高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義2.2.4點(diǎn)到直線的距離(3知識(shí)點(diǎn)+8題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.2.4點(diǎn)到直線的距離課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解點(diǎn)到直線距離的概念;2.掌握求直線上一點(diǎn)到直線的距離的方法，并能運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中:3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高邏輯推理能力。1.重點(diǎn)：(1)點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路;(2)點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用2.難點(diǎn)：用向量的方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式知識(shí)點(diǎn)01兩點(diǎn)間距離公式定義：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|（【即學(xué)即練1】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）若A(?3,5),B(2,0)，則|【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)(x,yA．x2?yC．x2+y知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)到直線的距離公式1.點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C0的距離，deq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.點(diǎn)到特殊直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到x軸的距離d|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d|x0-b|.【即學(xué)即練3】（23-24高二上·新疆·期末）點(diǎn)M(1,2)到直線3A．?2 B．2 C．?1 D．1【即學(xué)即練4】(多選)（23-24高二下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)M1,4到直線l:mxA．0 B．34 C．3 知識(shí)點(diǎn)03兩條平行線之間的距離1.兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.2.兩條平行線之間的距離公式兩條平行線Ax＋By＋C10與Ax＋By＋C20間的距離deq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【即學(xué)即練5】（23-24高二上·北京房山·期末）兩條直線l1:xA．5 B．1 C．5 D．3【即學(xué)即練6】（22-23高二上·廣東肇慶·階段練習(xí)）兩平行直線2x?y?1=0與難點(diǎn)：將軍飲馬問(wèn)題示例1：（24-25高二下·上?！卧獪y(cè)試）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為A(?3,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)B(?1,1)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+難點(diǎn)：類比距離問(wèn)題示例2：（2024高二下·吉林·競(jìng)賽）已知函數(shù)fxA．fx的最小值為8 B．fC．fx=8有1個(gè)實(shí)根 D．【題型1：平面兩點(diǎn)之間的距離】例1．（21-22高二上·河北衡水·階段練習(xí)）點(diǎn)M1(2,?5)與A．?9 B．?1 C．?9或?1 D．12變式1．（2023·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）已知a+b?7=0，cA．3 B．6 C．42 D．變式2．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)?8,12，線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為?12,2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為，|變式3．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,?1)，B(?1,3)，C(3,0)．則△ABC的形狀為變式4．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知A(a,0),B(0,10)，且變式5．（21-22高二上·北京·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A?3,0變式6．（2021高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,?1,Ba,3，且AB變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）二元函數(shù)fx,y變式8.（2021高二·黑龍江哈爾濱·學(xué)業(yè)考試）已知A(?2,0)，B(0,4)，線段AB的垂直平分線為直線(1)求直線l的一般式方程；(2)若點(diǎn)C在直線l上，且|AC|=10【題型2：點(diǎn)到直線的距離】例2．（23-24高二上·新疆·期末）點(diǎn)M(1,2)到直線3A．?2 B．2 C．?1 D．1變式1．（23-24高二上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知直線l：x+my?2m?1=0A．5 B．10 C．5 D．10變式2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知A?3,?4，B6,3兩點(diǎn)到直線A．13 B．?97 C．?13或?變式3．（多選）（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線x+y?1=0上與點(diǎn)PA．(?4,5) B．(?1,2) C．(?3,4) D．(1,?5)變式4．（多選）（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線l:A．直線l過(guò)定點(diǎn)?1,1B．當(dāng)a=1時(shí)，l關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為C．直線l一定經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn)．點(diǎn)P3,?1到直線l的最大距離為變式5．（多選）（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知點(diǎn)P1,3與Q?3,1到直線l的距離相等，則A．2x+yC．2x+3y變式6．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）若點(diǎn)P?2,?1到直線l：1+3λx變式7．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知點(diǎn)P3,4到直線l的距離為5，且直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則滿足條件的直線共有變式8.（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)a,b滿足關(guān)系式【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式.點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用.（3）直線方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也不成立，但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合求解.【題型3：兩條平行線之間的距離】例3．（24-25高二上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）直線l1：x?y+1=0與直線A．24 B．22 C．2變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知l1A．2515 B．255 C．變式2．（23-24高二上·天津和平·期末）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為直線3x+4y?7=0與直線A．1 B．2 C．1710 D．變式3．（多選）（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩條平行直線m,n，直線m:x+y?1=0，直線nA．-8 B．-6 C．2 D．4變式4．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）已知兩條平行直線l1:x+3y+1=0,l2A．15° B．75° C．105°變式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線l1:y=kx+1，l2變式6．（23-24高二上·河南開(kāi)封·期末）已知點(diǎn)A,B分別是直線l1:2x+y變式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知P,Q分別在直線l1:x?y+1=0與直線l2【方法技巧與總結(jié)】對(duì)兩條平行直線之間的距離公式的理解1.求兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式.2.利用公式求平行線之間的距離時(shí)，兩條直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.3.當(dāng)兩條直線都與x軸（或y軸）垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.【題型4：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線的對(duì)稱問(wèn)題】例4．（23-24高二上·廣東佛山·期中）點(diǎn)2,1關(guān)于直線x?A．?2,5 B．0,3 C．0,?1 D．?1,2變式1．（22-23高二上·福建廈門·階段練習(xí)）不論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線2a?1x+?a+3A．x?2y?6=0 B．x?2y=0變式2．（21-22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線ax＋y＋3a－10恒過(guò)定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－60關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－120 B．