2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)-第5節(jié)-第一課時(shí)-橢圓的定義、方程與性質(zhì)

第一課時(shí)橢圓的定義、方程與性質(zhì)A級(jí)(基礎(chǔ)應(yīng)用練)1．(2021·新高考1卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為()A．13 B．12C．9 D．6答案：C解析：由題意可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，則|eq\r(MF1|·|MF2|)≤eq\f(|MF1|＋|MF2|,2)＝3，則|MF1|·|MF2|≤9，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時(shí)，等號(hào)成立，故|MF1|·|MF2|的最大值為9，故選C.2．(2022·曲靖市高三二模)“(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是()A．0<a<b B．1<a<bC．2<a<b D．1<b<a答案：C解析：若(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga2>0，,logb2>0，,loga2>logb2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1，,a<b，))所以1<a<b，所以“(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是2<a<b，故選C.3．(2022·江西高三聯(lián)考)如圖，P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝－eq\o(FQ,\s\up6(→))，|eq\o(OQ,\s\up6(→))|＝2，則|PF|＝()A．2 B.eq\r(5)C．3 D．4答案：A解析：由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得a＝3，因?yàn)閑q\o(PQ,\s\up6(→))＝－eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以點(diǎn)Q是線段PF的中點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，則O是FF′的中點(diǎn)，所以|PF′|＝2|OQ|＝4，由橢圓的定義可知|PF|＋|PF′|＝2a＝6，所以|PF|＝2，故選A.4．(2022·云南高三模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為()A．3 B．2C.eq\f(5,3) D.eq\f(4,3)答案：D解析：因?yàn)闄E圓為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，所以a＝5，b＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝4，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，點(diǎn)M在橢圓C的短軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M為橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為r，則|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，S△MF1F2＝eq\f(1,2)(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r＝eq\f(1,2)|F1F2|·|OM|，所以r＝eq\f(4,3)，故選D.5.(2022·山西臨汾市高三適應(yīng)性訓(xùn)練)如圖，這是5號(hào)籃球在太陽(yáng)光照射下的影子，已知籃球的直徑為22cm，現(xiàn)太陽(yáng)光與地面的夾角為60°，則此橢圓形影子的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)答案：B解析：如圖，l1，l2是兩條與球相切的直線，分別切于點(diǎn)A，C，與底面交于點(diǎn)B，D，所以|AC|＝2R＝22，R＝11，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD交l1，l2于點(diǎn)E，C，則|CE|＝|BD|.在△ACE中，由正弦定理得eq\f(|CE|,sin90°)＝eq\f(|AC|,sin60°)，所以|CE|＝22×eq\f(2,\r(3))＝2a，所以a＝eq\f(22,\r(3))＝eq\f(2R,\r(3))，b＝22，所以c＝eq\r(\f(4R2,3)－R2)＝eq\f(\r(3),3)R，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(\r(3)R,3),\f(2R,\r(3)))＝eq\f(1,2).故選B.6．(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)B是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是()A．[eq\f(\r(2),2)，1) B．[eq\f(1,2)，1)C．(0，eq\f(\r(2),2)] D．(0，eq\f(1,2)]答案：C解析：設(shè)P(x0，y0)，由B(0，b)，因?yàn)閑q\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，a2＝b2＋c2，所以|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝a2(1－eq\f(yeq\o\al(2,0),b2))＋(y0－b)2＝－eq\f(c2,b2)(y0＋eq\f(b3,c2))2＋eq\f(b4,c2)＋a2＋b2，因?yàn)椋璪≤y0≤b，當(dāng)－eq\f(b3,c2)≤－b，即b2≥c2時(shí)，|PB|eq\o\al(2,max)＝4b2，即|PB|max＝2b，符合題意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤eq\f(\r(2),2)，當(dāng)－eq\f(b3,c2)>－b，即b2<c2時(shí)，|PB|eq\o\al(2,max)＝eq\f(b4,c2)＋a2＋b2，即eq\f(b4,c2)＋a2＋b2≤4b2，化簡(jiǎn)得(c2－b2)2≤0，顯然該不等式不成立．故選C.7．(2022·廣西高三模擬)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1答案：C解析：如圖，因?yàn)閨AF2|＝2|BF2|，所以|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，所以|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|＋|BF2|＝2a，所以|BF2|＝eq\f(a,2)，所以|AF2|＝a，|BF1|＝eq\f(3,2)a，因?yàn)閨AF1|＋|AF2|＝2a，所以|AF1|＝a，所以|AF1|＝|AF2|，所以A在y軸上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝eq\f(2,a)，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝eq\f(16＋（\f(a,2)）2－（\f(3,2)a）2,2×4×\f(a,2))＝eq\f(8－a2,2a).因?yàn)椤螦F2O＋∠BF2F1＝π，所以cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，所以eq\f(2,a)＋eq\f(8－a2,2a)＝0，解得a2＝12.所以b2＝a2－c2＝12－4＝8，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1.故選C.8．(2022·黑龍江哈爾濱市高三二模)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(\r(2),2)，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案：4或2eq\r(2).解析：由橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(\r(2),2)，當(dāng)m>2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)閑＝eq\f(c,a)，所以eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(m－2),\r(m))，解得m＝4，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.