北京市東城區(qū)高三上學期期末考試數(shù)學（文）試題

東城區(qū)高三年級第一學期期末練習數(shù)學（文科）2018.1第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.若集合，，則等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】集合，，則等于.故選C.2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是A.B.C.D.【答案】D【解析】對于A：關于對稱，所以不是偶函數(shù)；對于B：是非奇非偶函數(shù)，因為定義域不關于原點對稱；對于C：為奇函數(shù)，不符合題意；對于D：是偶函數(shù)；故選D.3.直線l:y=kx+1與圓相交于A，B兩點，，則“k=1”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件,【答案】A【解析】直線與圓相交于兩點，圓心到直線的距離，則，當時，，即充分性成立，若，則，即，解得或，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選A.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的S值為A.8B.19C.42D.89【答案】C【解析】執(zhí)行程序框圖，輸入，第一次循環(huán)第二次循環(huán)第三次循環(huán)第四次循環(huán)第五次循環(huán)，退出循環(huán)，輸出，故選C.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.5.已知向量a=（1，2），b=（0，2），c=（1，λ），若(2ab)∥c，則實數(shù)λ=A.3B.C.1D.3【答案】A【解析】向量a=（1，2），b=（0，2），則2ab=（2,6），若(2ab)∥c，則有2λ=6，所以λ=3.故選A.6.已知，則A.B.C.D.【答案】D【解析】,,,所以.故選D.點睛：本題利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性是關鍵.7.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖是（圖中正方體的棱長為），三棱錐的體積為，故選B.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.8.再一次調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四名同學的閱讀量有如下關系：同學甲、丙的閱讀量之和與乙、丁的閱讀量之和相同，甲、乙的閱讀量之和大于丙、丁的閱讀量之和。丁的閱讀量大于乙、丙的閱讀量之和.那么這四名同學按閱讀量從大到小的順序排列為A.甲、丁、乙、丙B.丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲D.乙、甲、丁、丙【答案】A【解析】因為甲、丙閱讀量之和等于乙、丁閱讀量之和，甲、乙閱讀量之和等于大于丙、丁閱讀量之和，所以乙的閱讀量大于丙的閱讀量，甲的閱讀量大于丁的閱讀量，因為丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和，所以丁的閱讀量大于乙閱讀量且丁的閱讀量大于丙的閱讀量，這四名同學按閱讀量從大到小的排序依次為甲丁乙丙，故選A.【思路點睛】本題主要考查閱讀能力，抽象思維能力、演繹推理以及命題之間的關系，屬于難題.與實際應用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是：由“甲、丙閱讀量之和等于乙、丁閱讀量之和，甲、乙閱讀量之和等于大于丙、丁閱讀量之和”得到“乙的閱讀量大于丙的閱讀量，甲的閱讀量大于丁的閱讀量”.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.復數(shù)_______.【答案】2i【解析】=.故答案為2i.10.雙曲線的漸近線方程為_________.【答案】【解析】雙曲線中，，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為.11.若實數(shù)滿足，則的最大值是__________.【答案】1【解析】由可知可行域是由A（0,0），B（0,3）C（1,1）圍成的三角形，目標函數(shù)得y=2x+z,當直線過點B時可取得最大值為3.故答案為3.12.在△ABC中，，，則c=_____，△ABC的面積為____.【答案】(1).6(2).【解析】，，或（舍），由可得,.故答案為b=6,△ABC的面積為點睛：本題主要是熟練掌握余弦定理的應用，已知一角及兩邊求第三邊；三角形面積公式是乘以兩邊長及夾角的正弦值.13.函數(shù)當時，的值域為______；當有兩個不同零點時，實數(shù)的取值范圍為______.【答案】(1).(2).或，【解析】當時，由，可得由，可得,所以當時，的值域為；要使有兩個不同零點，分兩種情況：（1），有一個零點且有一個零點，則；（2），有兩個零點且沒有零點，則，綜合（1）、（2）可知當有兩個不同零點時，實數(shù)的取值范圍為或故答案為，或.14.設命題P:已知A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），滿足∠AMD=∠BMC的所有點M都在y軸上.能夠說明命題P是假命題的一個點M的坐標為______.【答案】【解析】如圖，以原點O為圓心，為半徑的圓的兩段?。荷系狞c均滿足∠AMD=∠BMC，可取M，滿足∠AMD=∠BMC但點M都不在y軸上.故答案為.三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，.（Ⅰ）數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列前n項和.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．因為，所以．解得d=3．又因為，所以，即可以得出數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．因此，由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和即可得出數(shù)列前n項和.試題解析：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．因為，所以．解得d=3．又因為，所以．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．因此數(shù)列前n項和為．數(shù)列的前n項和為．所以，數(shù)列前n項和為．16.已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（Ⅱ）當?shù)膱D像經(jīng)過點時，求的值及函數(shù)的最小正周期.【答案】(Ⅰ)最大值2，最小值為；(Ⅱ)．最小正周期．【解析】試題分析：（1）根據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式化簡可得，因為，所以，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性與圖象可得函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）根據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式化簡可得，點代入解析式可得，結(jié)合即可得，進而可．