2x＋3y＋120 C．3x－2y－60 D．2x＋3y＋60變式3．（多選）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C．直線x?D．點(diǎn)0,1關(guān)于直線y=x變式4．（23-24高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）已知直線2x?y?5=0與直線x+3變式5.（22-23高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知直線l的傾斜角為135°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1)求直線l的方程；(2)求點(diǎn)A3,4關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A變式6．（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·期中）已知直線l:x?2(1)已知直線l與l':ax(2)求點(diǎn)A2,2關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A變式7．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）直線l1：ax+3y?1=0，直線l1的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為?2,6，直線l(1)求a，b的值；(2)已知點(diǎn)P?1,?3，求點(diǎn)P關(guān)于直線l2對(duì)稱的點(diǎn)變式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直線l過(guò)點(diǎn)P2,?1(1)若直線l與直線2x+y(2)若已知直線l:x+2y?2=0【方法技巧與總結(jié)】1.實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式說(shuō)明：平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2.實(shí)質(zhì)：軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線1.當(dāng)直線斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)(x’，y’)，則2.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為（，）【題型5：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直線l：y=2x?4A．y=2x C．y=2x?8變式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知點(diǎn)P2,1，直線l：x?y?4=0，則點(diǎn)P到直線l的距離為，直線l關(guān)于點(diǎn)變式2．（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A4,0，B6,5，(1)求直線l的方程；(2)求直線l關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的直線l'變式3．（22-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,4，直線l的方程為3x(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'(2)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l'變式4．（21-22高二上·江蘇連云港·期中）已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x+3y+8=0和x?y?1=0的交點(diǎn)，且________，若直線m與直線l關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，求直線m變式5．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)0,0和點(diǎn)125,?65重合，點(diǎn)7,3和點(diǎn)A．345 B．365 C．283變式6．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知點(diǎn)A0,1，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線處，并作答．條件①：點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,?1；條件②：點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,?1，直線l1過(guò)點(diǎn)2,1且與直線AB垂直；條件③點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,3，直線l1過(guò)點(diǎn)(1)求直線l1(2)求直線l2：x?2y【方法技巧與總結(jié)】實(shí)質(zhì)：兩直線平行法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱問(wèn)題（在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）法二：利用平行性質(zhì)解（求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)出平行直線系，利用點(diǎn)到直線距離相等）【題型6：直線關(guān)于直線對(duì)稱】例6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l：ax+by+c=0與直線lA．bx+ay?C．bx+ay+變式1．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）過(guò)原點(diǎn)的直線l的傾斜角為θ，則直線l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線A．θ B．π2?θ C．π-變式2．（多選）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線l1A．直線l1與l2B．直線l1、l2C．直線l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程為D．直線l2關(guān)于直線l1變式3．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知直線l1:ax?yA．無(wú)論a為何值，?l1與B．當(dāng)a變化時(shí)，?l1表示過(guò)定點(diǎn)C．無(wú)論a為何值，?l1與?lD．若?l1與?l2變式4．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）若直線l與直線ax+by+c=0變式5．（22-23高二上·安徽六安·階段練習(xí)）已知直線l1的方程為x（1）若直線l1和直線l2關(guān)于點(diǎn)0,0對(duì)稱，求直線l2（2）若直線l1和直線l2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求直線變式6．（23-24高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A1,1，B3,3(1)過(guò)點(diǎn)B的直線l1與邊AC相交于點(diǎn)D，若△BCD的面積是△ABD(2)求∠BAC的角平分線所在直線l變式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直線l:2(1)與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱；(2)過(guò)點(diǎn)3,1，且與l平行．

【方法技巧與總結(jié)】1.相交時(shí)：此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線”的對(duì)稱問(wèn)題2.平行時(shí)：對(duì)稱直線與已知直線平行【題型7：反射光線問(wèn)題】例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點(diǎn)A?2,1射出，經(jīng)直線2x?A．x?3y?1=0C．x+3y+17=0變式1．（22-23高二上·浙江·階段練習(xí)）一條光線從點(diǎn)P?1,5射出，經(jīng)直線x?3yA．2x?yC．3x?y變式2．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，若光線QR經(jīng)過(guò)△A．853 C．415 D．變式3．（23-24高二上·浙江溫州·期中）在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，沿與AB所成角為θ的方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)BC,A．1,2 B．2,3 C．4,5 D．3,4變式4．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，如圖所示，若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心G，則變式5．（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,3，從點(diǎn)P1,0射出的光線經(jīng)直線AB反射到y(tǒng)軸上，再經(jīng)y軸反射后又回到點(diǎn)P

