高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修二同步講義第4章第05講正態(tài)分布(學(xué)生版+解析)

第05講正態(tài)分布課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量．2．通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征．3．了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．1．理解正態(tài)分布概念．2．掌握正態(tài)分布的定義，會(huì)利用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題．3．了解正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換，能利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率．知識(shí)點(diǎn)01正態(tài)曲線1．定義：函數(shù)φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個(gè)參數(shù)，其中：μE(X)，即X的均值；σeq\r(D（X）)，即X的標(biāo)準(zhǔn)差．一般地，φ(x)對(duì)應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線(也因形狀之故而被稱為“鐘形曲線”，φ(x)也常常記為φμ，σ(x)).2．性質(zhì)(1)正態(tài)曲線關(guān)于xμ對(duì)稱(即μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點(diǎn)；(2)正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1；(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”．【解讀】(1)正態(tài)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線在xμ時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，其圖像“中間高，兩邊低”；(3)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(4)正態(tài)曲線完全由變量μ和σ確定，參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量的平均水平的特征數(shù)，所以用樣本的均值去估計(jì)；σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．【即學(xué)即練1】（1）若f(x)eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up7(－eq\f((x－1)2,2))，x∈R，則f(x)()A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但無(wú)最小值C．無(wú)最大值，也無(wú)最小值D．有最小值，但無(wú)最大值（2）正態(tài)分布密度函數(shù)為φμ，σ(x)eq\f(1,\r(8π))eeq\s\up7(－eq\f(x2,8))，x∈(－∞，＋∞)，則總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A．0和8 B．0和4C．0和2 D．0和eq\r(2)知識(shí)點(diǎn)02正態(tài)分布1．定義及表示：一般地，如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總是等于φμ，σ(x)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，此時(shí)φμ，σ(x)稱為X的概率密度函數(shù)．更進(jìn)一步的研究表明，此時(shí)μ是X的均值，而σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差，σ2是X的方差．【解讀】參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2．正態(tài)分布的幾個(gè)常用數(shù)據(jù)：如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)P(X≥μ)70%，P(|X－μ|≤σ)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(|X－μ|≤2σ)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.【解讀】式子中X的取值是否包括端點(diǎn)不影響概率的值．一般考試時(shí)會(huì)給出相關(guān)數(shù)據(jù)，做題目時(shí)以題目給出的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)．3.3σ原則由P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%可知，X約有99.7%的可能會(huì)落在距均值3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，也就是說(shuō)只有約0.3%的可能會(huì)落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結(jié)論通常稱為正態(tài)分布的“3σ原則”．【解讀】對(duì)小概率事件的理解：(1)小概率事件是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的，如果試驗(yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很有可能發(fā)生的；(2)當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生”的原理進(jìn)行推斷時(shí)，也有0.3%犯錯(cuò)的可能．【即學(xué)即練2】關(guān)于正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào))①隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為3σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件；②隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為6σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件；③隨機(jī)變量落在[－3σ，3σ]之外是一個(gè)小概率事件；④隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件．知識(shí)點(diǎn)03標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1．定義：μ0且σ1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其在正態(tài)分布中扮演著核心角色，這是因?yàn)槿绻鸜～N(μ，σ2)，那么令Xeq\f(Y－μ,σ)，則可以證明X～N(0，1)，即任意正態(tài)分布通過(guò)變換都可化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的概率分布：如果X～N(0，1)，那么對(duì)于任意a，通常記Φ(a)P(X<a)，也就是說(shuō)Φ(a)表示N(0，1)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(－∞，a)內(nèi)的面積，如圖所示：3．性質(zhì)：根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可以知道Φ(a)具有性質(zhì)Φ(－a)＋Φ(a)1.【即學(xué)即練3】若隨機(jī)變量X～N(0，1)，則P(x＜0)________．題型01正態(tài)密度函數(shù)【典例1】函數(shù)(其中)的圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【變式1】已知正態(tài)分布密度函數(shù)，，則分別是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和【變式2】設(shè)隨機(jī)變量，則X的密度函數(shù)為（

）A． B．C． D．【變式3】設(shè)隨機(jī)變量，X的正態(tài)密度函數(shù)為，則.題型02正態(tài)密度曲線的性質(zhì)【典例2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)分別服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．【變式1】已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【變式2】設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．對(duì)任意正數(shù)， D．對(duì)任意正數(shù)，【變式3】如圖分別是甲?乙?丙三種品牌手表日走時(shí)誤差分布的正態(tài)分布密度曲線，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等B．C．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙D．三種品牌手表中甲品牌的質(zhì)量最好題型03求指定區(qū)間上的概率【典例3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【變式1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，，那么的值為（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則.(精確到小數(shù)點(diǎn)后第五位)題型04求特定區(qū)間上的概率【典例4】（23-24高二下·山東聊城·期中）商場(chǎng)出售的袋裝大米，每袋凈重X（單位：kg）服從正態(tài)分布．隨機(jī)抽取1袋，其凈重在9.95kg與10.10kg之間的概率為（

