛車的投保金額均為2700元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率為；在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占15%，在賠付金額為4700元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占30%，估計(jì)在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4700元的概率為．【答案】0.21/0.18/【分析】計(jì)算出賠付金額大于投保金額的頻率，得到估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；在求出投保的新司機(jī)人數(shù)和賠付金額為4700元的樣本車輛中，新司機(jī)人數(shù)，估計(jì)出在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4700元的概率.【詳解】賠付金額大于投保金額的頻率為，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率為0.21，在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占15%，故投保的新司機(jī)人數(shù)為，在賠付金額為4700元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占30%，即人，估計(jì)在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4700元的概率為.故答案為：0.21，0.18題型09概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題解題錦囊解題錦囊統(tǒng)計(jì)和古典概型、對(duì)立事件的綜合是高考解答題的一個(gè)命題趨勢(shì)和熱點(diǎn),此類題很好地結(jié)合了