變式6．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，已知A6,63，B0,0，C12,0，直線(1)求直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若P2,23，李老師站在點(diǎn)P用激光筆照出一束光線，依次由BC（反射點(diǎn)為K）、AC（反射點(diǎn)為I）反射后，光斑落在P點(diǎn)，求入射光線變式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,3，在直線l:x(1)入射光線與直線l的交點(diǎn)．(2)入射光線與反射光線所在直線的方程．【題型8：將軍飲馬問(wèn)題】例8．（23-24高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）設(shè)直線l：x+y?2=0，點(diǎn)A?1,0，A．13 B．10 C．7 D．5變式1．（23-24高二上·北京豐臺(tái)·期末）已知點(diǎn)P在由直線y=x+3，y=5和x=?1所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在xA．30 B．42 C．34 D．變式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知點(diǎn)M(1,?2)，N(4,4)，H是直線l:2A．13 B．3C．65 D．6變式3．（23-24高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A2,4，軍營(yíng)所在位置為B6,2，河岸線所在直線的方程為A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是6B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為13C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是xD．“將軍飲馬”走過(guò)的總路程為5變式4．（23-24高二上·河南新鄉(xiāng)·期中）5xA．1955 B．3 C．2055 變式5．（23-24高二上·河南信陽(yáng)·期中）已知x+y+1=0A．10 B．13 C．29 D．6變式6．（22-23高二上·河北張家口·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y+1=0A．5 B．22 C．10 D．變式7．（23-24高二上·江蘇·單元測(cè)試）已知點(diǎn)A?3,1，點(diǎn)M,N分別是x軸和直線2x+【方法技巧與總結(jié)】利用三角形邊角關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對(duì)值小于等于第三邊。一、單選題1．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A2,?1,BA．3 B．5 C．9 D．252．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線l1:x+3y+mA．17 B．172 C．14 3．（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）若原點(diǎn)到直線ax+A．c2=aC．b2=a4．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點(diǎn)A2,1，點(diǎn)B在直線x?yA．5 B．26 C．22 5．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線l：x?y=0，則點(diǎn)AA．4,1 B．4,?1 C．?1,?4 D．1,46．（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知A?2,4，B?4,6兩點(diǎn)到直線l:A．?1或?43 B．3或4 C．37．（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）直線3x?(k+2)yA．k≠1或k≠9 B．kC．k≠1且k≠9 D．k8．（23-24高二上·廣東湛江·期中）某地A,B兩廠在平面直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)分別為A0,0,B?2,0，一條河所在直線的方程為x+2A．42 B．32 C．43二、多選題9．（23-24高二下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）若直線l1：y=34x+2，l2：3x?4A．l1∥l2 B．lC．l2∥l3 D．10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直線l1：2x?y=0與lA．點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5B．點(diǎn)P到直線x?C．不論實(shí)數(shù)m取何值，直線l3：m+2D．1,?1是直線l211．（23-24高二上·湖北十堰·期末）點(diǎn)A2，7，B?2，3到直線A．－2 B．2 C．9 D．11三、填空題12．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Px,y在直線x+2y?5=0上，當(dāng)13．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，定義dAB=x14．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線l與直線2x?3y+4=0關(guān)于直線x=115．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知實(shí)數(shù)x,y滿足xsinα+16．（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知x,y∈R，S四、解答題17．（23-24高二下·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）已知直線l1：x+my+1=0和(1)若l1與l2互相垂直，求實(shí)數(shù)(2)若l1與l2互相平行，求l118．（22-23高二上·北京·期中）在平行四邊形ABCD中，A1,1,C5,5，邊AB,(1)求BC邊所在直線的方程和點(diǎn)A到直線BC的距離；(2)求線段AC垂直平分線所在的直線方程；(3)求過(guò)點(diǎn)B且在x軸和y軸截距相等的直線方程．19．（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知兩條直線l1:(t(1)討論直線l1與l(2)當(dāng)直線l1與l2平行時(shí)，求它們之間的距離；當(dāng)直線l1與l2.2.4點(diǎn)到直線的距離課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解點(diǎn)到直線距離的概念;2.掌握求直線上一點(diǎn)到直線的距離的方法，并能運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中:3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高邏輯推理能力。1.重點(diǎn)：(1)點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路;(2)點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用2.難點(diǎn)：用向量的方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式知識(shí)點(diǎn)01兩點(diǎn)間距離公式定義：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|（【即學(xué)即練1】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）若A(?3,5),B(2,0)，則|【答案】5【分析】根據(jù)題意，利用平面上兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，可得AB=故答案為：52【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)(x,yA．x2?yC．x2+y【答案】D【分析】由兩點(diǎn)之間的距離公式列式即得.【詳解】依題意，由點(diǎn)P(x,故實(shí)數(shù)x,y滿足的條件是.知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)到直線的距離公式1.點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C0的距離，deq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.點(diǎn)到特殊直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到x軸的距離d|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d|x0-b|.【即學(xué)即練3】（23-24高二上·新疆·期末）點(diǎn)M(1,2)到直線3A．?2 B．2 C．?1 D．1【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式直接計(jì)算得解.【詳解】點(diǎn)M(1,2)到直線3x+4【即學(xué)即練4】(多選)（23-24高二下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)M1,4到直線l:mxA．0 B．34 C．3 【答案】AB【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】依題意m+4?1m2+1=3，即4B.知識(shí)點(diǎn)03兩條平行線之間的距離1.兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.2.兩條平行線之間的距離公式兩條平行線Ax＋By＋C10與Ax＋By＋C20間的距離deq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【即學(xué)即練5】（23-24高二上·北京房山·期末）兩條直線l1:xA．5 B．1 C．5 D．3【答案】D【分析】依題意代入兩平行線之間的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】由兩平行線之間的距離公式可得d=【即學(xué)即練6】（22-23高二上·廣東肇慶·階段練習(xí)）兩平行直線2x?y?1=0與【答案】52/【分析】由兩平行間的距離公式可求兩直線間的距離.【詳解】由2x?y所以2x?y?1=0與故答案為：52難點(diǎn)：將軍飲馬問(wèn)題示例1：（24-25高二下·上?！卧獪y(cè)試）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為A(?3,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)B(?1,1)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+【答案】13【分析】求出B(?1,1)關(guān)于直線x+y【詳解】設(shè)點(diǎn)B(?1,1)關(guān)于直線x+y則有?1+x2+1+y則PA+PB=