）（注：若，，，）A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755【變式1】（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·期末）已知，則.附：若，則，.【變式2】（23-24高二下·河南安陽(yáng)·期中）某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，若本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．2400 B．1200 C．1000 D．800【變式3】（23-24高二下·福建三明·期末）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：A．288 B．188 C．72 D．12【變式4】（23-24高二下·廣東江門·期末）某校高二級(jí)學(xué)生參加期末調(diào)研考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布，將考試成績(jī)從高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．若小明的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?05分，則屬于等級(jí)（

）（附：，，）A．A B．B C．C D．D題型05根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)【典例5】（23-24高二下·湖南湘西·期末）（多選）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.【變式2】（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）隨機(jī)變量服從若則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高二下·廣東珠海·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，若，則的值為．題型06標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題【典例6】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）某省計(jì)劃在高考中對(duì)政治、地理、化學(xué)、生物四門選考科目進(jìn)行賦分制度計(jì)分，即將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A、B、C、D、E共5個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為10%，35%，35%，18%，2%，選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換原則，分別轉(zhuǎn)換到，，、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的賦分等級(jí)成績(jī)，如果該省某次高考模擬考試政治科目的原始成績(jī)，若一名學(xué)生想取得A等的賦分等級(jí)，則他的原始分?jǐn)?shù)最低為分．（分?jǐn)?shù)保留整數(shù)）附：①若，，則；②當(dāng)時(shí)，．【變式1】（23-24高二下·江蘇淮安·期末）隨機(jī)變量，，若，則.【變式2】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，則．（用字母表示）【變式3】（2024·江蘇宿遷·一模）（多選）設(shè)隨機(jī)變量，其中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù) D．題型07正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【典例7】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng).某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入X（單位：萬(wàn)元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入X近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過(guò)9.06萬(wàn)元的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來(lái)估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，記年收入不超過(guò)9.06萬(wàn)元的農(nóng)戶家庭數(shù)為ξ，求.（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則③【變式1】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某市某中學(xué)為了了解高一年級(jí)學(xué)生的閱讀情況，從高一年級(jí)全部1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們每周的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該校高一學(xué)生每周閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學(xué)生的每周閱讀時(shí)間的平均值（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示），．(1)試估計(jì)高一全體學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)（四舍五入取整）；(2)若從高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)選出的5人中每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【變式2】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）襄陽(yáng)市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了了解襄陽(yáng)市民每年旅游消費(fèi)支出費(fèi)用(單位：千元)，寒假期間對(duì)游覽某簽約景區(qū)的名襄陽(yáng)市游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：組別(支出費(fèi)用)頻數(shù)(1)從樣本中隨機(jī)抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出均不低于元的概率(2)若襄陽(yáng)市民的旅游支出費(fèi)用近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：（i）假定襄陽(yáng)市常住人口為萬(wàn)人，試估計(jì)襄陽(yáng)市有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在元以上（ii）若在襄陽(yáng)市隨機(jī)抽取位市民，設(shè)其中旅游費(fèi)用在元以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值．附：若∽，則，，．【變式3】某省舉辦了一次高三年級(jí)化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該省及各市本次模擬考試成績(jī)（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布．(1)已知本次模擬考試甲市平均成績(jī)?yōu)?5分，87分以上共有228人．甲市學(xué)生的成績(jī)?yōu)?6分，試估計(jì)學(xué)生在甲市的大致名次；(2)在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，記表示在本次考試中化學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)，求的概率及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：參考公式：若，有，題型083σ原則的應(yīng)用【典例8】某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值作為估計(jì)值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過(guò)程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ⅱ）若設(shè)備狀態(tài)正常，記表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【變式1】假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：），該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于.(1)求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率為多少；(2)檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理？請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2】某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過(guò)，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為，第二關(guān)通過(guò)的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為470分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2700名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量，則；；.【變式3】（23-24高二下·重慶·期末）國(guó)家對(duì)化學(xué)元素鎵（）相關(guān)物項(xiàng)實(shí)施出口管制.鎵在高端半導(dǎo)體領(lǐng)域有著非常重要的作用，其應(yīng)用前景十分廣闊.某鎵合金研制單位為了讓鎵合金中的鎵元素含量百分比穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)，由質(zhì)檢員每天17次隨機(jī)抽取并檢測(cè)鎵元素在鎵合金材料中的含量百分比.設(shè)表示一天的17次檢測(cè)得到的鎵含量（單位：）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并記監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.設(shè)表示鎵合金中鎵含量（單位：），且，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，令，根據(jù)表中的和值解答：12340.68270.95450.99730.99990.00150.45310.95510.9983(1)記表示一天中抽取17次的鎵含量的次數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)一天中至少1次監(jiān)測(cè)鎵含量，就認(rèn)為該天研制情況異常，須對(duì)研制過(guò)程作改進(jìn).已知某天監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的最小值為17，最大值為21，經(jīng)計(jì)算得.若用該天監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)得的和分別估計(jì)為和且，利用估計(jì)判斷該天的研制過(guò)程是否必須作改進(jìn)？(3)若去掉一天中的監(jiān)測(cè)結(jié)果，設(shè)余下的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為，請(qǐng)用數(shù)據(jù)表示.一、單選題1．（23-24高二下·山東威海·期末）已知隨機(jī)變量，設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·期中）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·山東聊城·期末）設(shè)隨機(jī)變量，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高二下·河南濮陽(yáng)·期末）已知隨機(jī)變量，則（