當(dāng)0<m<2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，因?yàn)閑＝eq\f(c,a)，所以eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2－m),\r(2))，得m＝1，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2eq\r(2).9.(2022·遼寧高三一模)青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，如圖是一個(gè)陶藝青花瓷罐，其底座以上部分的軸截面曲線可以看成是橢圓的一部分，若該青花瓷罐的最大截面圓的直徑為20cm，罐口圓的直徑為16cm，且罐口圓的圓心與最大截面圓的圓心距離為3cm，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．答案：eq\f(\r(3),2)解析：設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意可知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(10，0)，B(8，3)，易知a＝10，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程為eq\f(64,100)＋eq\f(9,b2)＝1，解得b＝5，所以c＝eq\r(a2－b2)＝5eq\r(3)，所以離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5\r(3),10)＝eq\f(\r(3),2).10．(2022·黑龍江大慶高三模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)的左、右焦點(diǎn)，P(1，1)為C內(nèi)一點(diǎn)，Q為C上任意一點(diǎn)．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①C的焦距為2；②C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)可能為eq\r(10)；③|QF2|的最大值為a＋1；④若|PQ|＋|QF1|的最小值為3，則a＝2.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是________．答案：①③④解析：對(duì)于①，因?yàn)閏2＝a2－(a2－1)＝1，所以橢圓C的焦距為2c＝2，故①正確．對(duì)于②，若橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為eq\r(10)，則a2＝eq\f(5,2)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,\f(5,2))＋eq\f(y2,\f(3,2))＝1，則eq\f(1,\f(5,2))＋eq\f(1,\f(3,2))>1，從而點(diǎn)P在C的外部，這與P在C內(nèi)矛盾，所以②不正確．對(duì)于③，因?yàn)閏＝1，Q為C上任意一點(diǎn)，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，|QF2|的最大值為a＋c＝a＋1，故③正確；對(duì)于④，由橢圓定義可知，|PQ|＋|QF1|＝|PQ|－|QF2|＋2a，因?yàn)閨|PQ|－|QF2||≤|PF2|＝1，所以|PQ|－|QF2|≥－1，所以|PQ|－|QF2|＋2a≥2a－1＝3，此時(shí)a＝2，故④正確．B級(jí)(綜合創(chuàng)新練)11．(多選題)(2022·海南高三模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，下列選項(xiàng)中給出的條件，能夠求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程的選項(xiàng)是()A．△BF1F2是等腰直角三角形B．已知橢圓E的離心率為eq\f(1,2)，短軸長(zhǎng)為2C．△BF1F2是等邊三角形，且橢圓E的離心率為eq\f(1,2)D．設(shè)橢圓E的焦距為4，點(diǎn)B在圓(x－c)2＋y2＝9上答案：BD解析：對(duì)于A，若△BF1F2是等腰直角三角形，可知c＝b，沒(méi)有具體數(shù)據(jù)得不出方程，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，已知橢圓E的離心率為eq\f(1,2)，短軸長(zhǎng)為2，則eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，b＝1，由a2＝b2＋c2得a2＝eq\f(4,3)，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(3x2,4)＋y2＝1，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，△BF1F2是等邊三角形，且橢圓E的離心率為eq\f(1,2)，所以2c＝a，b＝eq\r(3)c，數(shù)據(jù)不足，得不到結(jié)果，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)橢圓E的焦距為4，點(diǎn)B在圓(x－c)2＋y2＝9上，所以c＝2，b2＝5，由a2＝b2＋c2，所以a2＝9，所以橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，故D項(xiàng)正確．故選BD.12．(多選題)(2022·南京高三模擬)嫦娥奔月是中華民族的千年夢(mèng)想.2020年12月我國(guó)嫦娥五號(hào)“探月工程”首次實(shí)現(xiàn)從月球無(wú)人采樣返回．某校航天興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點(diǎn)制動(dòng)(俗稱(chēng)“踩剎車(chē)”)后，以vkm/s的速度進(jìn)入距離月球表面nkm的環(huán)月圓形軌道(月球的球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn))，環(huán)繞周期為ts，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為mkm，則()A．飛行器環(huán)月圓形軌道的周長(zhǎng)為2πvtkmB．月球半徑為(eq\f(vt,2π)－n)kmC．近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為(m－n＋eq\f(νt,π))kmD．橢圓軌道的離心率為eq\f(m－n,m＋n)答案：BC解析：由題意，飛行器以vkm/s的速度進(jìn)入距離月球表面nkm的環(huán)月圓形軌道，環(huán)繞周期為ts，則飛行器環(huán)繞的圓形軌道周長(zhǎng)為vtkm，半徑為eq\f(vt,2π)km，故A錯(cuò)誤；月球半徑為(eq\f(vt,2π)－n)km，故B正確；近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為(m＋eq\f(νt,π)－n)km，故C正確；設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則m＋R＝a＋c，n＋R＝a－c(R為月球的半徑)，所以2a＝m＋n＋2R，2c＝m－n，故離心率為eq\f(m－n,m＋n＋2R)，故D錯(cuò)誤．故選BC.13．(2022·江蘇蘇州市高三三模)寫(xiě)出一個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于離心率的8倍的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：________．答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(答案不唯一)解析：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)等于離心率的8倍，故2a＝8eq\f(c,a)，即a2＝4c.不妨令c＝1，則a2＝4，b2＝3，所以滿足條件的一個(gè)橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.14．(2022·廣東高三月考)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，焦距為2eq\r(5)，|PF|－|QF|＝a，且PF⊥QF，則橢圓C的方程為_(kāi)_______．答案：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1解析：設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F′(－c，0)，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知|PF|－|QF|＝|QF′|－|QF|＝a，又|QF′|＋|QF|＝2a，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|QF′|＝\f(3a,2)，,|QF|＝\f(a,2).))由PF⊥QF，得∠F′QF＝90°，由勾股定理可得|QF|2＋|QF′|2＝|FF′|2，即eq\f(9a2,4)＋eq\f(a2,4)＝(2c)2＝20，