故答案為：13.難點(diǎn)：類比距離問(wèn)題示例2：（2024高二下·吉林·競(jìng)賽）已知函數(shù)fxA．fx的最小值為8 B．fC．fx=8有1個(gè)實(shí)根 D．【答案】C【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為PQ+【詳解】Px,xP到直線y=x?1的距離為PQP到點(diǎn)M?3,5的距離為PM所以f當(dāng)M，P，最小值為M?3,5到y(tǒng)=x因?yàn)閥=且PQ+PM的最小值為所以y的最小值為9，且在交點(diǎn)P?2,4或P.【題型1：平面兩點(diǎn)之間的距離】例1．（21-22高二上·河北衡水·階段練習(xí)）點(diǎn)M1(2,?5)與A．?9 B．?1 C．?9或?1 D．12【答案】D【分析】由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算．【詳解】由題意(5?2)2+(y+5)2=5．變式1．（2023·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）已知a+b?7=0，cA．3 B．6 C．42 D．【答案】A【分析】令A(yù)(a,b)，B(c,d)，得到點(diǎn)A，B分別在直線x+y?7=0，x+y【詳解】令A(yù)(a,b)，B(c,d設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則MaM到原點(diǎn)的距離d=依題意點(diǎn)M在直線x+所以點(diǎn)M到原點(diǎn)的最小距離即為原點(diǎn)到直線x+y?6=0因此12(a+c)2.變式2．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)?8,12，線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為?12,2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為，|【答案】7,?825【分析】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出關(guān)于【詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為x,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)?8,12，線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為?1∴?8+x2=?即B點(diǎn)的坐標(biāo)為7,?8，所以|故答案為：7,?8；25.變式3．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,?1)，B(?1,3)，C(3,0)．則△ABC的形狀為【答案】直角三角形5【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合勾股定理的逆定理、直角三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閨AB|AC|=(3?1)所以|AB|2由于△ABC是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以S故答案為：直角三角形；5變式4．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知A(a,0),B(0,10)，且【答案】±3【分析】根據(jù)題意，直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系上兩點(diǎn)的距離公式，即可求解.【詳解】因?yàn)锳(a,0),B(0,10)且故答案為：±3變式5．（21-22高二上·北京·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A?3,0【答案】x?【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求出cosα的值，然后寫出點(diǎn)B【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得cosα即sin2α+所以sinα=1或當(dāng)sinα=1時(shí)，A?3,0當(dāng)sinα=?1時(shí)，A?3,0故答案為：x?變式6．（2021高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,?1,Ba,3，且AB【答案】1或?5【分析】利用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】由兩點(diǎn)間距離公式得(?2?a)2+(?1?3)2=52故答案為：1或?5變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）二元函數(shù)fx,y【答案】14?6【分析】把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離為最小值即可得出值域.【詳解】由題意可知二元函數(shù)fx,y的幾何意義為單位圓上一點(diǎn)A?cosy,?sin|AB|min故答案為：14?65變式8.（2021高二·黑龍江哈爾濱·學(xué)業(yè)考試）已知A(?2,0)，B(0,4)，線段AB的垂直平分線為直線(1)求直線l的一般式方程；(2)若點(diǎn)C在直線l上，且|AC|=10【答案】(1)x(2)1,1或?3,3【分析】（1）由題意，求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的斜率kl（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為a,b，由題意，列出關(guān)于【詳解】（1）解：因?yàn)锳?2,0，B0,4，所以線段AB的中點(diǎn)為?1,2，又線段AB的垂直平分線為直線l，所以kl所以直線l的方程為y?2=?12所以直線l的一般式方程為x+2（2）解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為a,由題意有a+2b?3=0a+2所以點(diǎn)C坐標(biāo)為1,1或?3,3.【題型2：點(diǎn)到直線的距離】例2．（23-24高二上·新疆·期末）點(diǎn)M(1,2)到直線3A．?2 B．2 C．?1 D．1【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式直接計(jì)算得解.【詳解】點(diǎn)M(1,2)到直線3x+4變式1．（23-24高二上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知直線l：x+my?2m?1=0A．5 B．10 C．5 D．10【答案】C【分析】根據(jù)直線方程，可得直線過(guò)定點(diǎn)A1,2【詳解】直線l：x+my?2由x?1=0y?2=0，得到x當(dāng)直線l垂直于直線AP時(shí)，距離最大，此時(shí)最大值為AP=.變式2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知A?3,?4，B6,3兩點(diǎn)到直線A．13 B．?97 C．?13或?【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式列出關(guān)于a的方程求解即可．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A(?3,?4),B(6,3)所以|?3a?4+1|a化簡(jiǎn)得27a2+30a+7=0.變式3．（多選）（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線x+y?1=0上與點(diǎn)PA．(?4,5) B．(?1,2) C．(?3,4) D．(1,?5)【答案】CC【分析】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0兩式聯(lián)立解得x0=?3y所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,2)或(?3,4)C變式4．（多選）（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線l:A．直線l過(guò)定點(diǎn)?1,1B．當(dāng)a=1時(shí)，l關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為C．直線l一定經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn)．點(diǎn)P3,?1到直線l的最大距離為【答案】CD【分析】A.由l:y=ax?a+1=ax?1+1【詳解】對(duì)于A，直線l:y=ax?對(duì)于B.當(dāng)a=1時(shí)，直線方程為y=x，l關(guān)于x對(duì)于C，當(dāng)a=1時(shí)，直線方程為y=x對(duì)于D，如圖所示：設(shè)PH⊥l，由圖象知：PQ≥PH，點(diǎn)P3,?1D變式5．（多選）（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知點(diǎn)P1,3與Q?3,1到直線l的距離相等，則A．2x+yC．2x+3y【答案】ABD【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離相等，可得l過(guò)PQ的中點(diǎn)，或l的斜率與PQ的斜率相等，進(jìn)而兩種情況進(jìn)行判斷.【詳解】由題知，l過(guò)PQ的中點(diǎn)，或l的斜率與PQ的斜率相等，又PQ的中點(diǎn)為?1,2，則過(guò)點(diǎn)?1,2的直線為AD選項(xiàng)；又PQ的斜率為3?11?BD變式6．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）若點(diǎn)P?2,?1到直線l：1+3λx【答案】0,【分析】先確定直線恒過(guò)定點(diǎn)A1,1，再計(jì)算|【詳解】解：把直線l的方程化為(x由方程組x解得x所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)A1,1其中直線l不包括直線3x又PA=且當(dāng)PA與直線3x+2y?5=0垂直時(shí)，點(diǎn)P到直線所以點(diǎn)P到直線l的距離d滿足0≤d故答案為：0,13變式7．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知點(diǎn)P3,4到直線l的距離為5，且直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則滿足條件的直線共有【答案】3【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，分截距是否為0進(jìn)行討論即可得解.【詳解】當(dāng)截距不為0時(shí)，由題意設(shè)所求直線為x+則7?a2=5當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)原點(diǎn)為O0,0，則kPO=所以此時(shí)滿足題意的直線方程可以是y=?綜上所述，滿足條件的直線共有3條.故答案為：3.變式8.（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)a,b滿足關(guān)系式【答案】52，115，【分析】化簡(jiǎn)得到|2a+b【詳解】由已知得t>0整理，得2a看成有且僅有三條直線滿足，A2,1和B(5,?3）到直線l：ax+by+3=0（1）當(dāng)t=AB2=52，此時(shí)，易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線6x?8y（2）當(dāng)t<AB2=52時(shí)，有4條直線l會(huì)使得點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A到l的距離為d．（1）作為增根被舍去的直線l，過(guò)原點(diǎn)和A、B的中點(diǎn)M72,?1，其方程為2（2）作為增根被舍去的直線l，過(guò)原點(diǎn)且以AB為方向向量，其方程為4x+3y=0，此時(shí)，綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)t為52，115，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)得到|2a+b+3|a2+b2【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式.點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用.（3）直線方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也不成立，但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合求解.