）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．A．0.97725 B．0.84135 C．0.7786 D．0.341355．（23-24高二下·廣西·期中）若，且，則（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）某工廠5月份生產(chǎn)7000個(gè)燈泡，實(shí)驗(yàn)得知燈泡使用壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，已知，則工廠該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時(shí)及其以上的個(gè)數(shù)約為（

）A．4400 B．4700 C．4800 D．49007．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）某校高二年級(jí)男生的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，若X的值在內(nèi)的概率約為0.84，則n的值約為（

）參考數(shù)據(jù)：①；②；③A．3 B．4 C．5 D．68．（23-24高二下·重慶·期末）某次高二質(zhì)量抽測(cè)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．已知參加本次考試的學(xué)生約有10000人，如果小明在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?20分，則小明的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诒敬纬闇y(cè)的名次大約是（）附：若，則，A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名二、多選題9．（23-24高二下·山西大同·期中）“70米跑”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，某地區(qū)高三男生的“70米跑”測(cè)試成績(jī)(單位:秒)服從正態(tài)分布，且.從該地區(qū)高三男生的“70米跑”測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取5個(gè)，其中成績(jī)?cè)趦?nèi)的個(gè)數(shù)記，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．10．（23-24高二下·貴州安順·期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過(guò)的概率，即，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．在上是增函數(shù) D．，使得11．（23-24高二下·陜西咸陽(yáng)·期末）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布、，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)三、填空題12．（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布．若，則．13．（23-24高二下·河北承德·階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，即，若，則．14．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.質(zhì)量指標(biāo)介于162至180之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到99.73%，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為.（若，則）四、解答題15．（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·期中）某種香梨的重量（單位：）服從正態(tài)分布，將該種香梨按照其重量及對(duì)應(yīng)的售價(jià)進(jìn)行分揀，分為4類依次記為.已知，售價(jià)最高，為10元；，售價(jià)為8元；，售價(jià)為6元；其余的為，售價(jià)為5元.(1)任選1個(gè)香梨，求其重量大于的概率；(2)以表示香梨的售價(jià)（單位：元），寫出的分布列，并估計(jì)該種香梨售價(jià)的平均值.附：若，則，，.16．（23-24高二下·青海海東·階段練習(xí)）某公司采購(gòu)了一批零件，為了檢測(cè)這批零件是否合格，從中隨機(jī)抽測(cè)了120個(gè)零件的長(zhǎng)度（單位：分米），按數(shù)據(jù)分成，，，，，這6組，得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)5154040155以這120個(gè)零件的長(zhǎng)度在各組的頻率作為整批零件的長(zhǎng)度在各組的概率．(1)若從這批零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，記X為抽取的零件的長(zhǎng)度在中的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若變量S滿足，且，則稱變量S滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批零件的長(zhǎng)度Y（單位：分米）滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批零件是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收，試問(wèn)該批零件能否被簽收？17．（23-24高二下·陜西西安·期末）某新能源汽車制造企業(yè)為了了解產(chǎn)品質(zhì)量﹐對(duì)現(xiàn)有的一條新能源零部件產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行抽樣調(diào)查．該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的新能源零部件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件．檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，其分組為，，，，，，．(1)從質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的兩組檢測(cè)產(chǎn)品中，采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5件，現(xiàn)從這5件中隨機(jī)抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產(chǎn)品不在同一組的概率．(2)若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表），近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：①該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值低于30或高于92為不合格，若該生產(chǎn)線生產(chǎn)100萬(wàn)件零部件，試估計(jì)有多少件零部件不合格；②若從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取3件零部件，設(shè)其中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值不低于的零部件個(gè)數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，．18．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購(gòu)物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購(gòu)物群的銷售情況，各購(gòu)物群銷售臍橙的情況如下：臍橙數(shù)量/盒購(gòu)物群數(shù)量/個(gè)12183218(1)求實(shí)數(shù)的值.并用組中值（每組的中點(diǎn)值）估計(jì)這100個(gè)購(gòu)物群銷售臍橙總量的平均數(shù)；(2)假設(shè)所有購(gòu)物群銷售臍橙的數(shù)量，其中為（1）中的平均數(shù)，.若該臍橙基地參與銷售的購(gòu)物群約有1000個(gè)，銷售的臍橙在（單位：盒）內(nèi)的群為“級(jí)群”，銷售數(shù)量小于2580盒的購(gòu)物群為“級(jí)群”，銷售數(shù)量不小于616盒的購(gòu)物群為“特級(jí)群”，該臍橙基地對(duì)每個(gè)“特級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)800元，每個(gè)“級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)100，對(duì)“級(jí)群”不獎(jiǎng)勵(lì)，則該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備多少獎(jiǎng)金？（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若，則，，.19．材料一：2018年，全國(guó)逾半省份將從秋季入學(xué)的高一年級(jí)開始實(shí)行新的學(xué)業(yè)水平考試和高考制度．所有省級(jí)行政區(qū)域均突破文理界限，由學(xué)生跨文理選科，均設(shè)置“”的考試科目．前一個(gè)“3”為必考科目，為統(tǒng)一高考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ).除個(gè)別省級(jí)行政區(qū)域仍執(zhí)行教育部委托的分省命題任務(wù)外，絕大部分省級(jí)行政區(qū)域均由教育部考試中心統(tǒng)一命題；后一個(gè)“3”為高中學(xué)業(yè)水平考試（簡(jiǎn)稱“學(xué)考”）選考科目，由各省級(jí)行政區(qū)域自主命題．