試題解析：（1）當時，.因為，所以．所以，當，即時，取得最大值，當，即時，取得最小值為.（2）因為，所以．因為的圖象經(jīng)過點，所以，即．所以．所以．因為，所以．所以的最小正周期．17.“砥礪奮進的五年”，首都經(jīng)濟社會發(fā)展取得新成就.自2012年以來，北京城鄉(xiāng)居民收入穩(wěn)步增長.隨著擴大內(nèi)需，促進消費等政策的出臺，居民消費支出全面增長，消費結(jié)構(gòu)持續(xù)優(yōu)化升級，城鄉(xiāng)居民人均可支配收入快速增長，人民生活品質(zhì)不斷提升.下圖是北京市20122016年城鄉(xiāng)居民人均可支配收入實際增速趨勢圖（例如2012年，北京城鎮(zhèn)居民收入實際增速為7.3%，農(nóng)村居民收入實際增速為8.2%）.（Ⅰ）從20122016五年中任選一年，求城鎮(zhèn)居民收入實際增速大于7%的概率；（Ⅱ）從20122016五年中任選一年，求至少有一年農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民收入實際增速均超過7%的概率；（Ⅲ）由圖判斷，從哪年開始連續(xù)三年農(nóng)村居民收入實際增速方差最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)2014年.【解析】試題分析：（Ⅰ）設城鎮(zhèn)居民收入實際增速大于7%為事件A，由圖可知，這五年中有2012，2013，2014這三年城鎮(zhèn)居民收入實際增速大于7%，由此能出城鎮(zhèn)居民收入實際增速大于7%的概率．（Ⅱ）設至少有一年農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民實際收入增速均超7%為事件B，這五年中任選兩年，利用列舉法能出至少有一年農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民收入實際增速均超過7%的概率．（Ⅲ）從2014開始連續(xù)三年農(nóng)村居民收入實際增速方差最大．試題解析：（Ⅰ）設城鎮(zhèn)居民收入實際增速大于7%為事件A，由圖可知，這五年中有2012,2013,2014這三年城鎮(zhèn)居民收入實際增速大于7%，所以P(A)=.（Ⅱ）設至少有一年農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民實際收入增速均超7%為事件B，這五年中任選兩年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10種情況，其中至少有一年農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民實際收入增速均超過7%的為前9種情況，所以P(B)=.（Ⅲ）從2014開始連續(xù)三年農(nóng)村居民收入實際增速方差最大.18.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，E為AD的中點，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB⊥AP，CD=AD=2AB=2.（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱錐PABCD的體積；（Ⅲ）在棱PB上是否存在點M，使得EM∥平面PCD？說明理由.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)答案見解析.【解析】試題分析：（1）由根據(jù)線面垂直的判定定理可證明平面，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）連接因為△為等邊三角形，為中點，所以．因為平面，所以，由線面垂直的性質(zhì)可得平面，即是棱錐高，算出底面面積，利用棱錐的體積公式可得結(jié)果；（3）棱上存在點，使得∥平面，取中點，連接由中位線定理及線面平行的判定定理可得∥平面，可得平面∥平面．再利用面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論.試題解析：（1）因為，，，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）連接．因為△為等邊三角形，為中點，所以．因為平面，所以因為，所以平面．所以．在等邊△中，，，所以．（3）棱上存在點，使得∥平面，此時點為中點．取中點，連接．因為為中點，所以∥．因為平面，所以∥平面．因為為中點，所以∥．因為平面，所以∥平面．因為，所以平面∥平面．因為平面，所以∥平面．19.已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.求證：“”是“函數(shù)有且只有一個零點”的充分必要條件.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是；(Ⅲ)答案見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由f（1）=0，f′（1）=1；從而寫出切線方程即可；（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)，求出導數(shù)等于0的根，分析導數(shù)函數(shù)值在根的左右的正負變化即可得出的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當時，“”等價于“”.令，，求導研究單調(diào)性求出在區(qū)間上的最大值為，即可求出實數(shù)的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）因為函數(shù)，所以,.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）函數(shù)定義域為，由（Ⅰ）可知，.令解得.與在區(qū)間上的情況如下：x↘極小值↗所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是.（Ⅲ）當時，“”等價于“”.令，，，.當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減.當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.而，所以在區(qū)間上的最大值為.所以當時，對于任意，都有.點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，處理導數(shù)大題時，一般涉及具體函數(shù)求單調(diào)性比較容易入手，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用導數(shù)求新函數(shù)的最大值或最小值即可.20.已知橢圓的右焦點F(1,0)與短軸兩個端點的連線互相垂直.（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）設點Q為橢圓C的上一點，過原點O且垂直于QF的直線與直線y=2交于點P，求△OPQ面積S的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)1.【解析】試題分析