【題型3：兩條平行線之間的距離】例3．（24-25高二上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）直線l1：x?y+1=0與直線A．24 B．22 C．2【答案】A【分析】將直線l2的方程化為x【詳解】直線l2：2x?2又直線l1：x?y所以直線l1與直線l2的距離是.變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知l1A．2515 B．255 C．【答案】A【分析】根據(jù)平行可求a，根據(jù)平行線間距離公式計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閘1//l2，所以2a故l1,l.變式2．（23-24高二上·天津和平·期末）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為直線3x+4y?7=0與直線A．1 B．2 C．1710 D．【答案】D【分析】因?yàn)橹本€3x+4y?7=0與直線6x+8y【詳解】由直線3x+4y所以直線3x+4y所以PQ的最小值為直線6x+8y所以d=.變式3．（多選）（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩條平行直線m,n，直線m:x+y?1=0，直線nA．-8 B．-6 C．2 D．4【答案】CC【分析】由兩條平行直線間的距離公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得直線m可化為2x直線m,n之間的距離所以a+2=4，即a=2C.變式4．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）已知兩條平行直線l1:x+3y+1=0,l2A．15° B．75° C．105°【答案】AC【分析】根據(jù)平行線距離公式計(jì)算結(jié)合傾斜角定義即可求解.【詳解】直線l被l1,l∵兩平行直線的距離d=1??312+(又直線l1,l2的傾斜角為150°，直線l故選:AC.變式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線l1:y=kx+1，l2【答案】5【分析】根據(jù)題意可知：兩直線平行，且均過(guò)定點(diǎn)，分析可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：直線l1:y=kx直線l2:y=k可知l1//l故答案為：5.變式6．（23-24高二上·河南開(kāi)封·期末）已知點(diǎn)A,B分別是直線l1:2x+y【答案】5【分析】先得到兩直線平行，求出兩平行線間距離公式求出AB的最小值，從而得到答案.【詳解】由24=12≠?21可知直線l其最小值為平行直線l1與l2的距離，直線l1所以ABmin=?4?142故答案為：5變式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知P,Q分別在直線l1:x?y+1=0與直線l2【答案】10+2/【分析】利用數(shù)形結(jié)合，找到線段的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到AP+【詳解】因?yàn)閘1:x所以直線l1與l2間的距離為1+11+1=2過(guò)B5,?1作直線l垂直于l則可設(shè)直線l的方程為x+y+c=0，代入B所以直線l的方程x+將B5,?1沿著直線l往上平移2個(gè)單位到B'點(diǎn)，設(shè)則a?52+?a+52連接AB'交直線l1有BB'//則|PB'顯然AB'是直線l1因此AP+QB的最小值，即AP+而AB所以AP+PQ+QB的最小值為故答案為：10+2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將AP+QB等價(jià)轉(zhuǎn)化為【方法技巧與總結(jié)】對(duì)兩條平行直線之間的距離公式的理解1.求兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式.2.利用公式求平行線之間的距離時(shí)，兩條直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.3.當(dāng)兩條直線都與x軸（或y軸）垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.【題型4：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線的對(duì)稱問(wèn)題】例4．（23-24高二上·廣東佛山·期中）點(diǎn)2,1關(guān)于直線x?A．?2,5 B．0,3 C．0,?1 D．?1,2【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)2,1關(guān)于直線x?y+1=0【詳解】設(shè)點(diǎn)2,1關(guān)于直線x?y+1=0則b?1a?2故點(diǎn)2,1關(guān)于直線x?y+1=0變式1．（22-23高二上·福建廈門·階段練習(xí)）不論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線2a?1x+?a+3A．x?2y?6=0 B．x?2y=0【答案】A【分析】先求出定點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱直線方程為【詳解】由2a?1x令2x?y所以M1,2，設(shè)直線2x?y+3=0則M1,2到直線2x?所以2?2+35=2?2+b5，解得：b故直線2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn).變式2．（21-22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線ax＋y＋3a－10恒過(guò)定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－60關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－120 B．2x＋3y＋120 C．3x－2y－60 D．2x＋3y＋60【答案】C【分析】先求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再設(shè)出與直線2x＋3y－60關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【詳解】由ax＋y＋3a－10得x+3由x+3=0y?1=0設(shè)直線2x＋3y－60關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為2x∴?6+3?64+9∴直線2x＋3y－60關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為2x＋3y＋120．．變式3．（多選）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C．直線x?D．點(diǎn)0,1關(guān)于直線y=x【答案】AD【分析】對(duì)于AB，根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解；對(duì)于C，求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出三角形面積，對(duì)于D，設(shè)0,1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為a,【詳解】對(duì)于A：任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，當(dāng)傾斜角為90°對(duì)于B：直線的傾斜角為π6，5對(duì)于C：直線x?y?3=0，令x=0，y=-3故x?y?3=0對(duì)于D：設(shè)0,1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為則b?1a=?1b+12=D變式4．（23-24高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）已知直線2x?y?5=0與直線x+3【答案】?5,6【分析】先根據(jù)兩直線相交聯(lián)立方程組求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；再設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；最后列出關(guān)系式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€2x?y所以聯(lián)立2x?y?5=0x設(shè)點(diǎn)A2,?1關(guān)于直線x?y則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為a+22,故a+22?b?12+4=0故答案為：?5,6.變式5.（22-23高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知直線l的傾斜角為135°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1)求直線l的方程；(2)求點(diǎn)A3,4關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A【答案】(1)x(2)?2,?1【分析】（1）由傾斜角和斜率的關(guān)系求斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求直線l的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為a,b【詳解】（1）設(shè)直線l的斜率為k，因?yàn)橹本€l的傾斜角為135°所以k=tan所以直線l的方程為y?1=?1x（2）設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為a則b?4a?3所以點(diǎn)A'的坐標(biāo)為?2,?1變式6．（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·期中）已知直線l:x?2(1)已知直線l與l':ax(2)求點(diǎn)A2,2關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A【答案】(1)3(2)12【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的斜率關(guān)系列式運(yùn)算得解；（2）設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在直線上，以及直線垂直，列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由直線l平行直線l'，可得a2?3=?2a，解得當(dāng)a=3時(shí)，直線l當(dāng)a=?1時(shí)，直線l':所以a的值為3.（2）設(shè)對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為m,n，則A所以可得m+22?2×所以A'的坐標(biāo)為12變式7．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）直線l1：ax+3y?1=0，直線l1的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為?2,6，直線l(1)求a，b的值；(2)已知點(diǎn)P?1,?3，求點(diǎn)P關(guān)于直線l2對(duì)稱的點(diǎn)【答案】(1)a=9，b(2)2,3.