材料二：2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實(shí)施方案，方案決定從2018年秋季入學(xué)的高中一年級(jí)學(xué)生開始實(shí)施高考綜合改革．考生總成績(jī)由全國(guó)統(tǒng)一高考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3個(gè)科目成績(jī)和考生選擇的3科普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試科目成績(jī)組成，滿分為770分．即通常所說(shuō)的“”模式，所謂“”，即“3”是三門主科，分別是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，這三門科目是必選的．“1”指的是要在物理、歷史里選一門，按原始分計(jì)入成績(jī)．“2”指考生要在生物、化學(xué)、思想政治、地理4門中選擇2門．但是這幾門科目不以原始分計(jì)入成績(jī)，而是等級(jí)賦分．等級(jí)賦分指的是把考生的原始成績(jī)根據(jù)人數(shù)的比例分為、、、、五個(gè)等級(jí)，五個(gè)等級(jí)分別對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的分?jǐn)?shù)區(qū)間，然后再用公式換算，轉(zhuǎn)換得出分?jǐn)?shù)．（1）若按照“”模式選科，求選出的六科中含有“語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，外語(yǔ)，物理，化學(xué)”的概率．（2）某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語(yǔ)數(shù)外三科成績(jī)與選科之間的關(guān)系，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生2700名參加語(yǔ)數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，滿分470分，并給前400名頒發(fā)榮譽(yù)證書，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，且滿分為470分；①考生甲得知他的成績(jī)?yōu)?70分，考試后不久了解到如下情況：“此次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?71分，351分以上共有57人”，問(wèn)甲能否獲得榮譽(yù)證書，請(qǐng)說(shuō)明理由；②考生丙得知他的實(shí)際成績(jī)?yōu)?30分，而考生乙告訴考生丙：“這次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?01分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn)危剑?；?第05講正態(tài)分布課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量．2．通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征．3．了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．1．理解正態(tài)分布概念．2．掌握正態(tài)分布的定義，會(huì)利用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題．3．了解正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換，能利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率．知識(shí)點(diǎn)01正態(tài)曲線1．定義：函數(shù)φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個(gè)參數(shù)，其中：μE(X)，即X的均值；σeq\r(D（X）)，即X的標(biāo)準(zhǔn)差．一般地，φ(x)對(duì)應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線(也因形狀之故而被稱為“鐘形曲線”，φ(x)也常常記為φμ，σ(x)).2．性質(zhì)(1)正態(tài)曲線關(guān)于xμ對(duì)稱(即μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點(diǎn)；(2)正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1；(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”．【解讀】(1)正態(tài)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線在xμ時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，其圖像“中間高，兩邊低”；(3)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(4)正態(tài)曲線完全由變量μ和σ確定，參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量的平均水平的特征數(shù)，所以用樣本的均值去估計(jì)；σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．【即學(xué)即練1】（1）若f(x)eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up7(－eq\f((x－1)2,2))，x∈R，則f(x)()A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但無(wú)最小值C．無(wú)最大值，也無(wú)最小值D．有最小值，但無(wú)最大值【答案】C【解析】當(dāng)x1時(shí)，f(x)有最大值f(1)eq\f(1,\r(,2π))eq\f(\r(,2π),2π).無(wú)最小值．（2）正態(tài)分布密度函數(shù)為φμ，σ(x)eq\f(1,\r(8π))eeq\s\up7(－eq\f(x2,8))，x∈(－∞，＋∞)，則總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A．0和8 B．0和4C．0和2 D．0和eq\r(2)【答案】D【解析】由條件可知μ0，σ2.知識(shí)點(diǎn)02正態(tài)分布1．定義及表示：一般地，如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總是等于φμ，σ(x)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，此時(shí)φμ，σ(x)稱為X的概率密度函數(shù)．更進(jìn)一步的研究表明，此時(shí)μ是X的均值，而σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差，σ2是X的方差．【解讀】參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2．正態(tài)分布的幾個(gè)常用數(shù)據(jù)：如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)P(X≥μ)70%，P(|X－μ|≤σ)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(|X－μ|≤2σ)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.【解讀】式子中X的取值是否包括端點(diǎn)不影響概率的值．一般考試時(shí)會(huì)給出相關(guān)數(shù)據(jù)，做題目時(shí)以題目給出的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)．3.3σ原則由P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%可知，X約有99.7%的可能會(huì)落在距均值3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，也就是說(shuō)只有約0.3%的可能會(huì)落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結(jié)論通常稱為正態(tài)分布的“3σ原則”．【解讀】對(duì)小概率事件的理解：(1)小概率事件是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的，如果試驗(yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很有可能發(fā)生的；(2)當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生”的原理進(jìn)行推斷時(shí)，也有0.3%犯錯(cuò)的可能．【即學(xué)即練2】關(guān)于正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào))①隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為3σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件；②隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為6σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件；③隨機(jī)變量落在[－3σ，3σ]之外是一個(gè)小概率事件；④隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件．【答案】④【解析】∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)0.997，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)1－0.9970.003，∴隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件．知識(shí)點(diǎn)03標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1．定義：μ0且σ1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其在正態(tài)分布中扮演著核心角色，這是因?yàn)槿绻鸜～N(μ，σ2)，那么令Xeq\f(Y－μ,σ)，則可以證明X～N(0，1)，即任意正態(tài)分布通過(guò)變換都可化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的概率分布：如果X～N(0，1)，那么對(duì)于任意a，通常記Φ(a)P(X<a)，也就是說(shuō)Φ(a)表示N(0，1)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(－∞，a)內(nèi)的面積，如圖所示：3．