2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2.2用向量方法解決垂直問題練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE1第2課時(shí)用向量方法解決垂直問題課時(shí)過關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1已知平面α的一個(gè)法向量為n=(2,-1,0),則下列向量中與α垂直的是()A.(-1,1,1) B.C.D解析:與平面α垂直的向量與α的法向量平行,只有C項(xiàng)符合.答案:C2下列說法不正確的是()A.平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的全部向量B.一個(gè)平面的全部法向量相互平行C.假如兩個(gè)平面的法向量垂直,那么這兩個(gè)平面也相互垂直D.假如a,b與平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一個(gè)法向量解析:選項(xiàng)D中,若a,b共線,則n就不是平面α的一個(gè)法向量.答案:D3在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點(diǎn),則直線CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1A解析:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),因?yàn)镃E·AC=-2-2+0=-4≠0,所以CE與AC不垂直.同理可知CE⊥BD,答案:B4設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,則m等于()A.-2 B.2 C.6 D.10答案:D5如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=1A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.位置關(guān)系不確定解析:由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如圖,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)QA=1,則D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故故即故PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.答案:B6已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),點(diǎn)P(x,0,z),若PA解析:由題意得得由解得x=-1,答案:(-1,0,2)7如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE=.

解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B1(0,0,3a),D設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為則故要使CE⊥平面B1DE,則需即故2a2+z2-3az=0,解得z=a或z=2a.答案:a或2a8如圖,△ABC和△BCD所在平面相互垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).求證:EF⊥BC.證明:由題意,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得B(0,0,0),A(0,-1,因?yàn)樗运运訣F⊥BC.9如圖,四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分別為PC,AB的中點(diǎn),求證:MN⊥平面PCD.分析:設(shè)AP=a,AB=b,AD=c,則{a,b,c}為基底,利用a,b,c把MN證明:設(shè)AP=a,AB=則{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,則MN=AN-AM=1因?yàn)镻A⊥矩形ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,且AB⊥AD.所以a·b=0,b·c=0,c·a=0.所以MN·DC=-1MN·PD=-12(=-12(|c|2-|a|2所以MN⊥DC,MN⊥PD.又DC∩PD=D,所以MN⊥平面PCD.實(shí)力提升1四邊形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,則下列等式①PAA.1 B.2C.3 D.4答案:C2已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是()A.(1,-1,1) B.C.D解析:∵A∈α,且A(2,-1,2),n=(3,1,2)為α的法向量,∴PA⊥n.選項(xiàng)B中,PA=1,-4,12,PA·n=3-答案:B3平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形解析:(DB+答案:B4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則()A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD相交但不垂直D.以上都不對(duì)答案:B5已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),其中正確的是.(填序號(hào))

解析:AP·AB=(-1,2,=-1×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0,∴AP⊥AB,即①正確.AP·AD=-1×4+2×2+(-1)×0=0,∴AP⊥AD,即②正確.又AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,即AP是平面ABCD的一個(gè)法向量,③正確.④答案:①②③6在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和點(diǎn)Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π],若直線OP與直線OQ垂直,則x的值為.

解析:∵直線OP與直線OQ垂直,∴OP·OQ=cosx(2cosx+1)-2cos2x-2+3×0=2cos2x+cosx-2(2cos2x-1)-2=-2cos即cosx=0或cosx=又x∈[0,π],∴x=答案:π7如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,AB=2,E是PB的中點(diǎn),cos<DP(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);(2)在底面ABCD內(nèi)求一點(diǎn)F,使EF⊥平面PCB.解:(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,設(shè)DP=t(t>0),則P(0,0,t),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),則DP故cos<由已知,得t8+t2=(2)設(shè)F(m,n,0),則又則-2(m-1)8★在三棱錐P-ABC中,底面ABC為正三角形,三條側(cè)棱兩兩垂直,G是△PAB的重心,E,F分別為BC,PB上的點(diǎn),且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求證:(1)平面GEF⊥平面PBC;(2)EG⊥BC,PG⊥EG.證明:(1)方法一:如圖,以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn),以PA,PB,PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=PB=PC=3,則A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是則PA=3由題意知PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC.又FG?平面EFG,∴平面EFG⊥平面PBC.方法二:同方法一,建立空間直角坐標(biāo)系,則E(0,2,1),F(0,1