【分析】（1）根據(jù)直線l1的方向向量求出a，根據(jù)直線l2：4x+by（2）設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱聯(lián)立求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l1：ax+3y所以?a又因?yàn)橹本€l2：4x+所以4×2+b所以a=9，b（2）由（1）知直線l2：4x+8設(shè)點(diǎn)P?1,?3關(guān)于直線l2對(duì)稱的點(diǎn)則直線PQ的斜率為kPQ線段PQ的中點(diǎn)為x0代入直線l2方程得x聯(lián)立y0所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,3.變式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直線l過(guò)點(diǎn)P2,?1(1)若直線l與直線2x+y(2)若已知直線l:x+2y?2=0【答案】(1)x(2)2【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系得到斜率，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)得到直線方程.（2）設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)斜率的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組，解得答案.【詳解】（1）直線l與直線2x+y故直線l的方程為y=1（2）設(shè)點(diǎn)Q?2,?1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為M則y0+1x0+2【方法技巧與總結(jié)】1.實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式說(shuō)明：平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2.實(shí)質(zhì)：軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線1.當(dāng)直線斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)(x’，y’)，則2.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為（，）【題型5：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直線l：y=2x?4A．y=2x C．y=2x?8【答案】A【分析】根據(jù)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線平行，設(shè)出所求直線，利用點(diǎn)到直線距離求解.【詳解】因?yàn)锳(1,0)不在直線l：y所以可設(shè)直線l：y=2x?4關(guān)于點(diǎn)A則2?0?422+(?1)2故所求直線方程為：y=2變式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知點(diǎn)P2,1，直線l：x?y?4=0，則點(diǎn)P到直線l的距離為，直線l關(guān)于點(diǎn)【答案】322/3【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求點(diǎn)P到直線l的距離，設(shè)直線l上任一點(diǎn)P1x1,y1關(guān)于點(diǎn)【詳解】點(diǎn)P2,1，直線l：x則點(diǎn)P到直線l的距離為2?1?42設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)P2,1的對(duì)稱直線為l則直線l上任一點(diǎn)P1x1,y1關(guān)于點(diǎn)x+x1將x1,y1代入直線所以直線l關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的直線方程為x?故答案為：322；變式2．（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A4,0，B6,5，(1)求直線l的方程；(2)求直線l關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的直線l'【答案】(1)3x(2)3x【分析】（1）應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率kBC，再由直線垂直得k（2）由直線平行設(shè)直線l'的方程為3x+【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)B6,5，C0,3，所以因?yàn)閘⊥BC，所以kl所以直線l的方程為y=?3(x?4)（2）設(shè)直線l'的方程為3由點(diǎn)B6,5到直線l和直線l所以3×6+5?1210=3×6+5+所以直線l'的方程為3變式3．（22-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,4，直線l的方程為3x(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'(2)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l'【答案】(1)2,6(2)3【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法分析運(yùn)算即可.【詳解】（1）設(shè)A'm,n，由題意可得所以點(diǎn)A'的坐標(biāo)為2,6（2）在直線l上任取一點(diǎn)Px,y，設(shè)Px,則x0+x由于P'?8?x,8?y在直線3故直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l'的方程為3變式4．（21-22高二上·江蘇連云港·期中）已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x+3y+8=0和x?y?1=0的交點(diǎn)，且________，若直線m與直線l關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，求直線m【答案】選①，2x?3y【分析】選①可設(shè)直線l的方程2x【詳解】因?yàn)榉匠探M2x+3y所以兩條直線2x+3y+8=0和若選①，可設(shè)直線l的方程為2x點(diǎn)?1,?2代入方程2x?3y+c在直線l上取兩點(diǎn)?1,?2和2,0，點(diǎn)?1,?2關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為3,2，點(diǎn)2,0關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），所以直線m的方程為2x若選②，可得直線l的斜率k=所以直線l的方程為y=在直線l上取兩點(diǎn)1,3和?1,?2，點(diǎn)?1,?2關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為3,2，點(diǎn)1,3關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為1,?3，所以直線m的方程為y?2=2+33?1變式5．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)0,0和點(diǎn)125,?65重合，點(diǎn)7,3和點(diǎn)A．345 B．365 C．283【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于折線對(duì)稱，先求出折線方程，再根據(jù)7,3與m,n關(guān)于折線對(duì)稱求出【詳解】設(shè)點(diǎn)O0,0和P125,?6折線即為線段OP的中垂線，則0+1252=6直線OP的斜率為?6所以折線方程為：y=2由題知7,3與m,則兩點(diǎn)中點(diǎn)在直線上且兩點(diǎn)連線與直線垂直，所以n?3m?7解得m=35變式6．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知點(diǎn)A0,1，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線處，并作答．條件①：點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,?1；條件②：點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,?1，直線l1過(guò)點(diǎn)2,1且與直線AB垂直；條件③點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,3，直線l1過(guò)點(diǎn)(1)求直線l1(2)求直線l2：x?2y【答案】(1)x(2)2【分析】（1）計(jì)算直線l1的斜率，根據(jù)兩直線的平行或垂直關(guān)系得到斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程得到直線l（2）先計(jì)算直線l1，l2的交點(diǎn)；再在直線l2【詳解】（1）選擇條件①：因?yàn)辄c(diǎn)A0,1關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以l1是線段AB的垂直平分線，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,0因?yàn)閗AB所以直線l1的斜率為1所以直線l1的方程為y=x選擇條件②：因?yàn)閗AB=?1?12?0=?1所以直線l1的斜率為1又因?yàn)橹本€l1過(guò)點(diǎn)2,1所以直線l1的方程為y?1=x選擇條件③，因?yàn)閗AC=3?12?0=1所以直線l1的斜率為1又因?yàn)橹本€l1過(guò)點(diǎn)2,1所以直線l1的方程為y?1=x（2）聯(lián)立方程組x?y?1=0故l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)A0,1關(guān)于l1：x?則y?1x=?1因?yàn)锳0,1在直線l2：所以直線l2關(guān)于直線l1對(duì)稱的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,?1，4,3，代入兩點(diǎn)式方程得y+1所以l2：x?2y+2=0關(guān)于直線【方法技巧與總結(jié)】實(shí)質(zhì)：兩直線平行法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱問(wèn)題（在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）法二：利用平行性質(zhì)解（求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)出平行直線系，利用點(diǎn)到直線距離相等）【題型6：直線關(guān)于直線對(duì)稱】例6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l：ax+by+c=0與直線lA．