性質(zhì)：根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可以知道Φ(a)具有性質(zhì)Φ(－a)＋Φ(a)1.【即學(xué)即練3】若隨機(jī)變量X～N(0，1)，則P(x＜0)________．【答案】eq\f(1,2)【解析】由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱可知P(x＜0)eq\f(1,2).題型01正態(tài)密度函數(shù)【典例1】函數(shù)(其中)的圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，由判斷各選項(xiàng)..【詳解】函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，所以排除B，D；又正態(tài)曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確..【變式1】已知正態(tài)分布密度函數(shù)，，則分別是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和【答案】C【分析】將化為正態(tài)密度函數(shù)的定義形式，即可求出.【詳解】，..【變式2】設(shè)隨機(jī)變量，則X的密度函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義可求得，從而可求X的密度函數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以X的密度函數(shù)為A.【變式3】設(shè)隨機(jī)變量，X的正態(tài)密度函數(shù)為，則.【答案】0【分析】由正態(tài)密度函數(shù)結(jié)構(gòu)直接可得.【詳解】由正態(tài)密度函數(shù)結(jié)構(gòu)特征可知，.故答案為：0題型02正態(tài)密度曲線的性質(zhì)【典例2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)分別服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的曲線，利用正態(tài)分布的密度曲線的特征判斷即得.【詳解】觀察曲線知，.【變式1】已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由正態(tài)分布的圖像中對(duì)稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【詳解】由題圖中的對(duì)稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.【變式2】設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．對(duì)任意正數(shù)， D．對(duì)任意正數(shù)，【答案】D【分析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)結(jié)合圖像可得，可判斷AB，由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可判斷CD.【詳解】A選項(xiàng)：、的密度曲線分別關(guān)于、對(duì)稱，因此結(jié)合所給圖像可得，所以，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：又的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以，故B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對(duì)任意正數(shù)，．,故C正確，D錯(cuò)誤．．【變式3】如圖分別是甲?乙?丙三種品牌手表日走時(shí)誤差分布的正態(tài)分布密度曲線，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等B．C．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙D．三種品牌手表中甲品牌的質(zhì)量最好【答案】C【分析】根據(jù)三種品牌手表誤差的正態(tài)分布曲線的圖象，結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)和圖象可得，三種品牌的手表日走時(shí)的誤差對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸都是軸，所以三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等，所以A正確；乙品牌對(duì)應(yīng)點(diǎn)的正態(tài)分布曲線在區(qū)間之間與圍成的面積與丙品牌對(duì)應(yīng)點(diǎn)的正態(tài)分布曲線在區(qū)間之間與圍成的面積相等，所以B不正確；由正態(tài)分布曲線的形狀，可得，所以三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙，所以C正確；由，可得甲種品牌手表的最穩(wěn)定，質(zhì)量最好，所以D正確..題型03求指定區(qū)間上的概率【典例3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由于服從正態(tài)分布，則，故.【變式1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，，那么的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件得出，且有，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性求得即可.【詳解】已知隨機(jī)變量，，則，，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出.【變式3】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則.(精確到小數(shù)點(diǎn)后第五位)【答案】0.15865【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性結(jié)合題意求解即可.【詳解】由于服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線，所以，故．故答案為：0.15865.題型04求特定區(qū)間上的概率【典例4】（23-24高二下·山東聊城·期中）商場(chǎng)出售的袋裝大米，每袋凈重X（單位：kg）服從正態(tài)分布．隨機(jī)抽取1袋，其凈重在9.95kg與10.10kg之間的概率為（

）（注：若，，，）A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755【答案】A【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的對(duì)稱性以及代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意可知，，可得，則凈重在9.95kg與10.10kg之間的概率為，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，.【變式1】（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·期末）已知，則.附：若，則，.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即可求得答案.【詳解】，.故答案為：【變式2】（23-24高二下·河南安陽(yáng)·期中）某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，若本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．2400 B．1200 C．1000 D．800【答案】C【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，，，因此，所以此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為.【變式3】（23-24高二下·福建三明·期末）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：A．288 B．188 C．72 D．12【答案】D【分析】根據(jù)題意得，可得，然后根據(jù)正態(tài)分布的概率求法可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕鶕?jù)題意得，則，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以至少要測(cè)量的次數(shù)為72次，【變式4】（23-24高二下·廣東江門·期末）某校高二級(jí)學(xué)生參加期末調(diào)研考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布，將考試成績(jī)從高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．若小明的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?05分，則屬于等級(jí)（