bx+ay?C．bx+ay+【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，用?x代y，以?y代【詳解】因?yàn)橹本€l：ax+by+c=0所以在方程ax+by+c=0中，用?x代y，以化簡(jiǎn)，得bx+變式1．（24-25高二上·上海·課堂例題）過(guò)原點(diǎn)的直線l的傾斜角為θ，則直線l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線A．θ B．π2?θ C．π-【答案】D【分析】利用直線與直線對(duì)稱，得到傾斜角之間的關(guān)系，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】設(shè)直線l'的傾斜角為α，則α因?yàn)橹本€l和直線l'關(guān)于直線y所以直線l和直線l'也關(guān)于直線y所以α+θ=對(duì)于A，當(dāng)θ=π4對(duì)于B，當(dāng)θ=0時(shí)，α對(duì)于C，若α=π?θ，則(π?θ對(duì)于D，當(dāng)θ=2π3變式2．（多選）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線l1A．直線l1與l2B．直線l1、l2C．直線l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程為D．直線l2關(guān)于直線l1【答案】AC【分析】通過(guò)聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積、對(duì)稱性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由x+y=02x直線l2:2x?3y?6=0與x軸的交點(diǎn)為直線l1過(guò)原點(diǎn)，由圖可知，直線l1、l2所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知，直線l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線過(guò)點(diǎn)?3,0所以直線l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程為y所以C選項(xiàng)正確.點(diǎn)3,0關(guān)于直線x+y=0點(diǎn)0,?2關(guān)于直線x+y=0所以直線l2關(guān)于直線l1對(duì)稱的直線方程為即3xC變式3．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知直線l1:ax?yA．無(wú)論a為何值，?l1與B．當(dāng)a變化時(shí)，?l1表示過(guò)定點(diǎn)C．無(wú)論a為何值，?l1與?lD．若?l1與?l2【答案】AD【分析】對(duì)A：討論a=0與a對(duì)B：討論斜率不存在時(shí)的情況，即可判斷；對(duì)C：討論l1與x對(duì)D：點(diǎn)M的軌跡為圓，數(shù)形結(jié)合即可求|OM【詳解】對(duì)A：當(dāng)a=0時(shí)，l1方程為：y=1，l當(dāng)a≠0時(shí)，直線l1的斜率k1=a，直線l故無(wú)論a為何值，?l1與對(duì)B：l1:ax?y+1=0，也即若直線過(guò)點(diǎn)(0,1)且斜率不存在時(shí)，該方程無(wú)法表示，B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)a=?1時(shí)，直線l1:l1:y=?x+1，l1關(guān)于y=?x的對(duì)稱直線為y對(duì)D：由A可得：直線l1,l2垂直，且直線l1恒過(guò)定點(diǎn)A故點(diǎn)M的軌跡是以AB為直徑的圓，此時(shí)恰有點(diǎn)O也在該圓上，

故|OM|的最大值為圓的直徑D.變式4．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）若直線l與直線ax+by+c=0【答案】bx【分析】由題意知，直線l和ax+by+【詳解】由題意可得直線l與直線ax+by+由于直線ax+by+c=0上的任意一點(diǎn)M因?yàn)橐阎本€ax+by+c=0，則l故答案為：bx+變式5．（22-23高二上·安徽六安·階段練習(xí)）已知直線l1的方程為x（1）若直線l1和直線l2關(guān)于點(diǎn)0,0對(duì)稱，求直線l2（2）若直線l1和直線l2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求直線【答案】x?2y?4=0【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)Ax,y關(guān)于點(diǎn)0,0對(duì)稱的點(diǎn)A'?x,?y在直線l1上，列出方程即可得到結(jié)果；由題意可得直線l【詳解】因?yàn)橹本€l1和直線l2關(guān)于點(diǎn)在直線l2上任取一點(diǎn)Ax,y，則Ax,y將點(diǎn)A'?x,?y所以直線l2的方程為x設(shè)直線l1與直線y=x所以p=qp?2q在直線l1上取點(diǎn)C0,2，設(shè)C0,2關(guān)于直線y則r?2因?yàn)镃0,2與C's所以0+s由①②可得s=2r因?yàn)橹本€l1和直線l2關(guān)于直線所以直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B4,4和點(diǎn)所以直線l2的兩點(diǎn)式方程為y整理得直線l2的一般式方程為2故答案為:x?2y?4=0變式6．（23-24高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A1,1，B3,3(1)過(guò)點(diǎn)B的直線l1與邊AC相交于點(diǎn)D，若△BCD的面積是△ABD(2)求∠BAC的角平分線所在直線l【答案】(1)x(2)2【分析】（1）設(shè)Dx0,y0（2）利用對(duì)稱性結(jié)合直線方程確定B關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為B'【詳解】（1）設(shè)Dx0,y因?yàn)椤鰾CD的面積是△ABD面積的3倍，所以則2?x0故直線l1的方程為y?3=（2）顯然，l2的斜率存在且不為零，設(shè)l2的方程為則過(guò)點(diǎn)B且與l2垂直的直線l的方程為設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為B'因?yàn)橹本€AC的方程為7x所以7整理得2因?yàn)閗≠0，所以2k2?3又kAC=7>0，kAB故直線l2的方程為y?1=2變式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直線l:2(1)與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱；(2)過(guò)點(diǎn)3,1，且與l平行．【答案】(1)2x(2)2x【分析】（1）由對(duì)稱方法求出直線方程作答.（2）利用平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再求出待定系數(shù)作答.【詳解】（1）設(shè)與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線l1上任意點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則點(diǎn)(所以直線l1的方程為2（2）設(shè)與直線l平行的直線l2的方程為2于是2×3+3×1+m=0，解得所以直線l2的方程為2

【方法技巧與總結(jié)】1.相交時(shí)：此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線”的對(duì)稱問(wèn)題2.平行時(shí)：對(duì)稱直線與已知直線平行【題型7：反射光線問(wèn)題】例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點(diǎn)A?2,1射出，經(jīng)直線2x?A．x?3y?1=0C．x+3y+17=0【答案】C【分析】求出A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0【詳解】設(shè)A(?2,1)關(guān)于直線2x?則(x?2)?y+12所以反射光線所在直線方程為y?3=?3?3?8+6．變式1．（22-23高二上·浙江·階段練習(xí)）一條光線從點(diǎn)P?1,5射出，經(jīng)直線x?3yA．2x?yC．3x?y【答案】C【分析】求出點(diǎn)P?1,5關(guān)于直線x【詳解】設(shè)點(diǎn)P?1,5關(guān)于直線x?3y則b?5a+1×1故反射光線過(guò)點(diǎn)2,?4,則反射光線所在直線的方程為x?2=0.變式2．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，若光線QR經(jīng)過(guò)△A．853 C．415 D．【答案】A【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)對(duì)稱光線的對(duì)稱關(guān)系找到點(diǎn)P關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，則△PQR【詳解】解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(4,0)，C(0,4)，所以直線BC的方程為x+設(shè)P(t,0)(0<t<4)，點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)易得P1(4,4?t易知直線P1P2所以直線RQ的方程為y=設(shè)△ABC的重心為G，則G所以43=4?t4+t?所以P14,8結(jié)合對(duì)稱關(guān)系可知QP=QP所以△PQR的周長(zhǎng)即線段P4+4.變式3．（23-24高二上·浙江溫州·期中）在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，沿與AB所成角為θ的方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)BC,A．1,2 B．2,3 C．4,5 D．3,4【答案】A【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱畫出光路圖，利用k=tanθ表示各點(diǎn)坐標(biāo)，求出滿足使反射后回到線段PB之間角【詳解】

建立直角坐標(biāo)系如圖所示，A0,0，B4,0，C0,4，由題光線從點(diǎn)P出發(fā)，沿光線路徑依次為PE,EF,設(shè)G(t,0),2≤t≤4，點(diǎn)Gt,0關(guān)于直線AC對(duì)稱點(diǎn)為G1(?因?yàn)楣饩€與AB所成角為θ的方向發(fā)射，即∠EPB=θ，令k則直線PE方程為y=k(x?2)由光線反射的性質(zhì)與光路可逆性知P1則直線P1E方程為令y=0得?所以tanθ的取值范圍為3,4變式4．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，如圖所示，若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心G，則【答案】1【分析】求出點(diǎn)P關(guān)于y和直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合光的反射原理列方程組求解可得.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB,AC分別為則直線BC方程為x+設(shè)Pa,0關(guān)于y和直線BC的對(duì)稱點(diǎn)分別為N,記Mx0,y0因?yàn)镚為△ABC的重心，A0,0,由光的反射原理可知，M,N,即1?a1+a=1故答案為：1變式5．（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,3，從點(diǎn)P1,0射出的光線經(jīng)直線AB反射到y(tǒng)軸上，再經(jīng)y軸反射后又回到點(diǎn)P