）（附：，，）A．A B．B C．C D．D【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，則，，由于等級(jí)的概率之和為，所以，而即故為A等級(jí)，為B等級(jí)，為C等級(jí)，為D等級(jí)，故105分為A等級(jí)．.題型05根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)【典例5】（23-24高二下·湖南湘西·期末）（多選）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解.【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布的對(duì)稱軸為，根據(jù)對(duì)稱性可知：，得，A正確，B錯(cuò)誤；則，C錯(cuò)誤，D正確.D【變式1】（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.【答案】【分析】利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)即可求解.【詳解】由題意可知，正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.【變式2】（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）隨機(jī)變量服從若則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可.【詳解】因?yàn)橛烧龖B(tài)分布的對(duì)稱性，可得，正態(tài)分布方差無(wú)法判斷，，，所以ABD錯(cuò)誤.故選:：C【變式3】（23-24高二下·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，若，則的值為．【答案】0.8/4【分析】由條件結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)可得，，再結(jié)合條件可求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，故答案為?題型06標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題【典例6】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）某省計(jì)劃在高考中對(duì)政治、地理、化學(xué)、生物四門選考科目進(jìn)行賦分制度計(jì)分，即將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A、B、C、D、E共5個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為10%，35%，35%，18%，2%，選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換原則，分別轉(zhuǎn)換到，，、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的賦分等級(jí)成績(jī)，如果該省某次高考模擬考試政治科目的原始成績(jī)，若一名學(xué)生想取得A等的賦分等級(jí)，則他的原始分?jǐn)?shù)最低為分．（分?jǐn)?shù)保留整數(shù)）附：①若，，則；②當(dāng)時(shí)，．【答案】71【分析】設(shè)A等級(jí)的原始分最低為，由原始成績(jī)，令，則，即可求解.【詳解】由題意知：從高到低，即A等級(jí)人數(shù)所占比例為，若A等級(jí)的原始分最低為，又原始成績(jī)，，令，則，又，所以，即，可得分,則他的原始分?jǐn)?shù)最低為71.故答案為：71.【變式1】（23-24高二下·江蘇淮安·期末）隨機(jī)變量，，若，則.【答案】/【分析】分析可知，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可知，若，可得，所?故答案為：.【變式2】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，則．（用字母表示）【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到，再結(jié)合隨機(jī)變量服從正態(tài)分布可得答案.【詳解】隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，根據(jù)對(duì)稱性可知，因?yàn)?，所以，即，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)對(duì)稱性可知，，則，即.故答案為：.【變式3】（2024·江蘇宿遷·一模）（多選）設(shè)隨機(jī)變量，其中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù) D．【答案】ACD【分析】由正態(tài)分布的表示可判斷A；由正態(tài)曲線及可判斷B，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判斷D.【詳解】隨機(jī)變量，則A正確；，則B錯(cuò)誤；隨機(jī)變量，結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線關(guān)于對(duì)稱，，則D正確，CD．題型07正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【典例7】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng).某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入X（單位：萬(wàn)元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入X近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過(guò)9.06萬(wàn)元的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來(lái)估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，記年收入不超過(guò)9.06萬(wàn)元的農(nóng)戶家庭數(shù)為ξ，求.（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則③【答案】(1)，；(2)①317戶；②0.499.【分析】（1）利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求解即可.（2）①根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得出，進(jìn)而得出所求戶數(shù)；②年收入不超過(guò)萬(wàn)元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.【詳解】（1）這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)；這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本方差.（2）①由（1）知，，，農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，所以，而，所以這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過(guò)萬(wàn)元的戶數(shù)約為317.②年收入不超過(guò)萬(wàn)元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以.【變式1】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某市某中學(xué)為了了解高一年級(jí)學(xué)生的閱讀情況，從高一年級(jí)全部1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們每周的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該校高一學(xué)生每周閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學(xué)生的每周閱讀時(shí)間的平均值（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示），．(1)試估計(jì)高一全體學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)（四舍五入取整）；(2)若從高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)選出的5人中每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)159人(2)分布列見解析，，．【分析】（1）利用正態(tài)分布相關(guān)知識(shí)即可求解；（2）因?yàn)?，所以每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的概率為，可得，然后求出對(duì)應(yīng)的概率即可得解．【詳解】（1）樣本中100名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的均值為：，即，又，所以，所以，所以全年級(jí)學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)大約為：（人）（2）因?yàn)椋悦恐荛喿x時(shí)間在10.6小時(shí)以上的概率為，可得，故，，，，，，隨機(jī)變量Y的分布列為：012345故，．【變式2】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）襄陽(yáng)市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了了解襄陽(yáng)市民每年旅游消費(fèi)支出費(fèi)用(單位：千元)，寒假期間對(duì)游覽某簽約景區(qū)的名襄陽(yáng)市游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：組別(支出費(fèi)用)頻數(shù)(1)從樣本中隨機(jī)抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出均不低于元的概率(2)若襄陽(yáng)市民的旅游支出費(fèi)用近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：（i）假定襄陽(yáng)市常住人口為萬(wàn)人，試估計(jì)襄陽(yáng)市有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在元以上（ii）若在襄陽(yáng)市隨機(jī)抽取位市民，設(shè)其中旅游費(fèi)用在元以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值．附：若∽，則，，．【答案】(1)(2)（i）11.375萬(wàn)；（ii）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意可得旅游支出不低于元的有人，結(jié)合古典概型概率公式即可求解；（2）

（i）