【答案】2【分析】作出P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1以及關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P2，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解【詳解】P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1(?1,0)，關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)

又因?yàn)锳3,0，B0,3，所以直線AB方程為：x3所以m+12+n+0所以光線經(jīng)過(guò)的路程為|PM故答案為：2變式6．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，已知A6,63，B0,0，C12,0，直線(1)求直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若P2,23，李老師站在點(diǎn)P用激光筆照出一束光線，依次由BC（反射點(diǎn)為K）、AC（反射點(diǎn)為I）反射后，光斑落在P點(diǎn)，求入射光線【答案】(1)2,2(2)2【分析】（1）分離參數(shù)，列方程可得直線過(guò)定點(diǎn)；（2）分別求點(diǎn)P關(guān)于直線BC與AC的對(duì)稱點(diǎn)P1與P2，進(jìn)而可得kP【詳解】（1）由直線l：k+3x令x?2=03x故直線l恒過(guò)定點(diǎn)2,23（2）設(shè)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P1，則PP關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P2由直線AC的方程為y?063所以n?23m所以P2由題意得P1、K、I、P2四點(diǎn)共線，由對(duì)稱性得kPK所以入射光線PK的直線方程為y?2即2x變式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,3，在直線l:x(1)入射光線與直線l的交點(diǎn)．(2)入射光線與反射光線所在直線的方程．【答案】(1)(?(2)入射光線的方程5x?4【分析】（1）根據(jù)題意，求得點(diǎn)M2,3關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M'?4,?3（2）根據(jù)題意，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得入射和反射光線的方程.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)M2,3關(guān)于直線l:x則n?3m?2=1m則反射光線所在的直線M'N的方程y?1=又由4x?5y即直線M'N與直線l的交點(diǎn)為（2）解：由點(diǎn)C(?23所以入射光線所在的直線MC的方程為y?3=54反射光線所在直線的M'N的方程y?1=【題型8：將軍飲馬問(wèn)題】例8．（23-24高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）設(shè)直線l：x+y?2=0，點(diǎn)A?1,0，A．13 B．10 C．7 D．5【答案】C【分析】先求得點(diǎn)A?1,0關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)，則A'【詳解】設(shè)點(diǎn)A?1,0關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A則有m?12+n2則PA+PB變式1．（23-24高二上·北京豐臺(tái)·期末）已知點(diǎn)P在由直線y=x+3，y=5和x=?1所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在xA．30 B．42 C．34 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再確定出使QP+【詳解】由直線y=x+3，y=5和點(diǎn)P在△ABC

Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)T4,1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)T'4,?1，則QP+QT的最小值為T'4,?1到直線.變式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知點(diǎn)M(1,?2)，N(4,4)，H是直線l:2A．13 B．3C．65 D．6【答案】D【分析】畫出草圖可知，點(diǎn)M、點(diǎn)N在直線l同側(cè)，運(yùn)用對(duì)稱性即可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)M(1,?2)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M則2×x0+12?所以(HM.變式3．（23-24高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A2,4，軍營(yíng)所在位置為B6,2，河岸線所在直線的方程為A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是6B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為13C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是xD．“將軍飲馬”走過(guò)的總路程為5【答案】C【分析】由題意畫出圖形，則由三角形三邊關(guān)系可知點(diǎn)C為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，A,C,B1三點(diǎn)共線滿足題意，其中點(diǎn)B1為點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)于A，由根據(jù)【詳解】如圖所示：由題意可知A,B在x+y?3=0的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)BA,C,則a+62+b+2對(duì)于A，直線AB1的斜率為k=4??3對(duì)于B，聯(lián)立7x?10?y=0x對(duì)于C，由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)C138,118，直線CB的斜率為k=2?對(duì)于D，AC+CB=.變式4．（23-24高二上·河南新鄉(xiāng)·期中）5xA．1955 B．3 C．2055 【答案】D【分析】根據(jù)題意將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=2x上一點(diǎn)P到A0,1,B?2,0兩點(diǎn)的距離之和的最小值，可求出點(diǎn)【詳解】因?yàn)?表示直線y=2x上一點(diǎn)P到設(shè)點(diǎn)B?2,0關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為Cx,即C65,?85即5x2?4.

變式5．（23-24高二上·河南信陽(yáng)·期中）已知x+y+1=0A．10 B．13 C．29 D．6【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x+y+1=0的動(dòng)點(diǎn)P'x【詳解】設(shè)點(diǎn)P'x,則x2可看作P'x,y與點(diǎn)設(shè)A1,1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A則b?1a?1所以A'則P'A+P'即x2+y.變式6．（22-23高二上·河北張家口·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y+1=0A．5 B．22 C．10 D．【答案】A【分析】由x?12+y?12+【詳解】解：x?12+y?12+

設(shè)點(diǎn)A1,1關(guān)于直線x+y則y0?1x所以對(duì)稱點(diǎn)為A'?2,2由圖知：x?12+變式7．（23-24高二上·江蘇·單元測(cè)試）已知點(diǎn)A?3,1，點(diǎn)M,N分別是x軸和直線2x+【答案】12【分析】作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，由此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求A'M+MN【詳解】如圖，作點(diǎn)A?3,1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'?3,?1此時(shí)最小值即為A'?3,?1到直線2x所以AM+MN的最小值為故答案為：125【方法技巧與總結(jié)】利用三角形邊角關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對(duì)值小于等于第三邊。一、單選題1．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A2,?1,BA．3 B．5 C．9 D．25【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式，可得AB的長(zhǎng)為AB=2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線l1:x+3y+mA．17 B．172 C．14 【答案】A【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，m+31+9=10，解得.3．（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）若原點(diǎn)到直線ax+A．c2=aC．b2=a【答案】A【分析】根據(jù)題意利用點(diǎn)到直線的距離公式分析求解.【詳解】原點(diǎn)O0,0到直線ax則a×0+b×0+.4．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點(diǎn)A2,1，點(diǎn)B在直線x?yA．5 B．26 C．22 【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可求解.【詳解】由于A2,1不在直線l:x?y故ABmin故選:C5．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線l：x?y=0，則點(diǎn)AA．4,1 B．4,?1 C．?1,?4 D．1,4【答案】C