根據(jù)題意可得，，結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求解；（ii）根據(jù)題意可得所有可能取值為結(jié)合二項(xiàng)分布求概率和均值即可求解．【詳解】（1）樣本中總共人，其中旅游支出不低于元的有人，所以從中隨機(jī)抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，兩人旅游支出均不低于元的概率為；（2）（i）計(jì)算，所以，，服從正態(tài)分布，，萬(wàn)，估計(jì)襄陽(yáng)市有萬(wàn)市民每年旅游費(fèi)用支出在元以上；（ii）由（i）知，，則，的所有可能取值為，，，；所以隨機(jī)變量的分布列為：均值為【變式3】某省舉辦了一次高三年級(jí)化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該省及各市本次模擬考試成績(jī)（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布．(1)已知本次模擬考試甲市平均成績(jī)?yōu)?5分，87分以上共有228人．甲市學(xué)生的成績(jī)?yōu)?6分，試估計(jì)學(xué)生在甲市的大致名次；(2)在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，記表示在本次考試中化學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)，求的概率及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：參考公式：若，有，【答案】(1)1587名(2)0.0989；期望為【分析】（1）由本次模擬考試成績(jī)都近似服從正態(tài)分布，，87分以上共有228人，結(jié)合原則，求得，再由甲市學(xué)生在該次考試中成績(jī)?yōu)?6分，且求解；（2）由隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即求解．【詳解】（1）解：已知本次模擬考試成績(jī)都近似服從正態(tài)分布，由題意可得．即，解得．甲市學(xué)生在該次考試中成績(jī)?yōu)?6分，且，又，即．學(xué)生在甲市本次考試的大致名次為1587名．（2）在本次考試中，抽取1名化學(xué)成績(jī)?cè)谥畠?nèi)的概率為0.9974．抽取1名化學(xué)成績(jī)?cè)谥獾母怕蕿?.0026．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即．．的數(shù)學(xué)期望為．題型083σ原則的應(yīng)用【典例8】某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值作為估計(jì)值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過(guò)程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ⅱ）若設(shè)備狀態(tài)正常，記表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【答案】(1)(2)（i）需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；（ii），【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求得，繼而結(jié)合方差的計(jì)算公式求得；（2）（i）根據(jù)，，確定，，判斷抽查的零件關(guān)鍵指標(biāo)有無(wú)在之外的情況，即可得結(jié)論；（ii）求出抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率，確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得．．（2）（i）由（1）可知，，所以，，顯然抽查中的零件指標(biāo)，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，所以抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，故，所以，X的數(shù)學(xué)期望．【變式1】假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：），該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于.(1)求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率為多少；(2)檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)檢測(cè)員的判斷是合理的，理由見解析【分析】（1）由正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：g），要求得正常情況下,任意抽取一包食鹽,質(zhì)量大于的概率,化為的形式,然后求解即可;（2）由（1）可知正常情況下，任意抽取一包食鹽,質(zhì)量大于的概率為,可求得隨機(jī)抽取兩包檢查,質(zhì)量都大于的概率幾乎為零,即可判定檢測(cè)員的判斷是合理的.【詳解】（1）設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來(lái)的食鹽質(zhì)量為，由題意可知.由于，所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性與“原則”可知，.（2）檢測(cè)員的判斷是合理的.因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由（1）可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都大于的概率約為：，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，檢測(cè)員的判斷是合理的.【變式2】某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過(guò)，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為，第二關(guān)通過(guò)的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為470分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2700名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量，則；；.【答案】(1)(2)①能，理由見解析②假【分析】（1）設(shè)為第次通過(guò)第一關(guān)，為第次通過(guò)第二關(guān)，計(jì)算即可；（2）①由，且，計(jì)算，求出前400名參賽者的最低得分，與甲的得分比較即可；②假設(shè)乙所說(shuō)為真，由計(jì)算，求出，利用小概率事件即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)：第i次通過(guò)第一關(guān)，：第i次通過(guò)第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為，由題意知.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為.①由題意可知，因?yàn)?，且，所以，則；而，且，所以前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)；②假設(shè)乙所說(shuō)為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說(shuō)為假.【變式3】（23-24高二下·重慶·期末）國(guó)家對(duì)化學(xué)元素鎵（）相關(guān)物項(xiàng)實(shí)施出口管制.鎵在高端半導(dǎo)體領(lǐng)域有著非常重要的作用，其應(yīng)用前景十分廣闊.某鎵合金研制單位為了讓鎵合金中的鎵元素含量百分比穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)，由質(zhì)檢員每天17次隨機(jī)抽取并檢測(cè)鎵元素在鎵合金材料中的含量百分比.設(shè)表示一天的17次檢測(cè)得到的鎵含量（單位：）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并記監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.設(shè)表示鎵合金中鎵含量（單位：），且，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，令，根據(jù)表中的和值解答：12340.68270.95450.99730.99990.00150.45310.95510.9983(1)記表示一天中抽取17次的鎵含量的次數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)一天中至少1次監(jiān)測(cè)鎵含量，就認(rèn)為該天研制情況異常，須對(duì)研制過(guò)程作改進(jìn).已知某天監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的最小值為17，最大值為21，經(jīng)計(jì)算得.若用該天監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)得的和分別估計(jì)為和且，利用估計(jì)判斷該天的研制過(guò)程是否必須作改進(jìn)？(3)若去掉一天中的監(jiān)測(cè)結(jié)果，設(shè)余下的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為，請(qǐng)用數(shù)據(jù)表示.【答案】(1)0.0449；0.0459(2)必須作改進(jìn)；(3).【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布求解的概率，以及的概率，再利用對(duì)立事件求，再根據(jù)二項(xiàng)分布求期望；（2）由可知，，即可作出判斷；（3）根據(jù)平均數(shù)公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式，化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）由題意得1次監(jiān)測(cè)鎵含量的概率為0.9973，鎵含量的概率為0.0027，；（2）由估計(jì)得，，發(fā)現(xiàn)最小值，該天至少1次監(jiān)測(cè)鎵含量中，故必須作改進(jìn)；（3）設(shè)余下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則，即.一、單選題1．（23-24高二下·山東威?！て谀┮阎S機(jī)變量，設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接由均值、方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)于隨機(jī)變量而言：它的，注意到，所以對(duì)于隨機(jī)變量而言：它的，所以..2．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·期中）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性得到，即可求解.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，所以，.3．（23-24高二下·山東聊城·期末）設(shè)隨機(jī)變量，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由密度曲線結(jié)合正態(tài)分布性質(zhì)求解即可.【詳解】的密度曲線的對(duì)稱軸在的密度曲線的對(duì)稱軸的左邊，即.的密度曲線較為分散，的密度曲線較為集中，即，故AB錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以D正確；4．（23-24高二下·河南濮陽(yáng)·期末）已知隨機(jī)變量，則（

）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．A．0.97725 B．0.84135 C．0.7786 D．0.34135【答案】C【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)及區(qū)間概率值，即可求得指定區(qū)間概率.【詳解】由已知得隨機(jī)變量，可得，由對(duì)稱性可知，，又由正態(tài)分布的性質(zhì)可知:,所以，.5．（23-24高二下·廣西·期中）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以，σ的值不確定．.6．（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）某工廠5月份生產(chǎn)7000個(gè)燈泡，實(shí)驗(yàn)得知燈泡使用壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，已知，則工廠該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時(shí)及其以上的個(gè)數(shù)約為（

）A．4400 B．4700 C．4800 D．4900【答案】C【分析】由已知，可得，則，則可求得該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時(shí)及其以上的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)闊襞菔褂脡勖▎挝唬盒r(shí)）服從正態(tài)分布，且，所以，所以，則工廠該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時(shí)及其以上的個(gè)數(shù)約為個(gè)，.7．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）某校高二年級(jí)男生的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，若X的值在內(nèi)的概率約為0.84，則n的值約為（

）參考數(shù)據(jù)：①；②；③A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性與原則即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)棰?，而，，所以②，?duì)比①②兩式可知且，則，所以，解得..8．（23-24高二下·重慶·期末）某次高二質(zhì)量抽測(cè)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．已知參加本次考試的學(xué)生約有10000人，如果小明在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?20分，則小明的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诒敬纬闇y(cè)的名次大約是（）附：若，則，A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名【答案】A【分析】借助正態(tài)分布定義及正態(tài)曲線的性質(zhì)計(jì)算可得，即可得解.【詳解】由，，，則，故，，故小明的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诒敬纬闇y(cè)的名次大約是第228名..二、多選題9．（23-24高二下·山西大同·期中）“70米跑”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，某地區(qū)高三男生的“70米跑”測(cè)試成績(jī)(單位:秒)服從正態(tài)分布，且.從該地區(qū)高三男生的“70米跑”測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取5個(gè)，其中成績(jī)?cè)趦?nèi)的個(gè)數(shù)記，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可求，進(jìn)而計(jì)算可判斷A；B選項(xiàng)，可求得；由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可得判斷B；C選項(xiàng)，，進(jìn)而求得判斷C；D選項(xiàng)，由二項(xiàng)分布計(jì)算出，利用對(duì)立事件概率公式求出判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：，故，A正確；B選項(xiàng)，由，可得，由正態(tài)分布曲線可得，故B不正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，故D正確.CD.10．（23-24高二下·貴州安順·期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過(guò)的概率，即，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．在上是增函數(shù) D．，使得【答案】ABC【分析】由正態(tài)分布可求得，可判斷A；結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得，可判斷B；易得在上是增函數(shù)，可判斷C；當(dāng)時(shí)，，，可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)增大時(shí)，也增大，所以在上是增函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，則，又，所以不不成立，故D錯(cuò)誤；BC.11．（23-24高二下·陜西咸陽(yáng)·期末）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布、，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)【答案】ABC【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】由圖象可知，甲圖象關(guān)于直線對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故A，C正確；因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因?yàn)橐覉D象的最大值為，即，所以，故D錯(cuò)誤；BC.三、填空題12．（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布．若，則．【答案】0.8/4【分析】先由二項(xiàng)分布的均值公式求出，從而得，進(jìn)而由概率之和為1和正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，所以，故，又隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，所以，所以.故答案為：.13．（23-24高二下·河北承德·階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，即，若，則．【答案】1【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性分析求解.【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則由對(duì)稱性得，所以．故答案為：1．14．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.質(zhì)量指標(biāo)介于162至180之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到99.73%，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為.（若，則）【答案】3【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)可得，，從而出的最大值.【詳解】因?yàn)楫a(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，，且質(zhì)量指標(biāo)介于162至180之間的產(chǎn)品為良品，良品率達(dá)到99.73%，所以，，解得，所以至多為3，故答案為：3四、解答題15．（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·期中）某種香梨的重量（單位：）服從正態(tài)分布，將該種香梨按照其重量及對(duì)應(yīng)的售價(jià)進(jìn)行分揀，分為4類依次記為.已知，售價(jià)最高，為10元；，售價(jià)為8元；，售價(jià)為6元；其余的為，售價(jià)為5元.(1)任選1個(gè)香梨，求其重量大于的概率；(2)以表示香梨的售價(jià)（單位：元），寫出的分布列，并估計(jì)該種香梨售價(jià)的平均值.附：若，則，，.【答案】(1)(2)分布列見解析，元【分析】（1）依題意，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得解；（2）依題意的所有可能取值為，，，，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以，即任選1個(gè)香梨，其重量大于的概率約為；（2）由題意可知，的所有可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：10865所以，即估計(jì)該種香梨售價(jià)的平均值為元．16．（23-24高二下·青海海東·階段練習(xí)）某公司采購(gòu)了一批零件，為了檢測(cè)這批零件是否合格，從中隨機(jī)抽測(cè)了120個(gè)零件的長(zhǎng)度（單位：分米），按數(shù)據(jù)分成，，，，，這6組，得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)5154040155以這120個(gè)零件的長(zhǎng)度在各組的頻率作為整批零件的長(zhǎng)度在各組的概率．(1)若從這批零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，記X為抽取的零件的長(zhǎng)度在中的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若變量S滿足，且，則稱變量S滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批零件的長(zhǎng)度Y（單位：分米）滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批零件是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收，試問(wèn)該批零件能否被簽收？【答案】(1)分布列見解析，(2)能【分析】（1）寫出隨機(jī)變量的可能取值，并求解每個(gè)值的概率，即可求解；（2）求出與的概率，即可求解.【詳解】（1）從這批零件中隨機(jī)選取1件，長(zhǎng)度在的概率’隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P所以；（2）由題意知，，，，因?yàn)?，?/p>